*M M* Osnovna raven Alapszint MATEMATIKA

Átírás

1 Š i f r a k a n d i d a t a : A j e l ö l t k ó d s z á m a : Državni izpitni center *M M* Osnovna raven Alapszint MATEMATIKA Izpitna pola 1 1. feladatlap Torek, 8. avgust 007 / 10 minut 007. augusztus 8., kedd / 10 perc JESENSKI ROK ŐSZI IDŐSZAK Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese s seboj nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirko, računalo brez grafičnega zaslona in brez možnosti računanja s simboli, šestilo in dva trikotnika, lahko tudi ravnilo. Kandidat dobi dva ocenjevalna obrazca in dva konceptna lista. Engedélyezett segédeszközök: a jelölt töltőtollat vagy golyóstollat, ceruzát, radírt, csak műveleteket végző zsebszámológépet, körzőt és háromszögvonalzót vagy vonalzót hoz magával. A jelöt két értékelőlapot és két vázlatlapot is kap. SPLOŠNA MATURA ÁLTALÁNOS ÉRETTSÉGI VIZSGA Navodila kandidatu so na naslednji strani. A jelöltnek szóló útmutató a következő oldalon olvasható. Ta pola ima 0 strani, od tega 4 prazne. A feladatlap terjedelme 0 oldal, ebből 4 üres. RIC 007

2 M M NAVODILA KANDIDATU Pazljivo preberite ta navodila. Ne izpu{~ajte ni~esar! Ne obra~ajte strani in ne za~enjajte re{evati nalog, dokler Vam nadzorni u~itelj tega ne dovoli. Prilepite kodo oziroma vpi{ite svojo {ifro (v okvir~ek desno zgoraj na prvi strani in na ocenjevalna obrazca). V tej izpitni poli je 1 nalog, re{ujete vse, in sicer na strani, kjer je besedilo naloge. Ocenjevalci ne bodo pregledovali konceptnih listov. Pi{ite z nalivnim peresom ali s kemi~nim svin~nikom. ^e se zmotite, napisano pre~rtajte. Grafe funkcij ri{ite s svin~nikom. Pazite, da bo Va{ izdelek pregleden in ~itljiv. Pri re{evanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vmesnimi ra~uni in sklepi. Na strani 3 in 4 je standardna zbirka zahtevnej{ih formul, ki jih ni treba znati na pamet. Morda si boste s katero med njimi pomagali. Re{itev v izpitni poli ni dovoljeno zapisovati z navadnim svin~nikom. ^e ste nalogo re{evali na ve~ na~inov, nedvoumno ozna~ite, katero re{itev naj ocenjevalec to~kuje. Vsako nalogo skrbno preberite. Re{ujte premi{ljeno. Zaupajte vase in v svoje sposobnosti. [tevilo to~k, ki jih lahko dose`ete, je vam veliko uspeha. ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK Figyelmesen olvassa el ezt az útmutatót. Semmit se hagyjon ki. Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg ezt a felügyelő tanár nem engedélyezi. Ragassza vagy írja be kódszámát (a feladatlap első oldalának jobb felső sarkában levő keretbe és az értékelőlapokra). Ez a feladatlap 1 feladatot tartalmaz. Mindegyiket oldja meg, éspedig azon az oldalon, ahol a feladat található. Az értékelők a vázlatlapokat nem nézik át. Töltőtollal vagy golyóstollal írjon. A rossz válaszait húzza át. A függvénygrafikonokat ceruzával rajzolja be. Ügyeljen arra, hogy munkája áttekinthető és olvasható legyen. A feladat megoldásának világosan és korrekten kell mutatnia az eredményhez vezető utat, a köztes számításokkal és következtetésekkel együtt. A 3. és 4. oldalon található azoknak a képleteknek a standard gyűjteménye, amelyeket nem kell fejből tudnia, de egy részük talán segítségére lesz a feladatok megoldásában. A feladatlapra nem szabad ceruzával írni a megoldásokat. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egyértelműen jelölje, melyik megoldást értékeljék. Figyelmesen olvassa el mindegyik feladatot, majd megfontoltan oldja meg őket. Bízzon önmagában és képességeiben. Összesen 80 pont érhető el. Eredményes munkát kívánunk!

