Elemi matematika 1 gyakorlat, 1. feladatsor 1) Huszonöt azonosnak tervezett súly közül gyártási hiba miatt az egyik valamivel könnyebb lett a többinél. Egy kétkarú mérleget alkalmazva a lehető legkevesebb méréssel döntsük el, hogy melyik a selejtes súly. Hány mérést kell alkalmaznunk? 2) Egy névnapi bulin n személy vett részt. Ezen mindenki kezet fogott a többi résztvevővel. Az összejövetel végén megérkezett a házigazda egyik barátja, aki csak azokkal fogott kezet, akiket már korábbról ismert. Ily módon összesen 70 kézfogásra került sor a bulin. Hányan vettek részt az összejövetelen (n =?) és hány embert ismert közülük a buli végén érkező. 3) Hány olyan nyolcjegyű szám képezhető az 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5 számjegyekből, amelyben a két 1-es számjegy szomszédos egymással? 4) Tíz ember csónakázni indul. Egy 5-személyes egy 3-személyes és egy 2-személyes csónak áll a rendelkezésükre. Hányféleképpen foglalhatják el a három csónakot, ha a csónakokon belüli elhelyezkedést már nem vesszük figyelembe. 5) Hány olyan négyjegyű szám van, amelyben a számjegyek szorzata páros? 6) Hány olyan négyjegyű szám van, amelyben a számjegyek monoton növekvő sorrendben vannak? 7) A 32 lapos magyar kártyából 6 lapot osztunk ki. Csak a lapok színeloszlását nézve (azaz a piros, zöld, makk és tök lapok számát figyelembe véve) hány kiosztási lehetőség van. 8) Két hagyományos játékkockát dobunk fel és az eredményül kapott két szám összegét vesszük. Mi a valószínűsége annak, hogy ez az összeg 7 (illetve 6) lesz? 9) Ismert egy háromszög a oldala, s b súlyvonala és m c magassága. Szerkesszük meg a háromszöget. 10) A síkon legyen adva egy kör és annak egy AB húrja. A P pont fussa be a körnek az A tól és B től különböző pontjait. Milyen mértani helyet képeznek a síkban az így nyert ABP háromszögek súlypontjai. 11) Igazoljuk, hogy bármely n egész szám esetén az n 5 5n 3 +4n egész számnak a 120 osztója. 12) Igazoljuk, hogy amennyiben az n olyan pozitív egész szám, amely 1 nél nagyobb, akkor az n 4 + n 2 + 1 kifejezés értéke nem lehet prímszám. 1) Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege páros? 2) A síkon adva van két pont A és B. Csak körzőt használva szekesszük meg az AB szakasz felezőpontját. 3) Egy derékszögű háromszög esetében ismert a háromszög köré írt kör sugara és a beírható kör sugara. Szerkesszük meg a derékszögű háromszöget ebből a két adatból. 4) Hány különböző megoldó számhármasa van az x + y + z = 12 egyenletnek a pozitív egész számok között.
Elemi matematika 1 gyakorlat, 2. feladatsor 1) A 8 8 as sakktáblán Péter és Pál a következő játékot találták ki. A bal alsó sarokba elhelyeznek egy bástyát. A játék során felváltva lépnek oly módon, hogy minden lépésnél a bástyát vagy jobbra vagy pedig felfelé kell eltolni legalább egy mezővel. Az nyer, aki a sakktábla jobb felső sarkába lép a bástyával. Kinek lehet nyerő stratégiája ennél a játéknál (a játékot elkezdőnek vagy pedig a másik játékosnak)? 2) Adva van a síkon két kör, melyek az M, N pontokban metszik egymást. Az M ponton át vegyünk egy g szelőegyenest, amelynek a körökkel vett további metszéspontjai legyenek A és B. Mutassuk meg, hogy az ANB szög mértéke nem függ a g szelőegyenes megválasztásától. 3) Vegyünk a síkon egy tetszőleges négyszöget. Tekintsük azt a négy kört a síkban, amelyeknél a négyszög egy-egy oldalal képez körátmérőt. Igazoljuk, hogy a négy zárt körlemez teljesen lefedi a négyszöget, azaz a négyszögtartomány bármely pontját tartalmazza (legalább) az egyik körlemez. Igaz marad-e az állításunk, ha ötszöget veszünk négyszög helyett? 