Tantárgyi adatlapok Matematika alapszak ELTE Matematikai Intézet 2010
ELTE Matematika alapszak BSc tantervi háló az 1-6. félévekre 2010 őszétől felmenő rendszerben érvényes A képzéssel kapcsolatos napra kész információk, beleértve az alábbi tantervi háló böngészhető változatát is, a http://www.cs.elte.hu/programs/index_hu.html internetes címen találhatók. Jelmagyarázat A cellákban az óraszám, majd a kreditérték szerepel, előadás (kollokvium) + gyakorlati jegy bontásban. A cellák linkjeire kattintva részletes információ olvasható a megfelelő tárgyakról (tematika, számonkérés rendje, előfeltételek, tantárgyfelelősök). Az elsőéves tárgyak egy része több változatban fut, jelük n = normál; h = haladó; i = intenzív. Ezek azonos tantárgyi kódon meghirdetett, egymással minden szempontból ekvivalens, párhuzamosan tartott előadások és gyakorlatok, melyek szabadon választhatók és szabadon átjárhatók. Csak az anyag tárgyalásának mélységében és sebességében különböznek. A színkódok jelentése: kötelező; kötelezően választható (bizonyos összkreditszámnyit el kell végezni ezekből); ajánlott (a szabad kreditek terhére). 2
Elsőéves közös képzés 1. félév 2. félév óraszám ea/gy változatok kredit Bevezető matematika bm 0 + 4 0 Elemi matematika1 0 + 2 n h i 0 + 3 óraszám ea/gy változatok Analízis1,2 ak 3 + 4 - h i 3 + 5 3 + 3 - h i 3 + 4 Kalkulus1,2 ak 2 + 4 2 + 4 2 + 2 2 + 2 Kalkulus számítógéppel1,2 ksz 0 + 2 0 + 2 0 + 2 0 + 2 Az analízis megalapozása ak 3 + 2 3 + 2 Algebra1,2 2 + 2 n h i 2 + 3 2 + 2 n h i 2 + 3 Számelmélet 2 + 2 n - i 2 + 3 Geometria1 3 + 2 n h i 3 + 3 Véges matematika1,2 2 + 2 n h i 2 + 3 2 + 2 n h i 2 + 3 Bevezetés az informatikába bi 0 + 2 0 + 2 Programozási alapismeretek 2 + 2 2 + 3 Matematikai szakszövegek írása 1 + 1 1 + 2 Kötelező: 11/12 tárgy, 54 kredit. bm) Az első féléves Bevezető matematika elvégzése év eleji sikeres dolgozattal kiváltható. ak) Kötelezően választani kell két egyenrangú tárgyhalmaz között: kredit Analízis1 és Analízis2 együtt; Kalkulus1 és Kalkulus2 és Az analízis megalapozása együtt. ksz) A Kalkulus számítógéppel tárgy a Kalkulus tárgyat egészíti ki. bi) Az első féléves Bevezetés az informatikába tárgy a középiskolai hiánypótlást szolgálja, anyagára minden más informatikai tárgy támaszkodik. 3
Szakirány 3. félév 4. félév 5. félév 6. félév Matematikus óraszám ea/gy kredit óraszám ea/gy kredit Analízis3,4 4 + 3 4 + 4 4 + 2 4 + 3 Algebra3,4 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Számelmélet2 2 + 0 2 + 0 Geometria2,3 2 + 2 2 + 3 3 + 2 3 + 3 óraszám ea/gy kredit óraszám ea/gy Differenciálgeometria1,2 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Bevezetés a topológiába 2 + 2 2 + 3 Algebrai topológia 2 + 2 2 + 3 Halmazelmélet 2 + 0 2 + 0 Matematikai logika 2 + 2 2 + 3 Valószínűségszámítás1,2 vm 2 + 2 2 + 3 3 + 2 3 + 2 Statisztika 2 + 2 2 + 3 Differenciálegyenletek 2 + 2 2 + 3 Parciális differenciálegyenletek 2 + 2 2 + 3 Funkcionálanalízis1,2 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Függvénysorok 2 + 0 2 + 0 Komplex függvénytan 2 + 2 2 + 3 Komplex függvénytan, kiegészítés k 1 + 0 1 + 0 Fourier-integrál 2 + 2 2 + 3 Operációkutatás1,2 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Numerikus analízis 2 + 2 2 + 3 Számítástudomány 2 + 2 2 + 3 Programozási nyelv (JAVA, C++) p 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Szimbolikus mat. programcsomagok sp 0 + 2 0 + 2 Az alk. anal. számítógépes módszerei1 np 0 + 1 0 + 1 Tárgyak száma összesen: Óraszám és kreditszám összesen: 6 4 6 3 1 4 0 2 1 0 1 4 kredit 14 + 13 33 11 + 6 20 13 + 12 30 6 + 4 12 0 + 2 2 8 + 6 17 0 0 4 + 4 10 2 + 2 5 0 0 1 + 0 1 6 + 7 16 4
Kötelező: 19 tárgy, 44+35=79 óra, 95 kredit. Szabály: Összesen legalább 12 kreditet kell szerezni a táblázat sárgával jelölt tárgyaiból. Szakdolgozat: 10 kredit, összesen 171 kredit. Marad 9 teljesen szabad kredit. Az MSc-be átkerült tárgyak: 6.kötelező: Parciális differenciálegyenletek, Algebrai topológia, Differenciálgeometria2 7.választható: Funkcionálanalízis2, Numerikus analízis2, Fourier-integrál. Ezek egy része jelenik meg speciálelőadásként a fenti hálóban. k) A Komplex függvénytan, kiegészítés tárgy a Komplex függvénytannal párhuzamosan folyik, annak ajánlott kiegészítése. vm) A matematikus és alkalmazott matematikus hallgatók választhatnak, hogy a fenti 3+2 órás Valószínűségszámítás2 tárgyat, vagy az alábbi alkalmazott matematikus hálóban lévő, 2+2 óraszámú Valószínűségszámítás2 tárgyat hallgatják. A 3+2 órás tárgyat azoknak ajánljuk, akik jobban el szeretnének mélyedni a valószínűségszámításban. 5
Szakirány 3. félév 4. félév 5. félév 6. félév Alkalmazott matematikus óraszám ea/gy kredit óraszám ea/gy kredit óraszám ea/gy kredit Analízis3,4,5 4 + 3 4 + 4 2 + 2 2 + 3 3 + 0 4 + 0 Algebra3 2 + 2 2 + 3 óraszám ea/gy Differenciálgeometria 2 + 2 2 + 3 A matematika alapjai 2 + 2 2 + 3 Algoritmusok tervezése és elemzése1,2 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Valószínűségszámítás1,2 vm 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Statisztika 2 + 2 2 + 3 Differenciálegyenletek 2 + 2 2 + 3 Parciális differenciálegyenletek 2 + 2 2 + 3 Funkcionálanalízis 2 + 2 2 + 3 Komplex függvénytan 2 + 2 2 + 3 Operációkutatás1,2 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Numerikus analízis1,2,3 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Számítástudomány 2 + 2 2 + 3 Programozási nyelv (JAVA, C++) p 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Szimbolikus mat. programcsomagok sp 0 + 2 0 + 2 Numerikus mat. programcsomagok (Matlab) 0 + 1 0 + 1 CAD tanfolyam 0 + 2 0 + 3 Az alk. anal. számítógépes módszerei1,2 np 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 2 Alkalmazott modulok1,2,3,4 am 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 2 + 2 kredit 2 + 3 Tárgyak száma összesen: Óraszám és kreditszám összesen: 5 6 5 3 3 3 4 3 10 + 11 25 10 + 11 26 10 + 10 25 6 + 6 15 4 + 6 13 4 + 5 11 7 + 5 16 6 + 6 15 Kötelező: 19 tárgy, 36+38=74 óra, 91 kredit. Szabály: összesen legalább 15 kreditet kell szerezni a táblázat sárgával jelölt tárgyaiból. Szakdolgozat: 10 kredit, összesen 170 kredit. Marad 10 teljesen szabad kredit. Az MSc-be kötelezőként átkerült tárgyak: Fourier-sorok, Sztochasztikus folyamatok. Az alkalmazott matematikus szakirány tárgyai sok esetben kiválthatók a matematikus szakirány megfelelő tárgyaival. am) Az Alkalmazott modul3 tárgyat az Informatika Kar tartja, témája C# (Visual Studio). 6
