) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? (6 pont) b) Jelölje e azokat az egyeneseket, amelynek egyenlete x + y = b, ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú 4 egység sugarú körnek? (8 pont) a) A megadott x + y = 0 egyenletű egyenes az A ( 5;0) és ( 0;0 ) B pontokban metszi a tengelyeket Az origóból az egyenesre bocsátott, rá merőleges egyenes egyenlete x y = 0 A két egyenes D metszéspontjának koordinátái: D 4; ( ) A megadott feltételeknek három derékszögű háromszög felel meg A 5;0, O 0;0, B 0;0 AOB háromszög, ahol ( ) ( ) ( ) ADO háromszög, ahol A ( 5;0 ), D ( 4, ), O ( 0;0) BDO háromszög, ahol B ( 0;0 ), D ( 4, ), O ( 0;0) ( pont) b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása A kör egyenlete: x + y = 6 Az egyenes egyenletéből y = b x. Behelyettesítés után: x ( b x ) + = 6 5x 4bx + b 6 = 0 A kapott másodfokú egyenletnek van megoldása, ha a D diszkrimináns nem negatív D = 0 4b 0 ahonnan b 4 5 A b paraméter lehetséges értékei tehát a 4 5; 4 5 elemei Összesen: 4 pont ) A PQRS négyszög csúcsai: P ( ; ), Q ( ; ), R ( 6;) és ( 5; 5) S. Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat megfelelő mezőibe. Válaszát indokolja, támassza alá számításokkal! a) A állítás: A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. (4 pont) b) B állítás: A PQRS négyszög húrnégyszög. (4 pont) c) C állítás: A PQRS négyszögnek nincs szimmetriacentruma. (5 pont)
005-0XX Emelt szint Igaz Hamis A * B * C * a) Az A állítás hamis mert van derékszöge. Például SRQ szög 7; RS ; 7 mert RQ ( ) és ( ) és így RQ RS = 0, így a négyszög R-nél lévő szöge derékszög b) A B állítás igaz mert a PQRS négyszögben az R csúccsal szemközti P csúcsnál lévő szög is derékszög. ;4 PS 8; 4, ezért PQ PS = 0 ugyanis PQ ( ) és ( ) Így a PQRS négyszög szemközti szögeinek összege 80 (a húrnégyszög tételének megfordítása miatt), tehát a négyszög húrnégyszög c) A C állítás igaz mert ha lenne a négyszögnek szimmetriacentruma, akkor a PQRS négyszög RQ és a paralelogramma lenne. Ehhez például az kellene, hogy az ( 7;) PS ( 8; 4) vektorok ellentett vektorok legyenek. ( pont) Ez csak úgy teljesülne, ha az egyik oldalvektor koordinátái ( ) -szeresei a másik vektor koordinátáinak. Ez viszont nem teljesül. ( pont) Összesen: pont ) Három ponthalmazt vizsgálunk a derékszögű koordináta-rendszer S síkjában. Az A halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátái: 4x y 8 A : = P x; y S 4x y 8 ;, azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: x + y 6x + 4y 0, B : = P x; y S x + y 6x + 4y 0, azaz ( ) a C halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: y = 4, azaz C : P ( x; y S ) y 4 = =. a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben a három halmazt! Fogalmazza meg, milyen geometriai alakzatok az A, a B és a C halmaz pontjai! (8 pont) b) Ábrázolja újabb koordináta-rendszerben a B\ A halmazt! Fogalmazza meg pontosan, hogy milyen geometriai alakzatot alkot ez a ponthalmaz? (4 pont) c) Ábrázolja a B C halmazt! Ennek a ponthalmaznak melyik P ( x; y ) pontja van a legközelebb, illetve a legtávolabb a koordináta-rendszer origójától? (4 pont) - 4 -
4 a) Az A halmaz pontjai a y = x 6 egyenletű egyenes alatti zárt félsík pontjai Az A halmaz ábrája A B halmaz pontja az ( x ) ( y ) + + = 5 egyenletű kör és a kör belső pontjai K ;, sugara r = 5 A kör középpontja ( ) Koordinátageometria - megoldások A B halmaz ábrája ( pont) A C halmaz pontjai az y = és y = egyenletű párhuzamos egyenesek pontjai A C halmaz ábrája b) A B\ A halmaz ábrázolása: A B\ A halmaz pontjai egy félkörlemez pontjai, amihez a félkörív és a belső pontok hozzá tartoznak, de a kör DE átmérője nem. (Az 0; 6 E 6;.) ( pont) átmérő