Javítóvizsgára készülést segítő anyagok matematikából 9. szakgimnázium 9/A 9/B 9/C 9/D A felkészülés alapja elsősorban az év során lelkiismeretesen vezetett füzet, amelyben minden típusú feladat megtalálható, ami a javítóvizsgán előfordulhat. Segítséget nyújt még a felkészüléshez a Mozaikos 9.-s matematika tankönyv. Javasolt feladatsorok a tankönyvből (a sárga és kék színnel jelöltek): Halmazok: Algebra és számelmélet: Függvények: Háromszögek, négyszögek: Egyenletek, egyenlőtlenségek: Egyenletrendszerek: Egybevágósági transzformációk: 25. 30. 31. 34. 35. 36. 37. oldal 47. 51. 54. 57. 59. 64. 65. 67. 73. 79. 82. 86. oldal 91. 95. 101. 105. 109. 115. oldal 138. 142. 144. 148. 150. 156. oldal 162. 163. 168.172. 176. 181. 187. 194. 198. oldal 203. 208. oldal 220. 224. 227. 230. 235. 238. oldal A javítóvizsga 45 perces írásbeli részből áll. A megoldáshoz függvénytáblázat, valamint szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológép használható. A feladatok megoldásának sorrendje tetszőleges.
9. szakg. Mat. javv. témakörei 2 Műveletek törtekkel Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok I. Kombinatorika, halmazok Leszámlálási feladatok többféle gondolatmenettel, konvex sokszög átlóinak száma, belső szögeinek összege. Ráadás: konvex sokszög belső és külső szögösszegének bizonyítása 3 Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Leszámlálási feladatok Leszámlálási feladatok kiegészítésekkel: leszűkítés, szétválasztás stb. 4 Halmazok Halmazok (alapfogalom), véges és végtelen halmaz, üres halmaz, részhalmaz. Részhalmazok felsorolása (leszámlálási feladatokhoz való kapcsolódás). 5 Számhalmazok Végtelen halmazok 6 Halmazműveletek Halmazműveletek: unió, metszet, különbség. Ábrázolásuk. 8 Halmazok elemszáma, logikai szita 9 Számegyenesek intervallumok Számegyenes, intervallumok, abszolútérték fogalma. Nyílt és zárt intervallum, ábrázolásuk. 10 Gráfok II. Algebra és számelmélet Kerekítés és pontosság, mérhető mennyiségek számértékének jelentése 13 Betűk használata a matematikában Mit jelent egy betű egy kifejezésben 14 Hatványozás. A hatványozás alapazonosságai A 10 hatványai, millió és milliárd 15 Hatványozás egész kitevőre Hatványozás azonosságai egész kitevők esetén 16 Hatványozás egész kitevőre 17 A számok normálalakja Számok normálalakja 19 Egész kifejezések (polinomok) 20 Nevezetes szorzatok Nevezetes azonosságok 21 A szorzattá alakítás módszerei. Kiemelés, Két azonos kitevőjű hatvány összegének, nevezetes azonosságok. különbségének szorzattá alakítása 22 A szorzattá alakítás módszerei. Kiemelés, nevezetes azonosságok 23 Műveletek algebrai törtekkel Algebrai tört fogalma, értelmezési tartománya
24 Műveletek algebrai törtekkel 25 Oszthatóság. Az oszthatóság tulajdonságai. Feladatok 26 Oszthatóság. Az oszthatóság tulajdonságai. Feladatok 27 Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 28 Számrendszerek "Osztó, többszörös; prímszám és összetett szám; a számelmélet alaptétele" Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, relatív prím Számrendszer fogalma, számok átírása 10-es számrendszerről oda és vissza