Szakirány 3. félév 4. félév 5. félév 6. félév Tanári óraszám ea/gy kredit óraszám ea/gy kredit Analízis3,4 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 Algebra3 2 + 2 2 + 2 óraszám ea/gy kredit Geometria2,3,4 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 óraszám ea/gy A matematika alapjai 0 + 2 0 + 2 Valószínűségszámítás 3 + 2 3 + 2 Numerikus analízis 0 + 2 0 + 2 Elemi matematika2,3 0 + 2 0 + 2 0 + 2 0 + 2 Bevezető iskolai gyakorlat 0 + 2 0 + 1 Szimbolikus mat. programcsomagok sp 0 + 2 0 + 2 Matematika és média mm 0 + 2 0 + 2 Kötelező tárgyak száma összesen: 3 3 3 3 Óraszám és kreditszám összesen: 6 + 6 12 4 + 6 10 5 + 6 11 0 + 6 5 kredit Kötelező: 11 tárgy, 15+22=37 óra, valamint a bevezető iskolai gyakorlat, összesen 38 kredit. A minor szakirány 50 kredit. A Pedagógia és Pszichológia Kar tárgyai összesen 10 kredit. Szabadon választható 8 természettudományos és 10 tetszőleges kredit. A szakdolgozat 10 kredit. Összesen 180 kredit. A tanári szakirány matematikai tárgyai sok esetben kiválthatók a matematikus, illetve az alkalmazott matematikus szakirány megfelelő tárgyaival. 7
Szakirány 3. félév 4. félév 5. félév 6. félév Matematikai elemző óraszám ea/gy kredit óraszám ea/gy kredit Kalkulus3, Fejezetek az analízisből 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Algebra3 2 + 2 2 + 3 A lineáris algebra alkalmazásai 2 + 2 2 + 3 óraszám ea/gy kredit óraszám ea/gy Algebrai kódelmélet 2 + 0 2 + 0 Alkalmazott geometria 2 + 2 2 + 3 Számítógépes geometria 0 + 2 0 + 2 Gráfok és algoritmusok elmélete 2 + 2 2 + 3 Valószínűségszámítás 2 + 2 2 + 3 Leíró és matematikai statisztika 3 + 2 3 + 3 Idősorok és többdimenziós statisztika 2 + 2 2 + 3 A mat. stat. számítógépes módszerei 0 + 2 0 + 2 Differenciálegyenletek 2 + 2 2 + 3 Parciális differenciálegyenletek és alk. 2 + 2 2 + 3 Dinamikus rendszerek 2 + 0 2 + 0 Operációkutatás 2 + 2 2 + 3 Optimalizálási gyakorlat 0 + 2 0 + 3 Programozási nyelv (JAVA, C++) p 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Szimbolikus mat. programcsomagok sp 0 + 2 0 + 2 Alkalmazott analízis1,2 na 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 Az alk. anal. számítógépes módszerei1,2 np 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 2 Adatvédelem 2 + 0 2 + 0 Adatbázisok használata 2 + 2 2 + 3 Adatbányászat 2 + 2 2 + 3 Diszkrét modellezés 0 + 2 0 + 3 Folytonos modellezés 0 + 2 0 + 3 Döntésanalízis 2 + 0 2 + 0 Játékelmélet 2 + 0 2 + 0 Készletgazdálkodás 2 + 0 2 + 0 Ütemezéselmélet 2 + 0 2 + 0 Piacok elemzése 2 + 0 2 + 0 Pénzügyek menedzselése 2 + 2 2 + 3 Mikrogazdaságtan 2 + 0 2 + 0 Makrogazdaságtan 2 + 0 2 + 0 Vállalati pénzügyek 2 + 2 2 + 3 Matematika és média mm 0 + 2 0 + 2 Tárgyak száma összesen: Óraszám és kreditszám összesen: 5 5 6 2 6 4 4 7 kredit 8 + 10 22 7 + 9 20 8 + 11 25 2 + 4 8 12 + 6 21 8 + 6 17 8 + 2 11 8 + 8 17 8
Kötelező: 18 tárgy, 25+34=59 óra, 75 kredit. Szabály: összesen legalább 20 kreditet kell szerezni a táblázat sárga színnel jelölt tárgyaiból. Szakdolgozat: 10 kredit, összesen 159 kredit. Marad 21 teljesen szabad kredit. Ha valaki a matematika valamely alkalmazásából (például közgazdaságtan, meteorológia) több mint 21 kreditnyi órát szeretne máshol fölvenni, akkor kérelmezheti a fenti 20-kredites kritérium enyhítését. Az elemző szakirány matematikai tárgyai sok esetben kiválthatók a másik három szakirány megfelelő tárgyaival. (lap elejére) p) A Programozási nyelv a matematikus, az alkalmazott matematikus és az elemző szakirányokon közös. sp) A Szimbolikus matematikai programcsomagok matematikusoknak és alkalmazott matematikusoknak fizikailag azonos, és ugyancsak fizikailag azonos a tanári és az elemző szakirányon. Ezek a tárgyak egymást kölcsönösen kiváltják. A téma iránt különösen érdeklődőknek a matematikus/alkalmazott matematikus hálóban szereplő tárgyat ajánljuk. np) Az Alkalmazott analízis számítógépes módszerei1,2 az alkalmazott matematikus és az elemző szakirányokon közös, az első háromfokozatú értékeléssel, a második gyakorlati jeggyel zárul, számítógépes laborban tartjuk. A matematikus szakirányon is ajánlott a tárgy első féléve, amit a 6. félévben célszerű elvégezni, mert előfeltétele a matematikus Numerikus Analízis. mm) A Matematika és média közös a tanári és az elemző szakirányon. 9
Elsőéves közös képzés 10
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Bevezető matematika 2. Tantárgy félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv kódja mm1c2bm1 1 Kritérium tárgy 0 0 + 4 magyar Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Pálfalvi Józsefné főiskolai docens és Vecseiné Munkácsy Katalin főiskolai docens, Matematikatanítási és Módszertani Központ. 4. A tantárgy előadói: Ambrus Gabriella adjunktus Matematikatanítási és Fried Katalin főiskolai docens Módszertani Központ, Hegyvári Norbert főiskolai tanár Holló-Szabó Ferenc tanársegéd Matematikai Intézet oktatói, Korándi József műszaki tanár Maus Pál műszaki tanár középiskolai tanárok. Pálfalvi Józsefné főiskolai docens Szeredi Éva főiskolai docens Török Judit adjunktus Vancsó Ödön adjunktus Vásárhelyi Éva egyetemi docens Vecseiné dr Munkacsy Katalin főiskolai docens Wintsche Gergely adjunktus 5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: A középiskolai matematika tananyag. 11
