Algoritmusok és Adatszerkezetek II.

Átírás

1 Algoritmusok és Adatszerkezetek II. előadás

2 Felelős tanszék: Számítógépes algoritmusok és mesterséges intelligencia tanszék Nappali tagozaton: Előadás: heti 2 óra / 5 kredit. Teljesítés módja: Kollokvium. Gyakorlat: heti óra / 0 kredit. Teljesítés módja: Aláírás. A kurzus felvételének előfeltételei : Algoritmusok és adatszerkezetek I., Megoldás szisztematikus keresése visszalépéssel (pénzváltás, n királynő). Megoldás szisztematikus keresése elágazás-korlátozással (pénzváltás, ütemezés). Tördelőtáblák (hasítótáblák). Kiegyensúlyozott keresőfák. AVL fák. Piros-fekete fák. Az RHalmaz adattípus megvalósítása ugrólistával (Skiplist). B-fák. Diszjunkt halmazok kezelése, az UnioHolvan adattípus. Geometriai algoritmusok. Amortizációs költségelemzés. Binomiális kupacok. Az egyesíthető prioritási sor megvalósítása Fibonacci-kupaccal. Mintaillesztés; a Knuth-Morris-Pratt algoritmus. Számelméleti algoritmusok, nyilvános kulcsú titkosítás. Közelítő algoritmusok.

3 Ajánlott irodalom: [] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R.L. Rivest: Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, [2] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein: Új algoritmusok, Scolar Kiadó, [3] T. Ottman, P. Widmayer: Algoritmen und Datenstrukturen, Wissenschaftsverlag, 990 [4] E. Knuth: A számitógépprogramozás művészete, 3. Kötet, Műszaki Könyvkiadó, 990. [5] A. V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ullman: Számítógép-algoritmusok tervezése és analízise,műszaki Könyvkiadó, 982. [6] G. Gonnet, R. Baeza-Yates: Handbook of algorithms and data structures. In Pascal and C., Addison-Wesley. 99. [7] R. Sedgewick: Algoritms in C++, Addison-Wesley. 99. [8] E. Horowitz, S. Shani: Fundamentals of Computer Algorithms, Computer Science Press, 998. [9] Adonyi Róbert: Adatstruktúrák és algoritmusok (letölthető jegyzet)

4 A kurzus teljesítésének feltételei: Évközi számonkérés. a) Gyakorlaton teljesítendő 0 rövid írásbeli dolgozat a 2., 3., 4., 6., 7., 8., 9. és. gyakorlaton. Elérhető maximális pontszám: 40 Teljesítendő minimális pontszám: 4 b) Gyakorlaton teljesítendő 2 írásbeli dolgozat az 5. és 0. gyakorlaton. Elérhető maximális pontszám: 30/dolgozat Teljesítendő minimális pontszám: 0 Elérhető maximális pontszám (a+b): 00 Teljesítendő minimális pontszám (a+b): 35

5 A kurzus teljesítésének feltételei: Kollokvium Elérhető maximális pontszám: 00. A kollokvium 3 részből áll: A. 5 kérdés a kurzus anyagát lefedő témakörökből. Elérhető maximális pontszám: 40 Teljesítendő minimális pontszám: 0 B. Teljesen kidolgozandó tétel. Elérhető maximális pontszám: 30 Teljesítendő minimális pontszám: 0 C. Gyakorlati feladatok megoldása. Elérhető maximális pontszám: 30 Teljesítendő minimális pontszám: 0 Érdemjegy jeles (5) jó (4) közepes (3) elégséges (2) 0-99 elégtelen ()

6 Megjegyzések. Aki az. feltételt nem teljesíti, az a vizsgaidõszak. hetében javító dolgozatot írhat. A hallgató csak akkor jelentkezhet kollokviumra, ha a javító dolgozattal megszerezhetõ max. 50 pontból min. 25 pontot teljesít. A javító dolgozattal szerzett pont nem számít be sem az. részbe, sem az összpontszámba. Aki a dolgozatok írása közben nem megengedett segédeszközt használ, vagy ennek gyanuja felmerül, az a következõ vizsgákon írásbeli vizsga helyett szóbeli vizsga letételére kötelezhetõ, vagy az írásbeli vizsgáját szóban kell megvédenie. Az előadások látogatása kötelező. Akinek az igazolatlan hiányzása meghaladja a 3 alkalmat, az nem vizsgázhat! Csak előre jelzett hiányzás igazolható, vagy baleseti jegyzőkönyv/korházi pecsét szükséges!

