1. Halmazok uniója A halmaz: Elemek összessége. A halmazokat meg lehet adni: Az elemek felsorolásával pl.: A:= {1,2,4,7,14,28} A halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával; pl.: A:={28 pozitív osztói} Jellel pl.: A halmazokat mindig nagybetűvel jelöljük. Az elemeket { } zárójelbe tesszük. Ha egy adott a elem benne van az A halmazban, akkor a következőképpen jelöljük: ; ha nincs benne a halmazban: Két halmaz egyenlő, ha elemeik megegyeznek. Unió (halmazok egyesítése): Két halmaz (A és B) uniója azon elemek összessége, amelyek az vagy A-ban, vagy B-ben legalább az egyikben benne vannak. Jelölése: A B 2. Halmazok metszete Metszetképzés (halmazok közös része): Két halmaz (A és B) metszete azon elemek összessége, amelyek A-ban és B-ben is benne vannak. Jelölése:
3. Halmazok különbsége Különbségképzés: Két halmaz (A és B) különbsége azon elemek összessége, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem. Jelölése: A \ B 4. Halmazok elemszáma Kétféleképpen csoportosíthatjuk a halmazokat elemszám szerint: Véges halmaz: elemei száma konkrét természetes szám, pl. A =4 (az A halmaznak 4 eleme van) Végtelen halmaz: - Megszámlálhatóan végtelen halmazok, pl. Természetes számok - Megszámlálhatatlanul végtelen halmazok, pl. körvonal pontjai, valós számok 5. Részhalmaz fogalma Egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az A halmaznak a B halmaz részhalmaza, ha B valamennyi eleme A- nak is eleme. Jelölése: (vagy ) Valódi részhalmaz: Az A halmaznak a B halmaz valódi részhalmaza, ha B valamennyi eleme A-nak is eleme, de A-nak van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme B-nek. Jelölése: (vagy ) Ha ez nem teljesül, azaz B nem valódi részhalmaza A-nak, akkor azt így jelöljük:
6. Számok ellentettje A matematikában egy x szám ellentettje (vagy additív inverze) az a szám, amivel x- et összeadva az eredmény nulla. Az ellentett jele: x: Például a 7 ellentettje a 7, mert 7 + ( 7) = 0 A természetes számok között egyedül a 0-nak van ellentettje. Ha azonban az egészek között vizsgálódunk, akkor azoknak az egészeknek is van ellentettjük, amik egyébként egyben természetes számok is, csak ezek az ellentettek a 0-t kivéve nem természetes számok. Egy szám ellentettjének létezése tehát csak egy konkrét számhalmazon értelmezhető. 7. Számok abszolút értéke 8. Számok normálalakja A normálalak egy matematikai jelölésmód valós számok leírására (a nulla kivételével). A természettudományokban elterjedt a használata, mert könnyebbé teszi a nagyon nagy, ill. nagyon kicsi számok összehasonlítását. A normálalak olyan szorzat formájában fejezi ki a számokat, amelynek első tényezője abszolút értékben 1-nél nem kisebb, 10-nél kisebb szám (1 n<10 vagy 10<n 1), második tényezője pedig 10-nek egész kitevős hatványa (a kitevő 0 és negatív szám is lehet). Az első tényező fejezi ki a számjegyeket, a második a nagyságrendet. Például: 25 000 = 2,5 10 4 80 = 8 10 1 0,009 = 9 10 3 9. Százalékszámítás A százalék századrészt jelent: 1/100 = 0.01 = 1század. Azt a számot, amely megmutatja, hogy egy mennyiség hány százalékát kell kiszámítani százaléklábnak (t) nevezzük. Azt a mennyiséget, amelynek a százalékát számítjuk, alapnak(a), a számítás értékét százalékértéknek (sz) nevezzük. Százalékérték = alap / 100*százalékláb, azaz alap=százalékérték /százalékláb*100, azaz Százalékláb =százalékérték / alap*100, azaz sz = a/100*p a = sz/p*100 p = sz/a*100 Mennyi 125-nek a 13 százaléka? Melyik az a szám, amelynek 18 százaléka 6.3? Sz = 125/100*13 = 16.25. A = 6.3/13*100 = 35.4. Hány százaléka 31 az 1500- nak? P = 33/1500*100 = 212 százalék.