6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: Nincs előzetes feltétel. 7. A tantárgy célkitűzése: A problémamegoldó gondolkodás fejlesztése a középiskolai törzsanyagra építve, esetenként a hiányzó ismeretek pótlásával. 8. A tantárgy részletes tematikája: I. Gondolkodási módszerek, kombinatorikai, logikai feladatok, bizonyítási módszerek, számelméleti feladatok. Állítások megfogalmazása, értelmezése kombinatorikai, logikai feladatok és számelméleti feladatok megoldásában, a bizonyítási igény, bizonyítási készség fejlesztése. II. Racionális számok, tizedes törtek, irracionális számok, gyökök, hatványok, logaritmusok. Számok felírása különböző alakban. Racionális számok tizedestört alakban, irracionális számok tizedestört alakban, számok pontos és közelítő értéke Számítások gyökökkel, hatványokkal, logaritmussal. A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén., hatványozás azonosságai., gyökvonás azonosságai, logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai, áttérés más alapú logaritmusra III. Egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszereik, paraméteresek is. Algebrai átalakítások, nevezetes azonosságok, egyenletek, egyenlőtlenségek rendezése. Másodfokú egyenletek megoldóképlet, diszkrimináns, gyökök és együtthatók összefüggése, gyöktényezős alak. Törtes egyenletek, és egyenlőtlenségek, másodfokú egyenlőtlenségek, abszolút értékes egyenletek és egyenlőtlenségek. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, paraméteres feladatok megoldása. Trigonometrikus egyenletek négyzetgyökös, abszolútértékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenlőtlenségek. Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet-vizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható feladatok, összetett feladatok megoldása. IV. Sorozatok, vegyes példák, különböző megadási módok. Számtani és a mértani sorozatok. Pozitív egész számok, reciprokok, páratlan számok, páros számok, négyzetszámok, köbszámok, háromszögszámok sorozatai, stb. Különbségsorozatok, hányados sorozatok. Példák a Fibonacci tipusú sorozatokra. Megadási módok, jelölések, grafikonok, egyszerű összegezések. Számtani és mértani sorozatok. V. Halmazok, függvények, elemi függvények ábrázolása, elemi vizsgálata. Lineáris, másodfokú, egyszerű törtfüggvények. Abszolút érték függvény, előjel függvény, egészrész, törtrész függvény. Törtkitevős hatványok, exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények értelmezése, ábrázolása. Függvény transzformációk. Függvények elemzése értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, zérushely, paritás, periodicitás. VI. Elemi geometriai bizonyítások, számítások Kerület, terület, felszín és térfogat számítások, átdarabolások. A Pitagorasz tétel és alkalmazásai. Arányossági tételek alkalmazásai, egyszerű szerkesztések és bizonyítások. VII. Ponthalmazok, vektorok, koordináta geometria A vektor fogalma, vektorok a koordináta síkon. Vektor abszolútértéke, vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa, vektor felbontása összetevőkre. Skaláris szorzat definíciója; tulajdonságai. Tájékozódás a koordináta síkon, ponthalmazok megadása a koordináta síkon. Az egyenes egyenletének felírása különböző adatok alapján, a kör egyenlete, a parabola egyenlete. VIII. Szögfüggvények, trigonometria, logaritmus A szög mérése fokban és radiánban. A szögfüggvények általános definíciója, a szögfüggvényekre 12
vonatkozó alapvető összefüggések: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. szögfüggvények kifejezése egymásból, nevezetes szögek (0, 30, 45, 60, 90, 180, stb.) szögfüggvényei. Addíciós összefüggések. Szinusz- és a koszinusztétel. 9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 2x2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban. A feldolgozás módszere a feladatmegoldás, természetesen kiegészítve a szükséges magyarázattal. A kiadott feladatsorok alapján beadandó házi feladatokat rendszeresen kérünk. 10. Követelmények: A szorgalmi időszakban: aktív munka a gyakorlatokon, a házi feladatok beadása. A felkínált időpontokban a zárthelyi dolgozat megírása. Példák a követelményekre: Szövegértés, a szöveg lefordítása a matematika nyelvére, megfelelő jelrendszer használata. Egyenletmegoldás számelméleti fogalmak segítségével, összes eset megkeresése, az esetek szöveg szerinti ellenőrzése. Négyzetgyökös egyenletek megoldása, másodfokú egyenletek megoldása, alapvető trigonometrikus összefüggések, periodicitás, egyenletek ekvivalenciája A logaritmus azonosságai, értelmezése, másodfokú egyenletek megoldása, egyenletek ekvivalenciája Teljes négyzet, teljes négyzet négyzetgyöke, abszolút érték Paraméteres egyenlet, abszolút értékes másodfokú függvény vizsgálata. Egyszerű kombinatorikus probléma felismerése, az esetek összeszámolása, oszthatóság 4-gyel, a kombinatorikus valószínűség. Feltétel és következmény, egyenlőtlenség, a logaritmus fogalma Alapvető azonosság ismerete, a van olyan használata. A négyzet elemi tulajdonságai, felező pont koordinátái, merőleges vektorok, helyvektor, vektorok összeadása. Ezek nélkül: a kör és az egyenes egyenlete, metszéspontok, merőleges egyenesek. Hatványozás azonosságai, a 2 hatványai, számtani sorozat összege. Egyszerű elemi geometriai többlépéses következtetés, egyenlőszárú és egyenlő oldalú háromszög, felezőmerőleges. A gömb felszíne, térfogata kell, számolás az aránnyal, a sugarak és a térfogatok arányának összefüggése. 11. Pótlási lehetőségek: A regisztrációs héten szintfelmérő dolgozat alapján a megfelelt és kiválóan megfelelt minősítésű hallgatók felmentést kapnak az órák látogatása alól, ugyanakkor javaslatot teszünk arra, hogy a matematikai tárgyak melyik változatát érdemes felvenniük. Október végén és december elején újabb kritériumdolgozatot szervezünk. Az októberben megfelelők felmentést kapnak az órák további látogatása alól. Akik decemberben nem felelnek meg, azoknak a második félévben ismételni kell a tárgyat. 12. Konzultációs lehetőségek, kapcsolattartás: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint a gyakorlatvezetővel. Az aktuális feladatlapok, régebbi kritériumdolgozatok és megoldásaik a mathdid.elte.hu honlapon találhatók. 13
13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Középiskolás tankönyvek és példatárak. 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: A gyakorlatok látogatása, a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Pálfalvi Józsefné, Vecseiné Munkácsy Katalin főiskolai docens főiskolai docens Matematikatanítási és Módszertani Központ 14