32 A derékszögű koordinátarendszer, ponthalmazok 33 Lineáris függvények 34 Az abszolútérték-függvény 35 Az abszolútérték-függvény transzformáció III. Függvények Függvény fogalma, megadása, jelölések, függvény grafikonja Lineáris kapcsolat, lineáris függvény, elsőfokú függvény, egyenes arányosság, monotonitás, egyenesek meredeksége Szélsőérték: minimum és maximum. Függvény abszolút értéke 36 A másodfokú függvény Másodfokú függvény, parabola, ráadás: függvény leszűkítése és kiterjesztése 37 A másodfokú függvény transzformáció Teljes négyzetté alakítás 38 A négyzetgyökfüggvény és transzformáció "Négyzetgyökfüggvény; függvény zérushelye, értékkészlete" 39 Lineáris törtfüggvények egyenes arányosság, fordított arányosság függvénye, szigorú monotonitás 40 Lineáris törtfüggvények transzformációja 41 A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása
45 Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete 46 Néhány alapvető geometriai fogalom IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek 47 A háromszögekről. Belső és külső szögek összege, háromszög-egyenlőtlenség Háromszög-egyenlőtlenségek. 48 Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között 49. A Pitagorasz-tétel és megfordítása 50 Feladatok Pitagorasz tételére 51 A négyszögekről 52 Feladatok négyszögekre 53 A sokszögekről. Átlók száma, belső és külső szögeinek összege 54 Feladatok sokszögekre 55 Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Tengelyesen szimmetrikus és szabályos háromszög. Nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és megfordítva. Húrsokszög, érintősokszög. Érintőnégyszög tétele. 56 A háromszög beírt köre, a háromszög körülírt köre Háromszög nevezetes vonalai és nevezetes pontjai: oldalfelező merőleges, szögfelező, körülírt kör, beírt kör, magasság, magasságpont. 57 58 59 63 64 Háromszög súlyvonal, magasság és középvonalai Thalész tétele és néhány alkalmazása (pl. körhöz külső pontból érintő szerkesztése; érintőnégyszögek) Thalész tétele és néhány alkalmazása (pl. körhöz külső pontból érintő szerkesztése; érintőnégyszögek) Az egyenlet, azonosság fogalma, gyenletek grafikus megoldása Egyenletek értelmezési tartománya és értékkészlete V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Thalész-tétel és a tétel megfordítása. Feltétel és állítás. Egyenlet, egyenletrendszer, egyenlőtlenség és grafikon kapcsolata Egyenlet, egyenlet gyöke. 65 Egyenlet megoldása szorzattá alakítással 66 A mérlegelv Mérlegelv. 67 Egyenletek megoldása 69 Egyenlőtlenségek Mérlegelv az egyenlőtlenségek esetén
70 Egyenlőtlenségek 71 Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 72 Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 73 Szöveges feladatok 74 Szöveges feladatok 78 Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek 79 Egyenletrendszerekkel megoldható feladatok 80 Egyenletrendszerekkel megoldható feladatok 81 Szöveges feladatok 82 Gyakorlati feladatok Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz Egyenletrendszer fogalma. Egyenlő együtthatók módszere, Behelyettesítő és összehasonlító módszer, Új ismeretlen bevezetése. A geometriai transzformáció fogalma, Ráadás: további térbeli egybevágósági 86 példák geometriai transzformációkra transzformációk: eltolás, tükrözés síkra 87 Tengelyes tükrözés a síkban Fixpont és fix egyenes 88 Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. Feladatok tengelyes tükrözésre 89 Középpontos tükrözés a síkban VI. Egybevágósági transzformációk Középpontos és forgásszimmetria. Ráadás: térbeli szimmetriák 90 Középpontosan szimmetrikus alakzatok. Feladatok középpontos tükrözésre A középpontos tükrözés alkalmazásai. 91 Paralelogramma, magasságvonal, súlyvonal A középpontos tükrözés alkalmazásai. 92 Paralelogramma, magasságvonal, súlyvonal 93 Pont körüli forgatás a síkban A pont körüli forgatás alkalmazásai. 94 Ívhossz, körcikk területe, ívmérték, forgásszimmetria 95 Párhuzamos eltolás. Vektorok Vektor, egyenlő és ellentett vektorok. Ráadás: térbeli egybevágósági transzformáció: egyenes körüli forgatás 96 Műveletek vektorokkal Összeadás,kivonás, skalárral való szorzás
