Írták és összeállították: Balázs Tünde Sinka Zsoltné A kiadó szakmai lektora: Szepesi Anikó Anyanyelvi lektor: Minya Károly Az ábrákat és a technikai szerkesztést készítette: PC-SCHOOL KFT. Szerkesztette: Kuknyó János A kiadást a SCHOOL Kiadó gondozta. A kiadó a kiadói jogokat fenntartja. Készült a tanulásban akadályozott tanulók számára. A könyv kiadását az OM támogatta. Kiadói kód: SC-0006 Kiadó: School Bt., 4400 Nyíregyháza, Irinyi János u. 12/d. telefon: (42) 508-720, 431-288; (20) 9761-957 fax: (42) 508-730; e-mail: schoolbt@freemail.hu Felelõs kiadó: Kuknyó János képviselõ Készült a Color Pack Nyomdaipari Rt. nyomdájában ISO 9002 4400 Nyíregyháza, Westsik Vilmos u. 4. Tel.: (42) 433-844, 433-845 Felelõs vezetõ: Zsukk László elnök-igazgató 2 könyv.pmd 2
Bevezetõ A matematika a legrégebbi tudományok egyike. A ma tanult, illetve tanított összefüggéseket már az ókori egyiptomiak, görögök, rómaiak is ismerték. A matematikai ismeretek használata végigkíséri életünket. A mindennapi életben észrevétlenül alkalmazzuk a matematikai összefüggéseket, kérdéseket. (Mekkora, mennyibe kerül, milyen hosszú stb.) A matematikai ismeretek, problémák megértése és elsajátítása a tanulás mellett nagyon sok gyakorlást igényel. A megértett, de kellõképpen be nem gyakorolt tananyag könnyen feledésbe merül, és így akadályozza a további haladásodat. A matematika a korszerû általános mûveltség része, nélküle nem lehet szakmai ismereteket elsajátítani. Ebben a tankönyvben tovább bõvítjük és rendszerezzük az eddig tanult ismereteiteket. Ez a tankönyv két évre szól, vigyázzatok rá, hogy a második évben is használni tudjátok! Ha a tankönyv feldolgozása során elakadsz, kérd tanárod segítségét! Jó munkát, jó tanulást kívánunk! A szerzõk 3 könyv.pmd 3
könyv.pmd 4 4
Halmaz Fogalma és elemei A halmaz a matematika fontos alapfogalma. Halmazt bármilyen dolgok alkothatnak. Pl. személyek, tárgyak, fogalmak. Halmazt képezhetnek pl. családunk tagjai a magyar ábécé betûi Petõfi összes versei a csillagok az égen. A halmazba tartozó dolgok a halmaz elemei. Egy halmazt elemeinek meghatározásával adhatunk meg. Vannak olyan halmazok, melyeknek meghatározott számú eleme van. Pl. a családtagok száma. A véges számú elemekkel rendelkezõ halmazok a véges halmazok. Virág 5 könyv.pmd 5
A végtelen számú elemekkel rendelkezõ halmazok a végtelen halmazok. 1. Sorold fel a következõ halmaz elemeit! A A; B B; 6 könyv.pmd 6
2. Sorold fel a következõ halmaz elemeit! A; osztálytársaid B; tantárgyaid C; 5-nél nagyobb, de 25-nél kisebb páros számok 3. Mi a közös tulajdonsága a következõ halmazoknak? 4. Mi lehet a következõ halmaz neve, ha elemei: A; Budapest, Prága, London, Párizs, Róma: B; körzõ, vonalzó, szögmérõ: 5. Fel tudod-e sorolni a következõ halmaz elemeit? A páros számok halmaza 7 könyv.pmd 7
Részhalmaz, a halmazok közös része, egyesített halmazok Elkészítettük egy család halmazát. Ezt elneveztük A halmaznak. Ebben a halmazban apa és anya alkotják a szülõk halmazát. Ezt B halmaznak neveztük. A B Apa Anya Húgom Öcsém Én Mivel a szülõk részei a családnak, ezért õket a család halmaz részhalmazának nevezzük. Ebbõl következik, hogy a B halmaz része (részhalmaza) az A halmaznak. A B halmaz részhalmaza az A halmaznak, ha B halmaz minden eleme egyben az A halmaznak is eleme. A B Kiss János Kiss Jánosné Kiss Évike Kissné Tóth Ida Kiss Tibor Tóth László Tóth Lászlóné Tóth Lacika Értelmezzük a halmazábrát! Kik alkotják a Kiss és a Tóth család halmazát? Kik találhatók a két halmaz közös részében? 8 könyv.pmd 8