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Elemi matematika1, normál változat 2. Tantárgy félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv kódja mm1c2em1 1 gyakorlati jegy 0 + 3 0 + 2 magyar Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Pálfalvi Józsefné főiskolai docens és Török Judit adjunktus, Matematikatanítási és Módszertani Központ. 4. A tantárgy előadója: Ambrus Gabriella adjunktus Matematikatanítási és Fried Katalin főiskolai docens Módszertani Központ, Hegyvári Norbert főiskolai tanár Holló-Szabó Ferenc tanársegéd Matematikai Intézet Korándi József műszaki tanár oktatói, Maus Pál műszaki tanár Pálfalvi Józsefné főiskolai docens középiskolai tanárok Szeredi Éva főiskolai docens Török Judit adjunktus Vancsó Ödön adjunktus Vásárhelyi Éva egyetemi docens Vecseiné Munkácsy Katalin főiskolai docens Wintsche Gergely adjunktus 5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: Középiskolai törzsanyag. 8. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: Nincs előfeltétel. 15
7. A tantárgy célkitűzése: Rutin szerzése a középiskolai törzsanyagra épülő problémamegoldásban, a matematikai gondolkodásmód fejlesztése. 8. A tantárgy részletes tematikája: A magyarországi feladatorientált matematikatanítási tradíciónak megfelelően az általános és középiskolai matematika tananyag jelentősebb témaköreinek (számhalmazok, függvények, aritmetikai, algebrai, kombinatorikai, logikai, geometriai, valószínűségszámítási és statisztikai ismeretek) feldolgozása feladatok megoldása kapcsán. A különböző megoldási módok, bizonyítási módszerek elemzése, gyakorlása, összehasonlítása. 9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 2 óra gyakorlat 10. Követelmények: A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a kitűzött feladatokat, illetve alkalmanként be kell adni a házi feladatokat, valamint határidőre be kell adni egy KöMaL feladat részletes kidolgozását. 11. Pótlási lehetőségek: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség. Sikertelen teljesítés esetén a 2. félévben ismételhető a gyakorlat. 12. Konzultációs lehetőségek, kapcsolattartás: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint a gyakorlatvezetővel. A kitűzött feladatok és egyéb tudnivalók megtalálhatók a mathdid.elte.hu honlapon. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Középiskolás tankönyvek és feladatgyűjtemények A honlapon kitűzött feladatsorok Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből Pólya György: A gondolkodás iskolája Pólya György: A problémamegoldás iskolája 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Aktív részvétel a gyakorlatokon, a házi feladatok és beadandók elkészítése továbbá a zárthelyik megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Pálfalvi Józsefné főiskolai docens Matematikatanítási és Török Judit adjunktus Módszertani Központ 16
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Elemi matematika1, haladó változat 2. Tantárgy félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv kódja mm1c2em1 1 gyakorlati jegy 0 + 3 0 + 2 magyar Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Fried Katalin főiskolai docens és Korándi József műszaki tanár, Matematikatanítási és Módszertani Központ. 4. A tantárgy előadója: Ambrus Gabriella adjunktus Matematikatanítási és Fried Katalin főiskolai docens Módszertani Központ, Hegyvári Norbert főiskolai tanár Holló-Szabó Ferenc tanársegéd Matematikai Intézet Korándi József műszaki tanár oktatói, Maus Pál műszaki tanár Pálfalvi Józsefné főiskolai docens középiskolai tanárok Szeredi Éva főiskolai docens Török Judit adjunktus Vancsó Ödön adjunktus Vásárhelyi Éva egyetemi docens Vecseiné Munkácsy Katalin főiskolai docens Wintsche Gergely adjunktus 6. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: Az emelt szintű érettségi anyaga. 9. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: Nincs előfeltétel, de azoknak ajánlott, akik a szintfelmérőn megfelelt vagy kiválóan megfelelt minősítést értek el. 17
7. A tantárgy célkitűzése: Rutin szerzése a középiskolai törzsanyagra épülő problémamegoldásban, a matematikai gondolkodásmód fejlesztése. 8. A tantárgy részletes tematikája: A magyarországi feladatorientált matematikatanítási tradíciónak megfelelően az általános és középiskolai matematika tananyag jelentősebb témaköreinek (számhalmazok, függvények, aritmetikai, algebrai, kombinatorikai, logikai, geometriai, valószínűségszámítási és statisztikai ismeretek) feldolgozása feladatok megoldása kapcsán. A különböző megoldási módok, bizonyítási módszerek elemzése, gyakorlása, összehasonlítása. 9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 2 óra gyakorlat 10. Követelmények: A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a kitűzött feladatokat, illetve alkalmanként be kell adni a házi feladatokat, valamint határidőre be kell adni egy KöMaL (vagy más kitűzött) feladat részletes kidolgozását. 11. Pótlási lehetőségek: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség. Sikertelen teljesítés esetén a 2. félévben ismételhető a gyakorlat. 12. Konzultációs lehetőségek, kapcsolattartás: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint a gyakorlatvezetővel. A kitűzött feladatok és egyéb tudnivalók megtalálhatók a mathdid.elte.hu honlapon. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Középiskolás tankönyvek és feladatgyűjtemények A honlapon kitűzött feladatsorok Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből Pólya György: A gondolkodás iskolája Pólya György: A problémamegoldás iskolája 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Aktív részvétel a gyakorlatokon, a házi feladatok és beadandók elkészítése továbbá a zárthelyik megírása. 18
15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Fried Katalin főiskolai docens Matematikatanítási és Korándi József adjunktus Módszertani Központ 19