végpontjai D ( ) és ( ) A ponthalmaz pontjai a DE átmérő fölött vannak. c) A B C halmaz a B ponthalmaz határoló körének két párhuzamos húrja; 6;, valamint A húrok végpontjai: ( 0; ) és ( ) ( ; ) és ( 8; ). (ez utóbbi húr egyben átmérő is) A B C halmaz ábrázolása: 8; pont Az origótól a legmesszebb a ( ) legközelebb a ( 0; ) és a ( ) 0; pont van ( pont) Összesen: 6 pont 4) a) Ábrázolja a 0;6 intervallumon értelmezett hozzárendeléssel megadott függvényt b) Adja meg a y x 8x pontjában húzott érintőjének egyenletét. x x x 8 + ( pont) P 5; 4 = + egyenlettel megadott alakzat ( ) ( pont) - 5 -
005-0XX Emelt szint a) A helyes parabola ábrázolása az adott intervallumon ( pont) b) A parabola egy adott pontjába húzott érintő meredekségét itt az első derivált segítségével kaphatjuk meg. y = x 8 (5 pont) Az érintési pont első koordinátájának y 5 = = m ( pont) behelyettesítésével: ( ) y = mx + b P ( 5; 4) 4 = 0 + b ( pont) b = 4 Az érintő egyenlete: y = x -4 ( pont) Összesen: 4 pont 4 5) Egy háromszög két oldalegyenese az x tengely és az y = x egyenletű egyenes. Ismerjük a háromszög beírt körének egyenletét is: ( x ) ( y ) 4 + = 4. Írjuk fel a háromszög harmadik oldalegyenesének egyenletét, ha a háromszög egyenlő szárú és a) az alaplapja az x tengelyre illeszkedik (7 pont) b) az adott oldalegyenesek a háromszög száregyenesei! (9 pont) a) A keresett háromszög egyik csúcsa a koordinátarendszer origója, a háromszög K 4; beírt körének középpontja ( ) Az egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye áthalad ezen a középponton Ha az ABC háromszög alapjának egyenese az x tengely, akkor a szimmetriatengelyének egyenlete x = 4 A és AB oldalél F felezőpontja Mivel ( 0;0) ( 4;0 ), ezért ( 8;0) B 4 A C csúcs az AC oldalegyenes y = x és x = metszéspontja a szimmetriatengely ( 4) C 6 4; 6 A BC oldalegyenes egy irányvektora BC 4; Így a BC oldalegyenes egyenlete 4x + y = - 6 -
b) Ha P ( 0;0) és a PQR háromszög alapjának egyenese a QR egyenes, akkor a PK a QR egyenes egy normálvektora. PK = 4;. A QR egyenes egyenlete ( ) - 7 - Koordinátageometria - megoldások x + y = c, ahol c valós A megadott kör akkor lesz a QPR háromszög beírt köre, ha a QR egyenes érinti a kört. Vagyis a körnek és az egyenesnek egy közös pontja van. Tehát az a c felelhet meg, amelyre az alábbi egyenletrendszernek egyetlen gyöke van: x + y = c ( x 4) + ( y ) = 4 Az első egyenletből y-t kifejezve, a másodikba behelyettesítve és rendezve kapjuk, hogy: 5x 4cx + c 4c + 6 = 0 ( pont) Egyetlen gyököt pontosan akkor kapunk, ha a diszkrimináns nulla, vagyis D = 4c + 80c 0 = 0 Ebből c = 0 + 0, c = 0 0 A c értéke nem felel meg, mert ekkor a kör a háromszög kívülről érintő köre lenne A keresett QP egyenes egyenlete: x + y = 0 + 0 Összesen: 6 pont K t = t + 6t + 5 polinom. Jelölje H a koordinátasík azon 6) Adott a ( ) P ( x; y ) pontjainak halmazát, amelyekre K ( x ) K ( y ) 0 +. a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. C ; Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az ( ) ponttól egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: f :, f x = x + 6x + 5 ( ) (9 pont) b) Számítsa ki az f függvény grafikonja és az x tengely által közbezárt síkidom területét! (7 pont) a) K ( x ) + K ( y ) = x + 6x + 5 + y + 6y + 5 0 A bal oldali kifejezés teljes négyzetté kiegészítéssel a következő alakra hozható: ( x ) ( y ) + + + 8 a H halmaz a ( ;) középpontú 8 sugarú zárt körlap A kérdéses valószínűség a geometriai modell alapján a két koncentrikus körlap területének arányaként számolható ( pont) C ; középpontú, egység sugarú zárt körlap, A kedvező tartomány a ( ) ennek területe 4 A teljes tartomány a H halmaz, ennek területe 8 4 Így a keresett valószínűség P = = 8