Két (vagy több) halmaz közös részét a két (vagy több) halmaz metszetének nevezzük. Halmazok metszetét azok az elemek alkotják, amelyek mindegyik halmaznak elemei. A B autóbusz személyautó motor furgon teherautó kamion Az A halmaz személyszállító, a B halmaz áruszállító eszközöket tartalmaz. A két halmaz egyesítésével kapjuk meg a jármûvek halmazát. A jármûvek halmaza tartalmazza mindazokat az elemeket, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. A két halmaz egyesítésébõl kapott halmazba mindazok az elemek beletartoznak, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. 6. Nézd meg a következõ halmazt, majd válaszolj a kérdésekre! A B 1 4 6 2 3 5 7 8 a; Melyek az A halmaz elemei? b; Melyek a B halmaz elemei? c; Mik a metszethalmaz elemei? d; Egyesítsd a két halmazt! Mik lesznek az egyesített halmaz elemei? 9 könyv.pmd 9
Halmazok esetében beszélni kell az üres halmazról is. Az üres halmaznak egyetlen eleme sincs. Pl. a 9. évfolyamba járó nõs fiúk halmaza. 7. Hány eleme van a következõ halmazoknak? A; Osztálytársaid B; Tankönyveid C; Testvéreid D; Unokáid E; Osztályod szemüveges tanulói 8. Mik az elemei az A, B, C halmaznak? A C B a d e b c f g h i A: B: C: Igazak-e a következõ állítások? Válaszolj I vagy H betû beírásával! - Az A halmaz részhalmaza a B halmaz. - Az A halmaznak kevesebb eleme van, mint a C halmaznak. - A B és a C halmaznak van közös eleme. - A g eleme az A halmaznak és eleme a C halmaznak is. 10 könyv.pmd 10
9. Add meg a következõ halmazok elemeit! A; A hét napjai B; Az osztályodat tanító pedagógusok C; A magyar ábécé rövid magánhangzói D; A fõ világtájak E; Nevezetes szögek F; Jelenleg használatos magyar pénznemek G; 10 évesnél fiatalabb 9. osztályos tanulók 11 könyv.pmd 11
10. A 9. osztályosok dolgozatot írtak történelembõl és földrajzból. A halmazábra segítségével válaszolj a következõ kérdésekre! Ötöst kapott történelembõl Ötöst kapott földrajzból Lali Feri Márta Karcsi Jani Éva Mari Zoli Kati A; Hányan kaptak ötöst történelembõl? B; Hányan kaptak ötöst földrajzból? C; Hányan kaptak ötöst történelembõl és földrajzból? D; Hány gyerek kapott ötöst vagy történelembõl, vagy földrajzból? E; Hány gyerek kapott legalább egy ötöst? 11. Nõnapra a fiúk virágokkal lepték meg a lányokat. A halmazábrába azoknak a tanulóknak a számát tüntettük fel, akik virágot vettek. szeg- rózsa 6 1 4 2 3 3 2 lili- A; Hány fiú vett pontosan egy szál virágot? B; Hányan vettek egyszerre szegfût és liliomot? C; Hányan vettek egyszerre rózsát és liliomot? D; Hány tanuló vett rózsát, de szegfût és liliomot nem? E; Hány tanuló vett mindhárom virágból? 12 könyv.pmd 12