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Elemi matematika1, intenzív változat 2. Tantárgy félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv kódja mm1c2em1 1 gyakorlati jegy 0 + 3 0 + 2 magyar Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Kós Géza adjunktus, Analízis tanszék és Wintsche Gergely adjunktus, Matematikatanítási és Módszertani Központ. 4. A tantárgy előadója: Kós Géza adjunktus Analízis tanszék, Matematikatanítási és Módszertani Hegyvári Norbert főiskolai tanár Központ, Wintsche Gergely adjunktus Matematikai Intézet oktatói, gyakorlóiskolai vezetőtanárok 7. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: Az emelt szintű érettségi anyaga. 8. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: Nincs előfeltétel, de elsősorban azoknak ajánlott, akik a szintfelmérőn kiválóan megfelelt minősítést értek el. 7. A tantárgy célkitűzése: A problémamegoldó készség és a matematikai gondolkodásmód fejlesztése, versenyfeladatok, gyakorlati alkalmazások megismerése, elindulás az önálló kutatás irányába. 8. A tantárgy részletes tematikája: A magyarországi tehetséggondozás tradíciónak megfelelően a problémamegoldási stratégiák, a 20
különböző megoldási módok, bizonyítási módszerek elemzése, gyakorlása, összehasonlítása. 9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 2 óra gyakorlat 10. Követelmények: A gyakorlatokon a részvétel, egy beadandó munka, a kitűzött feladatok megoldása, valamint két zárthelyi dolgozat. A beadandó munka egy KöMaL vagy versenyfeladat részletes kidolgozása, illetve valamely probléma megoldásával kapcsolatos önálló kutatás, irodalmazás eredménye. 11. Pótlási lehetőségek: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség. Sikertelen teljesítés esetén a 2. félévben ismételhető a gyakorlat. 12. Konzultációs lehetőségek, kapcsolattartás: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint a gyakorlatvezetővel. A kitűzött feladatok és egyéb tudnivalók megtalálhatók a mathdid.elte.hu honlapon. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Középiskolás tankönyvek és feladatgyűjtemények A honlapon kitűzött feladatsorok Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből Pólya György: A gondolkodás iskolája Pólya György: A problémamegoldás iskolája 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Aktív részvétel a gyakorlatokon, a házi feladatok és beadandók elkészítése továbbá a zárthelyik megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Kós Géza főiskolai docens Matematikatanítási és Wintsche Gergely adjunktus Módszertani Központ 21
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Analízis 1, haladó változat 2. Tantárgy kódja mm1c1an1 mm1c2an1 félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv 1 kollokvium + 3 + 5 3 + 4 magyar gyakorlati jegy Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Laczkovich Miklós, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet. Bátkai András, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék, Matematikai Intézet. 4. A tantárgy előadója: Név: Beosztás: Tanszék: Bátkai András adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Buczolich Zoltán egyetemi docens Analízis Tanszék Fehér László adjunktus Analízis Tanszék Karátson János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Kós Géza adjunktus Analízis Tanszék Kristóf János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Laczkovich Miklós egyetemi tanár Analízis Tanszék Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Simon Péter egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Szőke Róbert egyetemi docens Analízis Tanszék Tóth Árpád adjunktus Analízis Tanszék 22
5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: A tárgy a középiskolai matematika anyag alapos ismeretét követeli. 6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: Kötelezően választani kell az Analízis1,2 illetve a Kalkulus1,2 plusz Az analízis megalapozása között. Az előadásnak gyenge előfeltétele a gyakorlat (azaz kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető). Az Analízis1 tárgyat párhuzamosan két változatban hirdetjük meg (haladóés intenzív). Ezek egymás között szabadon átjárhatók. 7. A tantárgy célkitűzése: A tárgy célja a matematikai analízis alapjainak bemutatása az egyváltozós differenciálszámítással bezárólag. A haladó változat azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket részletesen tárgyaljuk, figyelmet fordítva az analízis fogalmainak precízebb megalapozására is. 8. A tantárgy részletes tematikája: Logikai alapfogalmak. Bizonyítási módszerek. Nevezetes egyenlőtlenségek. Halmazok, függvények, sorozatok. Valós számok: axiomatikus és konstruktív megalapozás. Tizedestörtek. Korlátos számhalmazok, alsó és felső határ. Hatványozás. Számsorozatok határértéke. Végtelenhez tartó sorozatok. Határérték és műveletek. Határérték és egyenlőtlenségek. Monoton sorozatok. A Bolzano-Weierstass tétel és a Cauchy-kritérium. Megszámlálható halmazok. Valós függvények globális tulajdonságai. Monotonitás, konvexitás. Függvények folytonossága és határértéke. Átviteli elvek. Folytonosság, határérték és műveletek. Folytonosság, határérték és egyenlőtlenségek. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények. Monotonitás és határérték. Monotonitás és folytonosság. Konvexitás és folytonosság. Néhány fontos függvényosztály (polinomfüggvények, racionális törtfüggvények, exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények és ezek inverzei, a hiperbolikus függvények és inverzeik). 9. A tantárgy oktatásának módja: 23
Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 4 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban. 10. Követelmények: a. A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos. A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat. b. A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető. 11. Pótlási lehetőségek: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség. 12. Konzultációs lehetőségek: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Laczkovich Miklós és T. Sós Vera: Analízis I. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005). B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény (Tankönyvkiadó, 1987). 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz. Matematikai Intézet Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Matematikai Intézet 24