005-0XX Emelt szint b) Az f függvény zérushelyei 5 és Mivel f főegyütthatója pozitív, a másodfokú függvény a két zérushelye között negatív értékeket vesz fel kérdéses terület a függvény két zérushely közötti integráljának -szerese x T = ( x + 6x + 5) dx = + x + 5x 5 5 ( pont) behelyettesítés után, a keresett terület nagysága. - 8 - Összesen: 6 pont 7) Az a és b vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: a ( cos t; sin t ) és b ( sin t; cos t ) 5 a) Adja meg a és b vektorok koordinátáinak pontos érékét, ha t az 6 számot jelöli! ( pont) b) Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge t = 5 6 esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) (5 pont) c) Határozza meg t olyan valós értékeit, amelyek esetén a és b vektorok merőlegesek egymásra! (7 pont) a) 5 5 acos ;sin = a 6 6 ; 5 5 bsin ;cos = b ; 6 6 4 4 b) Jelöljük a két vektor által bezárt szöget -val. A koordinátáival adott vektorok skaláris szorzata kétféleképpen is kiszámítható: ab = + = 4 4 8 illetve ab = a b cos Mivel a = és 0 0 b = = 6 4 Ezért 0 cos =, ebből cos = 0,005 4 8 0 Innen 78,4. Tehát a két vektor ebben az esetben kb. 78 -os szöget zár be. c) A két vektor akkor és csak akkor merőlege egymásra, ha ab = 0 A keresett t ismeretlent a szokásosabb módon x jelöli. Mivel ab = cos x sin x + sin x cos x, így a cos x sin x + sin x cos x = 0 egyenlet megoldása a feladat. Azonos átalakítással adódik: cos x sin x sin x + cos x = 0 ( ) Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha
- 9 - Koordinátageometria - megoldások cos x = 0 vagy sinx = 0 vagy sin x + cos x = 0 () x = + n, ahol n vagy () x = k, ahol k vagy () sin x + cos x = 0 A () alatti egyenletnek nem megoldásai azok az x számok, amelyek koszinusza 0, így az egyenlet megoldáshalmaza azonos a tgx = egyenletével Azaz x = + m, ahol m 4 A két vektor tehát pontosan akkor merőleges egymásra, ha t = n vagy t = + m, ahol nm, 4 Összesen: 4 pont 8) Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja C ( 0; 7) pont, a szárak hossza 5 egység. A háromszög másik két csúcsa (A, B) illeszkedik az y = x + egyenletű parabolára. 4 a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának további közös pontja D. Határozza meg a D pont koordinátáit! (4 pont) c) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve? (6 pont) a) A keresett két csúcs rajta van a C középpontú 5 egység sugarú körön. A kör egyenlete: x ( y ) + 7 = 5 A keresett pontokat a következő egyenletrendszer megoldása adja: y = x + 4 x + ( y 7) = 5 Az első egyenlet átalakításával: x = 4y + 4. Az x kifejezést behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk, hogy: y 8y = 0 Innen y = 0 és y = 8. Ezek közül csak az y = 0 ad megoldást Behelyettesítve az első egyenletbe: A keresett két pont: ( ) A ; 0 és B ( ; 0 ) x = 4. Innen x = és x = b) A BC egyenes egyenlete: 7x + y = 4 A D pont koordinátáit a 7x + y = 4 és a y = x + görbék B-től különböző 4 metszéspontjai adják. 7x x = gyökei x = és x =
005-0XX Emelt szint D ( ; 5 ) - 40 - (A másik száregyenes egyenlete: AC : 7x y = 4, közös pont pedig ( ) D ; 5.) c) Az ABC háromszög területe: AB m c 4 7 = = 4 A parabola két részre osztja a háromszöget. A kisebbik rész területének fele a szimmetria miatt: 4 x + dx = 4 0 ( pont) A háromszögnek parabolaív alá eső területe: 8 (területegység) ( pont) 8 A háromszögnek a parabolaív felé eső területe: 4 = 4 9) Az ABCD konvex négyszög oldalegyeneseinek egyenlete rendre: DA : x 4y 0 = 0 AB : x + 5y 0 = 0 te Összesen: 6 pont BC : 4x y + = 0 CD : 5x + y + 5 = 0 a) Igazolja, hogy a négyszög átlói az x és az y tengelyre illeszkednek, továbbá, hogy ennek a négyszögnek nincs derékszöge! (8 pont) b) Bizonyítsa be, hogy