Lestár Péter Egységes Középiskola, Szakiskola

Átírás

1 Lestár Péter Egységes Középiskola, Szakiskola november TÁMOP Témahét Nevezetes számok és arányok Kidolgozta: Márkus Erika matematika fizika szakos tanár 1

2 A témahét célja: Bővíteni a tanulók ismereteit a számok körében, megismertetni velük a különleges arányokat, különös tekintettel az aranymetszésre. Bemutatni a tanulóknak az ismeretszerzés, a tanulás fontosságát és a szerzett ismeretek széleskörű alkalmazását. A művészet oldaláról is megközelíteni a témát, hiszen az aranymetszés nemcsak a természetben fellelhető és meghatározó arány, hanem a műalkotások legfontosabb eleme. A matematika, az informatika, a rajz és az ének órákon az aktív közreműködéssel a fogalmak és az ismeretek elmélyítése. Világhírű tudósok és művészek munkásságának tanulmányozása. Az osztályban a tanulás keretei széleskörűek: önálló gyűjtőmunka, beszámoló, egyéni munka, csoportmunka, párban végzett feladatmegoldás, közös éneklés, kisfilmek, filmrészletek megnézése. A témahétben résztvevő tanárok: Márkus Erika, Fülöp Péter, Bánóczki Zoltán, Kissné Forgó Zsuzsanna, Vereczki Józsefné. Ezúton köszönöm meg a témahét megvalósításában segítséget nyújtó kolléganőim és kollégáim munkáját. 2

3 Témahét struktúra november NAP FELADAT CÉL MUNKAFORMA, MÓDSZER A tanulók előzetes ráhangolódás osztálymunka, gyűjtőmunkáinak frontális összeszedése. 1. nap hétfő matematika óra Gyűjtőmunkák ismertetése a nevezetes számokra és az aranymetszésre vonatkozóan. Kisfilm megtekintése a szita módszerre. Feladatlap kitöltése (Eratoszthenész szitája) Kisfilm megtekintése (aranymetszés a természetben) Témához kapcsolódó képek bemutatása Feladatlap megoldása az aranymetszésre. új ismeretek befogadása új ismeretek befogadása új ismeretek feldolgozása új ismeretek befogadása új ismeretek befogadása új ismeretek feldolgozása osztálykeretben, egyéni osztálykeretben, frontális egyéni osztálykeretben, frontális osztálykeretben, frontális egyéni ESZKÖZÖK tábla, filctoll, mappa ÉRTÉKELÉS - szóbeli számítógép, projektor fénymásolt lapok, tollak számítógép, projektor - - javítás után a legjobbaknak jegy - laminált lapok - fénymásolt lapok, tollak javítás után a legjobbaknak jegy 3

4 Témahét struktúra november NAP FELADAT CÉL MUNKAFORMA, MÓDSZER Plakát készítése a új ismeretek csoportmunka, gyűjtött anyag alkalmazása plakátkészítés felhasználásával aranymetszésre vonatkozóan. 2. nap kedd rajz és matematika órák Az aranymetszésre képek bemutatása tanári magyarázattal. Az aranymetszésre rajzok készítése. A témában legjellemzőbb rajzokból plakát készítése. A tanulók előzetes gyűjtőmunkáinak összeszedése a Fibonacci sorozatra vonatkozóan. Két kisfilm megtekintése Fibonacci munkásságára és a sorozatra. új ismeretek befogadása kreativitás fejlesztése kreativitás fejlesztése ráhangolódás érdeklődés felkeltése, új ismeretek befogadása osztálykeretben, frontális osztálykeretben, egyéni, képtárlátogatás csoportmunka, plakátkészítés osztálymunka, frontális osztálykeretben, frontális ESZKÖZÖK nagy kartonlap, színes filctollak, olló, ragasztók ÉRTÉKELÉS szóbeli laminált lapok - laminált lapok, fehér lapok, színes ceruzák, filctollak filctollak, nagy kartonlap, ragasztók tábla, filctoll, mappa számítógép, projektor szóbeli és a legjobbaknak jegy szóbeli - - 4

