MATEMATIKA A 10. évfolyam

Átírás

1 MATEMATIKA A 0. évfolyam 5. modul Függvények Készítette: Csákvári Ágnes

2 Matematika A 0. évfolyam 5. modul: Függvények Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A lineáris, a lineáris tört-, a másodfokú függvény, és a négyzetgyökfüggvény tulajdonságainak ismerete. Olvasása grafikonról, szöveges feladatokban a függvény tulajdonságainak alkalmazása. Képlettel megadott egyszerű függvények ábrázolása értéktáblázattal és transzformációval. A függvény mint modell alkalmazása egyszerű problémákban, a hétköznapi életben. Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása. Lineáris és másodfokú egyenletrendszerek és egyenlőtlenség-rendszerek megoldása grafikusan. 0 óra 0. évfolyam Tágabb környezetben: Hétköznapi szituációk, fizikai, kémiai folyamatok. Szűkebb környezetben: Egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Algebrai átalakítások, hatványozás, négyzetgyökvonás. Grafikonok, intervallumok, nevezetes ponthalmazok. Geometriai transzformációk. Arányosság. Sorozatok. Ajánlott megelőző tevékenységek: Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény, abszolútérték függvény és a másodfokú függvény tulajdonságai, grafikonjaik ábrázolása. Nevezetes azonosságok, hatványozás, négyzetgyökvonás azonosságai. Teljes négyzetté alakítás. Másodfokú egyenlet megoldó képlete. Geometriai transzformációk, vektorok. Első- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldása. Törtet tartalmazó egyenletek. Ajánlott követő tevékenységek: 0. évfolyamon: Másodfokúra visszavezethető problémák megoldása. Négyzetgyökös egyenletek. Számtani és mértani közép, szélsőérték feladatok. Szögfüggvények. Később: analízis elemei, sorozatok (számtani, mértani), exponenciális és logaritmus függvények és egyenletek. Koordinátageometria. Nevezetes ponthalmazok (ellipszis, hiperbola, parabola).

3 Matematika A 0. évfolyam 5. modul: Függvények Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számlálás, számítás: A függvényértékek közötti reláció meghatározása. A függvények tulajdonságainak meghatározása. A grafikus megjelenítés a függvényértékek közötti reláció meghatározását képi formában is megerősíti. A függvények zérushelyének kiszámítása. Mennyiségi következtetés: A valóság egyes folyamatairól szóló szöveges feladatok arányossággal is kikövetkeztethetőek. A fizikában és a matematikában előforduló négyzetes összefüggések szemléltetése értéktáblázattal, illetve grafikonon. A folytonos, a szakaszos és a diszkrét változások elemzése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: A valóság folyamatait leíró grafikonok, és a matematikai függvények grafikonjainak különbözősége, hasonlósága szöveges feladatok alapján. Másodfokú függvény jellemzése a zérushelyek és a főegyüttható ismeretében. Irracionális koordinátákkal megadott pontok közelítő helyének meghatározása a koordináta-rendszerben. Szöveges feladatok, metakogníció: A valóságból vett szöveges feladatok algebrai megfogalmazása, az így leírt kétváltozós összefüggések ábrázolása a koordináta-rendszerben, értéktáblázatban. Az elméleti anyag feldolgozása, a szöveg megértésének ellenőrzése. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A valóság folyamatait leíró grafikonok összehasonlítása, arányosság és függvény kapcsolata, a geometriai transzformációk alkalmazása függvénytranszformációkban, egyenlőtlenségek megoldáshalmazának megállapítása. Induktív, deduktív következtetés: Konkrét számokkal, illetve összefüggésekkel megadott függvényekről átlépés az általános képlettel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása Támogató rendszer Kártyakészletek, fóliák, ablakok, szakértői mozaik anyagai, képek, grafikonok.

4 Matematika A 0. évfolyam 5. modul: Függvények Tanári útmutató 4 A tananyag javasolt órabeosztása Óraszám Óracím. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása, ábrázolása; pont és egyenes illeszkedése.. Lineáris egyenletekkel, illetve egyenletrendszerekkel grafikus úton megoldható szöveges feladatok; lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása.. Fordított arányosság mint függvény; Lineáris törtfüggvény. 4. Másodfokú függvény (ismétlés) Másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása teljes négyzetet tartalmazó kifejezés alkalmazásával Másodfokú egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek megoldása Négyzetgyökfüggvény.