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Analízis 1, intenzív változat 2. Tantárgy kódja mm1c1an1 mm1c2an1 félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv 1 kollokvium + 3 + 5 3 + 4 magyar gyakorlati jegy Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Laczkovich Miklós, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet. Bátkai András, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék, Matematikai Intézet. 4. A tantárgy előadója: Név: Beosztás: Tanszék: Bátkai András adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Buczolich Zoltán egyetemi docens Analízis Tanszék Fehér László adjunktus Analízis Tanszék Karátson János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Kós Géza adjunktus Analízis Tanszék Kristóf János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Laczkovich Miklós egyetemi tanár Analízis Tanszék Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Simon Péter egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Szőke Róbert egyetemi docens Analízis Tanszék Tóth Árpád adjunktus Analízis Tanszék 25
5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: A tárgy a középiskolai matematika anyag nagyon alapos ismeretét követeli. 6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: Kötelezően választani kell az Analízis1,2 illetve a Kalkulus1,2 plusz Az analízis megalapozása között. Az előadásnak gyenge előfeltétele a gyakorlat (azaz kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető). Az Analízis1 tárgyat párhuzamosan két változatban hirdetjük meg (haladóés intenzív). Ezek egymás között szabadon átjárhatók. 7. A tantárgy célkitűzése: A tárgy célja a matematikai analízis alapjainak bemutatása az egyváltozós differenciálszámítással bezárólag. Az intenzív változat azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben tárgyaljuk, kielégítve ezzel a matematikus szakirány igényeit is. 8. A tantárgy részletes tematikája: Logikai alapfogalmak. Bizonyítási módszerek. Nevezetes egyenlőtlenségek. Halmazok, függvények, sorozatok. Valós számok: axiomatikus és konstruktív megalapozás. Tizedestörtek. Korlátos számhalmazok, alsó és felső határ. Hatványozás. Számsorozatok határértéke. Végtelenhez tartó sorozatok. Határérték és műveletek. Határérték és egyenlőtlenségek. Monoton sorozatok. Limesz inferior, limesz szuperior. A Bolzano-Weierstass tétel és a Cauchy-kritérium. Megszámlálható halmazok. Valós függvények globális tulajdonságai. Monotonitás, konvexitás. Függvények folytonossága és határértéke. A belső pont, torlódási pont, izolált pont fogalma. Átviteli elvek. Folytonosság, határérték és műveletek. Folytonosság, határérték és egyenlőtlenségek. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények. Monotonitás és határérték. Monotonitás és folytonosság. Konvexitás és folytonosság. Néhány fontos függvényosztály (polinomfüggvények, racionális törtfüggvények, exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények és ezek inverzei, a hiperbolikus függvények és inverzeik). 26
9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 4 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban. 10. Követelmények: a. A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos. A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat. b. A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető. 11. Pótlási lehetőségek: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség. 12. Konzultációs lehetőségek: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Laczkovich Miklós és T. Sós Vera: Analízis I. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005). B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény (Tankönyvkiadó, 1987). 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz. Matematikai Intézet Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Matematikai Intézet 27
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Analízis 2, haladó változat 2. Tantárgy kódja mm1c1an2 mm1c2an2 félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv 2 kollokvium + 3 + 4 3 + 3 magyar gyakorlati jegy Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Laczkovich Miklós, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet. Bátkai András, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék, Matematikai Intézet. 4. A tantárgy előadója: Név: Beosztás: Tanszék: Bátkai András adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Buczolich Zoltán egyetemi docens Analízis Tanszék Fehér László adjunktus Analízis Tanszék Karátson János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Kós Géza adjunktus Analízis Tanszék Kristóf János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Laczkovich Miklós egyetemi tanár Analízis Tanszék Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Simon Péter egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Szőke Róbert egyetemi docens Analízis Tanszék Tóth Árpád adjunktus Analízis Tanszék 28