5 Témahét struktúra november NAP FELADAT CÉL MUNKAFORMA, MÓDSZER A filmek tartalmának ismeretek osztálykeretben, megbeszélése. rögzítése építő vita ESZKÖZÖK ÉRTÉKELÉS - szóbeli Képek kivetítésével a következő feladat előkészítése. A Fibonacci számok alapján spirál rajzolása. Plakát készítése a Fibonacci sorozat alkalmazására (nyuszik szaporodása). új ismeretek befogadása kreativitás fejlesztése új ismeretek alkalmazása osztálykeretben, frontális osztálykeretben, egyéni csoportmunka, plakátkészítés számítógép, projektor dupla négyzetrácsos lapok, körző nagy kartonlap, színes filctollak, olló, ragasztók - szóbeli, legjobbaknak jegy szóbeli 3. nap szerda informatika óra Leonardo da Vinci életéről készült filmsorozatból részletek megtekintése. A filmrészletek tartalmának megbeszélése. érdeklődés felkeltése, új ismeretek befogadása ismeretek rögzítése az osztály mindkét felének külön - külön, frontális az osztály mindkét felének külön - külön, építő vita számítógép, projektor - szóbeli - 5

6 Témahét struktúra november NAP FELADAT CÉL MUNKAFORMA, MÓDSZER Népdalok éneklése. ráhangolódás az új osztálykeretben, témára közös éneklés 4. nap csütörtök ének, matematika és informatika órák Tanári prezentáció az aranymetszésről, annak a zenében játszott szerepéről. Kérdések válaszok: aranymetszés, pentatón népdalok, harmónia témában. új ismeretek befogadása érdeklődés felkeltése a zeneművek felépítésének elemzésére osztálykeretben, frontális osztálykeretben, építő vita ESZKÖZÖK Énektár számítógép, projektor ÉRTÉKELÉS szóbeli - szóbeli - Zeneművek meghallgatása. érdeklődés felkeltése a zeneművészet iránt osztálykeret, közös zenehallgatás CD lejátszó vagy számítógép - Népdalok éneklése. a művészeti képesség fejlesztése osztálykeretben, közös éneklés Tankönyv szóbeli Emlékeztető kérdések a korábbi órákon tanultakra vonatkozóan. motiváció, az érdeklődés felkeltése a téma folytatására osztálymunka, szóforgó tábla, filctoll szóbeli 6

7 Témahét struktúra november NAP FELADAT CÉL MUNKAFORMA, MÓDSZER Szabályos mértani térszemlélet osztálykeretben, testek bemutatása, fejlesztése egyéni megfigyelés körbeadása és ezekről képek vetítése folyamatosan. ESZKÖZÖK műanyag szabályos mértani testek, számítógép, projektor ÉRTÉKELÉS - Kisfilm a szabályos mértani testekről. Feladatlap megoldása, a szabályos mértani testekről folyamatosan képek vetítése. Pitagorasz tételének kimondása, táblára felírása. Kisfilm Pitagorasz tételének egy bizonyításáról. új ismeretek befogadása új ismeretek feldolgozása új ismeret befogadása új ismeret befogadása, megfigyelő képesség fejlesztése osztálykeretben, frontális egyéni osztálykeretben, frontális osztálykeretben, frontális számítógép, projektor számítógép, projektor, fénymásolt lapok, tollak - javítás után a legjobbaknak jegy tábla, filctoll - számítógép, projektor - 7

