Megoldások 1. A fős osztály dolgozatot írt matematikából és a következő jegyek születtek: 6 darab jeles, 9 darab jó, 8 darab közepes, darab elégséges és darab elégtelen. Készíts gyakorisági táblázatot, majd számítsd ki az egyes adatok relatív gyakoriságát! Számítsd ki továbbá a következőket is: módusz, medián, terjedelem, számtani közép, szórás. Szemléltesd a dolgozat eredményeit oszlop -, illetve kördiagram segítségével! Célszerű a jellemzés előtt mindig gyakorisági táblázatot készítenünk: Jegy Elégtelen Elégséges Közepes Jó Jeles Gyakoriság 8 9 6 Relatív gyakoriság: Jeles: Jó: Közepes: Elégséges: Elégtelen: 6 9 8 0 % % 6,7 % 16,7 % 6,6 % Módusz: Jó 9 darab Medián: K = 3 + 4 = 3, növekvő sorban a. és 16. elem átlaga Terjedelem: R = 1 = 4 Számtani közép: A = 1 + + 8 3 + 9 4 + 6 = 3,4 Szórás: σ = (1 3,4) + ( 3,4) + 8 (3 3,4) + 9 (4 3,4) + 6 ( 3,4) = 1,08 1
Oszlopdiagram: Darabszám Dolgozat eredmények 10 8 6 8 9 6 4 0 Elégtelen Elégséges Közepes Jó Jeles Jegyek Kördiagram: Dolgozat eredmények 6 (0%) (6,6%) (16,7%) 9 (%) 8 (6,7%) Elégtelen Elégséges Közepes Jó Jeles. Számítsd ki az előző feladatban szereplő adatok középeltérését, illetve átlagos abszolúteltérését! Középeltérés: S(K) = 1 3, + 3, + 8 3 3, + 9 4 3, + 6 3, = 0,8 Átlagos abszolút eltérés: S(A) = 1 3,4 + 3,4 + 8 3 3,4 + 9 4 3,4 + 6 3,4 = 1
3. Egy csoportban megmérték a magasságokat (cm) és a következő értékek születtek: 16, 17, 17, 170, 180, 16, 18, 17, 170, 16, 170, 170, 17, 180, 170. Készíts gyakorisági táblázatot, majd számítsd ki az egyes adatok relatív gyakoriságát! Számítsd ki továbbá a következőket is: módusz, medián, terjedelem, számtani közép, szórás. Szemléltesd a mérések eredményeit oszlop -, illetve kördiagram segítségével! Célszerű a jellemzés előtt mindig gyakorisági táblázatot készítenünk: Magasság 16 cm 170 cm 17 cm 180 cm 18 cm Gyakoriság 3 4 1 Relatív gyakoriság: 16 cm: 170 cm: 17 cm: 180 cm: 18 cm: 3 4 1 0 % 33,3 % 6,7 % 13,3 % 0,07 % Módusz: 170 cm darab Medián: K = 170 cm növekvő sorban a 8. elem Terjedelem: R = 18 16 = 0 cm Számtani közép: A = 3 16 + 170 + 4 17 + 180 + 1 18 = 17,7 cm Szórás: σ = 3 (16 17,7) + (170 17,7) + 4 (17 17,7) + (180 17,7) + 1 (18 17,7) =,7 3
Oszlopdiagram: Darabszám 6 4 3 1 3 Mérési eredmények 4 1 0 16 cm 170 cm 17 cm 180 cm 18 cm Magasságok Kördiagram: Mérési eredmények 1 3 4 16 cm 170 cm 17 cm 180 cm 18 cm 4. Számítsd ki az előző feladatban szereplő adatok középeltérését, illetve átlagos abszolúteltérését! Középeltérés: S(K) = 3 16 170 + 170 170 + 4 17 170 + 180 170 + 1 18 170 = 4,7 Átlagos abszolút eltérés: S(A) = 3 16 17,7 + 170 17,7 + 4 17 17,7 + 180 17,7 + 1 18 17,7 = 4,8 4
. Egy tálban van narancs, 4 citrom, alma, 3 szőlő és 1 banán. Szemléltesd kördiagramon a gyümölcsök megoszlását! Először számoljuk ki a körcikkek középponti szögének nagyságát a 360 - hoz viszonyítva: Narancs: 360 = 48 Citrom: 4 360 = 96 Alma: 360 = 10 Szőlő: 3 360 = 7 Banán: 1 360 = 4 Ezek alapján a kördiagram a következő: Szőlő 336 Banán 0 Narancs 48 Citrom 64 Alma 144