5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: A tárgy az Analízis 1 tárgyra épít. 6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: A gyakorlatnak erős előfeltétele az Analízis1 kollokvium (mm1c1an1). Az előadásnak gyenge előfeltétele a gyakorlat (azaz kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető). Az Analízis1 tárgyat párhuzamosan két változatban hirdetjük meg (haladó- és intenzív). Ezek egymás között szabadon átjárhatók. 7. A tantárgy célkitűzése: A tárgy célja az egyváltozós matematikai analízis további legfontosabb fejezeteinek (Riemann integrál, végtelen sorok, függvénysorozatok és függvénysorok) bemutatása. A haladó változat azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket közepes részletességgel és sebességgel tárgyaljuk, figyelmet fordítva az analízis fogalmainak precízebb megalapozására is. 8. A tantárgy részletes tematikája: A differenciálhányados fogalma. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabb rendű differenciálhányadosok. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata. Középértéktételek. A differenciálható függvények vizsgálata. A Taylor-formula. A L'Hospital-szabály. A primitív függvény fogalma. Primitívfüggvény-keresési módszerek (parciális integrálás, helyettesítéses integrálás), racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése. A Riemann-integrál fogalma. Az integrálhatóság feltételei. Az integrál elemi tulajdonságai. Integrálok becslése. A Newton-Leibniz formula. Az integrálszámítás alkalmazásai. Wallis-formula, Stirling-formula. Az improprius integrál fogalma. Az improprius értelemben vett integrálhatóság feltételei. Példák elemi primitív függvénnyel nem rendelkező függvények improprius integráljának kiszámítására. Végtelen sorok. Abszolút konvergencia. Konvergencia-kritériumok (összehasonlító-, gyök-, hányados-, integrálkritérium, Leibniz-sorok). Végtelen sorok szorzása (négyzetes szorzás, Cauchyszorzat). Sorok átrendezése. Riemann tétele (bizonyítás nélkül). 29
9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 3 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban. 10. Követelmények: a. A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos. A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat. b. A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető. 11. Pótlási lehetőségek: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség. 12. Konzultációs lehetőségek: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Laczkovich Miklós és T. Sós Vera: Analízis I. és II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005, 2007). B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény (Tankönyvkiadó, 1987). 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz. Matematikai Intézet Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Matematikai Intézet 30
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Analízis 2, intenzív változat 2. Tantárgy kódja mm1c1an2 mm1c2an2 félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv 2 kollokvium + 3 + 4 3 + 3 magyar gyakorlati jegy Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Laczkovich Miklós, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet. Bátkai András, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék, Matematikai Intézet. 4. A tantárgy előadója: Név: Beosztás: Tanszék: Bátkai András adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Buczolich Zoltán egyetemi docens Analízis Tanszék Fehér László adjunktus Analízis Tanszék Karátson János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Kós Géza adjunktus Analízis Tanszék Kristóf János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Laczkovich Miklós egyetemi tanár Analízis Tanszék Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Simon Péter egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Szőke Róbert egyetemi docens Analízis Tanszék Tóth Árpád adjunktus Analízis Tanszék 31
5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: A tárgy az Analízis 1 tárgyra épít. 6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: A gyakorlatnak erős előfeltétele az Analízis1 kollokvium (mm1c1an1). Az előadásnak gyenge előfeltétele a gyakorlat (azaz kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető). Az Analízis1 tárgyat párhuzamosan két változatban hirdetjük meg (haladó- és intenzív). Ezek egymás között szabadon átjárhatók. 7. A tantárgy célkitűzése: A tárgy célja az egyváltozós matematikai analízis további legfontosabb fejezeteinek (Riemann integrál, végtelen sorok, függvénysorozatok és függvénysorok) bemutatása. A haladó változat azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben tárgyaljuk, figyelmbe véve a matematikus szakirány igényeit is. 8. A tantárgy részletes tematikája: A differenciálhányados fogalma. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabb rendű differenciálhányadosok. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata. Középértéktételek. A differenciálható függvények vizsgálata. A Taylor-formula. A L'Hospital-szabály. A primitív függvény fogalma. Primitívfüggvény-keresési módszerek (parciális integrálás, helyettesítéses integrálás), racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése. A Riemann-integrál fogalma. Az integrálhatóság feltételei. Az integrál elemi tulajdonságai. Integrálok becslése. A Newton-Leibniz formula. Az integrálszámítás alkalmazásai. Wallis-formula, Stirling-formula. A Taylor-formula integrálmaradéktaggal. Az improprius integrál fogalma. Az improprius értelemben vett integrálhatóság feltételei. Példák elemi primitív függvénnyel nem rendelkező függvények improprius integráljának kiszámítására. Korlátos változású függvények. A Riemann-Stieltjes integrál. Az integrálszámítás második középértéktétele. Végtelen sorok. Abszolút konvergencia. Konvergencia-kritériumok (összehasonlító-, gyök-, hányados-, integrálkritérium, Leibniz-sorok, az Abel-Dirichlet kritérium). Végtelen sorok szorzása (négyzetes szorzás, Cauchy-szorzat), Mertens tétele konvergens és abszolút konvergens sor Cauchy szorzatáról. Sorok átrendezése. Riemann tétele. 32
9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 3 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban. 10. Követelmények: a. A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos. A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat. b. A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető. 11. Pótlási lehetőségek: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség. 12. Konzultációs lehetőségek: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Laczkovich Miklós és T. Sós Vera: Analízis I. és II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005, 2007). B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény (Tankönyvkiadó, 1987). 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz. Matematikai Intézet Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Matematikai Intézet 33