4) Az r = 1 sugarú körlemezen helyezzünk el 7 pontot. Bizonyítsuk be, hogy ekkor van két olyan pont, amelyek távolsága nem nagyobb 1-nél. 5) Bizonyítsuk be, hogy a 3 + 5 valós szám irracionális. 6) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből a tízes számrendszerben képezzünk hatjegyű számokat oly módon, hogy minden számjegyet pontosan egyszer szerepeltetünk. Ezen hatjegyű számok között vannak-e négyzetszámok és melyek azok? (Egy n egész számot négyzetszámnak mondunk, ha van olyan m egész szám, amellyel teljesül n = m 2.) 7) Tekintsük az α = 0, 459459... (más jelöléssel az α = 0, 459 ) szakaszos végtelen tizedes törtet, amely egy racionális számot ad. Határozzuk meg azon p és q pozitív egész számokat, amelyek relatív prímek és amelyekkel fennáll α = p q. 8) Adva van egy 0 és 1 közötti β irracionális szám. Írjuk fel ezt a β valós számot tizedes tört alakban. Igazoljuk, hogy ebben a végtelen és nem szakaszos tizedes törtben van két olyan számjegy, amely végtelen sokszor szerepel. 9) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén a 17 osztója a 7 5 2n 1 +2 3n+1 egész számnak. 10) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n pozitív egész számra fennáll az 1 3 + 2 3 +... + (n 1) 3 + n 3 = 1 4 n2 (n + 1) 2 egyenlőség. 1) Az a = 2 oldalú négyzeten el lehet-e helyezni 10 pontot oly módon, hogy bármely két pont távolsága legalább 1 legyen? 2) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén a 9 osztója a 7 n + 3n 1 egész számnak. 3)* Adva van a síkon egy ABC hegyesszögű háromszög. Határozzuk meg azt a P pontot a háromszöglemezen, amelynél a P A + P B + P C összeg minimális. 2
Elemi matematika 1 gyakorlat, 3. feladatsor Az alábbi feladatsor 3) és 4) példái szerepelnek a KÖMAL folyóirat 2013. szeptemberi számában kitűzött feladatok között. A folyóirat a www.komal.hu internetes linken érhető el. 1) Egy ligetben 14 fa helyezkedik el körszerűen. A kiindulási helyzetben minden fán egy-egy mókus van. Ezt követően egy füttyjelet hallva két mókus átugrik a neki szomszédos egyik fára. (Minden egyes füttyjelre pontosan két mókus ugrik.) Előállhat-e olyan helyzet, hogy az összes mókus egyazon fára kerüljön kellő számú füttyjelet követően? Mi a válasz a fenti kérdésre abban az esetben, ha a ligetben 12 fa és azokon egy-egy mókus van. 2) Egy ligetben 2n (n 3) számú fa helyezkedik el körszerűen. A kiindulási helyzetben minden fán egy-egy mókus van. Ezt követően egy füttyjelre két mókus átugrik az egyik szomszédos fára oly módon, hogy a két ugrás ellentétes forgásirányban történik. Bizonyítsuk be, nem állhat elő olyan helyzet, hogy az összes mókus egyazon fára kerüljön. 3) Milyen n pozitív egész szám esetén lesz az 1!+3!+...+(2n 1)! összeg egy négyzetszám? 4) Igazoljuk, hogy tetszőleges α szögre fennáll az alábbi egyenlőtlenség: (sin α + 1)(cos α + 1) < 3. 5) Igazoljuk, hogy bármely n 2 egész számra fennáll az egyenlőtlenség. 1 2 3 4 5 6... 2n 1 < 2n 1 3n + 1 6) Oldjuk meg a valós számok halmazán az x 2 + 5x + 4 = 5 x 2 + 5x + 28 egyenletet. 7) Oldjuk meg a pozitív egész számok halmazán az x y 2 + 2xy + x 75 y = 0 egyenletet. 8) Hány olyan nyolcjegyű szám van, amely csak az 1, 2, 3 számjegyeket tartalmazza, de mindegyiket legalább egyszer? 9) Igazoljuk, hogy van olyan n pozitív egész szám, amelyre igaz a következő kijelentés. Amennyiben a 29 n szorzatot a tízes számrendszerben felírjuk, akkor abban az összes számjegy 1-es lesz. 10) Mutassuk meg, hogy az 1024 nem állítható elő egymással szomszédos természetes számok (azaz egy véges számtani sorozatot képező természetes számok) összegeként. 1) Bizonyítsuk be, hogy n számú kör legfeljebb n 2 n + 2 részre osztja fel a síkot. 2) Oldjuk meg a valós számok halmazán az x 2 4 = x + 4 egyenletet. 3) Vegyünk egy olyan derékszögű háromszöget, amelyikben az egyik hegyesszög 75. Igazoljuk, hogy ekkor az átfogó négyszerese a hozzá tartozó magasságnak. 3