a négyszög húrnégyszög! (8 pont) a) az egyenes DA : x 4y 0 = 0 AB : x + 5y 0 = 0 BC : 4x y 0 x tengelyen lévő pontja y tengelyen lévő pontja 0 ;0 ( 0; 5) 0 ;0 ( 0;4 ) ;0 0;4 + = ( ) ( ) + + = ( ;0) ( 0; 5) CD : 5x y 5 0 A DA és az AB egyenesek metszéspontja az x tengely 0 A = ;0 pontja Az AB és a BC egyenesek metszéspontja az y tengely B = ( 0;4) pontja A BC és a CD egyenesek metszéspontja az x tengely C = ( ;0) pontja A CD és a DA egyenesek metszéspontja az y tengely D = ( 0; 5) pontja A csúcspontok alapján beláttuk, hogy az ABCD négyszög AC átlója az x, a BD átlója pedig az y tengelyre illeszkedik Felírjuk az oldalegyeneseket és egy-egy normálvektorukat ( pont)
az egyenes DA : x 4y 0 0 Koordinátageometria - megoldások egy normálvektor ; 4 = ( ) + = ( ;5 ) + = ( 4; ) + + = ( 5; ) AB : x 5y 0 0 BC : 4x y 0 CD : 5x y 5 0 A normálvektorok között és ezért az egyenesek közt sincs két egymásra merőleges (skalárszorzatuk nem 0), ezért az ABCD négyszögnek nincs derékszöge b) Legyen = BCD és = DAB Vektorok skalárszorzatával fogjuk kiszámítani két szemközti szög CB CD koszinuszát. cos = CB CD ahol CB = ( ;4) és ( ; 5) CD = CB CD =, CB = 5 és CD = 4 cos = 5 4 AB AD cos =, ahol AB AD AB 0 = ;4 és AD 0 = ; 5 0 544 5 AB AD =, AB = és CD = 9 cos = 5 4 A és az szögek tehát kiegészítő szögek, az ABCD négyszög húrnégyszög. Összesen: 6 pont 0) Az x = y egyenletű parabola az x + y 8 egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konvex rész területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét! (6 pont) Az x + y = 8 egyenletű kör középpontja és a parabola tengelypontja is az origó (O) ( pont) A metszéspontok meghatározása: y = x x + y = 8 y + y 8 = 0 ( pont) y = y = 4 amelyek közül az y = a feladatnak megfelelő - 4 -
005-0XX Emelt szint A CD húr a körlapból egy olyan körszeletet vág le, amelynek a középponti szöge ( = 90 ), mert az OD és OC is egy-egy négyzet átlója Tkörszelet = r ( sin ) = így a területe: ( pont) = 8 sin = 4 A parabolából a CD húr által levágott parabolaszelet területe: x x x Tparabolaszelet = TABCD dx = 4 = x (5 pont) x 4 4 6 = 8 = 8 = 6 A konvex rész területe: 6 T = Tkörszelet + Tparabolaszelet = 4+ = + 4 Összesen: 6 pont ) Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az x + y + 6x + 4y = 0 egyenletű kör. Ebbe a körbe szabályos háromszöget írunk, amelynek egyik csúcsa A ( ; ). a) Számítsa ki a szabályos háromszög másik két csúcsának koordinátáit! Pontos értékekkel számoljon! ( pont) b) Véletlenszerűen kiválasztjuk az adott kör egy belső pontját. Mekkora a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a tekintett szabályos háromszögnek is belső pontja? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! (5 pont) a) Teljes négyzetté alakítással és rendezéssel a kör egyenlete: ( x ) ( y ) + + + = 6 innen a kör középpontja K ( ; ), sugara r = 4 A kör K középpontja az ABC szabályos háromszög súlypontja. Az AK szakasz a háromszög AF súlyvonalának kétharmada F 5;. ahonnan ( ) A szabályos háromszög AF súlyvonala egyben oldalfelező merőleges is így a BC oldalegyenes az AF súlyvonalra F-ben állított merőleges egyenes A BC egyenes egyenlete tehát x = 5 A kör egyenletébe behelyettesítve: y = és y = ( pont) A szabályos háromszög másik két csúcsa: B ( 5; ) és C ( 5; ) b) A kérdéses valószínűség a beírt szabályos háromszög és a kör területének hányadosa ( pont) A kör területe: = r Tk - 4 -