5 Matematika A 0. évfolyam 5. modul: Függvények Tanári útmutató 5 Érettségi követelmények: A függvény Középszint A függvény matematikai fogalma. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat. Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni, helyettesítési értéket számítani. Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése. Emelt szint Tudja az alapvető függvénytani fogalmak pontos definícióját. Ismerje és alkalmazza a függvények megszorításának (leszűkítésének) és kiterjesztésének fogalmát. Egyváltozós valós függvények Középszint Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: f(x)=ax+b; f(x)=x ; f(x)=ax +bx+c; f(x)= x ; f(x)= x Emelt szint Tudjon a középszinten felsorolt függvényekből összetett függvényeket képezn Függvények grafikonja, függvénytranszformációk Középszint Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c f(x); f(cx)]. Emelt szint Tudja ábrázolni az alapvető függvények transzformáltjainak grafikonját (c f(ax+b)+d). Függvények jellemzése Középszint Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából. Emelt szint Függvények jellemzése korlátosság szempontjából. A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg. Használja a konvexitás és konkávitás fogalmát a függvények jellemzésére. Egyszerűbb, másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok megoldása.

6 Matematika A 0. évfolyam 5. modul: Függvények Tanári útmutató 6 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Lineáris függvények ( óra). Korábbi ismeretek felelevenítése Rendszerezés, deduktív, induktív gondolkodás.,. fólia. Függvény transzformációk gyakorlása Számlálás, mérés, valószínűségi szemlélet 4. feladat;.,. kártyakészlet.,. ablak. Szöveges feladatok megoldása Mennyiségi következtetés, kombinatív gondolkodás, szövegértés, valószínűségi szemlélet 5.,8.,9. feladat;. kártyakészlet 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása Kombinatív gondolkodás, szövegértés, deduktív gondolkodás, 6 7. feladat számolás 5. Egyenlőtlenségek megoldása Mennyiségi következtetés, kombinatív gondolkodás 0. feladat

7 Matematika A 0. évfolyam 5. modul: Függvények Tanári útmutató 7 II. Lineáris törtfüggvények ( óra). Fordított arányosság, mint függvény Szövegértés, induktív gondolkodás, mennyiségi következtetés, számlálás. Lineáris törtfüggvény ábrázolása Rendszerezés, induktív következtetés, mennyiségi következtetés, számlálás, kombinatív gondolkodás 4 7. mintapélda 0. feladat 8 9. mintapélda,. feladat. fólia III. Másodfokú függvények (5 óra). Korábbi ismeretek felelevenítése Szövegértés, rendszerezés, deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számlálás. Függvény grafikonjának ábrázolása Valószínűségi szemlélet, kombinatív gondolkodás, szövegértés, számolás, mennyiségi következtetés, induktív, deduktív gondolkodás. szakértői mozaik; 4. feladat 5 0. feladat. Függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással Számlálás, számolás, kombinatív gondolkodás, valószínűségi szemlélet, rendszerezés 5. kártyakészlet,. ablak,. feladatok 4. Szöveges feladatok Szövegértés, mennyiségi következtetés, számolás 4 8. feladat 5. Másodfokú egyenlőtlenségek Becslés, kombinatív gondolkodás, számlálás, valószínűségi szemlélet 4. ablak, 6. kártyakészlet; 4. mintapélda, feladat

8 Matematika A 0. évfolyam 5. modul: Függvények Tanári útmutató 8 6. Másodfokú egyenlőtlenség-rendszerek megoldása Számolás, valószínűségi szemlélet, kombinatív gondolkodás, mennyiségi következtetés 7 8. mintapélda, feladat 7. kártyakészlet IV. Négyzetgyökfüggvény ( óra). Helyettesítési érték számítása Becslés, számolás, mennyiségi következtetés feladat;. mintapélda; 5. ablak; 9. kártyakészlet. Értelmezési tartomány vizsgálata Számolás, kombinatív gondolkodás 4. mintapélda; 78. feladat. Négyzetgyökfüggvény ábrázolása transzformációkkal és a függvény jellemzése Szövegértés, kombinatív gondolkodás, induktív, deduktív következtetés 9., 5 8. mintapélda; feladat;. szakértői mozaik; 4. fólia