Elemi matematika 1 gyakorlat, 4. feladatsor 1) Egy futóversenyen 12 versenyző indult, akiknek rajtszáma egy-egy pozitív egész szám 1- től 12-ig. Adjuk meg a beérkezés sorrendjét a rajtszámok függvényében, ha tudjuk azt, hogy a helyezési szám és a rajtszám szorzata mindig 1-gyel nagyobb egy 13 mal osztható nemnegatív egész számnál. 2) Adva van egy síkbeli konvex ötszög, amelynek oldalhosszai ebben a sorrendben a következők: 6, 5, 3, 3, 4. Tudjuk, hogy az ötszögbe írható kör, azaz van olyan kör, amely mind az öt oldalt érinti. Mekkora részekre osztja a leghosszabb oldalt az ötszögbe beírt kör érintési pontja. 3) Igazoljuk, hogy a szögek tangenseivel fennáll az alábbi egyenlőség: ln(tg 1 ) ln(tg 2 )... ln(tg 88 ) ln(tg 89 ) = ln(tg 1 )+ln(tg 2 )+...+ln(tg 88 )+ln(tg 89 ) 4) Bizonyítsuk be, hogy a tg 5 egy irracionális szám. 5) Egy r sugarú félkörlemezbe írjunk téglalapokat oly módon, hogy a téglalap egyik oldala az átmárőn, két csúcsa pedig a félköríven legyen. Differenciálszámítás alkalmazása nélkül határozzuk meg a maximális kerületű beírt téglalap oldalait. 6) Egy sík minden pontjához hozzárendeltük a piros és kék színek egyikét (más szóval két színnel kiszineztük a sík pontjait). Igazoljuk, hogy van olyan szabályos háromszög, amelynek mindhárom csúcsa azonos színű. 7) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám a 3 mal és a 4 gyel való osztás után? 8) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n természetes szám esetén a 2 n + 3 n összeg nem négyzetszám. 9) A valós számok halmazán oldjuk meg az alábbi logaritmikus egyenletet: log 2013 (x 3) + log 2014 (x 3) = 3 lg(x 5 24) 10) Feldobunk négy hagyományos játékkockát. Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább két hatost kapunk a dobás eredményeként? 1) A kockás füzet egyik lapján kijelölünk egy 12 12 es táblát, amelyet 144 darab kis négyzetre osztanak a füzetbeli vonalak. A táblán kiindulásként kiszínezhetünk 11 tetszőlegesen kiválasztott kis négyzetet egy tollal. Ezek után lépésenként a tábla egy-egy kis négyzetét színezhetjük ki abban az esetben, ha annak legalább két szomszédja már ki van színezve. (Ha már nincs ilyen színezhető négyzet, akkor meg kell állnunk.) Ügyes kiindulási helyzetet választva elérhető-e, hogy a teljes táblát kiszínezzük? 2) Bizonyítsuk be, hogy a sin5 egy irracionális szám. 3) A síkon adva van két kör, amelyek kívülről érintik egymást és sugaraik r 1 = 4, r 2 = 9. Vegyük az egyik külső közös érintőjét a két körnek. Ezt követően tekintsük azt a kis kört, amely érinti a két kört és a külső közös érintőjüket is. Mekkora a kis kör sugara? 4
Elemi matematika 1 gyakorlat, 5. feladatsor 1) Egy apának n számú gyermeke volt. Végrendeletében azt hagyta, hogy az élete során összegyűjtött N darab aranytallért az alábbi módon osszák el gyermekei. A legidősebb kapjon 10 tallért és a megmaradt pénz 10 százalékát. Ezt követően a második gyermek kapjon 20 aranyat és a megmaradt pénz 10 százalékát. A harmadik jussa pedig legyen 30 tallér és a megmaradt pénz 10 százaléka. Majd így tovább kapja meg az örökségét a többi gyermek is. Végül az apa összes gyermekének ugyanannyi pénz jutott. Hány gyermeke volt az apának, és hány arany volt a vagyona? 2) Egy 10 tagból álló számtani sorozatról mindössze annyit tudunk, hogy a páros indexű elemek számának összege kétszerese a páratlan indexű elemek összegének. A sorozat melyik (hányadik) elemét lehet meghatározni ennyi információ alapján? 