6. Egy dolgozat eredményei a következők lettek: 1 elégtelen, 3 elégséges, 4 közepes, jó, jeles. Számítsd ki a jegyek harmonikus -, mértani (geometrikus), számtani (aritmetikai) - és négyzetes közepét! Helyettesítsünk be az egyes közepek megfelelő képletébe: Harmonikus közép: H = 1 1 1 + 3 1 + 4 1 3 + 1 4 + 1 =,73 Mértani közép: G = 1 1 3 3 4 4 = 3,03 Számtani közép: A = 1 1 + 3 + 4 3 + 4 + = 3,33 Négyzetes közép: N = 1 1 + 3 + 4 3 + 4 + = 3,4 7. Hogyan változik az átlag és a szórás, ha az 1, 3, 7,, minta minden eleméhez hozzáadunk - öt? Az így kapott minta a következő lesz: 6, 8, 1, 7, 10. Az eredeti minta átlaga A = 1 + 3 + 7 + + = 3,6. A kapott minta átlaga A = 6 + 8 + 1 + 7 + 10 = 8,6. Az eredeti minta szórása: σ = (1 3,6) + (3 3,6) + (7 3,6) + ( 3,6) + ( 3,6) =,4. A kapott minta szórása: σ = (6 8,6) + (8 8,6) + (1 8,6) + (7 8,6) + (10 8,6) =,4. A minta átlaga tel több lesz, mert mivel minden értéket növelünk tel, így a számláló értéke = tel nő, de a nevező nem változik. A minta szórása pedig nem változik, mert a szórás képletében a számláló és a nevező értéke sem változik. 6
8. Mit jelent, ha egy adathalmaz terjedelme 0? Mit jelent, ha a szórása 0? Következik - e egyik a másikból? Amennyiben a terjedelem 0, akkor a legnagyobb és legkisebb adat különbsége 0, vagyis a két adat megegyezik. Ekkor azonban az összes adat egyenlő. Amennyiben a szórás 0, akkor a képletben a számláló értéke 0. A számlálóban található kifejezések értéke nem negatív, vagyis az összegük csak akkor 0, ha mindegyik 0. Ezek alapján minden adatnak egyenlőnek kell lennie az átlaggal, vagyis az összes adat egyenlő egymással. Ezek alapján a két megállapítás tehát következik egymásból. 9. Adj meg egy olyan 8 elemű adathalmazt, amelynek mediánja 4, módusza és az átlaga! A módusz alapján az elemek között az - esekből kell lenni a legtöbbnek. A medián alapján a negyedik és ötödik elem átlaga 4, tehát az összegük 8. Az átlag alapján pedig tudjuk, hogy a 8 elem összege 8 = 40. Ezek alapján egy lehetséges adathalmaz:,,, 3,, 8, 8, 10. 10. Egy kézilabdacsapat játékosainak átlagéletkora év. Szabálytalanság miatt az egyik játékost kiállították, aminek hatására a csapat átlagéletkora 1 évre csökkent. Mennyi éves a kiállított játékos, ha a csapat 7 emberből áll? A számtani közép alapján a csapattagok életkorának összege: 7 = 4. A kiállítás után a csapattagok életkorának összege: 6 1 = 16. Ezek alapján a kiállított játékos életkora: 4 16 = 8 év. 11. Melyik számot kell elhagyni az 1,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 10 számok közül úgy, hogy a megmaradt számok átlaga legyen? Az elhagyás után a 9 darab szám átlaga lesz, vagyis az összegük 9 = 4. Mivel az eredetileg adott számok összege, ezért a 10 - est kell elhagynunk. 7
1. Tamás januárban 3 napon 17 órát, 8 napon 1 órát és 7 napon 9 órát dolgozott. A többi napokon pedig nem dolgozott. Határozd meg, hogy Tamás januárban mennyit dolgozott átlagosan naponta! A január 31 napos, így összesen 13 napon nem dolgozott Tamás. Ezek alapján a megoldás: A = 3 17 + 8 1 + 7 9 + 13 0 31 = 6,77 órát. 13. Évának év vége előtt matematikából a következő jegyei voltak: Felelet (4; ; 3; ), Röpdolgozat (4; ; 3) és Témazáró (3; 4; 3; 4; ). A tanár úgy osztályoz, hogy a röpdolgozat jegyeit 1, - szeres, a témazáró jegyeit pedig - szeres súllyal véve figyelembe átlagot számol, majd kerekít a szokásos módon. Milyen jegyet kap év végén Éva matematikából? A feladatnak megfelelően írjuk fel a súlyozott átlagot: A = 4 + + 3 + + 1, (4 + + 3) + (3 + 4 + 3 + 4 + ) 1 4 + 1, 3 + = 3,378. Ezek alapján Éva hármast fog kapni év végén matematikából. 