10. Számok reciproka A matematikában egy nem nulla valós szám reciprokának (inverzének) azt a számot nevezik, amivel a számot szorozva az eredmény 1. Ha a számot x jelöli, akkor a reciproka 1/x, azaz 1 osztva x-szel, vagy másképp x 1, azaz x a mínusz egyedik hatványon. Törtformában felírt racionális szám esetében a számláló és a nevező felcserélésével egyszerűen megkapható a reciprok. Példák: Az egész számok közötti szorzást tekintve csak az 1-nek és a -1-nek van inverze (önmaguk), ugyanis az 1-en és -1-en kívül egyetlen egészhez sincsen olyan másik egész, hogy szorzatuk az 1-et adná. A racionális, a valós és a komplex számok esetében (külön-külön tekintve őket) a nulla kivételével minden elemnek van inverze. 11. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös A matematika területén a legnagyobb közös osztó egy algebrai fogalom. Jelentése: Két nem nulla egész szám közös osztói közül a lehetséges legnagyobb nem nulla pozitív egész, amely mindkét egész számot maradék nélkül osztja. A legnagyobb közös osztója a és b számoknak a következő formában írandó: (a,b) Két szám relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk az 1. A legnagyobb közös osztó megkeresése hasznos lehet törteknél egyszerűsítéskor. Pl.: A legnagyobb közös osztó megkereséséhez meg kell határozni az adott két szám prímtényezőit, azaz a számokat fel kell bontani prímszámok szorzatára. Egy másik példa alapján a (120, 560) kiszámolásánál felírandó, hogy 120 = 5 3 2 3 és 560 = 7 5 2 4. Ekkor venni kell a közös prímtényezőket, (mint ahogy a nevében is van), méghozzá az összeset. Itt most 5 2 3 = 40, így: (120, 560) = 40. 12. Számok pozitív egész kitevőjű hatványai Jelölése a b (a a b-ediken), ahol a-t alapnak, b-t kitevőnek nevezzük. Pozitív egész b kitevő esetén a hatványozás b darab egymást követő azonos szám összeszorzását jelenti. Ha a tetszőleges valós szám, b pedig 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor a b hatvány azt a b tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a:
Mivel egytényezős szorzat nem létezik, a b=1 esetet külön kell definiálni: Nulla kitevőre: Ha az a valós szám nem nulla, akkor A 0 0 kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen. 13. Hatványozás azonosságai A szorzat alakú definícióval belátható azonosságok pozitív egész kitevő esetén: Azonos kitevőjű hatványok szorzata: az alapok szorzata a közös kitevőre emelve. Azonos alapú hatványok szorzata: a közös alap a kitevők összegére emelve. Azonos alapú hatványok osztása esetén a tört egyszerűsíthető. Az eredmény attól függ, hogy a számláló vagy a nevező kitevője nagyobb. Tört hatványa egyenlő a számláló és a nevező hatványának hányadosával. a szorzás asszociativitása (felcserélhetőség) miatt. A komplex számok hatványozása nem egyértelmű. Ekkor az azonosságok mindkét oldalának több lehetséges értéke is lehet. 14. Nevezetes azonosságok (a + b)² = a² + 2ab + b² (a b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b² (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a- b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ a³ + b³ = (a + b) (a²- ab + b²) a³ - b³ = (a- b) (a² + ab + b²)
15. Négyzetgyökvonás A négyzetgyökvonás egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). Az a szám négyzetgyökének jele: A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen a-nak és a-nak ugyanúgy a 2 a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív. A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány: A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük. Ha a nemnegatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a: A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív. 16. Négyzetgyökvonás azonosságai 17. Lineáris egyenletrendszer megoldása A lineáris egyenletrendszer olyan többváltozós egyenletrendszer, ahol minden ismeretlen változó elsőfokon (azaz első hatványon) szerepel.