3) Legyen adott három pozitív valós szám a 1, a 2, a 3. Igazoljuk, hogy fennáll az 1( ) a1 + a 2 + a 3 3 a 1 a 2 a 3 3 egyenlőtlenség, vagyis a három szám számtani közepe nem lehet kisebb, mint a mértani közepük. Mutassuk meg azt is, hogy a két középérték egyenlősége csak az a 1 = a 2 = a 3 esetben áll fenn. 4) Adva van egy négyzet alakú, a oldalhosszúságú kartonlap. Ebből a négy sarok levágásával és hajtogatással egy felül nyitott négyzetes oszlopot (egy nyitott dobozt) készítünk. Differenciálszámítás alkalmazása nélkül döntsük el, hogy mikor kapunk maximális térfogatú dobozt. 5) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben valamely n pozitív egészre 2 n + 1 egy prímszám, akkor az n a 2-nek egy hatványa (vagyis egy nemnegatív k egésszel fennáll n = 2 k ). 6) Igazoljuk, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén az lg n és lg(n + 1) számok közül legalább az egyik irracionális. 7) Melyek azok a p prímszámok, amelyeknél 4p 2 + 1 és 6p 2 + 1 is prímszám? 8) A liftbe véletlenszerűen beszáll 4 ember. Minek nagyobb a valószínűsége? Annak, hogy közülük ketten a hétnek azonos napján születtek, vagy pedig annak, hogy a négy ember a hét más-más napján született. 1) Adva van egy nem szabályos ABC háromszög. Jelölje S a súlypontot, M a magasságpontot, O pedig a háromszög köré írt kör centrumát. Vektorok alkalmazása nélkül igazoljuk, hogy az S pont harmadolja az OM szakaszt. 2) A síkon adva van egy hegyeszög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszük meg azt a P-n átmenő egyenest, amely a minimális területű háromszöget metszi le a szögtartományból. (A megoldást indokolni is kell.) 3)* A síkon adva van egy hegyeszög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszük meg azt a P-n átmenő egyenest, amely a minimális kerületű háromszöget metszi le a szögtartományból. (A megoldást indokolni is kell.) 5
I. Zh. dolgozat Elemi matematika 1 c. tárgy () 2013. október 25. 1) Egy szultánnak 143 felesége van. Elhatározza, hogy megajándékozza őket. Ennek érdekében a kincstárnokával 1000 napon át félretetet számukra a kincstár napi bevételeiből. Megparancsolja, hogy a kincstárnok az első napon 144 aranyat, a második napon 145 aranyat, a harmadik napon pedig 146 aranyat tegyen félre, és minden nap egy arannyal többet, mint az előző napon. Az 1000 elteltével úgy szeretné szétosztani az összegyűjtött pénzt, hogy minden feleség ugyanannyit kapjon. Vajon sikerülhet-e ez neki? (Indokoljuk a választ.) 2) Egy kalapban 10 különböző színű golyó van. 5 ember egymás után véletlenszerűen húz ki egy-egy golyót a kalapból oly módon, hogy minden húzás után a golyót visszatesszük és a kalap tartalmát megkeverjük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két ember azonos színű golyót húz. 3) A síkon adva van 50 egyenes. Bizonyítsuk be, hogy ezek közül mindig kiválasztható 8 olyan egyenes, amelyek vagy páronként metszik egymást, vagy pedig párhuzamosak egymással. 4) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben az n pozitív egész számra fennáll n > 3, akkor 2 n + 1 nem lehet négyzetszám. 5) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben sin( x 2 ) 0, akkor tetszőleges n nemnegatív egész számra fennáll az ) egyenlőség. 1 2 + cos x + cos(2x) +... + cos(nx) = sin ( (2n+1)x 2 2 sin ( x 2 6) Igazoljuk, hogy tetszőleges n 2 egész szám esetén az n 4 + 4 szám nem prím. 7) Adva van a síkban egy olyan ABC derékszögű háromszög (γ = 90 ), amelynél a köré írt kör sugara r = 8, 5 és a háromszögbe írt kör sugara = 3. Határozzuk meg a derékszögű háromszög befogóinak hosszát (a =?, b =?). ) A feladatok pontértéke sorrendben: 7p + 7p + 7p + 7p + 7p + 7p + 8p. 6