8 Témahét struktúra november NAP FELADAT CÉL MUNKAFORMA, MÓDSZER Fénymásolt lapokon új ismeret osztálykeretben, az ábrák megfelelő elmélyítése páros munka színezése a kisfilm alapján. 5. nap péntek matematika óra Plakát készítése a Pitagorasz féle számhármasokról. Emlékeztető kérdések az Internetes keresőprogramokra és az állományok mentésére vonatkozóan. Feladatlap kitöltése az Internet felhasználásával. Emlékeztető kérdések a prímszámokról és a Fibonacci sorozatról tanultakra vonatkozóan. új ismeretek alkalmazása motiváció, az érdeklődés felkeltése a témahéttel kapcsolatos további információk gyűjtésére nevezetes számokról, arányokról, tudósokról további információk gyűjtése ráhangolódás, az érdeklődés felkeltése a téma folytatására csoportmunka, plakátkészítés az osztály mindkét felének külön - külön, szóforgó az osztály mindkét felének külön - külön, egyéni osztálymunka, szóforgó ESZKÖZÖK fénymásolt lapok, színes ceuzák nagy kartonlap, színes filctollak, olló, ragasztók tábla, filctoll számítógép minden tanulónak tábla, filctoll ÉRTÉKELÉS ellenőrzés után szóbeli szóbeli szóbeli szóbeli, a legjobbaknak jegy szóbeli 8

9 Témahét struktúra november NAP FELADAT CÉL MUNKAFORMA, MÓDSZER További nevezetes új ismeretek osztálykeretben, számok és arányok befogadása, frontális, megismerése, egy számolási készség majd a kérdésekre összesített lista fejlesztése egyéni válaszadás elemzése Nevezetes számok és tulajdonságainak összefoglalása. Két könyvből a témához kapcsolódó részletek felolvasása. Plakát készítése a nevezetes számokról. A témahét zárásaként kisfilmek megtekintése Leonardo da Vinci sokoldalú munkásságáról (találmányairól, rajzairól, festményeiről). új ismeretek rögzítése új ismeretek mélyítése, játékos tanulás új ismeretek alkalmazása a tudományos megismerés folyamatának bemutatása osztálymunka, szóforgó osztálykeretben, frontális csoportmunka, plakátkészítés osztálykeretben, frontális ESZKÖZÖK számítógép, projektor, tábla filctoll számítógép, projektor ÉRTÉKELÉS szóbeli szóbeli két könyv - nagy kartonlap, színes filctollak, olló, ragasztók számítógép, projektor szóbeli - 9

10 Előzetes ismeretek, tevékenységek: Témahét struktúra november Matematika: számolás a valós számok körében, arány fogalma, oszthatósági alapfogalmak, geometriai alapismeretek (síkidomok, mértani testek főbb tulajdonságai) 2. Rajz: rajzeszközök használata 3. Ének: népdalok 4. Informatika: alapszintű szövegszerkesztői ismeretek, böngésző használat, fájlok, képek mentése. 10

11 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről november 15. hétfő (1. nap) Matematika óra A tanulók a korábbi tájékoztatás alapján gyűjtőmunkákat hoztak, beszámoló hangzott el a tökéletes számokról, a páros, a páratlan számokról, a prímszámokról és az aranymetszésről. Néhányan már jegyzeteltek és a vizuál táblára felírtuk a címszavakat. Ezután a youtube.com ról már korábban letöltött kisfilmet néztünk meg Eratoszthenész szitájára. A kisfilm hasznosnak bizonyult, mert a kiosztott feladatlapot ez alapján ki tudták tölteni. A továbbiakban szereplő kisfilmeket is a youtube.com- ról töltöttem le még korábban, így a vetítést nem akadályozta az esetlegesen lassú Internet elérés az adott órán. Újabb kisfilmet néztünk meg az aranymetszésre, ami után a témához kapcsolódóan előre elkészített laminált képeket elemeztünk. Megbeszéltük az aranymetszés definícióját és a hozzá tartozó százalékos felosztást (38,2 % 61,8%). A tanulók kaptak egy újabb feladatlapot képekkel, amelyen két feladatot kellett megoldani. Ennek megoldását már nem mindenki fejezte be. Közben elkészült egy plakát, amelyet a legaktívabb tanulók készítettek a korábban gyűjtött anyagból az aranymetszésre vonatkozóan. A plakáton lévő képek mutatják a nevezetes arány előfordulását a természetben, az építészetben, a festészetben, a speciális síkidomoknál, a geometriai szerkesztéseknél. 11