9 5. modul: FÜGGVÉNYEK 9 I. Lineáris függvények Módszertani megjegyzés: A tanulók csoportosuljanak aszerint, hogy a koordináta-tengelyek hány részre osztják a síkot! (4 fős csoportokat alkotnak. Így heterogén csoportok keletkeznek.) 5. fólia alkalmazása A tanár fólián kivetíti a következő rövid összefoglalókat. Először a két konkrét példát tárgyalják meg, majd az általános leírást. Ha megoldható, az óra folyamán - a csoportmunkát segítendő- a két konkrét példa maradjon kivetítve. Átismétlik a következő alapfogalmakat először a konkrét példák kapcsán, majd általánosságban is.. Lineáris függvény. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása. Meredekség hogyan befolyásolja a lineáris függvény grafikonját 4. y tengellyel való metszéspont hol jelenik meg a hozzárendelési utasításban és ábrázoláskor 5. Monotonitás Mintapélda Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x) = x 5 hozzárendeléssel megadott függvényt! Megoldás: Ábrázolása:. Az y tengelyt a 5 pontban metszi.. Ebből a pontból kiindulva a + meredekség miatt egy egységnyi jobbra haladás esetén egységet lépünk felfelé az y tengely mentén.. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése:. É.T.: R.. É.K.: R.. Zérushely: x =,5. 4. Szigorúan monoton növekvő (mivel a meredeksége pozitív előjelű). Mintapélda Ábrázoljuk és jellemezzük a g ( x) = x + hozzárendeléssel megadott függvényt! 4 Megoldás:

10 0 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Ábrázolása:. Az y tengelyt a + pontban metszi.. Ebből a pontból kiindulva a meredekség miatt 4 4 egységnyi jobbra haladás esetén egységet lépünk lefelé az y tengely mentén.. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése:. É.T.: R.. É.K.: R.. Zérushely: x = Szigorúan monoton csökkenő (mivel a meredeksége negatív előjelű). 5. fólia f(x) = mx + b Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = m x + b képlettel adjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspontja. Ha m = 0, akkor az f(x) = b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk. f(x) = b Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha m 0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú.

11 5. modul: FÜGGVÉNYEK Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Minden f(x) = m x függvényről elmondhatjuk, hogy ez egyenes arányosság, ahol az arányosság tényezője m. Ábrázoláskor pedig m azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé. Feladatok. Osztályozd a következő függvényeket az alábbi szempontok alapján! Függvények: a( x) = x ; b ( x) = ; c ( x) = 0 ; e ( x) = x + 5 ; 4 g ( x) = x + ; d( x) = x ; f ( x) = x 7 ; h ( x) = 5x kártyakészlet és 5.4 ablak alkalmazása Tanórai megoldás menete: A tanár a szétosztja a hozzárendelési utasításokat tartalmazó 5. kártyakészletet, és minden asztalon elhelyezi az 5.4 ablakot. Minden tanuló elvesz db kártyát, és beírja a függvény megnevezését az ablak megfelelő rubriká(i)ba. Ha minden csoport kész, megbeszélik a megoldást rubrikánként haladva. A tanulók indokolják is döntésüket. Szempontok: átmegy az origón, elsőfokú függvények, konstans függvények, szigorúan monoton csökkenő, szigorúan monoton növekvő. Megoldás: átmegy az origón: a; d; elsőfokú függvények: a; d; e; f; g; h;