14. Egy léceket gyártó cég termékei közül 10 % 110 cm, % 1 cm, 0 % 160 cm, 3 % 180 cm, 0 % 00 cm hosszúságú. Határozd meg a lécek hosszának szórását! A szóráshoz először határozzuk meg a hosszúságok átlagát: A = 0,1 110 + 0, 1 + 0, 160 + 0,3 180 + 0, 00 1 = 16, cm. Ezek alapján a megoldás: σ = 0,1 (110 16,) +0, (1 16,) +0, (160 16,) +0,3 (180 16,) +0, (00 16,) 1 = 8,4. 8
. Egy tantestület átlagéletkora 40 év. A tanárnők átlagéletkora 3 év, a tanár uraké pedig 0 év. Mennyi a tanárnők és tanár urak számaránya a tantestületben? Legyen x a tanárnők száma, y pedig a tanár urak száma a tantestületen belül. Ekkor az életkorok összegéről tudjuk, hogy a nőknél 3x, a férfiaknál pedig 0y. A tantestület átlagéletkorának segítségével felírhatjuk a következő egyenletet: Az átrendezés után azt kapjuk, hogy x = y. 3x + 0y x + y = 40. Ezek alapján a tantestületben kétszer több nő van, mint férfi, így az arányuk 1. 16. Egy 176 diákból álló évfolyam matematika átlaga 3,. Tudjuk, hogy 0 - en kaptak jelest, 40 - en négyest és 16 - an buktak meg. Hányan kaptak hármast, illetve kettest? Legyen a hármas dolgozatok száma x, a kettes dolgozatok száma pedig y. A diákok számából a következő egyenlet adódik: x + y = 70. Az átlag segítségével felírhatjuk a következő egyenletet is: A = 0 + 40 4 + 3x + y + 16 1 176 = 46 + 3x + y 176 = 3,. Ebből átrendezés után azt kapjuk, hogy 3x + y = 190. Ezek alapján a következő egyenletrendszer adódik: 3x + y = 190 x + y = 70 } Ezt megoldva kapjuk, hogy x = 0 és y = 0, vagyis 0 közepes és 0 elégséges született. 9
17. Egy tehetséges osztályban távolugrást mértek fel, amelynek négy legjobb eredményét írta fel a tanár. Ezek átlagát és szórását is meghatározta: 4, 0 m, illetve 0, 1 m. Jegyzetében két adat a kiolvashatatlanságig elmosódott. A megmaradt két eredmény 4, 1 m és 3, 8 m. Mi volt a másik két mérési eredmény? Legyen a két hiányzó adat x, illetve y. Az átlag segítségével felírhatjuk a következő egyenletet: A = x + y + 4,1 + 3,8 4 = 4. Ebből átrendezés után azt kapjuk, hogy x + y = 8,1. A szórás segítségével felírhatjuk a következő egyenletet is: σ = (x 4) + (y 4) + (4,1 4) + (3,8 4) 4 = 0,1. Ebből négyzetre emelés és átrendezés után azt kapjuk, hogy (x 4) + (y 4) = 0,00936. Ezek alapján a következő egyenletrendszer adódik: x + y = 8,1 (x 4) + (y 4) = 0,00936 } Az első egyenletből átrendezés után azt kapjuk, hogy y = 8,1 x. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe: (x 4) + (4,1 x) = 0,00936. A zárójelek felbontása után a következő másodfokú egyenlet adódik: x 8,1x + 16,4003 = 0. A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 4,098 és x = 4,00. Visszahelyettesítés után x 1 = 4,098 esetén y 1 = 4,00, míg x = 4,00 esetén y = 4,098 adódik. Ezek alapján a két elmosódott érték az x = 4,098 m és az y = 4,00 m. 10