Számtan, algebra A matematikaórán leggyakrabban számokból álló halmazokkal foglalkozunk. Ezekkel végezzük a tanult mûveleteket. Tekintsük át és rendszerezzük a tanult ismereteket! Természetes számok Természetes számoknak nevezzük a pozitív egész számokat: 0, 1, 2, 3,, 9, 10, 45, 46 Legkisebb természetes szám a 0, a legnagyobb nem létezik, mindig tudunk 1-gyel nagyobbat mondani. 1. Meg tudod mondani, hány eleme van a természetes számok halmazának? A természetes számok halmaza végtelen halmaz, hiszen elemeinek száma végtelen sok. A tanulmányaid során, de a mindennapi életben is a 10-es alapú számrendszert használjuk. A 10-es számrendszerben felírt számok minden számjegyének van helyi és alaki értéke. Vizsgáljuk meg a helyiérték-táblázat különbözõ helyeire beírt 6-os számot! 13 könyv.pmd 13
A beírt szám alaki értéke mindig 6, helyi értéke pedig egy, tíz, száz, ezer. Így a szám valódi értéke 6, 60, 600, 6000. 2. Melyik számnak a legnagyobb az alaki értéke? 3. Melyik számnak a legkisebb az alaki értéke? 4. Írd be a következõ számokat a helyiérték-táblázatba! 12 453 368 512 2 456 341 409 768 15 473 2 001 607 4 100 235 Válaszd ki mindegyik szám legnagyobb alaki értékû számjegyét, és mondd meg, mennyi a helyi értéke ennek a számnak! 14 könyv.pmd 14
5. Írd be a következõ számokat a helyiérték-táblázatba! 26 451 2 170 51 30 521 691 200 1 803 3 200 541 80 406 Válaszd ki mindegyik szám legnagyobb helyi értékû számjegyét, és mondd meg, mennyi az alaki értéke ennek a számnak! 6. Bontsd fel a következõ számokat a példa szerint! 24 678 = 2 tízezres + 4 ezres + 6 százas + 7 tízes + 8 egyes 14 632 = 40 128 = 7 948 = 530 271 = 1 005 478 = 59 200 = 15 könyv.pmd 15
7. Melyik az a szám, amelyikben van: 5 százas, 3 tízes, 1 egyes 9 százezres, 2 tízezres, 7 ezres, 8 százas, 4 tízes, 2 egyes 1 tízezres, 7 százas, 3 tízes, 9 egyes 5 millió, 2 tízezres, 6 ezres, 1 százas, 8 egyes 4 százezres, 5 ezres, 2 egyes 1 tízezres, 3 százas 2 egyes, 6 tízes, 8 ezres 4 tízes, 1 százezres, 5 ezres, 3 egyes, 7 százas 5 százas, 9 százezres 4 százas, 28 egyes, 16 ezres A természetes számokkal többféle mûveletet végezhetünk: összeadhatjuk õket: 8+1=9, 72+11=83. Szorozhatjuk õket: 2 3=6, 13 4=52. Két természetes szám összege is és szorzata is mindig természetes szám. A természetes számok körében a kivonás és az osztás eredménye nem mindig természetes szám. Például: 5-6, 93-104, 5:4, 23:11. 16 könyv.pmd 16
Mérések, mértékegységek A matematika kialakulásának egyik elsõ mozzanata lehetett, amikor az õsember számba vette, megszámolta az elejtett vadakat, az összegyûjtött terményeket. Amikor állatai elhagyták a barlangot, minden kiengedett állat után egy-egy követ tett egy üregbe. Az állatok esti behajtásakor ezekkel a kövekkel ellenõrizte, hogy visszatért-e mindegyik. A történelmi korok változásával egyre fontosabb lett a mennyiségek pontos ismerete. A méréshez olyan eszközöket választottak, amelyeket könnyû volt használni. Mivel ez országonként is más és más lehetett, így a környezõ országokat járó kereskedõk nagyon nehéz helyzetben voltak. Sok esetben a testrészek váltak mértékegységekké: hüvelyk, arasz, láb, öl. Mértek a kéznél lévõ használati tárgyakkal is: gyûszûvel, csomóval, vékával, lepergõ homokszemekkel. Könnyen belátható, hogy ezek a mérési eszközök nem voltak egységesek. Az emberi test méreteiben tapasztalható eltérések eredményezték azt, hogy új, mindenki által egyformán használható mérõeszközök kellettek. 1. Mit mérhettek az emberek hüvelykkel? lábbal? öllel? csomóval? vékával? lepergõ homokszemekkel? Az ismeretek bõvülésével a tudomány, a technika folyamatos fejlõdésnek indult, s ez elõsegítette a mérõeszközök fejlõdését is. 17 könyv.pmd 17
