Szigetek A téglalap szigetek összeszámlálásának vizsgálata és tanítása számítógépes környezetben Vajda Róbert SZTE TTIK, Bolyai Intézet, Analízis Tanszék MIDK Debrecen, 2010. jan. 22. - Sziget fogalom bevezetése, egy kombinatorikai probléma - Standard reprezentációk, kísérleti matematika, játékok - 1D/2D-s minták felismerése, rekurzív összefüggések - Alsó becslés a szigetek maximális számára - Felső becslés gráfreprezentációval - Kitekintés
2 0111DebrPersSlide.nb Szigetek Intuició : Világ téglalap alakú rács cellákkal, minden cellának van egy magassága h Sziget : kiemelkedik a környezetéből, cellák magasabbak, mint a szomszédos cellák Megjegyzések. Egy konfiguráció esetén több sziget is lehet, a teljes rács mindig sziget.
0111DebrPersSlide.nb Probléma Mennyi sziget lehet egy rögzített méretű rácson? A modell egyszerûsítése. Csak téglalap alakú szigetek téglalap alakú rácson, 8-as szomszédsági reláció: ÉNY É ÉK NY. K DNY D DK
4 0111DebrPersSlide.nb Definíció Legyen rögzített egy mxn-es rács (m, n ),rajta egy konfiguráció (rögzített cellamagasságok), legyen R a rács egy téglalap alakú része. Jelölje az R-cellá k magasságainak minimumát min(r), a szomszédos cellák magasságainak maximumát max(n(r)). R sziget, ha min(r)>max(n(r)). Példa. A középső, 3x1-es tégla sziget, a teljes 3x3-as tégla sziget, a legalsó 1x3-as tégla nem.
0111DebrPersSlide.nb Kérdések Mennyi sziget lehet maximálisan egy 3x3-as rácson? Mennyi sziget lehet maximálisan egy nxn-as rácson? Mennyi sziget lehet maximálisan egy mxn-as rácson? Mennyi sziget lehet maximálisan egy mxn-as rácson, ha a magasságfüggvény értékkészletének számossága=d, pl. Rng(h)={1,2,,d}? Didaktikailag fontos
6 0111DebrPersSlide.nb Reprezentáció (számítógéppel) 2D 2D. Konfiguráció: Listák listája (egymásba ágyazott listák) A szigetrendszeren (konfiguráción) belül egy sziget egy {ba, jf} rendezett párral adott. Grafikai lehetőségek: szöveges információk+szinezés Grid 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, Dividers All
0111DebrPersSlide.nb Reprezentáció (számítógéppel) 2D configs33 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 3 ; Map Grid, Dividers All &, configs33, 3 2 3 1 1 1 3 2 3
8 0111DebrPersSlide.nb Reprezentáció (számítógéppel) 2D ColorList 1 Darker Green, 2 Green, 3 Yellow, 4 Darker Yellow, 5 Brown, 6 Darker Brown ; Map Grid. x_?numberq : Item x, Background x. ColorList, Dividers All &, configs33, 3 2 3 1 1 1 3 2 3 config55 5, 3, 2, 3, 5, 4, 3, 2, 3, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 5 ; Grid config55. x_?numberq : Item x, Background x. ColorList, Dividers All, ItemSize 3, 4, BaseStyle 14, FontFamily "Times", RGBColor 1, 0, 0, Bold 5 3 2 3 5 4 3 2 3 4 1 1 1 1 1 4 3 2 3 4 5 3 2 3 5? TextStyle TextStyle is an option for graphics functions and for Text which specifies the default style and font options with which text should be rendered.