3 M M 3 Formule n+ 1 n+ 1 n n 1 n n n 1 n a + b = ( a + b)( a a b + a b... + a b ab + b ) Evklidov in višinski izrek v pravokotnem trikotniku: a = ca 1, b = cb 1, vc = ab 11 Polmera trikotniku očrtanega in včrtanega kroga: R = abc 4S, r = S s, s = a + b + c Kotne funkcije polovičnih kotov: sin x =± 1 cosx ; cos x =± 1+ cosx ; tan x = sin x 1+ cosx Kotne funkcije trojnih kotov: sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x, cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x Adicijski izrek: sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y tan x + tan y tan( x + y) = 1 tanx tany Faktorizacija: x + y x y x + y x y sin x + sin y = sin cos, sin x sin y = cos sin x + y x y x + y x y cos x + cosy = cos cos, cos x cos y = sin sin sin( x ± y) sin ( y ± x) tan x ± tan y =, cotx ± coty = cos x cos y sin x sin y Razčlenitev produkta kotnih funkcij: sin x sin y = 1 [ cos( x + y) cos( x y) ] cos x cos y = 1 [ cos( x + y) + cos( x y) ] sin x cos y = 1 [ sin ( x + y) + sin ( x y) ] Razdalja točke (, 0 0 0) 0 0 (, p) = dt 0 T x y od premice ax + by c = 0 : ax + by c a + b Ploščina trikotnika z oglišči Ax (, y 1 1), B( x, y ), (, 3 3) S = 1 ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) Elipsa: e = a b, ε = e a ; a > b Hiperbola: e = a + b, ε = e a, a je realna polos Parabola: p y = px, gorišče G (,0 ) Integrala: dx 1 arc tan x C x + a = a a, dx a x C x y : = arc sin x + C a

4 4 M M Képletek n+ 1 n+ 1 n n 1 n n n 1 n a + b = ( a + b)( a a b + a b... + a b ab + b ) A derékszögű háromszög magasságtétele és befogótétele: a = ca 1, b = cb 1, v c = ab A háromszög köré írt kör és a háromszögbe írt kör sugara: R = abc 4S, r = S s, s = a + b + c A félszögek szögfüggvényei: sin x =± 1 cosx ; cos x =± 1+ cosx ; tg x = sin x 1+ cosx A szög háromszorosának szögfüggvényei: sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x, cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x Addíciós tételek: sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y tgx + tgy tg( x + y) = 1 tgx tgy Tényezőkre bontás: x + y x y x + y x y sin x + sin y = sin cos, sin x sin y = cos sin x + y x y x + y x y cos x + cosy = cos cos, cos x cos y = sin sin sin( x ± y) sin ( y ± x) tgx ± tgy = cos x cos y, ctgx ± ctgy = sin x sin y A szögfüggvények szorzatának felbontása: sin x sin y = 1 [ cos( x + y) cos( x y) ] cos x cos y = 1 [ cos( x + y) + cos( x y) ] sin x cos y = 1 [ sin ( x + y) + sin ( x y) ] A 0( 0, 0) T x y pont távolsága az ax + by c = 0 egyenestől: 0 0 ( 0, p) = dt ax + by c a + b Az Ax (, y ), B( x, y ), C ( x, y ) csúcsú háromszög területe: S = 1 ( x x1)( y3 y1) ( x3 x1)( y y1) Ellipszis: e = a b, ε = e a ; a > b Hiperbola: e = a + b, ε = e a, az a valós féltengely p =, fókuszpont G (,0) Parabola: y px Integrálok: dx 1 arc tg x a a C x + a = +, dx = arc sin x C a + a x 11

5 M M V koordinatni sistem narišite množico točk T( x, y ), ki ustreza pogojema 1 x 3 in 1 y. Osenčite nastali lik in izračunajte njegovo ploščino. A koordináta-rendszerbe rajzolja be azon T( x, y ) pontok halmazát, amelyek eleget tesznek az 1 x 3 és a 1 y feltételeknek. Satírozza be a kapott síkidomot, és számítsa ki a területét. (7 točk/pont) y x