12 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ konstans függvények: b; c; szigorúan monoton csökkenő: a; e; f; szigorúan monoton növekvő: d; g; h. 5.5 kártyakészlet és 5.6 ablak alkalmazása. Válaszd ki azokat az egyeneseket, amelyek áthaladnak a megadott pontokon! Pontok: P(;); Q( 4;6); R( ; ); S(5; 4). Egyenesek: 7 a ( x) = x + 4 ; b ( x) = x 8 ; c ( x) = x + ; d ( x) = x ; 5 f ( x) = x + ; g ( x) = ; h ( x) = x 7 ; e ( x) = x +. 5 Illeszkedés: illeszkedik a P(;) pontra, illeszkedik a Q( 4;6) pontra, illeszkedik a R( ; ) pontra, illeszkedik a S(5; 4) pontra, nem illeszkedik egyik pontra sem. Megoldás: illeszkedik a P(;) pontra: c; g; illeszkedik a Q( 4;6) pontra: a; b; illeszkedik a R( ; ) pontra: b; f; illeszkedik a S(5; 4) pontra: c; d; h; nem illeszkedik egyik pontra sem: e.

13 5. modul: FÜGGVÉNYEK Módszertani megjegyzés: A. feladatot házi feladatnak javasoljuk.. Párosítsd össze a hozzárendelési utasításokat a grafikonokkal: 5 f ( x ) = x + ; ( ) g x = x ; ( x) = x h ; ( ) x = x + a) b) i. c) d) Megoldás: f(x) c; g(x) b; h(x) d; i(x) a 4. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! (Alapértelmezésben a valós számok halmaza az értelmezési tartomány. Az ettől való eltéréseket jelöljük.) A függvények jelölése lehet: a; b;.; f; g; h;.. ; de alkalmazhatjuk az f ; f ;. jelölést is. a) f ( x) = x + ; f 5 ( x) = ( x ) ; 7 f ( x) = 5 x ; f ( x) = ( x ) ; f ( x) = 4x,5 ; f ( x) = x 5, x Z; f 4 ( x) = x + 6 ; f 8 ( x) = x, 6 x < 9. 4

14 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után mx+b alakra hozva elemi transzformációkkal ábrázolhatók a függvények grafikonjai. Ahol az É.T. az egész számok halmaza, ott a grafikon pontokból áll. Az f 8 függvény képe egy balról zárt, jobbról nyitott szakasz. Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények: f ( x) = x ; f ( x) = x b) x 9 f ( x) = ; f5 ( x) = x, x Z, 8 < x 6 ; f x = 8 x ( x ) ( ) ; f 6 ( x) = x < 4 ; f ( x) = + x, x Z + ; f 7 ( x) = x +, x [ ;5[ ; 4 f 4 ( x) = 5x + x, x ; f8 ( x) = x, x ] ;]. 6 Megoldási útmutató: Ábrázoláskor a kijelölt műveletek elvégzése után mx+b alakra hozva elemi transzformációkkal készíthetőek el a függvények grafikonjai. Az értelmezési tartomány szűkítésekor a kapott grafikon nyílt vagy zárt félegyenes lesz, illetve nyílt vagy zárt vagy félig zárt szakasz. Ahol az É.T. az egész számok halmaza, ott a grafikon pontokból áll. Karikával jelöljük, ha a végpont nem eleme a grafikonnak és besatírozott körrel, ha eleme. De jelölhetjük szögletes zárójellel is. Ilyenkor a zárójel a grafikon felé fordul, ha a végpont eleme a grafikonnak, és a grafikonnak hátat fordít, ha nem eleme. Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények, figyelembe véve az értelmezési tartományra tett kikötéseket: f ( x) = 4x ; f ( x) = x + 4 ; f ( x) = x ; f 4 ( x) = x + ; f 5 ( x) = x + ; f 6 ( x) = x + ; f 8 ( x) = x, 5. Módszertani megjegyzés: Jellemzéskor megjelenhet a szélsőérték fogalma. (Matematika iránt érdeklődő, jobb képességű csoportban érdemes rá kitérni, ha belefér a tanítási órába.) Középszinten elegendő, ha megjegyzik, hogy ott van szélsőértéke a grafikonnak, ahol a szélsőérték helye eleme az értelmezési tartománynak. Emelt szintre készülőknél szemléltethető a határérték, a korlát és a szélsőérték fogalmai közötti különbség. Például az f 7 függvény grafikonja egy balról zárt, jobbról nyitott szakasz. Maximum- helye ( x = ) és maximumértéke ( ( ) = 7) f van. De minimumhelye és minimum-