Koordinátageometria - megoldások r sin0 r A szabályos háromszög területe: Th = = 4 Th A keresett valószínűség: P 0, 4 T 4 k ) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik illeszkedik a P ( ;5) pontra, valamint az x + y = 4 és x + y = 6 egyeneseket olyan pontokban metszi, amelyek első koordinátájának különbsége. (6 pont) A feltételek és az adatok alapján a keresett egyenes nem lehet párhuzamos az y tengellyel, ezért egyenletét kereshetjük az y = mx + b alakban Mivel a P ( ;5 ) pont illeszkedik az egyenesre, ezért 5= m+ b ahonnan b = 5 m és az így keresett egyenes egyenlete y = mx + 5 m Az adott egyenletű egyenesek és a keresett egyenes metszéspontjának első koordinátáját a megfelelő egyenletekből álló paraméteres egyenletrendszerekből határozhatjuk meg. x + y = 4 y = mx + 5 m y-t az első egyenletbe behelyettesítve és rendezve: ( ) m + x = m Mivel m = esetén a két adott egyenessel párhuzamos egyenest kapunk, ezért m m és x = m + x + y = 6 Az egyenletrendszerből az előzőhöz hasonló módon kapjuk, y = mx + 5 m m + hogy x = m + A feltétel szerint x x = vagy x x = 5 Az első esetben m = a második esetben m = A kapott értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy 5 b =, illetve b = A feltételeknek eleget tevő egyenesnek egyenlete: 5 5 y = x + ( 5x + y = 5) 7 y = x + ( x + y = 7) Összesen: 6 pont 7-4 -
005-0XX Emelt szint ) Az y ax b ;6 pontra. Tudjuk, hogy a 0. Jelölje az x tengely és az egyenes metszéspontját P, az y tengely és az egyenes metszéspontját pedig Q. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre az OPQ háromszög területe a legkisebb, és számítsa ki a területét (O a koordináta-rendszer origóját jelöli)! (6 pont) = + egyenletű egyenes illeszkedik a ( ) Mivel a ( ;6 ) pont rajta van az egyenesen, ezért 6 a b = + és b = 6 a Ezzel az egyenes egyenlete: y = ax + 6 a 6 Ez az egyenest a P ;0pontban, a Q 0;6 a pontban metszi az y tengelyt a ( ) Mivel a 0, ezért 6 és 6-a is pozitív a A levágott háromszög területe: T ( a ) = ( 6 a ) Ebből: T ( a ) 6 a 8 = a a a T a a 0 függvény deriváltja nulla Ennek a minimuma ott van, ahol ( ) ( ) 8 T ( a) = + a ( pont) ez 0, ha a = vagy a = Mivel a 0, ezért a = T 0 Ez valóban minimumhely, mert ( ) Ha a =, akkor b = A keresett egyenes egyenlete: y = x + A legkisebb terület 4 egység. Összesen: 6 pont 4) Az ABC háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: AB : y = 0 BC : x + 0y = 0 CA : y = x 4 a) Számítsa ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit! (7 pont) b) Számítsa ki a háromszög B csúcsnál lévő belső szögét! (4 pont) - 44 -
a) Az y = 0 egyenest, vagyis az x tengelyt x + 0y = 0 egyenes a B ( 0; 0) pontban ( pont) az y = x 4 egyenes az A ( 8; 0) pontban metszi ( pont) Az x + 0y = 0 és y = x 4 egyenletekből álló egyenletrendszer megoldása x = 0 és y = ( pont) Koordinátageometria - megoldások ezért a háromszög harmadik csúcsa C ( 0;) b) Legyen a C-ből húzott magasság talppontja T. A CTB derékszögű háromszögből tg= 0, ( pont) Így 5, 7 Összesen: pont 5) Egy háromszög két csúcsa A( 8; ); B( ;5 ) a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x + y 6x 4y = 0 a) Adja meg a háromszög oldalfelező merőlegesei metszéspontjának koordinátáit! ( pont) b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit! (8 pont) a) Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja a köré írt kör középpontja A köré írt kör egyenlete ( x ) + ( y ) = 5 Ebből az oldalfelező merőlegesek középpontja O ( ;) b) A C pont illeszkedik az y tengelyre, ezért, ha c jelöli a C pont második C 0; c. koordinátáját, akkor ( ) C illeszkedik a körre, ezért ( ) + ( c ) = 5, tehát ( ) 6 c = 6; c =, azaz a C csúcsra két lehetőség van: C ( 0;6 ), C ( 0; ) c = Ebből ( pont) 8 + 0 + 5 + 6 7 Az ABC háromszög súlypontja: S ; = S ; ( pont) 8 + 0 + 5 7 5 Az ABC háromszög súlypontja: S ; = S ; ( pont) Összesen: pont - 45 -
005-0XX Emelt szint 6) Az A pont helyvektora: ( lg ; lg ) OA a b ; a B pont helyvektora: OB lg ab; lg b, ahol a és b olyan valós számokat jelölnek, melyekre a 0 a, illetve b teljesül. a) Bizonyítsa be, hogy a B pont mindkét koordinátája nagyobb az A pont megfelelő koordinátáinál! ( pont) b) Bizonyítsa be, hogy az OA OB vektor merőleges az OA vektorra! ( pont) c) Mekkora az OA és OB vektorok hajlásszöge? (4 pont) d) Legyen a =, b pedig jelöljön tetszőleges -nél nagyobb valós 0 számot. Adja meg (egyenletével, vagy a derékszögű koordinátarendszerben ábrázolva) az A, illetve B pontok halmazát! (6 pont) b a) Mivel lgab = lga + lgb, és lg lg b lg a a =, így B ( lg a lg b ;lg b lg a ) + Bizonyítandó tehát, hogy lga lga + lgb és lgb lgb lga rendezés után kapjuk, hogy lgb 0 és lga 0. A feltételek szerint 0a, illetve b, és a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan növő a pozitív számok halmazán, valamint lg = 0, tehát mindkét egyenlőtlenség igaz. b) ( OA OB ) BA ( lg b;lg a ) = Mivel az OA és az OA koordináták szorzatának összege, vagyis OB vektorok skaláris szorzata a megfelelő OA ( OA OB ) = lg a lg b + lg b lga = 0, tehát a két vektor merőleges egymásra ( pont) c) OA, OB és OA OB egyike sem nullvektor. Mivel = + = OA OB ( pont) OA lg a lg b tehát az OAB háromszög egyenlő szárú és derékszögű, így ( OA; OB ) = 45 d) A( ;lg b) A tízes alapú logaritmus függvény szigorú növő, folytonos, felülről korlátos függvény, így lgb tetszőleges pozitív értéket felvehet. Ezért az A pontok halmaza azon nyílt xy ; kezdőpontú félegyenes, amelynek ( ) koordinátái kielégítik az x = egyenletet és az 0 y egyenlőtlenséget. ( lg ; lg ) B b b + A B pont második koordinátája -vel nagyobb az első koordinátájánál lg b + = lg b + ( ( ) ) - 46 -
b tetszőleges, ( ) lg -nél nagyobb szám lehet, így lgb + tetszőleges -nél nagyobb értéket vesz föl. Így a B pontok halmaza azon nyílt x; y kezdőpontú félegyenes, amelynek ( ) koordinátái kielégítik az y = x + egyenletet és az x egyenlőtlenséget. Koordinátageometria - megoldások Összesen: 6 pont 7) A Csendes-óceán egyik kis szigetétől keletre, a szigettől 6 km távolságban elsüllyedt egy föld körüli úton járó vitorlás. A legénység egy mentőcsónakban segítségre vár, a náluk lévő jeladó készülék hatósugara mindössze 6 km. Amikor a vitorlás elsüllyedt, akkor a szigettől délre, a szigettől 4 km távolságra volt egy tengerjáró hajó. Ez a hajó állandóan északkeleti irányba halad, a hajótöröttek pedig a vitorlás elsüllyedésének helyéről folyamatosan küldik a vészjeleket. a) Igazolja, hogy a tengerjáró legénysége észlelheti a segélykérő jelzést! (7 pont) Egy,5 km magasságban haladó repülőgép éppen a sziget felett van, amikor a repülőgép fedélzeti műszerei észlelik a tengerjáró hajót, amely a vitorlás elsüllyedése óta 0 km-t tett meg. b) Mekkora depresszió szög (lehajlási szög) alatt észlelik a műszerek a tengerjárót? Válaszát fokban, egészre kerekítve adja meg! Számításai során a Föld görbületétől tekintsen el! (7 pont) a) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra. A sziget az S, a mentőcsónakot az M, a tengerjáró hajót a H pont jelöli. A hajó útjának és az SM egyenesnek a metszéspontját jelölje A. ( pont) A HSA háromszög derékszögű, egyenlő szárú, ezért AS = 4 km MA = 8 km Valamint az APM háromszög derékszögű és van 45 -os szöge 4 5,7 Ezért MP = ( ) Mivel MP 6 km, ezért a hajó legénysége észlelheti a jelzéseket. b) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra T egy A repülőgép (R), a sziget (S) és a tengerjáró hajó ( ) S-nél derékszögű háromszög három csúcsában helyezkedik el. Az ST távolságot koszinusztétellel számolhatjuk ki ST = 4 + 0 4 0 cos 45 ( pont) ST 7, km A depresszió szög nagysága megegyezik a TRS derékszögű háromszög RTS szögének nagyságával (váltószögek). - 47 -
005-0XX Emelt szint RS,5 tgrts = TS 7, A depresszió szög kb 5 nagyságú Összesen: 4 pont 8) A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai: A ( ;), B ( 7; 4), C( ; p ). Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 60 -os. (6 pont) Az ABC háromszög AC oldalára felírva a koszinusztételt: AC = AB + BC AB BC 0,5 ( pont) AB = 50 BC p AC ( p ) = 6 + + 4 + 8p + ( p ) = 8 + p p + 8 A kapott értékeket visszahelyettesítve a koszinusztételbe a következőt kapjuk: p p + 8 = p + 8p + 50 p + 8p + Rendezve: ( ) 50 p + 8p + = 0p ( pont) Mivel a baloldalon pozitív szám áll ezért p 0 Négyzetre emelve és egyszerűsítve: p + 8p + = p Amiből adódik p 8p = 0 Ennek az egyenletnek a gyökei: p = 4 + 4 p = 4 4 ( pont) Mivel p 0, ezért csak a p = 4 + 4 megoldás lesz jó. Összesen: 6 pont x + y = 00. A húrtrapéz szimmetriatengelyének egyenlete x y = 4. A trapéz AB 9) Az ABCD húrtrapéz köré írt körének egyenlete ( ) ( ) alapjának egy belső pontja P ( 5;), BC szárának hossza pedig 0 egység. Határozza meg a trapéz csúcsainak koordinátáit! (6 pont) A trapéz alapjának egy normálvektora az n ( ; ) vektor A ( 5;) P ponton áthaladó AB alap egyenlete x + y = Ennek a trapéz köré írt körrel való metszéspontjait tehát a trapéz két csúcsának koordinátáit az ( x ) ( y ) + = 00 egyenletrendszer megoldásai alkotják x + y = ( pont) - 48 -
Koordinátageometria - megoldások Az x = y kifejezést behelyettesítve a kör egyenletébe az másodfokú egyenletet kapjuk. Jelölje a trapéz köré írt kör középpontját K. y + 4y = 0 Mivel a kör sugara 0 egység, a trapéz szárai pedig 0 egység hosszúak, az AKD és a CKB háromszögek derékszögűek. ( pont) Ezért KA ( 0;0) vektor 90 -os elforgatottja a KD vektor, a ( 6; 8) 90 -os elforgatottja pedig a KC vektor. Ezért vagy KD ( 0;0 ) vagy ( 0; 0) Azaz vagy D ( ;), vagy ( ; 8) KB vektor KD ( pont) D A ( ; 8) pont a trapéz szimmetriatengelyének A-val ellentétes oldalán van, így a jó megoldás D ( ; ) Hasonlóan vagy KC ( 8;6), vagy ( 8; 6) Azaz C ( ;8 ), vagy ( 5; 4) KC ( pont) C A ( 5; 4) pont a trapéz szimmetriatengelyének B-vel ellentétes oldalán van, így tehát C ( ;8 ) Összesen: 6 pont 0) Egy ABCD négyzet A csúcsa a koordinátarendszer y tengelyére, szomszédos B csúcsa pedig a koordinátarendszer x tengelyére illeszkedik. a) Bizonyítsa be, hogy a négyzet K középpontjának koordinátái vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei! (8 pont) b) Egy ilyen négyzet középpontja a ( 7; 7 ) pont. A négyzet oldala 0 egység hosszú. Számítsa ki a négyzet koordinátatengelyekre illeszkedő két csúcsának koordinátáit! (8 pont) a) Legyen A( 0; a ) és ( ;0) B b (de a + b 0). Ekkor az AB szakasz felezőpontja F ;. b a Ebből adódóan FB ;. o o Ha a négyzet középpontja a K pont, akkor FK az FB + 90 -os vagy 90 -os elforgatottja. a b Tehát FK ; vagy a ; b FB. Az F pont helyvektorát jelölje f, ekkor a K pont helyvektora k = f + FK, azaz a + b ; + k b vagy b a ; a b k. ( pont) - 49 -
005-0XX Emelt szint Tehát a K középpont koordinátái valóban vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei. b) A négyzet körülírt körének sugara az átló fele, azaz 5. A körülírt kör egyenlete: ( ) ( ) x 7 + y 7 = 50. A kör y tengelyen lévő pontjait x = 0 helyettesítéssel, az x tengelyen lévő pontjait az y = 0 helyettesítéssel adódó egyenlet adja meg. A kapott két egyenlet így: ( y 7) =, illetve ( ) x 7 =. Ezeknek a megoldásai: y = 6 és y = 8, illetve x = 6 és x = 8. Tehát a tengelyeken négy pont lehet a négyzet valamelyik csúcsa: 0;6, 0;8, 6;0, 8;0. ( ) ( ) ( ) ( ) Figyelembe véve, hogy két szomszédos csúcs távolsága 0 egység két A 0;6, B 8; 0, illetve A 0;8, B 6; 0. ( pont) megoldás adódik: ( ) ( ) ( ) ( ) Összesen: 6 pont ) Adott a derékszögű koordináta-rendszerben