0111DebrPersSlide.nb Reprezentáció (számítógéppel) 2D
10 0111DebrPersSlide.nb Reprezentáció (számítógéppel) 3D ShowConfig Is_ : Module g1, rn, cn, rn, cn Dimensions Is ; g1 Table Cuboid j, i, 0, j 1, i 1, Is j, i, i, cn, j, rn Graphics3D ShowConfig configs33 2, Boxed False, ImageSize 200, 200, ViewPoint 1,.2, 2
0111DebrPersSlide.nb Reprezentáció (számítógéppel) 3D ShowConfigb Is_ : Module g1, rn, cn, rn, cn Dimensions Is ; g1 Table Glow Is j, i. ColorList, Black, Cuboid j, i, 0, j 1, i 1, Is j, i, i, cn, j, rn Graphics3D ShowConfigb configs33 1, Boxed False, ImageSize 200, 200, ViewPoint 2, 1, 2
12 0111DebrPersSlide.nb Reprezentáció (számítógéppel) 3D 3D 'felü leti' felirattal
0111DebrPersSlide.nb Interaktív játék 1(Manipulate) m 2 n 3 Init 1st Game Islands : Reach the Maximum 1
14 0111DebrPersSlide.nb Auxs
Téglalap szigetek négyzetes rácson (brute force) 0111DebrPersSlide.nb
16 0111DebrPersSlide.nb Mintafelismerés, adatbányászat 2D szimmetriák Grid 3, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 3. x_? NumberQ : Item x, Background x. ColorList, Dividers All, ItemSize 2, 3 3 1 3 3 2 3 Ha a 2 1 2 optimális konf., akkor a 1 1 1 konf. is az! 3 1 3 Osztályozás, lényegileg kül. opt. konf. száma... 3 2 3
0111DebrPersSlide.nb Mintafelismerés, adatbányászat 2D szimmetriák, 2x2 n=2, h=2; szigetek száma 2; optimális konfigurációk száma 8. Map Grid, Dividers All &, o22 1 1 1 2, 1 1 2 1, 1 1 2 2, 1 2 1 1, 1 2 1 2, 2 1 1 1, 2 1 2 1, 2 2 1 1 n=2, h=3; szigetek száma 3; optimális konfigurációk száma 8. Map Grid, Dividers All &, o23 1 1 2 3, 1 1 3 2, 1 2 1 3, 1 3 1 2, 2 1 3 1, 2 3 1 1, 3 1 2 1, 3 2 1 1 n=2,h=4; szigetek száma 3; optimális konfigurációk száma 48. Map Grid, Dividers All &, o24 1 1 2 3, 1 1 2 4, 1 1 3 2, 1 1 3 4, 1 1 4 2, 1 1 4 3, 1 2 1 3, 1 2 1 4, 1 2 3 4, 1 2 4 3, 1 3 1 2, 1 3 1 4, 1 3 2 4, 1 4 1 2, 1 4 1 3, 1 4 2 3, 2 1 3 1, 2 1 3 4, 2 1 4 1, 2 1 4 3, 2 2 3 4, 2 2 4 3, 2 3 1 1, 2 3 1 4, 2 3 2 4, 2 4 1 1, 2 4 1 3, 2 4 2 3, 3 1 2 1, 3 1 4 1, 3 1 4 2, 3 2 1 1, 3 2 4 1, 3 2 4 2, 3 4 1 1, 3 4 1 2, 3 4 2 1, 3 4 2 2, 4 1 2 1, 4 1 3 1, 4 1 3 2, 4 2 1 1, 4 2 3 1, 4 2 3 2, 4 3 1 1, 4 3 1 2, 4 3 2 1, 4 3 2 2
18 0111DebrPersSlide.nb Mintafelismerés, adatbányászat 2D szimmetriák, 3x3 n=3, h=2; szigetek száma 5; optimális konfigurációk száma 1. Timing MaxNoOfIslands 0, 511, 2, 3 1.5321, 5, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2 o32 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2 ; Map Grid, Dividers All &, o32 2 1 2 1 1 1 2 1 2
0111DebrPersSlide.nb Mintafelismerés, 2D szimmetriák, 3x3 n=3, h=3; szigetek száma 7; optimális konfigurációk száma 2. AbsoluteTiming MaxNoOfIslands 0, 3^9 1, 3, 3 47.492551, 7, 3, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 3 o33 3, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 3 ; Map Grid, Dividers All &, o33 3 1 3 2 1 2 3 1 3, 3 2 3 1 1 1 3 2 3
20 0111DebrPersSlide.nb Mintafelismerés, adatbányászat 1D Eredmények összegzése 5x5-ig. (Kovács Zoltán, Makay Géza C programjai segítségével) hnt n h, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 5, 5, 10, 3, 1, 3, 7, 9, 14, 4, 1, 3, 7, 10, 16, 5, 1, 3, 7, 11, 17, 6, 1, 3, 7, 11, 17 ; Grid hnt, Dividers All n h 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 5 5 10 3 1 3 7 9 14 4 1 3 7 10 16 5 1 3 7 11 17 6 1 3 7 11 17 Oszlopokban szereplô sorozatok 'majdnem konstans' sorozatok. Honnantól stabilizálódnak? Van-e zárt alak? Melyik az a sorozat, amlyiknek az elsô pár tagja rendre...?