18. Egy fős osztályban fizikából 3 jeles, 10 közepes és elégséges dolgozat született. Az osztály átlaga, 9 és, 9 közé esik. Hányan írtak négyes dolgozatot? Legyen a négyes dolgozatok száma x. Ekkor az elégtelenek száma: 3 10 x = 1 x. Ezt követően írjuk fel az átlagot: A = 3 + 4x + 10 3 + + (1 x) 1 Az átlag segítségével felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget:,9 < Ebből átrendezés után azt kapjuk, hogy 6,67 < x < 7,17. = 3x + 67 3x + 67. <,9. Mivel az x értéke csak egész szám lehet, ezért összesen 7 darab négyes született. 19. Egy televíziós műsor hatásának felmérésére különböző embereket kérdeztek meg. Az eredményeket az alábbi táblázat mutatja: nagyon tetszett tetszett nem tetszett nagyon nem tetszett férfi 1 3 10 nő 6 8 3 1 fiú 3 lány 8 1 1 a) Hány személyt kérdeztek meg összesen? b) Hány nőnemű személynek nem, vagy nagyon nem tetszett? a) A megkérdezettek számát megkapjuk, ha összeadjuk a cellákban található számokat. Ezek alapján a megoldás (soronként összeadva az értékeket): 19 + 18 + + = 67. b) A megoldás a harmadik és negyedik oszlop, második és negyedik sorában található számok összege, vagyis: 3 + 1 + 1 + 1 = 6. 11
0. A következő táblázat általános iskolákra vonatkozó adatokat tartalmaz: Tanév 1999/000 001/00 Iskolák száma 3 897 3 8 Összes tanuló (1000 fő) 97,9 947 Nappali tanulók száma (1000 fő) 969,8 944, Nappali első évfolyamon (1000 fő) 17,3 117,6 Osztályok száma 47 66 47 68 Pedagógusok száma 89 44 90 94 Osztálytermek száma 6 43 19 a) Az összes nappali tagozatos tanulóknak hány százaléka járt az első évfolyamra? b) Hány tanulóra jut egy osztályterem? c) Hány tanuló jut egy pedagógusra? d) Mennyi az átlagos osztálylétszám? e) Hány százalékkal csökkent a tanulói összlétszám? a) A harmadik és ötödik sorból kapjuk a megoldást: Első tanévben: 17 0 969 800 117 600 100 = 13,1 % Második tanévben: 100 = 1, % 944 00 b) A harmadik és nyolcadik sorból kapjuk a megoldást: Első tanévben: 97 900 6 = 18, Második tanévben: 947 000 43 19 = 1,9 c) A harmadik és hetedeik sorból kapjuk a megoldást: Első tanévben: 97 900 89 44 = 10,9 Második tanévben: 947 000 90 94 = 10, d) A harmadik és hatodik sorból kapjuk a megoldást: Első tanévben: 97 900 47 66 = 0,4 Második tanévben: 947 000 47 68 = 19,9 e) A harmadik sorból kapjuk a megoldást: 947 97,9 100 = 97,3 % Ezek alapján,7 % - kal csökkent a tanulók száma. 1
1. Egy helyhatósági választáson az első fordulóban jelölt indult. Az egyes jelöltekre leadott szavazatokat az alábbi kördiagram segítségével ábrázoltuk, ahol feltüntettük a körcikkekhez tartozó középponti szögeket. Tudjuk, hogy összesen 6 600 érvényes szavazat érkezett. 4 10 4 90 60 a) Hány érvényes szavazatot kaptak az egyes jelöltek? b) Hogyan alakult az érvényes szavazatok százalékos eloszlása c) Átlagosan hány érvényes szavazatot kapott egy jelölt? a) A teljes kör 360 - ot tesz ki, így a szavazatok alakulását az arányok segítségével számolhatjuk ki: 6 600 4 360 = 8 6 600 4 360 = 8 6 600 10 360 = 00 6 600 60 360 = 1 100 6 600 90 360 = 160 13