12 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről 12

13 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről november 16. kedd (2. nap) Rajz és matematika órák A rajz óra elején a tanárnő kiosztotta az előre elkészített 29 db laminált képet az aranymetszés témában azért, hogy öleteket adjon a tanulóknak ezzel a témával kapcsolatos képek készítéséhez. Ezután a tanulók rajzokat készítettek színes ceruzákkal és filctollakkal. Eközben megnézték egymás munkáit is képtárlátogatás formájában. A rajzok közül néhányat kartonlapra ragasztottak. A rajz tanárnő: Vereczki Józsefné. 13

14 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről A matematika óra elején összeszedtük a Fibonacci sorozatra hozott gyűjtőmunkákat és néhány szóban ismertettük, ezzel ráhangolódva a téma folytatására. Két kisfilmet néztünk meg, mindkettő jól mutatta a Fibonacci sorozat fontosságát a természetben. A tanulók valóban érdeklődve nézték végig a kisfilmeket, majd még néhány kérdést feltettek. A válasz után képeket vetítettem ki, hogy a spirált meg tudják rajzolni a dupla négyzetrácsos lapokra. Mindenki meg tudta rajzolni még egy kis táblai magyarázat alapján. Plakátot készítettünk a Fibonacci sorozat és a nyuszik szaporodásának összefüggésére. A cél az volt, hogy megjegyezzék ennek a nevezetes sorozatnak a képzési szabályát. 14

15 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről 15

16 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről november 17. szerda (3. nap) Informatika óra Az osztály csoportbontásban tanulja az informatikát. Ezen a napon mindkét csoportnak filmvetítés volt Leonardo da Vinci, a híres reneszánsz művész és tudós életéről. Ez az 5 részes film egy klasszikus televíziós sorozat felújítása 2 db DVD n. A tanulóknak is tetszett ez a közérthető és nagyon szépen megrendezett film (rendezte: Renato Castellani). A témánkhoz jól illeszkedett, hiszen az arányok alapvetően meghatározták a művész és tudós munkásságát. A film után röviden megbeszélték a látottakat. A két informatika tanár: Fülöp Péter és Bánóczki Zoltán. 16

17 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről november 18. csütörtök (4. nap) Ének, matematika és informatika órák Az ének órát az osztály két népdal éneklésével kezdte, az Erdő, erdő, erdő, de magas a teteje (Énektár 30.) és az Erdő, erdő, erdő, marosszéki kerek erdő (Énektár 45.) népdalokkal. A tanárnő egy PowerPoint os prezentációt mutatott be az aranymetszésről, annak a természetben, a képzőművészetben és a zenében betöltött szerepéről. Hangsúlyozta, hogy a pentatónia az aranymetszés zenei hordozója. Bartók Béla is alkalmazta szerzeményeiben az aranymetszést, az akkord minden hangjához megszólal a 2, 3, 5 és 8 as hangköz. Néhány kérdés és válasz hangzott el arra vonatkozóan, hogy az aranymetszés milyen mértékben hoz létre harmóniát a természetben és a művészetekben. Ezután meghallgatták Bartók Béla Zene ütős hangszerekre és cselesztára című művét és egy részletet Kodály Zoltán Psalmus Hungaricus című művéből, mindkettőt már korábban letöltöttük a youtube.com ról. A tanulók valóban ráhangolódtak a művekre. Végül két népdal éneklésével fejezték be az órát, a Kossuth Lajos táborában (Tankönyv 339.) és a Röpülj páva, röpülj (Tankönyv 341.) népdalokkal. A használt könyvek: Pécsi Géza Uzsalyné Pécsi Rita Énektár 2. és Pécsi Géza Kulcs a muzsikához (Tankönyv). Az ének tanárnő: Kissné Forgó Zsuzsanna. 17