Egy m egyenletből álló és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer: Itt az x-ek az ismeretlenek, az a-k az ismeretlenek együtthatói, és a b-k az egyenletek konstansai. 2x2-es lineáris egyenletrendszer megoldása: 18. Másodfokú egyenlet megoldóképlete Az alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete:. A másodfokú egyenlet megoldóképletét először, a mai alakhoz hasonló egységes formában (a felesleges, együtthatókkal kapcsolatos esetszétválasztások nélkül) Michael Stifel (1487-1567) írta fel, bár a mainál sokkal esetlenebb jelölésekkel. 19. Másodfokú egyenlet diszkriminánsa A diszkrimináns szó jelentése: előre megítélés, eldöntés, döntő tényező. A matematika területén magasabb fokú egyenletek megoldása során alkalmazzuk, ahol az adott egyenlet megoldóképletének szerves része maga, a diszkrimináns képlete. A diszkrimináns jele D. A diszkrimináns a gyakorlatban az adott magasabb fokú egyenletek gyökeinek számát határozza meg, dönti el. Másodfokú egyenleteknek legfeljebb 2 gyöke lehet, minimum 0. Ennek értelmében 3 lehetséges kimenetele lehet egy másodfokú egyenlet megoldásának. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa a gyökjel alatt található. Ha, akkor egy megoldás létezik a valós számok halmazán. (Kétszeres gyök,.) Ha, akkor két megoldás létezik a valós számok halmazán. Ha, akkor nincs megoldás a valós számok halmazán, hiszen ekkor negatív számból kell gyököt vonnunk. A komplex számok halmazán mindig két megoldás van, kivéve ha kétszeres gyök lép fel., amikor egyetlen
20. Logaritmus fogalma, azonosságai A b pozitív számnak az 1-től különböző pozitív a alapú logaritmusának nevezzük azt a hatványkitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Ez röviden:, (0<a és ;0<b). A hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a gyökvonás). A pozitív b szám a alapú logaritmusán (ahol a egytől különböző pozitív szám) azt a kitevőt értjük, melyre a- t emelve b-t kapjuk. A b szám a alapú logaritmusát jelöli, mely tehát az egyetlen valós szám, melyre Az elnevezés a görög λόγος (logosz, arány) és λριθμός (arithmosz, szám) szavak összetételéből származik. Azonosságok: A szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével: Tört logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező logaritmusának különbségével. Hatvány logaritmusa egyenlő az alap logaritmusának és a kitevőjének a szorzatával. A harmadik azonosságból és a törtkitevőjű hatvány értelmezéséből következik a gyök logaritmusára vonatkozó azonosság: a gyök logaritmusa egyenlő a gyök alatti kifejezés logaritmusának és a gyökkitevőnek a hányadosával. 21. Két sík hajlásszöge Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy (P) pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge a két merőleges hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független. Megkaphatjuk ezt a szöget úgy is, hogy a metsző síkokat 1, a metszésvonalakra merőleges síkkal elmetsszük. Ez a sík az eredeti két síkból egy-egy egyenest metsz ki. Ezek hajlásszöge a két sík hajlásszöge.
22. Pitagorasz tétel A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik állítása. Bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével. Tehát: ha egy háromszög derékszögű, akkor a leghosszabb oldalára emelt négyzet területe a másik két oldalra emelt négyzetek területének összegével egyenlő. A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): a 2 + b 2 = c 2. 23. Thálesz tétel és megfordítása A Thalész-tétel a geometria egyik legkorábbi eredetű tétele. Ha egy kör átmérőjének A és B végpontját összekötjük a körív A-tól és B-től különböző tetszőleges C pontjával, akkor az ABC háromszög C-nél lévő szöge derékszög lesz. Megfordítása: 1. Ha egy háromszög derékszögű, akkor három csúcsa olyan körön van, melynek átmérője az átfogó. 2. A derékszögű háromszög köré olyan kör írható, melynek középpontja az átfogó felezőpontja). 3. (A kör definícióját alkalmazva): ha egy háromszög derékszögű, akkor leghosszabb oldalának (átfogójának) felezőpontjától az összes csúcspont egyenlő távolságra esik 4. Ha az átmérő egy C pontból derékszögben látszik, akkor C a köríven van (de nem az átmérőn). Vagy elegánsabban fogalmazva: Csak a köríven lévő pontokból látszódhat az átmérő derékszög alatt.