97 Alakzatok egybevágósága Alkzatok osztályozása a különböző szimmetria tulajdonságok szerint
Javítóvizga témakörei 10.C Témakör Mértékegységek Százalékszámítás, statisztika Megoszlási-, dinamikus viszonyszám Bázis- és láncviszonyszám Tervfeladat- és tervteljesítési viszonyszám Árképzés Felkáészülési javaslat: - a füzetben, a példatárban az egyes fejezetek elméleti részének áttekintése Mértékrgységek(hossz) Mértékrgységek(tömeg) Mértékrgységek(térfogat és ürmérték) Mértékegységek(idő) Százalékszámítás Kerekítés szabályai Veszteség és tömegnövekedés számítás Megoszlási viszonyszám Dinamikus viszonyszám Bázisviszonyszám Láncviszonyszám Tervfeladat-és tervteljesítési viszonyszám Viszonyszámok közötti összefüggések Áruk árának kialakítása,az árképzés(haszonkulccsal és szintekkel) Ár- és bevételelemzés az órai feladatatok megoldása, megoldás logikai sorrendjének megjegyzése a példatár kidolgozott mintafeladatai alápján a megoldás menetének rögzítése a javítóvizsga feladatsora a témazáró dolgozatok feladattípusai alapján készül,ezért az ajánlott feladatsorok újbóli önálló megoldása célszerű 1
Javaslat a felkészüléshez: Javítóvizsgára készülést segítő anyagok matematikából 10. oszt 1. Adott témakör elméleti ismereteinek áttekintése (füzet, tankönyv) 2. Füzetben, tankönyvben(tk) lévő kidolgozott mintafeladatok megoldásának megismerése, a feladat megoldások logikai sorrendjének rögzítése. 3. Füzetben, példatárban lévő típusfeladatok önálló megoldása, ha kell füzet, tk egy-egy lépését segítségül véve. 4. Önálló feladatmegoldás a példatári, tk. feladatokból (egyes leckék, ill. fejezet végén). 5. A HF, a témazáróra készüléshez ajánlott feladatsorok időre történő megoldása- témazárók 1-3 faladat típusából 5-7 db-ot meg kell tudni oldani 45-60 perc alatt. Példatár használata: Érdemes a sárgával jelölt gyakorló feladatokkal kezdeni és minden feladatból az utolsó 3-4 megoldani! Néhány ajánlott típusfeladat: Statisztika(9. tk): példatár 1767-1770, 1776, 1780, 1783, 1784, 1789,1795,1804 Tk269-70/4-9 Gyökvonás: 2097-99, 2100-2111, 2112,2115,2116,2125-2135 Másodfokú egyenlet: 2149-2154,2157-2164,2168-2181,2184-2189,2200-2202,2206,2210-2216, 2220-2232 Geometria: 2249-2288, 2295-2311, 2315-2344, 2351-2369, 2375-2385, 2392-2402, 2411-2429, 2438 a-e, 2439 a,b,2440, 2441 a-f,2442,2452-2475, 2481-2503, 2511-2521,2523-2525,2527-2529,2540-2559,2568-2582,2595-2607,2612,2614,2617,2622,2627 kivéve a bizonyítsuk be,igazoljuk,ill. szerkesztést tartalmazó feladatokat(azonban a vektorok esetében kell a szerkesztés) Szögfüggvények: 2633-2638,2639a-k,2642a-d,2643a,b,2644-2645a-c,2647-48,2653ak,2656a-d,2658,2659a-e,2673,2674
10. szakg.fizika (jav. témakörei, felkészülési javaslat) - A felkészülés alapjául a füzetet, az órai vázlatokat érdemes használni, amit a tankönyvi ismeretekkel el lehet mélyíteni. - Az összefoglaló kérdések, az összefoglaláskor megadott feladattípusok szerepelnek a vizsgán is. - A kérdések elolvasása után a tk-et úgy kell olvasni, hogy az adott kérdésekre keressük a válaszokat. - A feladatok megoldásához érdemes használni a fv. táblázatot.