b) A szavazatok százalékos eloszlása a következőképpen alakult: 4 360 4 360 10 360 60 360 90 360 100 = 1, % 100 = 1, % 100 = 33,33 % 100 = 16,67 % 100 = % c) Átlagosan egy jelölt 6 600 = 1 30 szavazatot kapott.. Az alábbi vonaldiagram a Tisza vízállásának alakulását mutatja Szolnoknál centiméterben mérve egy adott hét napján. Mennyi az átlagos napi vízállás, a minta terjedelme, illetve a medián? 100 90 80 70 60 0 40 0 10 0 86 8 73 68 70 7 6 hétfő kedd szerda csütörtök péntek szombat vasárnap Először le kell olvasnunk a grafikonról az értékeket: Hétfőn 86 cm, kedden 8 cm, szerdán 73 cm, csütörtökön 6 cm, pénteken 68 cm, szombaton 70 cm, vasárnap 7 cm volt a vízállás. Ezek alapján az átlagos napi vízállás: A = 86 + 8 + 73 + 6 + 68 + 70 + 7 7 = 74 cm. A minta terjedelme: R = 86 6 = 1 cm. A minta mediánja: K = 7 cm. 14
3. Egy jól sikerült röpdolgozat jegyeinek összege 147 lett, az átlag 4, és senki nem írt elégtelen dolgozatot. a) Hányan írtak dolgozatot? b) Legalább hány ötös dolgozat születhetett? c) Legfeljebb hány ötös dolgozat születhetett? a) Legyen a dolgozatot írók száma x. Ekkor az átlag segítségével felírható a következő egyenlet: 4,x = 147. Ebből kapjuk, hogy x = 3, vagyis 3 - en írtak dolgozatot. b) Mivel 3 darab négyes dolgozat esetén az összeg csak 140 lenne, így 7 darab ötös dolgozatnak minimum lennie kellett. c) Mivel 3 kettes dolgozat esetén az összeg csak 70 lenne, így néhányat ötösre kell változtatnunk. Egy változtatásnál 3 - mal több lesz az összeg, de mivel csak 77 hiányzik az összegből és az nem osztható 3 - mal, így szükség van még hármasokra is. Amennyiben két kettest hármasra cserélünk, akkor már csak 7 lesz a hiányzó érték. Ezt követően a ketteseket ötösökre cseréljük, s mivel egy cserénél 3 - mal nő az összeg, ezért összesen 7 = cserére van szükségünk. 3 Ezek alapján maximum ötös dolgozat lehetett. 4. Egy matek dolgozat átlaga 3, lett. Az egyik diák utólag négyesre írta meg a pótdolgozatát és így az átlag 3, - re nőtt. Hányan írták meg eredetileg a dolgozatot? Legyen az első dolgozatot megírók száma x. Ekkor felírható a következő egyenlet: 3,x + 4 = 3, (x + 1). Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy x = 4, vagyis 4 - en írtak eredetileg dolgozatot.
. Egy fős osztályban egy dolgozat során az osztályátlag, 96 lett. Tudjuk, hogy senki sem írt egyest, négyszer annyi hármas dolgozat lett, mint ötös, valamint kétszer annyi kettes, mint négyes. Melyik osztályzatból mennyi született? Legyen az ötös dolgozatok száma x, s ekkor a hármas dolgozatok száma 4x. Továbbá legyen a négyes dolgozatok száma y, s ekkor a kettes dolgozatok száma y. Az átlag segítségével tudjuk, hogy a jegyek összege:,96 = 74. Ezek alapján felírható a következő egyenlet: x + 1x + 4y + 4y = 74. Ebből összevonás a következőt kapjuk: 17x + 8y = 74. Mivel x és y a jegyek darab számát jelölik, ezért azok csak pozitív egész számok lehetnek. A kapott egyenletből adódik, hogy x csak a 0, 1,, 3, 4 értékek valamelyikét veheti fel. Ezeket megvizsgálva, csak az x = és y = esetén kapunk egész számokat. Ezek alapján a megoldás: darab jeles, darab jó, 8 darab közepes és 10 darab elégséges lett. 16