18 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről 18

19 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről A matematika óra elején néhány emlékeztető kérdés után bemutattam a műanyagból készült szabályos testeket (kocka, tetraéder, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder). Ezek hálózati rajzát kivetítettem, majd elkezdtük elemezni. A hálózati rajzokon a tanulók jól felismerték a síkidomokat. Megnéztünk egy kisfilmet a szabályos testekről, amely jól szemléltette, hogyan lesz a hálózati rajzból hajtogatással mértani test. Ezután egy feladatlapot kellett kitölteni a szabályos testek tulajdonságaira vonatkozóan (csúcsok, élek, lapok száma, határoló lapok oldalszáma, egy csúcsban összefutó lapok száma). Rendes tempóban dolgoztak, spontán módon páros munkává alakult a táblázatok kitöltése. Megtanulták Pitagorasz tételét, amelynek egyik bizonyítását egy kisfilmmel szemléltettem. Erre a darabolós bizonyításra a tanulók kaptak egy feladatlapot, amelyen az egybevágó síkidomokat azonos színűre kellett színezni. A tanulók többsége vagy beszámozta vagy beszínezte az egybevágó síkidomokat. Közben elkészült egy plakát a Pitagorasz féle számhármasokról, amelyeket négyzetek területével szemléltettünk. 19

20 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről 20

21 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről A párhuzamosan zajló informatika órákon a tanulók először átismételték a kereső programokra és az állományok mentésére vonatkozó alapismereteket. Ezután egyénileg kellett egy egy számítógép mellett dolgozni és kitölteni egy kérdéssort az Internet felhasználásával. A képeket, dokumentumokat le is lehetett tölteni, ki lehetett menteni. A kérdésekre a többség megtalálta a válaszokat az Interneten. Az órákon felhasznált feladatlapokat a melléklet tartalmazza. 21

22 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről november 19. péntek (5. nap) Matematika óra Óra elején átismételtük a prímszámokról és a Fibonacci sorozatról tanultakat. Ezután a nevezetes számokról egy összesített listát vetítettem ki, melynek alapján példákkal együtt sorra vettük a következőket: barátságos számok, tökéletes számok, prímszámok, Fibonacci sorozat, π, érdekes számok, palindrom számok, szerencsés számok és szép számok. Ezt a listát többször végig görgettük a táblán és közben elismételtük a tulajdonságaikat szóforgó módszerrel. A tanulók az órán még két könyvből olvastak fel a témához kapcsolódó részleteket: Róka Sándor Kedvencem a matematika és Sain Márton Matematikatörténeti ABC című könyvekből. Közben elkészült egy plakát a nevezetes számokról. A témahét zárásaként megnéztünk néhány kisfilmet Leonardo da Vinci munkásságáról (találmányairól, rajzairól és festményeiről). Ezeket is korábban a youtube.com ról töltöttem le. A kisfilmek hangulatos zenei aláfestése és a látványos képek még éberen tartották a tanulók figyelmét. 22

23 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről 23

24 A témahét során használt munkaformák: ~ osztálymunka ~ csoportmunka A témahét során alkalmazott módszerek: ~ frontális ~ egyéni ~ plakátkészítés csoportban ~ tanulók beszámolói ~ tanári prezentáció ~ közös éneklés ~ zenehallgatás ~ kisfilmek megtekintése ~ építő vita ~ szóforgó Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről Értékelés, összegzés: A tanulók érdeklődése, aktivitása folyamatos volt minden tanóra során. A tanulók bekapcsolódtak a munkába és általában figyeltek az órákon. A témafeldolgozás újszerűsége, a geometriai eszközök, a kisfilmek felkeltették az érdeklődésüket. Igyekezetük megnyilvánult abban is, hogy többen hoztak gyűjtőmunkát, az órákon pedig viszonylag jó tempóban töltötték ki a feladatlapokat. 24