I.ELEKTROSZ TATIKA 1. Az elektromos állapot I. Elektromos jelenségek. 2. Coulomb törvénye. 3. Az elektromos mező I. 4. Az elektromos mező II. 5. Az elektromos erővonalak I. 6. Az elektromos erővonalak II. Erővonalak és térerősség. Fluxus. 7. Az elektromos mező munkája, a feszültség I. 9. 8. Az elektromos mező munkája,a feszültség II. Vezetők elektrosztatikus térben I. 10. Vezetők elektrosztatikus térben II. 11. Kondenzátorok. 12. Az elektromos áram,áramerősség, az egyenáram II. 16. Az elektromos ellenállás,ohm törvénye. 17. Vezető ellenállása. 18. Az áram hő-és élettani hatása. 19. Fogyasztók kapcsolása. 20. Fogyasztók vegyes kapcsolása,feladatok. 21. 22. Az áram vegyi hatása. Áramforrások. III.AZ IDŐBEN ÁLLANDÓ MÁGNESES MEZŐ Mágneses alapjelenségek,szemléltetés indukcióvonalakkal. 23. Mágneses induk-
ció,mágneses fluxus. 24. Az elektromos áram mágneses mezeje. Az egyes áramelrendezések. 25. IV.HŐTANI FOLYAMA- TOK A hőmérséklet és a hőmennyiség. 30. Egyesített gáztörvény. 31. Izoterm állapotváltozás. 32. Izobár állapotváltozás. 33. Izochor állapotváltozás. 37. Termodinamikai folyamatok energetikai vizsgálata. 38. Ideális gázok hőkapacitása és fajhője. 39. A hőtan II. főtétele. 40. Párolgás, forrás,lecsapódás. 41. Jég,víz,gőz. 26. A szilárd testek hőtágulása. 34. Az ideális gáz állapotegyenlete. 42. A kalorimetria. 27. A folyadékok hőtágulása. 28. A hő terjedése. 35. V.TERMODIN AMIKA Kinetikus gázelmélet. 29. A gázok állapotjelzői. 36. A hőtan I. főtétele.
Javaslat a felkészüléshez: Javítóvizsgára készülést segítő anyagok matematikából 10. oszt 1. Adott témakör elméleti ismereteinek áttekintése (füzet, tankönyv) 2. Füzetben, tankönyvben(tk) lévő kidolgozott mintafeladatok megoldásának megismerése, a feladat megoldások logikai sorrendjének rögzítése. 3. Füzetben, példatárban lévő típusfeladatok önálló megoldása, ha kell füzet, tk egy-egy lépését segítségül véve. 4. Önálló feladatmegoldás a példatári, tk. feladatokból (egyes leckék, ill. fejezet végén). 5. A HF, a témazáróra készüléshez ajánlott feladatsorok időre történő megoldása- témazárók 1-3 faladat típusából 5-7 db-ot meg kell tudni oldani 45-60 perc alatt. Példatár használata: Érdemes a sárgával jelölt gyakorló feladatokkal kezdeni és minden feladatból az utolsó 3-4 db-ot megoldani. Néhány ajánlott típusfeladat: Statisztika(9. tk): példatár 1767-1770, 1776, 1780, 1783, 1784, 1789,1795,1804 Tk269-70/4-9 Gyökvonás: 2097-99, 2100-2111, 2112,2115,2116,2125-2135 Másodfokú egyenlet: 2149-2154,2157-2164,2168-2181,2184-2189,2200-2202,2206,2210-2216, 2220-2232 Geometria: 2249-2288, 2295-2311, 2315-2344, 2351-2369, 2375-2385, 2392-2402, 2411-2429, 2438 a-e, 2439 a,b,2440, 2441 a-f,2442,2452-2475, 2481-2503,2511-2521,2523-2525,2527-2529,2540-2559,2568-2582,2595-2607,2612,2614,2617,2622,2627 kivéve a bizonyítsuk be,igazoljuk,ill. szerkesztést tartalmazó feladatokat(azonban a vektorok esetében kell a szerkesztés) Szögfüggvények: 2633-2638,2639a-k,2642a-d, 2643 a,b,2644-2645 a-c,2647-48,2653ak,2656a-d,2658,2659a-e,2673,2674