7 Motiváció PTI BSC Záróvizsga tételek: Algoritmusok és adatszerkezetek I.. Gráf algoritmusok (mélységi és széltében keresés, erősen összefüggő komponensek, minimális feszítőfák, legrövidebb utak). 2. Probléma megoldási módszerek (dinamikus programozás, mohó stratégia). Algoritmusok és adatszerkezetek II. 3. Keresőfák (AVL-fák, Piros-fekete fák, B-fák). 4. Geometriai alapalgoritmusok (pont helyzete, konvex burok, ponthalmaz legközelebbi és legtávolabbi pontpárja, metsző szakaszpárok keresése). Algoritmusok tervezése, hatékony adatszerkezetek működésének ismerete

8 Szakmai gyakorlat Németországban Fraunhofer Institute for Integrated Circuits IIS Nordostpark Nuremberg Germany Erasmus ösztöndíj 300 EUR Fraunhofer ösztöndíj 850 EUR Szállás, étkezés biztosítva Elsősorban Programtervező Informatikus vagy Mérnökinformatikus szakkal

9 Adatszerkezetek Halmaz, Rhalmaz, Függvény absztrakt adatszerkezet, Rendezett minta Prioritási sor, Egyesíthető prioritási sor absztrakt adatszerkezet Halmazerdő adatszerkezet

10 Bináris keresőfa fázunk... [2]

11 Bináris keresőfa

12 Bináris keresőfa (-,) (,4) (4,6) (6,9) (9,3) (3,7) (7,20) (20,2) (2,22) (22,24) (24,27) (27,29) (29,3) (3,37) (37,43) (43, )

13 Fapont tárolása első megközelítés, a gyakorlatban nem így tároljuk! struct fapont{ int key, value ; fapont bal, jobb, apa ; apa key balfiu value jobbfiu

14 Bináris fa tárolása első megközelítés, a gyakorlatban nem így van! public class fa { int elemszam ; struct fapont{ int key, value ; fapont bal, jobb, apa ; fapont nil, gyoker ; void fa() { fapont q = new fapont() ; nil=q ; gyoker=q ; elemszam=0 ; boolean beszur(int x, int v) { nil nil gyoker k v beszur(5, 8) 5 8 k v gyoker

15 Keresés keresőfában (-,) (,4) (4,6) (6,9) (9,3) (3,7) (7,20) (20,2) (2,22) (22,24) (24,27) (27,29) (29,3) (3,37) (37,43) (43, )

16 Keresés keresőfában (-,) (,4) (4,6) (6,9) (9,3) (3,7) (7,20) (20,2) (2,22) (22,24) (24,27) (27,29) (29,3) (3,37) (37,43) (43, )

17 fapont keres(int x) { fapont p=gyoker ; nil.key=x ; while (p.key!=x) p=x<p.key?p.bal:p.jobb ; return p; gyökér 2 [3] 254 q=keres(6) ; nil 6

18 Beszúrás keresőfába (-,) (,4) (4,6) (6,9) (9,3) (3,7) (7,20) (20,2) (2,22) (22,24) (24,27) (27,29) (29,3) (3,37) (37,43) (43, ) (24,26) (26,27)

19 nil nil nil

20 boolean beszur(int x, int v) { fapont p,papa ; p=gyoker ; papa=nil ; while (p!=nil && p.key!=x) { papa=p ; if (x<p.key) p=p.bal; else p=p.jobb; if (p==nil) { fapont ujpont = new fapont(); if (gyoker==p) gyoker=ujpont ; nil ujpont.key=x ; ujpont.value=v ; ujpont.bal=nil; ujpont.jobb=nil; ujpont.apa=papa; if (papa!=nil) { if (x>papa.key) papa.jobb=ujpont; else papa.bal=ujpont; elemszam++ ; return true ; else { p.value=v ; beszur(3,9) ; return false ; nil ????? 5 8????? gyoker

21 Elem rákövetkezője

22 p rákövetkezője p p p

23 p rákövetkezője fapont kovetkezo(fapont p) { if (p.jobb!=nil) { //ha van jobb részfa p=p.jobb ; //akkor a jobb részfa while (p.bal!=nil) p=p.bal;//bal szélső eleme return p; else { // ha nincs jobb fiú while (p.apa!=nil) { // amíg van apa if (p.apa.bal==p) // ha p bal gyerek return p.apa; // p apja a rákövetkező p=p.apa ; // megyünk felfelé p-vel ; return nil ; // nincs rákövetkező

24 Törlés bináris keresőfából p q

25 2 void torol(fapont p) { if (p.jobb!=nil) { fapont q=kovetkezo(p) ; p.key=q.key ; p.value=q.value ; q.apa.bal=q.jobb ; q.jobb.apa=q.apa ; delete q ; else {... p q