25 Napló a Nevezetes számok és arányok témahét eseményeiről Az összefoglalás és a későbbi ismétlés során kiderült, hogy tájékozottságuk szélesedett és nyitottabbak lettek az új ismeretek befogadására. A témahétben résztvevő tanárok a módszert nagyon jónak tartják, de eredményes megvalósításához a nagy osztálylétszámok helyett kisebb csoportokra van szükség és minden tanteremben teljeskörű technikai felszereltségre. A fotók, az órán végzett munkák dokumentumai és a plakátok mutatják, hogy a témahét sikeres lett. Mellékletek a dokumentációban: 1. Feladatlap Eratoszthenész szitájára 2. Feladatlap az aranymetszés szabályának alkalmazására 3. Kép a Fibonacci sorozat alapján rajzolható spirálról 4. Feladatlap a szabályos testek tulajdonságaira 5. Feladatlap Pitagorasz tételének bizonyítására 6. Feladatlap az Interneten történő információkeresésre 7. Összesített lista a nevezetes számokról és arányokról (8 oldal) 8. Táblázat a Pitagorasz féle számhármasokról 25

26 Eratoszthenész (i.e ): Mellékletek Eratoszthenész szitája Alexandriában működő görög matematikus. Foglalkozott még csillagászattal és fizikával is. Mint matematikust legjobban az ókori három nevezetes probléma érdekelte: a kör négyszögesítése, a szögharmadolás és a kockakettőzés. Nevét leginkább a prímszámok kiválogatására használt eljárása: Eratoszthenész szitája őrizte meg. Hozzá írta Arkhimédész a ma Módszer néven ismert levelét. Ő végezte a Föld felületén az első fokmérést, és az akkori mérési módszerek fejlettségéhez képest elég pontosan kiszámította az egyenlítő hosszát. Grammatikai és filozófiai tárgyú munkákat is írt. Tankölteményei is maradtak fenn. Prímszám definíciója: Azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek pontosan két pozitív osztója van, prímszámoknak nevezzük. Az 1 nem prím és nem is összetett szám. Húzd ki a táblázatból a 2, 3, 5, 7 többszöröseit! Sorold fel a prímszámokat 100 ig! 26

27 Mellékletek Aranymetszés Aranymetszésnek nevezzük egy szakasz két olyan részre való felosztását, melyek közül a rövidebb szakasz hossza úgy aránylik a hosszabbikhoz, mint ez a nagyobbik az egészhez. Az aranymetszésnek megfelelő osztópont 38,2 % illetve 61,8 % - ra osztja fel a szakaszt. Ez az arány a természetben és a művészetekben (építészet, festészet, szobrászat, zene, fotó) fordul elő és harmóniát hoz létre a műalkotásokban. 1. Alkalmazd az aranymetszés szabályát a következő két esetben (az ábrákat a lap hátulján készítsd el!): a.) Rajzolj egy olyan téglalapot, amelynek két oldala megfelel az aranymetszésnek. Az egyik oldalt tetszőlegesen vedd fel! b.) Egy téglalap egyik oldala 5 cm, mekkora a másik oldala, ha az aranymetszés aránya érvényesül az oldalaira? Hány megoldás lehetséges? Rajzold le ezeket! 2. A továbbiakban két képet kell elemezni. Az egyik a Szépművészeti Múzeum (Budapest) főbejáratát ábrázolja, a másik Claude Monet: A trouville i móló apálykor című festményét. Keress mindkét képen az aranymetszésnek megfelelő távolságokat és azokat egyértelműen jelöld be! 27

28 Mellékletek 28

29 Mellékletek 29

30 Mellékletek 30

31 Mellékletek Válaszolj a következő kérdésekre az Internet felhasználásával! A kereső programokon kívül használd fel a ot is! Próbáld meg kimenteni a kérdésekhez kapcsolódó kisebb állományokat! 1. Sorold fel Leonardo da Vinci leghíresebb festményeinek címét! 2. Leonardo da Vinci nemcsak híres festő, hanem híres feltaláló is volt. Folyamatosan készített vázlatokat és rajzokat. Mik a témái ezeknek a rajzoknak? 3. A középkorban hol alkalmazták elsősorban az aranymetszést, mint geometriai arányt? 4. Hol alkalmazzák ma az aranymetszést? 5. Mennyi a π ötvenedik tizedesjegye? 6. Mivel foglalkoztak a pitagoreusok? 7. Erdős Pál, a prímember munkásságát egy magasrangú matematikai díjjal jutalmazták. Mi a neve ennek a díjnak? 8. Mik a barátságos számok? Sorolj fel néhány barátságos számpárt! 9. Mik a tökéletes számok? Sorolj fel néhány tökéletes számot! 10. Mik a palindrom számok? Sorolj fel néhány ilyen számot! Összeállította: Márkus Erika 31