10. szakköz. Mat(10.A-B D,C) Javítóvizsga témakörei Szükséges, elégséges, szükséges és 1 elégséges feltétel Bizonyítás példával, ellenpéldával, 2 következtetéssel. Indirekt bizonyítás 3 A skatulya-elv 4 Feladatok a skatulya-elv alkalmazására 5 Sorba rendezési problémák 6 Kiválasztási problémák Vegyes feladatok sorba rendezésekre, 7 kiválasztásokra 8 Racionális, irracionális számok 9 Műveletek a valós számkörben 10 A négyzetgyökvonás azonosságai 11 A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása I. Gondolkodási módszerek II. A gyökfogalom kiterjesztése Műveletek négyzetgyökkel, a korábban tanultak elmélyítése. Négyzetgyökös azonosságok megismerése, műveletek négyzetgyökkel. 12 Az azonosságok alkalmazása feladatokban (gyöktelenítés, valós számok összehason lítása, helyettesítési értékek) 13 A számok n-edik gyöke 14 Az n-edik gyökvonás azonosságai
15 A másodfokú egyenlet és függvény 16 A megoldóképlet 17 Feladatok megoldása, diszkrimináns III. A másodfokú egyenlet Másodfokú függvények ábrázolása, vizsgálata. A teljes négyzetté alakítás és a gyöktényezős szorzattá alakítás módszerének elmélyítése. Ismerje meg és használni is tudja a másodfokú egyenlet megoldóképletét algebrai problémákban. Képes legyen a számológépének segítségével is másodfokú egyenletek megoldására. A másodfokú egyenlet diszkriminánsának vizsgálatával a tanuló képes legyen meghatározni a gyökök számát. 18 A gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése Másodfokú polinomok felírása gyöktényezős alakban, másodfokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással 19 Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek Új ismeretlen bevezetése mint egyedi módszer 20 Másodfokú egyenlőtlenségek Egyenlőtlenségek és a másodfokú függvények összekapcsolása 21 Négyzetgyökös egyenletek Gyökös egyenletek megoldásszámának vizsgálata és megoldása 22 Másodfokú egyenletrendszerek Egyenletrendszerek geometriai származtatása 23 A számtani és mértani közép Az átlag és a számtani közép fogalmának elsajátítása, alkalmazása. 24 Szélsőérték feladatok A tanuló ismerje és alkalmazni tudja a számtani és mértani közép fogalmát szöveges és gyakorlati feladatokban. 25 Másodfokú egyenletre vezető problémák 26 A körrel kapcsolatos ismeretek áttekintése 27 Ívmérték fogalma, átváltása 28 Középponti és kerületi szögek tétele 29 Kerületi szögek tétele; látókörív 30 Húrnégyszögek tétele 31 Feladatok a húrnégyszögek tételének alkalmazására 32 Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele IV. A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése A tanult összefüggések alkalmazása gyakorlati feladatokban V. A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai Szakasz felosztása adott arányú részekre, aranymetszés,trapéz kiegészítő háromszöge
33 A háromszög belső szögfelezőjének egy tulajdonsága 34 35 A középpontos hasonlósági transzformáció 36 A hasonlósági transzformáció 37 Alakzatok hasonlósága; a háromszögek hasonlósága 38 A háromszög súlypontja 39 Arányossági tételek a derékszögű háromszögben 40 Körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele Szögfelezőtétel A transzformáció gyakorlása szerkesztési feladatokon keresztül Hasonlóság alkalmazása háromszögekre Magasságtétel, befogótétel 41 Hasonló síkidomok területének aránya Sík és térgeometriai feladatok hasonlóságra 42 Hasonló testek térfogatának aránya VI. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése 43 Távolságok meghatározása a hasonlóság segítségével 44 Hegyesszögek szögfüggvényeinek A szögfüggvények rutinszerű alkalmazása geometriai definíciói alakzokton és szöveges feladatokon keresztül 45 Számítási feladatok a szögfüggvények Gyakorlás, életből vett példákon keresztül( emelkedésialkalmazásával,depressziós-,látószög) 46 Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között Derékszögű háromszögek különböző 47 adatainak meghatározása szögfüggvények segítségével 48 Nevezetes szögek szögfüggvényei Nevezetes alakzatok szögei és azok szögfüggvényei, komopetenciamérési feladatok 49 50 51 Síkbeli és térbeli számítások a szögfüggvények segítségével Vektor fogalma; vektorok összege, különbsége, szorzása számmal Vektorok felbontása különböző irányú összetevőkre Gyakorlás speciális geometriai alakzatokon keresztül. A tanultak alkalmazása térgeomatriai problémákon VII. Vektorok A vektorösszeadás begyakorlása többféle feladaton keresztül A vektorfelbontás begyakorlása többféle feladaton keresztül 52 Vektorok alkalmazása a síkban és a térben 53 Vektorok a koordináta-rendszerben, vektor koordinátái Vektoros tájékozódás a koordináta-rendszerben.
54 A sinus és cosinus függvény definíciója, egyszerű tulajdonsága 55 A sinus függvény grafikonja 56 A sinus függvény tulajdonságai, feladatok 57 A cosinus függvény grafikonja, egyenletek, egyenlőtlenségek 58 A tangens és cotangens függvény 59 Függvények ábrázolása, feladatok VIII. Szögfüggvények Készítette: Németh Gyula
Javítóvizsga témakörei(10v) 10. szakmai számítás Témakör / minimális követelmény Kapcsolódó fogalmak Árképzés Áruk árának kialakítása,az árképzés Ár- és bevételelemzés Áruk ára a vendéglátásban Bevétel Bevétel Árrés Társasági adó,adózott eredmény Jövedelmezőség Jövedelmezőséget befolyásoló viszonyszámok Arányszámok a jövedelmezőség meghatározásában Készletgazdálkodás Átlagkészlet Készletgazdálkodási mutatószámok(forgásisebesség-mutatók) Javaslat a felkészüléshez: - az adott fejezet elméleti részének áttekintése a vendéglátó ismereteket tartalmazó tankönyvben,.ill a füzetben az órai feladatok újbóli megoldása a logikai sorrend megjegyzése - példatéri feladatok meoldása( kidolgozva a fejezet végén), a logikai sorrend megjegyzése - a javítóvizsga feladatai a témazárók feladattípusai alapján készülnek 1
Témakör / minimális követelmény Kapcsolódó fogalmak 2
Javítóvizsgára készülést segítő anyagok matematikából 1/12. szakgimnázium A felkészülés alapja elsősorban az év során lelkiismeretesen vezetett füzet, amelyben minden típusú feladat megtalálható, ami a javítóvizsgán előfordulhat. Segítséget nyújt még a felkészüléshez a Mozaikos 9. és 10.-s matematika tankönyv. A részletes leírást az excel táblázat tartalmazza. A tankönyvek egyes fejezetei után található feladatok közül a sárga és a kék színnel jelölt nehézségűek megoldása ajánlott. A javítóvizsga 45 perces írásbeli részből áll. A megoldáshoz függvénytáblázat, valamint szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológép használható. A feladatok megoldásának sorrendje tetszőleges.