15 5. modul: FÜGGVÉNYEK 5 értéke nincsen, mivel az x = 5 nem eleme az értelmezési tartománynak. Ez azt is jelenti, hogy tetszőlegesen megközelíti a P(5; 4) pontot, de sohasem éri el. c) f ( x) = x 5 x Q; + f ( x) = x 6 x < 9 x Q* x( x + ) f ( x) = ; x + x x f 4 ( x) = ; x x 6 f 5 ( x) = ; x + 4 x 7 f 6 ( x) = ; x x, x f 7 ( x) = ; x, x > x +, x f ( x) =, < x 8. Megoldási útmutató: Az emelt szintű feladatsor nagyobb egységből áll. Az f és f függvények értelmezési tartománya a racionális, illetve irracionális számok halmaza, illetve azok egy valódi részhalmaza. A grafikon pontjai nagyon sűrűn helyezkednek el, mivel a racionális/irracionális számok is sűrűn helyezkednek el a számegyenesen. (sűrű: tetszőleges két (ir)racionális szám között találhatók további (ir)racionális számok. Például két ilyen szám számtani/mértani közepeként előállítható egy megfelelő köztes szám.) Elvileg a grafikon elkülönült pontokból áll, de ezek annyira közel helyezkednek el egymáshoz, hogy a grafikont egyenes vonallal tudjuk ábrázolni. Az f f 6 függvények grafikonja szorzattá alakítás, majd egyszerűsítés után ábrázolható. Itt felhívhatjuk a tanulók figyelmét az értelmezési tartomány meghatározására. Nevezetesen, ahol a nevező 0, azon a helyen a függvény nem értelmezhető, így a grafikonnak ezen a helyen szakadási pontja van. Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények: f ( x) =, x ; f ( x) =, x ; f ( x) = x 4, x 4 ; f ( x) = x 9, x x 4 x Az f 7 és f 8 függvények grafikonja két félegyenesből tevődik össze. Az értelmezési tartomány vizsgálata, figyelembe vétele később, ebben a tanévben a négyzetgyök- és a tangensfüggvény esetén, következő tanévben a logaritmusfüggvénynél még fontos szerepet kap. Az 5.7 kártyakészlet alkalmazása (Heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén ajánlott)

16 6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Az első 4 feladat összegzése is lehet a kártyajáték. A feladat az összeillő 4 kártya összegyűjtése. Egy megfelelő négyes tartalmaz egy hozzárendelési utasítást, egy grafikont, egy jellemzést és egy lehetséges folyamat leírását. A tanár minden asztalra kitesz egy összekevert (6 darabos) paklit írással lefelé. A játék kezdetén a csoporton belül valaki kiosztja a kártyákat: mindenkinek 4-et ad. Körbe-körbe haladva mindenki letesz az asztal közepére egy számára felesleges lapot. Ha valakinek kell az a lap, felveheti középről, de le kell tennie egy másikat. Az a győztes, akinél a leghamarabb összegyűlik a 4 megfelelő kártya, de a többiek folytatják a játékot mindaddig, amíg mind a 4 kártyanégyes összegyűlik. Javasolt több menetet is lejátszani, hogy a tanulók több függvényen is elgondolkodjanak. A győzelemért pont jár, a. helyért pont, a.-ért pont, a 4. helyért pedig 0. Módszertani megjegyzés: A következő feladat a), b), c) és d) részeiben szigorúan növekvő függvények szerepelnek. Az első kettőnél a grafikon különálló pontokból áll, a második kettőnél folytonos. A 6. feladatban szigorúan csökkenő függvények szerepelnek, az 5. feladathoz hasonló elosztásban. 5. Szöveges feladatok a) A piacon 7 Ft akciós egységáron árulják a tojás darabját. Mennyit kell fizetni,, stb. tojásért? Ábrázold grafikonon az eredményeket! Megoldás: A természetes számok halmazán értelmezett ( x) x f = 7 függvényt ábrázoljuk, amely különálló pontokból áll, hiszen csak egész tojást lehet vásárolni. Az x tengely pozitív felén a tojások darabszáma, az y tengely pozitív felén az ár ábrázolandó. b) Egy diákmunka szövetkezetben adatbeviteli munkáért 5 karakterért Ft-ot fizetnek. Hány forintot kereshet egy diák? Ábrázold grafikonon az eredményeket!

17 5. modul: FÜGGVÉNYEK 7 Megoldás: Célszerű az x tengelyen egy egységgel 5 karaktert jelölni, az y tengelyen pedig egy egységnek Ft-ot választani. Az ábrázolandó függvény pedig az f ( x) = x függvény grafikonjára illeszkedő különálló pontokból áll, hiszen 5 karaktert vagy begépel valaki, vagy nem. km c) A reggel 9-kor kezdődő távúszó verseny egyik résztvevője,5 állandó sebességgel h úszik. Mennyi idő alatt teszi meg a km-es távot? Ábrázold grafikonon a mozgását! Megoldás: Az x tengelyen ábrázoljuk az indulás óta eltelt időt, azaz nem vesszük figyelembe az indulási időpontot. Az y tengelyen pedig a megtett utat. Az s = v t képlet alapján az ábrázolandó függvény: f ( x) =, 5x Mivel megállás nélkül úszik, így a grafikon egy origóból kiinduló P(8;) végpontú szakasz lesz. d) Egy egyenlőszárú háromszög alapja cm, szárai a hosszúságúak. Határozd meg a kerületét, és ábrázold koordináta-rendszerben! Megoldás: A háromszög kerülete: K = a +. Mivel a pozitív valós szám, ezért a függvény grafikonja félegyenes. Viszont, ha a,5, akkor nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, vagyis a háromszög nem létezik. Az ábrázolandó k, ahol { a R + a >,5} függvény: ( a) = a + Természetesen a helyett x-et is lehet írni. A változó érték tetszőleges betűvel jelölhető. 6. Szöveges feladatok

18 8 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a) Béla tartozik egy ismerősének Ft-tal. Elhatározta, hogy minden hónap elején visszafizet neki Ft-ot. Ábrázold grafikonon Béla tartozásának mértékét! Megoldás: Az x tengelyen ábrázoljuk az eltelt hónapokat, az y tengelyen pedig a tartozás mértékét 0000 Ft-os egységekkel. Ekkor az ábrázolandó függvény az f ( x) = x + 5. A grafikonja pedig különálló pontokból áll, mivel nem folyamatos a törlesztés. b) Egy gyárban minden nap 000 db csavart használnak el. Mivel a munkások váltott műszakban dolgoznak, így a munkaidő 4 órás, és a készletet mindig reggel 6-kor töltik fel. Minden órában átlagosan ugyanannyi csavar fogy. Ábrázold grafikonon a csavar mennyiségének alakulását! Megoldás: Az x tengelyen a feltöltés óta eltelt órákat, az y tengelyen csavarok darabszámát jelöljük. Egy óra alatt 5 csavart használnak fel, ezért az ábrázolandó függvény az f ( x) = 5 x Ennek az ábrázolása ebben a formában nehézkes, ezért érdemes az x tengelyen egy egységet órának tekinteni, az y tengelyen pedig egy egység 5 db csavart jelentsen. Ekkor az ábrázolandó függvény a ( x) = x + 4 g. km c) Egy autó 0 m-re az útkereszteződéstől 60 sebességéről egyenletesen lassít, majd a h kereszteződéshez érve megáll. Ábrázold grafikonon a sebességének változását a megtett út függvényében!