Pl. a fizikai találmányok bõvülésével újabb és újabb mértékegységek jelentek meg. Szükségessé vált a mérésekkor használt eszközök egységessé tétele, egységes mérõeszközök kialakítása. Napjainkban már olyan egységes mértékrendszert használunk, amely a Föld bármely részén ugyanazt a mennyiséget jelenti. Ezt a mértékrendszert 1980-ban vezették be világszerte. Az egységesen elfogadott mérõeszközökkel mért mennyiségeket szabványos mértékegységekkel fekjezzük ki. Érdekesség: A hosszúság mértékegységét francia tudósok alkották meg 1791-ben. Az Északi-sark és az Egyenlítõ távolságának tízmilliomod részét egy fémrúdon megjelölték és elnevezték egy méternek. Az 1980-tól érvényes mértékrendszer szerint a természettudományban, technikában használatos valamennyi mértékegységet mindössze hat alapegységbõl számítják ki. Ezek: hosszúság (méter), tömeg (kilogramm), idõ (másodperc), elektromos áramerõsség (amper), hõmérséklet (kelvin), fényerõsség (kandela). Az általunk is használt ûrtartalom és területmértékeket ezek segítségével határozták meg. A mennyiségek leírásakor két elemet használunk: Mérõszám: megmutatja, hogy az adott mennyiségbõl hány van. (2 m, 3 kg, 6 l, 5 óra, 3 m 2, 8 m 3 ) Mértékegység: olyan egyezményes jel, amely megmutatja, hogy a test milyen tulajdonságát mérjük: hossz, tömeg, ûrtartalom, idõtartam stb. ( 2 m, 3 kg, 6 l, 5 óra, 3 m 2, 8 m 3 ) Rendszerezzük a mértékekrõl eddig tanultakat! 18 könyv.pmd 18
Hosszúságmértékek A hosszúságmértékekkel két pont távolságát mérjük. Alapegysége a méter. A gyakorlatban használt egységei még: mm, cm, dm, km. km m dm cm mm > > > > 1000 10 10 10 A hosszúság-mértékegységek átváltását segíti a következõ tábla: km m dm cm mm 1 cm = 10 mm 1 dm = 10 cm 1 dm = 100 mm 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm 1 km = 1000 m 1 km = 10 000 dm 1 km = 100 000 cm 1 km = 1 000 000 mm 19 könyv.pmd 19
2. Váltsd át a következõ mennyiségeket! 4 m = dm = cm = mm 7 dm = cm = mm 8 cm = mm 5 km = m 30 dm = m 240 cm = dm 1200 mm = cm = dm 3. Váltsd át a következõ mennyiségeket! 280 mm = dm cm mm 657 mm = dm cm mm 406 mm = dm cm mm 1523 mm = dm cm mm 4. Váltsd át a következõ mennyiségeket! Fejezd ki tizedes tört alakban! 36 cm = dm 79 dm = m 456 cm = m 782 cm = dm 516 m = km 123 mm = dm 429 mm = cm 618 mm = m 5. Váltsd át a következõ mennyiségeket! 4,8 m = dm 5,21 m = dm = cm 24,138 m = dm = cm = mm 58,306 m = dm = cm = mm 0,15 m = dm = cm 20 könyv.pmd 20
Ûrtartalommértékek Leginkább folyadékok mennyiségének mérésére használt mérték. Az ûrtartalom alapegysége a liter. (Ez egy származtatott mértékegység: 1 liter víz fér egy olyan kocka alakú edénybe, amelynek élei 1 dmesek.) 1dm 3 = 1l A gyakorlatban használt egységei még: ml, cl, dl, hl Az ûrtartalom-mértékegységek átváltását segíti a következõ tábla: 1 cl = 10 ml 1 dl = 10 cl 1 dl = 100 ml 1 l = 10 dl 1 l = 100 cl 1 l = 1000 ml 1 hl = 100 l 1 hl = 1000 dl 1 hl = 10 000 cl 1 hl = 100 000 ml 21 könyv.pmd 21