6 6 M M 0. V enakokrakem trikotniku ABC so dolžine stranic c = AB = 4 cm, a = BC = AC = 6 cm. Izračunajte ploščino trikotnika in kot β = ABC. Zapišite natančno vrednost ploščine, kot β pa zaokrožite na stotinko stopinje. Az ABC egyenlő szárú háromszögben az oldalak hossza c = AB = 4 cm, a = BC = AC = 6 cm. Számítsa ki a háromszög területét és a β = ABC szöget. Írja fel a terület pontos értékét, a β szöget pedig kerekítse századfok pontosságra. (6 točk/pont)

7 M M Izračunajte odvode funkcij: f ( x) = 3 x, g( x) = x sin x, h 1 ( x x ) = +. Odvod funkcije h( x ) 1 x poenostavite. Számítsa ki az f ( x) = 3 x, g( x) = x sin x, h 1 ( x x ) = + függvények deriváltjait. A h( x ) 1 x függvény deriváltját egyszerűsítse. (8 točk/pont)

8 8 M M 04. V kompleksni ravnini narišite sliko kompleksnega števila z = 3i. Koliko je absolutna vrednost tega kompleksnega števila? Izračunajte z in 1 z. A komplex számsíkon rajzolja meg a z = 3i komplex szám ábráját. Mennyi az említett komplex szám abszolút értéke? Számítsa ki: z és 1 z. Im (7 točk/pont) i 0 1 Re

9 M M Graf kvadratne funkcije f ( x) = ax + bx + c poteka skozi točke A( 1, 0), B ( 0, 1) in C ( 1, 5). Izračunajte števila a, b in c ter zapišite predpis funkcije f. Az f ( x) = ax + bx + c másodfokú függvény az A( 1, 0), B ( 0, 1) és C ( 1, 5) pontokon halad át. Számítsa ki az a, b és c számokat, és írja fel az f függvény hozzárendelését. (6 točk/pont)

10 10 M M 06. V dani koordinatni sistem narišite hiperbolo 4x y = 4 (narišite tudi asimptoti). Izračunajte in zapišite presečišči hiperbole in premice y = x + 1. Az adott koordináta-rendszerben rajzolja meg a 4x y = 4 hiperbolát (rajzolja meg az aszimptotáit is). Számítsa ki és írja fel a hiperbola és az y = x + 1 egyenes metszéspontjait. (8 točk/pont) y x

11 M M Rešite enačbo logx ( x + 30) =. Oldja meg a logx ( x + 30) = egyenletet. (5 točk/pont)

12 1 M M 08. V aritmetičnem zaporedju a1, a,, a 4,8... izračunajte a 1, a, a 4, a 671 in vsoto prvih 671 členov. Az a1, a,, a 4,8... számtani sorozatban számítsa ki az a 1, a, a 4, a 671 tagokat, és az első 671 tag összegét. (8 točk/pont)

13 M M 13 π 09. Pokažite, da je za vsak x vrednost izraza sin x + sin ( x ) enaka 1. π Bizonyítsa, hogy minden x esetében a sin x + sin ( x ) kifejezés értéke egyenlő 1-gyel. 4 4 (5 točk/pont)

14 14 M M 10. V posodi so 4 modre in 6 rumenih kroglic. Iz posode na slepo izvlečemo kroglici. Izračunajte verjetnost, da sta tako dobljeni kroglici iste barve. Egy fazékban 4 kék és 6 sárga golyó van. A fazékból találomra golyót húzunk ki. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a két kihúzott golyó egyenlő színű. (6 točk/pont)

15 M M Dan je vektor a = (,1). Izračunajte točno dolžino vektorja a. Zapišite komponenti vektorja b, če je b = 5 in a b = 10. Adott az a = (,1) vektor. Számítsa ki az a vektor pontos hosszát. Írja fel a b vektor koordinátáit, ha b = 5 és a b = 10. (8 točk/pont)

16 16 M M 1. Število a = 1, 4 zapišite v obliki okrajšanega ulomka. Za dano število a izračunajte vrednost izraza ( 1 1 a ) 1. Rezultat zapišite v obliki okrajšanega ulomka. Nalogo rešite brez uporabe žepnega računala. Az a = 1, 4 számot írja fel rövídített tört alakjában. Az a adott szám esetén számítsa ki az ( 1 1 a ) 1 kifejezés értékét. Az eredményt írja fel rövídített tört alakjában. A feladatot zsebszámológép használata nélkül oldja meg! (6 točk/pont)

17 M M 17 PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

18 18 M M PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

19 M M 19 PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

20 0 M M PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL