Valószínűségszámítás. A standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye. További tulajdonságok. További tulajdonságok.

Hasonló dokumentumok
A nagy számok törvényének néhány alkalmazása. Valószínűségszámítás. Példák. Konvolúció. Normális eloszlások konvolúciója

Elorejelzés (predikció vagy extrapoláció) Adatpótlás (interpoláció)

ELOSZLÁS, ELOSZLÁSFÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY

Vezetéki termikus védelmi funkció

ELOSZLÁS, ELOSZLÁSFÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY

1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk.

A radioaktív bomlás kinetikája. Összetett bomlások


VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS, MARKOV ÉS CSEBISEV EGYENLŐTLENSÉGEK


Feladatok megoldással

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.


1.) Példa: MOS FET munkapontja, kivezérelhetősége ( n csatornás, növekményes FET)

Helyettesítéses-permutációs iteratív rejtjelezők

Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

Optikai mérési módszerek

Aktív lengéscsillapítás. Másodfokú lengrendszer tesztelése.

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

A Laplace transzformáció és egyes alkalmazásai

ö ő ö ö ő ő ő ő ö ú ő ü ü ő ő ő ő ö ö ő ö ő ü ő ö ő ő ö ö ö ő ü ö ő ő ő ő ő ö ő ő ő ő ő ő

ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű Ö ű Ü Ó ű

Intuitív ADT és ADS szint:

ű ú ú ű ú ú ú Ó ú ú ű ú ű ű ű ű ű Ó ű




Nem-extenzív effektusok az elemi kvantumstatisztikában?

SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS. m n=0 ca n = lim c m

2.2. AZ ANYAGHULLÁMOK A

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

KOD: B , egyébként

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

Operatív döntéstámogatás módszerei

GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június

HF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és






X Au. Mag- és neutronfizika 2. elıadás. + +υ ~ R = r 0 A 1/3. δ 3. He β részecskék: nagy energiájú elektronok. ε = E/A = B/A

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

ó á á ö ő á ű í ü á ö ű ö ú íű ő á ő á á ő á á í ú ú í ö ö á ű á ö ő ő ü ü í á á ő á á öü á á ü ó ó ü ú á í ű ő ű ó á á ó ó á ö ö ő á ü á ó í ű ó ő ü


A művészeti galéria probléma














































Mesterséges Intelligencia MI

Néhány pontban a függvény értéke: x f (x)

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra)

Matematika I. 9. előadás

Átírás:

Karakriszikus függvéy Valószíűségszámíás. lőadás 07..05 Kompl érékű valószíűségi válozók: Z=+iY, ahol és Y is valószíűségi válozók. Z):=)+iY). (valós) valószíűségi válozó karakriszikus függvéy: ():= i )=cos)+isi) Tulajdoságai: () RC függvéy, mly mid -r lézik. (0)= mid -r () (mr i ) i )= Ha és Y függlk, +Y ()= () Y (), mr i(+y) )= i iy )= i ) iy ) a függlség mia. További ulajdoságok Ha Y=a+b, akkor Y ()= ib (a) Bizoyíás: Y ()= i(a+b) )= ib ia )= ib (a). Kiszámíása az abszolú folyoos sr: i ( ) f ( ) d cos( ) f ( ) d i si( ) f ( ) Példa. Ha gyls loszlású a [-,] irvallumo, akkor ( ) i f ( ) d cos( ) si d si Álalába is: valós, ha loszlása szimmrikus a 0-ra. d ( ) A sadard ormális loszlás karakriszikus függvéy Áll.: a sadard ormális loszlás karakriszikus függvéy: Ehhz: lg sz a ()=- () diffrciálgylk. (Ez léygéb lég is: (log ()) =-, amiből log ()=- /+c, d log((0))=0 mia c=0.) ( ) cos( ) si( ) parciális igrálással. ( ) d; '( ) si( ) ' cos( ) d d ( ) További ulajdoságok A karakriszikus függvéy mghaározza az loszlás (azaz külöböző loszlásokhoz külöböző karakriszikus függvéy arozik). Taylor sorfjés: gyük fl, hogy ) végs valamily gész számra. Ekkor 0 mll i ( i) ( i) ( ) ) )... ) o( )!!! ahol o( ) jlés, hogy l oszva is 0-hoz ar, ha 0. Bizoyíás öl: a él flél sé () -szr gyls folyoosa driválhaó és ( l) i l ( ) ( i) f ( ) d További élk Azaz (k) (0)= i k k ) és így a szokásos Taylorsorfjésből adódik a él. Ha karakriszikus függvéy, akkor gyls folyoos. Folyoossági él. Lgy karakriszikus függvéyk gy sorozaa (jlölj Q a hozzá arozó loszlás). Ha pooké kovrgál gy -hz, mly a 0-ba folyoos, akkor is karakriszikus függvéy, és a hozzá arozó loszlás épp a loszlások Q gyg haárérék.

Crális haárloszlás él Lgyk,,,,... függl, azoos loszlású valószíűségi válozók. Tgyük fl, hogy =D () végs (m:= i )). Tkisük a sadardizál összgük:... m Z : Ekkor Z gygé kovrgál a sadard ormális loszláshoz, azaz... m P z ( z ) ahol a sadard ormális loszlás loszlásfüggvéy. Bizoyíás vázlaa Elgdő a Z karakriszikus függvéyér blái, hogy ()p{- /}. Ha () jlöli az -m karakriszikus függvéyé, akkor + + + -m karakriszikus függvéy (). Ebből ( ) ( ) A maradékagos Taylor formula mia m) ( ) i i! m)! o( ) o( ) ( ) ( Bizoyíás bfjzés ) o o() Mgjgyzés. A él ulajdoképp már mgfigylük a szimulációkál. A m azoos loszlású s Ekkor a agy számok örvéyéél már láo okok mia rősbb flélk kllk. A lggyszrűbb s: ha,,,,... függl, gyls korláos valószíűségi válozók (kkor i =D ( i ) végs, m i := i )), akkor a sadardizál összgük:... ( m... m ) Z :... Ha + + + akkor Z gygé kovrgál a sadard ormális loszláshoz, azaz Z z (z) P ahol a sadard ormális loszlás loszlásfüggvéy. Álaláosíások Ha m korláosak a agok, ovábbi flélkr (pl. magasabb momumok lézés, hasoló agyságrdű összadadók) va szükség. Gyg, a Brsi élb láo összfüggőség sér is álaláosíhaó a él. Kovrgciasbsség Ha,,,,... függl, azoos loszlású valószíűségi válozók,.f.h. m=0, =, akkor... E sup P z ( z) c z (Brry-Essé él). Gyakorlaba agyo függ az loszlás alakjáól. Például az gyls loszlásra = lég jó közlíés ad, d az pociális loszlásál =50 szükségs. 3

Crális haárloszlás-él: függl, azoos, gyls loszlások sadardizál összg (=5,00,400,600) Eloszlás illszkdésék vizsgálaa: Q-Q plo I és a kövkző oldalako az ado számú véll számo gráluk, sadardizáluk az összgük, és z 0000- szor mgismélük mid sb. Ezk uá az vizsgáluk, hogy a kapo 0000 véll szám myir va közl a sadard ormális loszláshoz. 0 500 000 500 000 0 500 000 500 000 mgfigylésk száma: 5-4 - 0 4 mgfigylésk száma: 400-4 - 0 4 0 500 000 500 0 500 000 500 000 mgfigylésk száma: 00-4 - 0 4 mgfigylésk száma: 600-4 - 0 4 A mgfigyl és az illsz loszlás kédimziós ábrázolása. Eloszlásfüggvéy q-kvailis: az az érék, amlyél q valószíűséggl kapuk kisbb: G - (q) Spc.: q=/: mdiá G k ( ), k : k,,..., - - 0 - - 0 Q-Q plo, ormális loszlású miára Eloszlás illszkdésék vizsgálaa: P-P plo Crális haárloszlás-él: függl, azoos, gyls loszlások sadardizál összg (=5,0,80,00) Probabiliy Plo A mgfigyl és az illsz loszlás kédimziós ábrázolása k ( ), G( k ) : k,,..., Empirical 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 Már 5 mgfigylésr sm rossz az illszkdés -3 - - 0 3-3 - - 0 3-4 - 0 4 = 5-4 - 0 4 = 80-0 4-0 4-4 - 0 4 = 0-4 - 0 4 = 30 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 Modl Crális haárloszlás-él: függl, azoos, pociális loszlások sadardizál összg (=5,0,80,00) Crális haárloszlás-él: függl, azoos, Paro (k=3) loszlások sadardizál összg (=80,80,0000) - 0 4-4 - 0 4-3 - - 0 3 4-4 - 0 4 I agyo lassú a kovrgcia - 0 4 6 8 0-0 4 6 = 5 = 0-3 - - 0 3-3 - - 0 3 = 80 = 80-0 4-4 - 0 4 = 80-0 4-4 - 0 4 = 30-3 - - 0 3-3 - - 0 3 = 0000 3

Crális haárloszlás-él: függl, azoos, Paro (k=) loszlások sadardizál összg (=80,80,0000,00000) Sabilis loszlások I ics kovrgcia 5-0 0 0 0 30 40-5 0 0 5-3 - - 0 3 = 80 0 0 0 30 40-0 0 0 0 30-3 - - 0 3 = 80 A ormális loszlás kiü szrp azo alapul, hogy ljsí az ú. sabiliás: ha,y függl, F loszlásfüggvéyűk, akkor szőlgs a,b sé mgadhaók számok, hogy a+by loszlásfüggvéy F(z+). (Azaz a+by ugyaabba az loszláscsaládba arozik, mi az összadadók.) Bláhaó, hogy függl, azoos loszlású válozók összgék ormálás uái haárloszlása csak sabilis lh. Ugyaakkor mid ily sabilis loszlás lő is áll haárloszláské. A crális haárloszlás él kövkzméy, hogy ics más végs szórású sabilis loszlás. Ugyaakkor m végs szórású va: pl. a Cauchy loszlás, mlyk sűrűségfüggvéy f()=/(+ ) -3 - - 0 3-3 - - 0 3 = 0000 = +05 Véll szám grálás LCG: (0 < m, 0 <a< m, 0 <c< m, 0 < 0 < m) Jól bvál paramérválaszások:. Borlad C/C ++ m= 3, a=66455, c=039043. Dlphi, Pascal m= 3, a=3477583, c= Véll szám grálás ivrz módszrrl Tél: Lgy val. vál., F loszlásfüggvéyl, amly szigorúa mooo övkdő és folyoos. Ekkor i. F() gyls loszlású [0,] ii. Ha U ~ U(0,) akkor F - (U) loszlásfüggvéy F. Pl.: Ha ~ p(λ) F()=-p(- λ) F - ()= -l(-)/ λ -l(-u)/ λ ~ p(λ) Kirjszés: álaláosío ivrz: F - ()= if{ F()=y} Epociális (λ=5) Numa módszr Lgy f() szőlgs sűrűségfüggvéy,g() pdig olya sűrűségfüggvéy, amlyr f() < Mg(), valamly M> sé és g()-ből köy uduk miá vi (ipikus példa az gyls loszlás). Algorimus:. Vgyük miá: u=>u(0,) -ből, =>g() - ből. Ha u<f()/mg(), akkor - lfogadjuk 3. Külöb luasíjuk, és -b lépük. 4

Normális loszlású véll szám Bo-Müllr módszr Lgy U,V függl, E[0;] loszlású. Ekkor lu si( V), lu cos( V) ké függl sadard ormális loszlású válozó lsz. Véll bolyogás S = + + + a bolyogás végző részcsk hlyz lépés uá. A lépésk gymásól függlk. p valószíűséggl i -p valószíűséggl Tipikusa p=/ (szimmrikus bolyogás) Példa: i az i-dik érmdobásál a yrméyük ( F-o yrük, ha fj, F-o vszük, ha írás), S pdig az összyrméyük jáék uá. Álaláosabb : Markov lácok Lgy =(,,..., ): ΩI diszkré valószíűségi vkorválozó. Eddig a függl s vizsgáluk. Mos lkiük ől. Q (k):=p {ω: (ω)= k} az loszlása I d lmi.rális, d a függlségél gygébb flél krsük. Tgyük fl, hogy P( m = k m ) valószíűségk mgadásához lgdő az m- érék ismri. Azaz P( m = k m i = k i mid i m--r)= P( m = k m m- = k m- ) (Markov ulajdoság). Azaz a Markov lác kövkző érékék loszlásá mghaározza a lác jllgi állapoa. 5