32 Mellékletek Barátságos számok Egyszer egy fogságba esett matematikus csak úgy szabadulhatott meg az akasztástól, ha a szultánnak olyan fejtörőt talál ki, melyet nem tud megoldani záros határidõn belül. Két szám baráti viszonyban van, ha bármelyikük önmagánál kisebb osztóinak összege kiadja a másikat. A számelméletben azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám önmagánál kisebb osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva), barátságos számoknak hívjuk. Ilyen például a (220; 284) számpár. 220 önmagánál kisebb osztói: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, = önmagánál kisebb osztói: 1, 2, 4, 71, = 220. A következõ ilyen számpárt (1 184; 1 210) csak az 1800-as évek végén találta meg egy 16 éves olasz diák. 32

33 Mellékletek Tökéletes számok A számelméletben tökéletes számnak nevezzük azokat az egészeket, amelyek megegyeznek osztóik összegével (az 1-et beleértve, önmagukat kivéve). A legkisebb tökéletes szám a 6, amelynek önmagánál kisebb osztói az 1, a 2 és a 3, ezek összege pedig = 6. A második legkisebb tökéletes szám a 28, melynek osztói az 1, 2, 4, 7 és 14 számok. A soron következő két tökéletes szám a 496 és a

34 Mellékletek Prímszámok Pontosan 2 osztójuk van (1 és önmaga). Minden természetes szám egyértelmûen bontható fel prím-hatványok szorzatára (számelmélet alaptétele). Euler már korán felfedezte, hogy végtelen sok prím van. Szomszédos négyzetszámok között mindig van prím. Minden 1-nél nagyobb természetes szám és a kétszerese között van prím (Csebisev tétele). Prímek 1000-ig

35 Mellékletek Fibonacci sorozat A pizzai Leonardo a XII. és XIII. század fordulóján élt matematikus egyike volt azoknak, akik a hinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedõ tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülõ számírási módot Európában meghonosították Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze, melyben megtalálható a következõ probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek: Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad? Az elsõ hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyrõl kettõre A következõ hónapban a szülõk újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nõ, az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettõvel nõ, és az összes párok száma ötre gyarapodik A következõ hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe A sorozat elõállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtõl kezdve bármely elem az elõzõ kettõ összege A sorozat elsõ két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a Fibonacci-sorozat esetén 1. 35

36 Mellékletek π A π a kör kerületének és átmérõjének hányadosából kapható érték évvel ezelõtt az egyiptomiak π = 3,1605; a babiloniaiak a 3+1/8=3,125 értéket használták. Arkhimédész (i.e ) kifejlesztett egy módszert a π tetszõleges pontosságú kiszámítására, amely esetében a pontosság a befektetett számítási munkával arányos. Az arab kultúra egyik híres matematikusa, Al-Kashi 1430 körül már megadta a π - t 17 jegy pontossággal. Arkhimédész módszerével ban Ludolph van Ceulen kiszámította a π értékét 20 számjegynyi, majd késõbb 36 számjegynyi pontossággal. Ezért régebben a π-t elterjedten Ludolph-féle számnak nevezték. Számológép nélkül Tudós Dátum Tiz. jegyek száma Érték Rhind-tekercs i.e (8/9)2=3,1605 Arkhimédész i.e ,1418 Vitruvius i.e /8=3,125 Ptolemaiosz ,14166 Fibonacci , Viete , Newton , Számológéppel, számítógéppel Tudós Dátum Tiz. jegyek száma Számítógép Felton Pegasus Guilloud IBM 7030 Tamura MelcomII Gosper Symbolics3670 Chudnovsky testvérek Tamura Takahashi Hitachi SR ban Bailey, Borwein és Plouffe egy olyan számítási algoritmust mutatott be, amelynek segítségével kiszámítható a π tetszõleges számjegye (16-os számrendszerben) az elõzõ számjegyek ismerete nélkül re Plouffe megoldotta ugyanezt tizes számrendszerben is. 36