Óraszám Téma, tananyag (az óra címe) Új ismeretek, fogalmak Kompetenciaterület Ismerkedés, év eleji feladatok Műveletek törtekkel Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Halmazok Számhalmazok Halmazműveletek Feladatok megoldása Halmazok elemszáma, logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A hatványozás alapazonosságai Hatványozás egész kitevőre Hatványozás egész kitevőre A számok normálalakja II. Algebra és számelmélet Egész kifejezések (polinomok) Nevezetes szorzatok A szorzattá alakítás módszerei. Kiemelés, nevezetes azonosságok. A szorzattá alakítás módszerei. Kiemelés, nevezetes azonosságok Műveletek algebrai törtekkel Műveletek algebrai törtekkel Oszthatóság. Az oszthatóság tulajdonságai. Feladatok Oszthatóság. Az oszthatóság tulajdonságai. Feladatok
Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Számrendszerek
A derékszögű koordinátarendszer, ponthalmazok Lineáris függvények Az abszolútérték-függvény III. Függvények Az abszolútérték-függvény transzformáció A másodfokú függvény A másodfokú függvény transzformáció A négyzetgyökfüggvény és transzformáció Lineáris törtfüggvények Lineáris törtfüggvények transzformációja A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása
Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek A háromszögekről. Belső és külső szögek összege, háromszög-egyenlőtlenség Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között. A Pitagorasz-tétel és megfordítása Feladatok Pitagorasz tételére A négyszögekről Feladatok négyszögekre A sokszögekről. Átlók száma, belső és külső szögeinek összege Feladatok sokszögekre Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög beírt köre, a háromszög körülírt köre Háromszög súlyvonal, magasság és középvonalai Thalész tétele és néhány alkalmazása (pl. körhöz külső pontból érintő szerkesztése; érintőnégyszögek) Thalész tétele és néhány alkalmazása (pl. körhöz külső pontból érintő szerkesztése; érintőnégyszögek) Az egyenlet, azonosság fogalma, gyenletek grafikus megoldása Egyenletek értelmezési tartománya és értékkészlete V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Egyenlet megoldása szorzattá alakítással A mérlegelv Egyenletek megoldása Feladatok megoldása
Egyenlőtlenségek Egyenlőtlenségek Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek Szöveges feladatok Szöveges feladatok Szöveges feladatok Feladatok megoldása Számonkérés Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Egyenletrendszerekkel megoldható feladatok Egyenletrendszerekkel megoldható feladatok Szöveges feladatok Gyakorlati feladatok A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra Tengelyes tükrözés a síkban Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. Feladatok tengelyes tükrözésre Középpontos tükrözés a síkban VI. Egybevágósági transzformációk Középpontosan szimmetrikus alakzatok. Feladatok középpontos tükrözésre A középpontos tükrözés alkalmazásai. Paralelogramma, magasságvonal, súlyvonal A középpontos tükrözés alkalmazásai. Paralelogramma, magasságvonal, súlyvonal Pont körüli forgatás a síkban
A pont körüli forgatás alkalmazásai. Ívhossz, körcikk területe, ívmérték, forgásszimmetria Párhuzamos eltolás. Vektorok Műveletek vektorokkal Alakzatok egybevágósága
Az adatok ábrázolása. Diagramok Az adatok ábrázolása. Diagramok Az adatok jellemzése Módusz, átlag, medián és tapasztalati szórás Osztályba sorolás, átlagok Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel Bizonyítás példával, ellenpéldával, következtetéssel. Indirekt bizonyítás A skatulya-elv Feladatok a skatulya-elv alkalmazására Sorba rendezési problémák Kiválasztási problémák Vegyes feladatok sorba rendezésekre, kiválasztásokra Racionális, irracionális számok Műveletek a valós számkörben A négyzetgyökvonás azonosságai Feladatok megoldása A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása VII. Statisztika I. Gondolkodási módszerek II. A gyökfogalom kiterjesztése Az azonosságok alkalmazása feladatokban (gyöktelenítés, valós számok összehason lítása, helyettesítési értékek) A számok n-edik gyöke Az n-edik gyökvonás azonosságai A másodfokú egyenlet és függvény III. A másodfokú egyenlet