0111DebrPersSlide.nb Mintafelismerés, adatbányászat 1D 1. Maximális szigetszám egy nxn-es rácson. Melyik az a sorozat, amlyiknek az első pár tagja rendre 1, 3, 7, 11, 17,...? Table Floor n 2 2 n 1 2, n, 8 1, 3, 7, 11, 17, 23, 31, 39 2. Maximális szigetszám egy nxn-es rácson, ha magasság max=2 Melyik az a sorozat, amelyiknek az első pár tagja rendre 1, 2, 5, 5, 10,10,...? Table Floor n 1 2 2 1, n, 8 2, 2, 5, 5, 10, 10, 17, 17 Kiterjesztés mxn-es rácsokra. Van-e a kül. méretű optimális konfigurációk között összefüggés?
22 0111DebrPersSlide.nb Mintafelismerés, adatbányászat 2D Van-e a különböző méretű optimális konfigurációk között összefüggés? Rekurzió? Példa. 2x5-ö s optimális konfiguráció ill. a 2x3-as rácson egy optimális konfiguráció. 2 1 3 2 3 3 1 4 2 4 2 1 2 3 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 3 1 3 1 1 1 3 1, 2 1 2 3 1 3 Grid Style 2, Gray, Style 1, Gray, "2" Style "1", Red, "1" Style "1", Red, "2" Style "1", Red, Style 3, Gray, Style 1, Gray, "3" Style "1", Red, "1" Style "1", Red, "3" Style "1", Red, Dividers All, Grid 2, 1, 2, 3, 1, 3, Dividers All
0111DebrPersSlide.nb Konstruktív alsó becslés, vágás, rekurzió 2xn Vágásos technika. Alsó becslés a szigetek maximális számára a 2xn-es rácson: a(n)=a(n-2)+3 f 2, n 3 n 1 2 Eredmény: a n. RSolve a n a n 2 3, a 1 2, a 2 3, a n, n 1 1 4 1 1 n 6 n Table, n, 10 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15 Table Floor 3 n 1 2, n, 10 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15
24 0111DebrPersSlide.nb Konstruktív alsó becslés, vágás, rekurzió mxn Általánosítás. Teljesen hasonló módon adódik, hogy az mxn-es téglalap alakú táblán a szigetek maximális száma legalább: f m, n m n m n 1 2 Felső becslés. Tudunk-e jó felső becslést adni? Mekkora a két becslés között a 'ré s'?