37 Mellékletek Érdekes számok Palindrom számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyeket hátulról előre olvasva ugyanazt a számot kapjuk. Például ilyen szám a Hány ötjegyű palindrom szám van? A keresett ötjegyű számok száma pontosan annyi, ahány háromjegyű szám van, hiszen pl. a 230 és a számok kölcsönösen meghatározzák egymást. A háromjegyű számok száma 900, így a vizsgált ötjegyű palindrom számok száma: 900. Egy legalább kétjegyű számot érdekesnek nevezünk, ha minden számjegye (a másodikkal kezdődően) nagyobb az előtte levő számjegyeknél. Hány darab érdekes szám található 4000 és 5000 között? 10 ilyen szám van: 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689, Egy számot szerencsésnek nevezünk, ha jegyei két csoportba oszthatók úgy, hogy a jegyek összege mindkét csoportban ugyanannyi. Például szerencsés, mert = Melyik a legkisebb szám, amelynek szomszédja is szerencsés? Egy szerencsés szám jegyeinek összege páros szám. A keresett számnak 9 re kell végződnie, mert különben a szerencsés szám után következő számban a jegyek összege páratlan szám lenne (1 gyel lenne nagyobb, mint az előző szám jegyeinek összege). A kétjegyű számok között nincs megoldás. 9 re végződő háromjegyű szerencsés számokat vizsgálva: 189, 279, 369, 459, 549,, az 549 megoldás, hiszen a következő szám, 550 is szerencsés. Egy természetes számot szépnek nevezünk, ha egyenlő valódi osztóinak (tehát 1 től és önmagától különböző osztóinak) szorzatával. Például a 10 szép szám, mert az osztói: 1, 2, 5 és 10; és a 10 valódi osztóinak szorzata 2 * 5 = 10. Melyik a tizedik szép szám? Az első tíz szép szám: 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27,

38 Mellékletek Aranymetszés A matematika, a művészetek és egyes természeti jelenségek között teremt meghökkentően szoros kapcsolatot az aranymetszés néven ismert egyszerű aránypár. Egy szakasz vagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztásakor a keletkező kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez. Képlettel felírva: a/b = b/(a+b) Könnyen igazolható, hogy ez csak egyféle felosztás esetén állhat elő. a (a+b) = b b A kifejezést másodfokú egyenletté alakítva a következőt kapjuk: a 2 + a b b 2 = 0 A nemzetközi gyakorlatban ezt ϕ vel szokták jelölni: Az aranyszög Aranyszögnek nevezik azt a szöget, melynek koszinusza az aranymetszés hányadosa: cos α = 0, Az α szög értéke a táblázatok alapján: Az aranyszög körzővel és vonalzóval való megszerkesztése visszavezethető az aranymetszésre. 38

39 Mellékletek Arányok Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel elmetsszük, akkor az egyik száron keletkezett szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkezett megfelelő szakaszok arányával. AB:CD = A'B':C'D OA:OA' = OC:OC' Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre. Az ábra jelöléseit használva: CD:DB = AC:AB Ha egy külső pontból (P) egy körhöz egy szelőt és egy érintőt húzunk, akkor a szelőnek a távolabbi metszéspontig (B) terjedő PB szakasza úgy aránylik az érintő (PE) szakasz hosszához, mint az érintőszakasz hossza aránylik a rövidebbik (PA) szelőszakaszhoz. Azaz: PB:PE = PE:PA Keresztbe szorzás után szorzatalakba írva: PE 2 = PB*PA 39

40 Mellékletek Pitagorasz féle számhármasok (a, b, c relatív prímek és c < 100) a 2 + b 2 = c 2 a b c Végezd el a számításokat! Pl.: = = = = = = = = =