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Kötelező tantárgy 2. Tantárgy kódja mm1c1ka1 mm1c2ka1 TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Kalkulus 1 félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv 1 kollokvium + 2 + 4 2 + 4 magyar gyakorlati jegy Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Keleti Tamás, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet. Sikolya Eszter, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék, Matematikai Intézet. 4. A tantárgy előadója: Név: Beosztás: Tanszék: Bátkai András adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Buczolich Zoltán egyetemi docens Analízis Tanszék Fehér László adjunktus Analízis Tanszék Gémes Margit műszaki tanár Analízis Tanszék Izsák Ferenc adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Karátson János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Kristóf János egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Laczkovich Miklós egyetemi tanár Analízis Tanszék Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz Simon Péter egyetemi docens Alkalmazott Analízis Tsz Szőke Róbert egyetemi docens Analízis Tanszék Tóth Árpád adjunktus Analízis Tanszék 34
5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: A tárgy a középiskolai matematika anyag ismeretét követeli. 6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető. 7. A tantárgy célkitűzése: A tárgy célja a matematikai analízis alaptechnikáinak bemutatása az egyváltozós differenciálszámítással bezárólag. 8. A tantárgy részletes tematikája: Bevezetés: függvények, grafikonok, logikai alapok. A függvényhatárérték szemléletes fogalma, definíciója. Határértékek kiszámítása. Jobb és baloldali határérték. Határérték a végtelenben, végtelen határérték. Folytonosság fogalma. Bolzano-tétel. Érintő és derivált. A derivált mint változási sebesség. Deriváltfüggvény. Deriválási szabályok. Láncszabály. Szélsőértékkeresés deriválás segítségével. Rolle- és Lagrange-féle középértéktétel. Monoton függvények és az első derivált. Konvexitás és a második derivált. L Hospital-szabály. Teljes függvényvizsgálat. Primitív függvények. Számsorozatok konvegenciája, végtelen határértéke. Nagyságrendek. Sorozat határértékének kiszámítása. 9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 4 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban. 10. Követelmények: a. A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos. A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot és előírt számú röpdolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat. 35
b. A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető. 11. Pótlási lehetőségek: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség. 12. Konzultációs lehetőségek: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Girodano: Thomas-féle Kalkulus 1. és 3. (Typotex, Budapest, 2008. ill. 2007). 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyi dolgozatok és röpdolgozatotok megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Gémes Margit műszaki tanár Analízis Tanszék Matematikai Intézet Keleti Tamás egyetemi docens Analízis Tanszék Matematikai Intézet Sikolya Eszter adjunktus Alkalmazott Analízis Tsz. Matematikai Intézet 36
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Ajánlott tantárgy TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények 2010. Tantárgycím: Kalkulus számítógéppel 1 2. Tantárgy félév Követelmény Kredit Óraszám Nyelv kódja mm1c2ks1 1 gyakorlati jegy 0 + 2 0 + 2 magyar Modul/ szakirány 3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: Gémes Margit, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet. 4. A tantárgy előadója: Név: Beosztás: Tanszék: Gémes Margit műszaki tanár Analízis Tanszék 5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: A tárgy a középiskolai matematika anyag ismeretét követeli meg. 6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend: Nincs előfeltétel. A kurzust a kalkulus 1-gyel párhuzamosan érdemes felvenni. 7. A tantárgy célkitűzése: A tantárgy a Maple program felhasználásával segíti az analízis fogalmainak kialakítását, lehetőséget biztosít a kísérletezésre, illetve alkalmazásokra mutat példákat. 8. A tantárgy részletes tematikája: A Maple alapjai, feltételes utasítások, ciklusok, a Help használata. Egyváltozós függvények és síkgörbék ábrázolása. Elemi függvények és függvénytranszformációk. Egyenletek és egyelőtlenségek algebrai és grafikus megoldása. 37
Függvények globális tulajdonságai, szakaszonként megadott függvények. Fizikai alkalmazás: hangtan. Függvények határértéke. Függvények közelítése töröttvonallal. Függvények és deriváltjaik. Lokális közelítés lineáris függvénnyel, az érintő. Függvények közelítése Taylorpolinomokkal. Sorozatok, rekurziók, sorozatok határértéke. Alkalmazások: radioaktív bomlás és baktériumszaporodás modellezése. 9. A tantárgy oktatásának módja: Heti 2 óra gyakorlat számítógép laborban. 10. Követelmények: A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez az órákon meg kell oldani az interaktív feladatlapok feladatait, meg kell oldani a házi feladatokat, illetve a szorgalmi időszak végére el kell készíteni egy önálló Maple programot. 11. Pótlási lehetőségek: Az esetlegesen elmaradt interaktív feladatlapok megoldását a szorgalmi időszak végéig pótolni kell. 12. Konzultációs lehetőségek: Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint a gyakorlatvezetővel. 13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Girodano: Thomas-féle Kalkulus 1. és 3. (Typotex, Budapest, 2008. ill. 2007). Simonovits Miklós: Számítástechnika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.) Fried Katalin-Simonovits Miklós: A problémamegoldás számítógépes iskolája (Typotex, Budapest, 2005.) 14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka: Aktív órai munka, a házi feladatok elkészítése és a szorgalmi időszak végére egy Maple program önálló megírása. 15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: Gémes Margit műszaki tanár Analízis Tanszék Matematikai Intézet 38