0111DebrPersSlide.nb Eredmények, kitekintés Czédli G. [2007]: Az mxn-es téglalap alakú táblán a szigetek maximális száma pontosan: f m, n m n m n 1, hálóelméleti 2 eszközökkel Horváth-Né meth-pluhá r [2008]: Háromszög szigetek száma háromszög rácson, becslések Barát-Hajnal-Horvá th [2008]: A téglalap szigetek maximális száma elemi eszközökkel Didaktikai cikkek Máder-Vajda [2009]: Téglalap szigetek tanítása elemi eszközökkel Horváth-Má der-tepavcevic [2009]: Czédli tipusú szigetek bevezetése
26 0111DebrPersSlide.nb Felső becslés, gráfok Egy konfigurációban, egy szigetrendszerben az egyes szigetek topológiai jellemzése: vagy páronként diszj. vagy szigorú tartalmazás részbenrendezés, a konfigurációhoz tartozó gráf 2 3 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 3 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
0111DebrPersSlide.nb 27 A szigetek egy speciális leszámlálása (6=1+2+2+1) n 1 Demo 1 Islands and Sea Levels In[17]:= IslandsConfigb 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 3, 1, 4, 2, 5, 3, 6, 4, 7 ; IslandsConfigb 2, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 4, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2 ; MaxLevel Island_ : Max Flatten Island ; ShowConfigc Is_ : Module g1, rn, cn, rn, cn Dimensions Is ; g1 Table Cuboid j, i, 0, j 1, i 1, Is j, i, i, cn, j, rn ; IList ;
28 0111DebrPersSlide.nb Gráfelméleti lemma Lemma. Tegyük fel, hogy T egy olyan fagráf, amelyben minden nemlevél csúcsnak legalább 2 fia van. Jelölje V a csúcsok számát, l a levelek számát. Ekkor V 2 l 1.
0111DebrPersSlide.nb Módosított asszociált gráf 'álszigetekkel' 2 3 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 3 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2,, coll Black, Black, Black, Black, Black, Black, Black, Black, White ; List gg45a, TreePlot 1 2, 1 3, 2 4, 2 5, 4 8, Top, 1, PlotStyle Black, PointSize.02, Thickness 0.008, TreePlot 1 2, 1 3, 2 4, 2 5, 4 8, 4 9, Top, 1, PlotStyle Black, PointSize.02, Thickness 0.008, VertexRenderingFunction coll 2, EdgeForm Black, Disk,.03, Black &
30 0111DebrPersSlide.nb Lemma alkalmazása (l=s+d) d: álszigetek, s: minimális szigetek mxn-es téglarács (m+1)(n+1) rácspont minimális szigetek legalább 4, 'á lszigetek' legalább 2 rácspontot lefednek. Az egyes szigetekhez tartozó rácspontok különböznek. V d 2 l 1 d 2 s d 1 1 2 n 1 m 1 1 Felső becslés a téglalap szigetek számára f m, n m n m n 1 2 Koll. Pontosan meghatároztuk a szigetek számát!
0111DebrPersSlide.nb Kitekintés 4-szomszé dság, 3D, háromszög szigetek,... Theorema: Formalizáció a predikátumlogika nyelvén, effektíven eldönthető predikátumok, effektíven kiszámítható függvények, automatikus tételbizonyítás Empirikus, kísérleti matematika J. Borwein et al (2004): Experimentation in Mathematics (Computational Paths to Discovery) vajdar@math.u- szeged.hu
32 0111DebrPersSlide.nb Bibliográfia Czédli: The Number of Rectangular Islands by Means of Distributive Lattices, European Journal of Combinatorics, 30 (2009) 1, 208-215 Horváth-Né meth-pluhá r: The Number of Triangular Islands on a Triangular Grid, Periodica Mathematica Hungarica, 58 (2009), 25-34. Barát-Hajnal-Horvá th: Elementary Proof Techniques for the Maximum Number of Islands (submitted to the European Journal of Combinatorics) Máder-Vajda: Elementary Aproaches to the Teaching of the Combinatorial Problem of Rectangular Islands (submitted to IJCML) Horváth-Má der-tepavcevic: Introducing Czédli-Type Islands (submitted to The College Mathematical Journal)