Elemi matematika 1 gyakorlat, 6. feladatsor 1) Az erdőben a fák négyzetrácsszerűen helyezkednek el észak-déli és kelet-nyugati irányban. Egy madárka egy fáról a nyolc szomszédos fa közül csak az északkeleti, az északnyugati vagy a déli irányban lévőre tud átröppeni. El tud-e jutni a madárka az összes fára az erdőben? 50 felröppenést követően vissza tud-e kerülni a kiindulási fára? 2) A síkban adva van egy ABC hegyesszögű háromszög. Az A, B csúcsokból kiinduló magasságvonalak talppontjai legyenek A 1 és B 1. Mutassuk meg, hogy az ABC és az A 1 B 1 C háromszögek hasonlóak. 3) A síkban adva van egy ABC háromszög, melynek oldalai a, b, c. Tekintsük a háromszög köré írt kört, melynek sugara r. Hasonlóság alkalmazásával igazoljuk, hogy a háromszög t területével fennáll az r = a bc összefüggés. 4 t 4) Tekintsünk egy olyan egyenlő szárú háromszöget, amelyben a szárak által bezárt szög 36. 5 1 Hasonlóság segítségével igazoljuk, hogy fennáll sin18 =. 4 5) Egy parallelogramma oldalaira kifelé rajzoljunk egy-egy négyzetet. Vektorokat alkalmazva igazoljuk, hogy a négyzetek középpontjai egy újabb négyzet csúcspontjai. 6) Tekinsünk a síkban egy ABC háromszöget. Legyen O az ABC háromszög köré írt kör középpontja. Vegyük az a = OA, b = OB és c = OC vektorokat, továbbá azt az M pontot, melynek helyvektorára fennáll OM = a + b + c. Bizonyítsuk be, hogy az M pont az ABC háromszög magasságpontja. 7) Tekinsünk a síkban egy ABC háromszöget. Legyen O a háromszög köré írt kör középpontja legyen O, annak sugara r. Bizonyítsuk be, hogy a d = OM távolságra fennáll d 2 = 9r 2 (a 2 + b 2 + c 2 ). 8) Vegyünk egy ABC háromszöget, amelynek súlypontja S. Mutassuk meg, hogy fennáll SA + SB + SC = 0. A vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy PA 2 + PB 2 + PC 2 összeg akkor minimális, ha fennáll P = S. 9) Vegyünk egy olyan n oldalú szabályos sokszöget, ahol az n páratlan szám. Legyenek A 1,...,A n a csúcspontok és tekintsük a sokszög köré írt körnek egy P pontját. A vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy a (PA 1 ) 2 + (PA 2 ) 2 +... + (PA n ) 2 összeg nem függ a P pont megválasztásától. 1) Tekintsünk egy olyan ABC háromszöget, amely szögeire teljesül α = 2β. Bizonyítsuk be, hogy ezen háromszög oldalaira fennáll az a 2 = b 2 + bc összefüggés. (Húzzuk be az A csúcsnál lévő szög szögfelezőjét és keressünk hasonló háromszögeket.) 2) Igazoljuk, hogy fennáll a sin18 sin234 = 1 4 egyenlőség. 3)* Tekintsünk egy ABCD húrnégyszöget. Vezessük be az a = AB, b = BC, c = CD, d = DA és e = AC, f = BD jelöléseket. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az ac + bd = ef egyenlőség (Ptolemaiosz tétele a húrnégyszögre). 7
Elemi matematika 1 gyakorlat, 7. feladatsor 1) Igazoljuk, hogy egy szén-hidrogén molekulában a hidrogén atomok száma páros. 2) Egy országban bármely két várost vagy vasút vagy pedig autóút köt össze. Bizonyítsuk be, hogy ekkor vagy csak vonaton utazva, vagy pedig csak autóval el lehet jutni az ország összes városába (az egyik városból kiindulva). 3) Egy pingpongversenyen n (n 6) versenyző vett részt és ezen mindenki játszott mindenkivel. Bizonyítsuk be, hogy a versenyzőket el lehet rendezni egy olyan sorba, amelyben mindenki legyőzte a sorban utána következőt. 4) Egy ABC háromszögben, amely nem egyenlő szárú, a megfelelő oldalakra és szögekre fennáll az a2 b 2 = tg α összefüggés. Igazoljuk, hogy ez egy derékszögű háromszög. tg β 5) Adva van egy sík és abban egy Descartes féle koordináta rendszer. Tekintsük a síkban azt az téglalapot, ahol ismertek az A (4, 2), B (13, 5) csúcspontok és a téglalap AC átlója rajta van a 9x + 7y = 22 egyenlettel leírt egyenesen. Határozzuk meg a téglalap másik két csúcsának a koordinátáit. 