26 void torol(fapont p) { if (p.jobb!=nil) { fapont q=kovetkezo(p) ; p.key=q.key ; p.value=q.value ; q.apa.bal=q.jobb ; q.jobb.apa=q.apa ; delete q ; else { if (p.apa.jobb==p) p.apa.jobb=p.bal ; else p.apa.bal=p.bal ; p.bal.apa=p.apa ; delete p ; p

27 Elem törlése példa

28 Bináris fák tárolása csúcsonkét 2 pointer és egy bit, mely azt jelöli, hogy bal, vagy jobb gyerek. pointer bal gyerek, ha létezik jobb gyerek, ha csak az létezik. nil: ha egyáltalán nincs gyereke. 2. pointer ha ő maga bal gyerek, akkor a testvérre mutat, ha az létezik, különben a szülőre. ha jobb gyerek: a szülőre mutat. gyökérben nil

29 Fapont tárolása struct fapont<k,v>{ <K> key ; <V> value ; fapont fiu, tespa ; boolean bal ;

30 Bináris keresőfák jellemzői p gyökerű részfa belső pontjainak száma int s(fapont p) { if (p==nil) return 0 ; return +s(p.bal)+s(p.jobb) ; p gyökerű részfa magassága int h(fapont p) { if (p==nil) return 0 ; return +Math.max(h(p.bal),h(p.jobb)) ;

31 Véletlen építésű bináris keresőfa Adott n egymástól különböző kulcs, melyekből bináris keresőfát építünk úgy, hogy a kulcsokat valamilyen sorrendben egymás után beszúrjuk a kezdetben üres fába. Ha itt minden sorrend, vagyis az n kulcsnak mind az n! permutációja egyformán valószínű, akkor a kapott fát véletlen építésű bináris keresőfának nevezzük. Tétel: Egy n különböző kulcsot tartalmazó véletlen építésű bináris keresőfa várható magassága O(log2n). [2]

32 Optimális bináris keresőfa Adott kulcsoknak egy K=(k,...,kn) sorozata Minden ki kulcshoz ismert annak pi előfordulási valószínűsége Minden di intervallumhoz ismert annak qi előfordulási valószínűsége, hogy arra az intervallumra keresünk (sikertelen keresésekhez) Optimális bináris keresőfa építhető (pl. dinamikus programozás módszerével) Építés: O(n 2 ) [2] 34-32

33 Bináris fa inorder bejárása function bejar(p){ if (p.bal!=nil) bejar(p.bal) ; muvelet(p) ; if (p.jobb!=nil) bejar(p.jobb) ;

34 5 function bejar(p){ if (p.bal!=nil) bejar(p.bal) ; muvelet(p) ; if (p.jobb!=nil) bejar(p.jobb) ; 3 7 function bejar(p){ if (p.bal!=nil) bejar(p.bal) ; muvelet(p) ; if (p.jobb!=nil) bejar(p.jobb) ; function bejar(p){ if (p.bal!=nil) bejar(p.bal) ; muvelet(p) ; if (p.jobb!=nil) bejar(p.jobb) ; rang(p)

35 Rendezettminta-fa Minden p ponthoz tároljuk p gyökerű fa belső pontjainak számát (méretét) Adott rangú elem keresése - T[r] Adott elem rangjának meghatározása [2] Egyéb bővítési lehetőségek (pl. intervallumfák) [2]

36 Példa

37 Adott rangú elem keresése rmkeres(p,x) { r=p.bal.meret+ ; if (x==r) return p ; if (x<r) return rmkeres(p.bal,x) ; else return rmkeres(p.jobb,x-r) ;

38 Elem rangjának meghatározása rmrang(p) { r=p.bal.meret+ ; y=x ; while (y!=gyoker) { if (y==y.apa.jobb) r+=y.apa.bal.meret+; y=y.apa ; return r ;

39 Méret információ fenntartása beszjav(p) { while (p!=gyoker) { p=p.apa; p.meret++ ; torljav(p) { while (p!=gyoker) { p=p.apa; p.meret-- ;

40 Fapont tárolása első megközelítés, a gyakorlatban nem így tároljuk! struct fapont{ int key, v, meret ; fapont bal, jobb, apa ; apa key balfiu v meret jobbfiu

41 Köszönöm a figyelmet! Referenciák [] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R.L. Rivest: Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, [2] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein: Új algoritmusok, Scolar Kiadó, [3] T. Ottman, P. Widmayer: Algoritmen und Datenstrukturen, Wissenschaftsverlag, 990