A megoldóképlet Feladatok megoldása, diszkrimináns A gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése Feladatok megoldása Feladatok megoldása Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek Másodfokú egyenlőtlenségek Számonkérés Négyzetgyökös egyenletek Másodfokú egyenletrendszerek Feladatok megoldása Feladatok megoldása A számtani és mértani közép Szélsőérték feladatok Másodfokú egyenletre vezető problémák IV. A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése A körrel kapcsolatos ismeretek áttekintése Ívmérték fogalma, átváltása Középponti és kerületi szögek tétele Kerületi szögek tétele; látókörív Feladatok megoldása Húrnégyszögek tétele Feladatok a húrnégyszögek tételének alkalmazására Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele A háromszög belső szögfelezőjének egy tulajdonsága Feladatok megoldása A középpontos hasonlósági transzformáció A hasonlósági transzformáció V. A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai
Alakzatok hasonlósága; a háromszögek hasonlósága Feladatok megoldása A háromszög súlypontja Arányossági tételek a derékszögű háromszögben Körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele Hasonló síkidomok területének aránya Hasonló testek térfogatának aránya Távolságok meghatározása a hasonlóság segítségével Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói Számítási feladatok a szögfüggvények alkalmazásával Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között Feladatok megoldása Derékszögű háromszögek különböző adatainak meghatározása szögfüggvények segítségével VI. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése Nevezetes szögek szögfüggvényei Síkbeli és térbeli számítások a szögfüggvények segítségével Vektor fogalma; vektorok összege, különbsége, szorzása számmal Feladatok megoldása Vektorok felbontása különböző irányú összetevőkre VII. Vektorok
Vektorok alkalmazása a síkban és a térben Feladatok megoldása Vektorok a koordináta-rendszerben, vektor koordinátái 190 A sinus és cosinus függvény definíciója, egyszerű tulajdonsága 191 Feladatok megoldása 192 A sinus függvény grafikonja 193 A sinus függvény tulajdonságai, feladatok 194 A cosinus függvény grafikonja, egyenletek, egyenlőtlenségek 195 Feladatok megoldása 196 Feladatok megoldása 197 A tangens és cotangens függvény 198 Függvények ábrázolása, feladatok 199 Függvények ábrázolása, feladatok 200 Összetett feladatok és alkalmazásuk VIII. Szögfüggvények Események Műveletek eseményekkel Kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség Feladatok megoldása A valószínűség klasszikus modellje Egyszerű összeszámlálási feladatok Permutációk Feladatok permutációkra Variációk I. Kombinatorika, halmazok
Feladatok permutációkra és variációkra Ismétlés nélküli kombinációk Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Feladatok kombinációkra Gráfok pontok, élek, fokszám Vegyes feladatok a gráfok alkalmazására Feladatok megoldása Példák a kombinatorika gyakorlati alkalmazásaira A hatványozásról és a gyökvonásról tanultak ismétlése A hatványozásról és a gyökvonásról tanultak ismétlése Feladatok megoldása II. Hatvány, gyök, logaritmus Hatványfüggvények és gyökfüggvények Törtkitevőjű hatvány Feladatok törtkitevőjű hatványokra Feladatok törtkitevőjű hatványokra Irracionális kitevőjű hatvány; az exponenciális függvény Exponenciális függvények ábrázolása, jellemzése feladatok megoldása Feladatok megoldása Exponenciális egyenletrendszerek megoldása Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása
Módszerek, eszközök Megjegyzés