6) Egy síkban rögzítve van egy Descartes féle koordináta rendszer. Adott a síkban egy kör, amelynek az egyenlete x 2 + y 2 8x + 4y 5 = 0. Határozzuk meg a P( 1, 8) pontból a körhöz húzott érintőegyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit. 7) A síkban adva van egy ABC háromszög. A háromszögbe beírható kör O centrumának a csúcsoktól mért távolságai legyenek h a = OA, h b = OB és h c = OC. A háromszög A, B, C csúcsokban vett szögei sorrendben α, β és γ. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög T területére fennáll a összefüggés. 2 T = h a h b cos γ 2 + h a h c cos β 2 + h b h c cos α 2 8) Adva van egy sugarú gömb, továbbá egy a gömb köré írt csonkakúp. A gömb és a csonkakúp F g felszínének az aránya ismert = 20. Jelölje R a csonkakúp alapkörének sugarát és r F csk 39 a fedőkör sugarát. Határozzuk meg ezen sugarak arányát. 1) A paraffin molekulákban n számú szénatom és 2n + 2 számú hidrogénatom van. Igazoljuk, hogy a paraffin molekulák gráfja mindig fagráf. 2) Bizonyítsuk be, hogy fennáll a 8 cos 10 cos 20 cos40 = ctg 10 összefüggés. 3) Adva van egy olyan csonkakúp, amelynél az alapkörök sugarai R = 5 és r = 2. Ismeretes továbbá, hogy ezen csonkakúp térfogata egyenlő az R sugarú és r sugarú gömbök térfogatainak a különbségével. Határozzuk meg a csonkakúp magasságát. 4)* Egy = 2 sugarú gömb köré írjunk egy olyan forgáskúpot, amelynek felszíne a gömb felszínének kétszerese (F k = 2F g ). Határozzuk meg a kúp alapkörének sugarát és magasságát. 8
Elemi matematika 1 gyakorlat, 8. feladatsor 1) Egy kerékpáros mielőtt haza indult volna kiszámolta a következőt. Ha 20 km/h sebességgel halad, akkor éppen délután 5 órára ér haza, ha pedig 30 km/h sebességgel megy, akkor éppen délután 4 órára jut haza. Milyen sebességgel kell haladnia ahhoz, hogy pontosan fél ötre érjen haza. 2) Egy ember összesen 6 órán át gyalogolt. Először sík terepen haladt 4 km/h sebességgel, majd pedig egy emelkedőn 3 km/h sebességgel. Ezt követően visszafordult és visszatért a kiindulási ponthoz oly módon, hogy a lejtőn 6 km/h volt a sebessége a sík terepen pedig ismét 4 km/h. Mekkora utat tett meg a gyalogos? 3) Vegyünk két szomszédos egész számot. A számok négyzetének összegéhez adjuk hozzá a szorzatuk négyzetét. Igazoljuk, hogy ily módon egy négyzetszámot kapunk. 4) A valós számok halmazán oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenletet: 6 3 x 13 3 x 2 2 x 2 + 6 2 x = 0. 5) A valós számok halmazán oldjuk meg (külön-külön) az alábbi logaritmikus egyenleteket log 2 (log 4 x) = log 4 (log 2 x), log cos x (sin x) + 4 log sin x (cos x) = 4. 6) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, b valós számokra fennáll az egyenlőtlenség. a 4 + b 4 + 2 4 a b 7) Mutassuk meg, hogy a negyedfokú x 4 6x 3 6x 2 8x + 9 = 0 egyenletnek nincs negatív valós gyöke. 8) Az x, y, z, a olyan 0-tól különböző valós számok, melyekkel fennállnak az x + y + z = a, 1 x + 1 y + 1 z = 1 a összefüggések. Igazoljuk, hogy ekkor az x, y, z közül legalább az egyik egyenlő a-val. 1) Az a, b, c pozitív valós számok egy háromszög oldalhosszai. Bizonyítsuk be, hogy ez a háromszög egyenlő szárú akkor és csak akkor, ha fennáll c b a + a c b + b a c 2) Az A, B városokból egyszerre indul el egymás felé egy személyvonat és egy gyorsvonat. Találkozásukat követően 3 óra 12 perccel, illetve 1 óra 15 perccel érnek célba. Mennyi ideig tartott a két vonat útja? = 0. 3) Határozzuk meg az x 5 + 1 x 5 kifejezés értékét, ha ismeretes, hogy x2 + 1 x 2 = 7. 9