három pont: A ( 6; 0), B ( ; 4), C ( 0; ). a) Számítsa ki az ABC háromszög B csúcsánál fekvő belső szögét! (6 pont) K pont egyenlő távolságra van A -tól, B -től, és C -től. b) Határozza meg K pont koordinátáit! (8 pont) a) AB = 4 + 6 = 60 AC = 676 + 64 = 740 BC = 64 + 4 = 68 ( pont) Koszinusztétellel: 740 = 60 + 68 60 68 cos ( pont) cos = 0,997 60 68 75,6 b) Az ABC háromszög két (tetszőlegesen választott) oldalfelező merőlegesének metszéspontját kell megkeresnünk (ez a háromszög körülírt körének középpontja). F ( 7; 7) és n AB ( 8; 6) AB f AB =. Az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: x y = 8. F ( 6; ) és n BC ( 8; ) BC f BC =. A BC szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: 4x y =. A két egyenes egyenletéből alkotott egyenletrendszer megoldása: x = 49 és y = 75. ( pont) Tehát ( ) 49; 75 K. Összesen: 4 pont - 50 -
Koordinátageometria - megoldások ) Egy téglalap alakú városi park tervezésekor a kezdeti egyszerű vázlatokat egy rajzolóprogram segítségével készíti el a tervező. A parkot derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolja úgy, hogy a koordinátarendszer tengelyein a hosszúságegység a valóságban 0 méternek felel 0; 0 0; 0 0; 48 D 0; 48 meg. A park négy csúcsát az A ( ), B ( ), C ( ) ; ( ) koordinátájú pontok adják meg. Az első tervek között a négy csúcson átmenő körút is szerepel. a) Adja meg ennek a körnek az egyenletét! ( pont) A vázlatba a tervező egy olyan kört is berajzolt, amely egy díszteret határol majd. A kör egyenletét a rajzolóprogram x + y 6x 48y + 89 = 0 alakban adja meg. b) Számítsa ki, hány százaléka a dísztér területe a park területének! (4 pont) A tervező egy olyan egyenest is megrajzolt, amely a park C csúcsában P 8; 4 ponton halad át. Ezen az egyenesen egy lévő bejáraton és a ( ) sétaút halad majd. c) Határozza meg a sétaút egyenesének egyenletét, és számítsa ki a parkbeli szakaszának valódi hosszát! (5 pont) a) A kör középpontja (a téglalap átlóinak felezőpontja): K ( 5;4). A kör sugara 5 4 80( 8,) KA = + =. A kör egyenlete így ( x ) ( y ) b) A díszteret alkotó kör egyenletét átalakítva: ( x 8) ( y 4) 8( 9 ) 5 + 4 = 80. + = = A kör sugara 9 egység, területe 9 ( 54,5) területegység. A park területe 0 48( = 440) területegység. A dísztér területe ennek kb. c) A sétaút egyenesének (egyik) normálvektora ( ; ) 9 00 7,7 százaléka. 0 48 n. Az egyenes egyenlete x y =. (Az egyenletbe y = 0 -t helyettesítve kapjuk, hogy) a sétaút egyenese a park határának AB oldalegyenesét az M (6;0) pontban metszi. A sétaút parkbeli szakaszának hossza CM = 4 + 48 = 880 5,7 egység, ami a valóságban 57 méter. Összesen: pont - 5 -
005-0XX Emelt szint ) Az f :, f ( x) = x x + 7 függvény grafikonja a derékszögű koordináta-rendszerben parabola. a) Számítsa ki a parabola és az x tengely által bezárt (korlátos) síkidom területét! (5 pont) b) Írja fel a parabolához az E ( 5; 8) pontjába húzott érintő egyenletét! (5 pont) c) Számítsa ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit! (4 pont) a) A függvény zérushelyeinek kiszámítása: x x + 7 = 0, innen x =, x = 9 (A függvényértékek a két zérushely között negatívak, ezért a kérdezett T területre fennáll:) 9 x x T = ( x x + 7) dx = + 7x = 9 = 6 9 + 7 9 6 + 7 = = =. ( 0 6 ) 6 A kérdezett terület nagysága tehát 6 (területegység). b) Az E-ben húzott érintő meredekségét az f deriváltfüggvényének az x = 5 helyen felvett helyettesítési értéke adja meg. f x = x ( ) f ( 5) = Az érintő egyenlete: y + 8 = ( x 5). ( pont) c) A parabola adódik, hogy y x x a tengelypontja ( ) 9 = + 7 alakú egyenletét y = ( x 6) 9 alakban írva T 6; 9, paramétere p = 0,5. p =, ezért) a fókuszpont: ( 6; 8, 75) (Mivel 0,5 F. Összesen: 4 pont - 5 -