Megjegyzés: Egy, az AB szakaszon kívül lévő P pontból az AB szakasz α nagyságú szögben látszik, ha az ABP háromszög P-nél lévő belső szöge éppen α. 1.ábra 24. Háromszög súlyvonala, súlypontja A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz, ami a háromszög két egyenlő területű részre bontja. A három súlyvonal egy pontban metszi egymást, a metszéspontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont egyben a háromszög tömegközéppontja is: ha a háromszöget például fából legyártanánk, a súlypontot vagy az egész súlyvonalat alátámasztva egyensúlyban lenne. A súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalat úgy, hogy a csúcstól fekszik távolabb. 25. Háromszög területe Minden háromszög területét ki lehet számolni egy oldalának és az oldalhoz tartozó magasságnak a szorzatával: T = (a m a ) / 2 (Egy oldalhoz tartozó magasság az a szakasz, ami az oldallal szemközti csúcsból indul ki és merőleges az oldalra) A szabályos háromszög, vagy egyenlő oldalú háromszög, minden oldala egyenlő és minden szöge 60. Területe, magassága,
26. Szabályos hatszög területe A geometriában hatszögnek nevezik az olyan sokszögeket, melyeknek hat oldaluk és hat csúcsuk van. Minden hatszögre igaz, hogy szögeinek összege 720. A szabályos hatszög oldalhossza megegyezik a köré írható körsugarával. Területe: Jelölje a az oldalak hosszát. Ekkor a szabályos hatszög területe a következőképpen határozható meg: 27. Téglalap fogalma, területe A téglalap (latinul oblongum) egy olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög. Két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú, ezért minden téglalap egyben paralelogramma is. A négyzet a téglalap egy speciális típusa, amelynek minden oldala egyenlő. A téglalap belső szögeinek összege 360. Mivel a szemközti szögeinek összege 180, ezért a téglalap egyúttal húrnégyszög is. Területe a két oldal szorzata: T = ab 28. Trapéz fogalma, területe Olyan négyszög, amelynek vannak párhuzamos oldalai, illetve két oldala párhuzamos egymással. Ezek a trapéz alapjai, az általuk meghatározott egyenesek a trapéz alapegyenesei, ezeknek a távolsága a trapéz magassága, az alapok végpontjait összekötő szakaszok a trapéz szárai, a szárak felezőpontjait összekötő szakasz(ok) a trapéz középvonala(i). Ha a trapéz szárai is párhuzamosak - vagyis négy alapja van és mindegyik szár is -, akkor paralelogrammának nevezzük. Az ilyen trapézok szárai egyenlők, de az egyenlőszárú trapézok nem mind paralelogrammák. Ha nem paralelogrammák, akkor körbeírhatók, vagyis húrnégyszögek. Ha paralelogrammák is és húrnégyszögek is, akkor téglalapok. Tehát, ha a és c a két párhuzamos oldal, és m a köztük lévő távolság (magasság), a területképlet a következő:
Egy másik területképlet akkor alkalmazható, ha csak a trapéz oldalainak hosszát ismerjük. Ekkor, ha az oldalak rendre a, b, c és d, valamint a és c szintén párhuzamosak (ahol a a hosszabbik párhuzamos oldal), akkor: 29. Derékszögű háromszögre magasságtétel A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis. Bizonyítás: Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az (α szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis, ami ekvivalens az állítással. 30. Szinusz, koszinusz, tangens és kotangens fogalma hegyesszögekre 31. Tetszőleges szög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense Az origó középpontú i egységvektorα szöggel való elforgatottja legyen e egységvektor. Az α szög szinusza megegyezik az e y-tengelyen vett vetületének előjeles hosszával. Az α szög koszinusza megegyezik az e x-tengelyen vett vetületének előjeles hosszával. Az α szög tangense megegyezik azzal a szakasz előjeles hosszával, melyet az origó középpontú, egység sugarú kör (1;0) pontjához húzott érintőjéből e egyenese kimetsz. Az α szög kotangense megegyezik azzal a szakasz előjeles hosszával, melyet az origó középpontú, egység sugarú kör (0;1) pontjához húzott érintőjéből e egyenese kimetsz. y ctg α sinα e α i cosα tgα x
32. A szinusz- és koszinusz-függvény 33. Szinusztétel A szinusztétel egy geometriai tétel, miszerint egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. Tehát vagy (ritkábban) A szinusztétellel ekvivalens az az állítás, miszerint bármely háromszögben egy oldal hosszának és a szemközti szög szinuszának aránya állandó (tehát ez az arány független attól, hogy melyik oldalra és vele szemközti szögre írjuk fel). Ez az állandó nem más, mint az adott háromszög körülírt köre átmérőjének reciproka: 34. Koszinusztétel A koszinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben egy oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinusza szorzatának kétszeresét. vagy másként:
35. Trigonometrikus azonosságok 36. Kocka lapátlói és testátlói Egy kocka lapátlója a kocka egy lapjának átlója. (AC) Egy kocka testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza. (AC ) A testátlók száma ezzel a képlettel számítható: Ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma N i A lapátlók számát az alábbi képlettel számolhatjuk ki, ahol n az oldalak száma: 37. Vektor fogalma 38. Vektor megadása koordinátákkal, helyvektor 39. Egyenes irányvektoros egyenlete 40. Egyenes normálvektoros egyenlete