19 5. modul: FÜGGVÉNYEK 9 Megoldás: Az autó sebessége 0 m alatt km 60 -val h csökken. Ekkor m megtétele után 60 km = - 0 h val csökken a sebessége. Az x tengelyen a megtett métereket, az y tengelyen a pillanatnyi sebességet jelöljük. Az ábrázolandó függvény az f ( x) = x Mivel az autó egyenletesen lassul, ezért a függvény grafikonja egy szakasz. d) Egy téglalap kerülete 0 egység. Az egyik oldalát folyamatosan növelve, hogyan változik a másik oldala a kerület változtatása nélkül? Ábrázold grafikonon a változást! Megoldás: A téglalap kerülete K = a + b. Tegyük fel, hogy az a oldalt növeljük. Ekkor értelemszerűen a b oldal hossza csökkenni fog. Az x tengelyen ábrázoljuk az a oldal, az y tengelyen pedig a b oldal hosszát. A kerület képletét átrendezve kapjuk, hogy K a K b = = a = 0 a Tehát az ábrázolandó függvény az f ( a) = a + 0. Mivel az a oldal egy 0 és 0 közötti valós szám, ezért a grafikon egy folytonos szakasz. Amennyiben a = 0 és a = 0 esetén az elfajuló (egy szakaszból álló) téglalapot is elfogadjuk, akkor zárt szakaszt kapunk. Ha nem, akkor a szakasznak nem lesznek végpontjai, vagyis nyílt szakaszt kapunk.

20 0 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Megjegyzés: A 7. feladat heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén ajánlott. 7. Lineáris függvények ábrázolása a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelelően rajzold be a koordinátatengelyeket! f ( x ) = x + 5 f ( x ) = x f ( x ) = x f 4 ( x ) = x + f 5( x ) = x f 6 ( x ) = x + Megoldás: Mivel az egyenesek végtelen hosszúak, így elegendő valahol kijelölnünk az y tengely helyét. Az egyenes és az y tengely metszéspontjából már egyértelműen meg lehet határozni, hogy hol található az y tengelyen a 0 érték, ami egyben az origó helyét is jelöli. Ezen a ponton halad át az y tengelyre merőleges x tengely. b) Írd fel a következő grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési tartományt is! Ezek a feladatok átvezetnek a lineáris egyenlőtlenségek megoldásához.

21 5. modul: FÜGGVÉNYEK i) ii) Megoldás: f ( x ) = x + ; É.T.: R; f ( x ) = x ; É.T.: R + ; iii) iv) Megoldás: f ( x ) = x + 4 ; É.T.: R ; f ( x ) = x 5; É.T.: R; x ; v) vi) Megoldás: f ( x ) = x + ; É.T.: R; x > 5; f ( x ) = x ; É.T.: R; 6 x 5.

22 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ c) A következő hozzárendelési utasítások és értelmezési tartományok alapján rajzold be a koordinátatengelyeket! (A szakaszok kiinduló pontja mindig az értelmezési tartomány bal végpontja, félegyenesek esetén pedig a megfelelő végpont.) i) ii) iii) f ( x ) = x f ( x ) = x + f ( x ) = x + É.T.: R + É.T.: R É.T.: R; x 6 iv) v) vi) f 4 ( x ) = x + f 5( x ) = x f 6 ( x ) = x + É.T.: R É.T.: R; x É.T.: R; x 4 Megoldás: Az értelmezési tartományt felhasználva egyértelműen meghatározható az y tengely helyzete a félegyeneshez/szakaszhoz képest. Ha kell, halványan hosszabbítsuk meg a szakaszt/félegyenest, hogy az y tengellyel való metszéspont jól látható legyen. A metszéspont által meghatározható az y tengely 0 pontja, amely az origó helye is egyben. Már csak az x tengely berajzolása van hátra.

23 5. modul: FÜGGVÉNYEK Eredmények: f f f f 4 f 5 f 6 8. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha 0 a) átmegy a P(0;) és a Q( ; ) pontokon; b) átmegy az A(4;) ponton, és meredeksége ; c) átmegy a P( 4;) ponton, és az y tengelyt a b = 5 pontban metszi; d) az y tengelyt a b = 5 pontban metszi, és párhuzamos az f(x) = 4x 6 hozzárendelési utasítással megadott függvénnyel (m f = m g ); e) átmegy a C(; 6) ponton, és párhuzamos az f ( x) = x + 4 hozzárendelési utasítással megadott egyenessel (m f = m g );

24 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ f) az y tengelyt a b = pontban metszi, és merőleges az f ( x) = x + hozzárendelési utasítással megadott egyenesre (m f m g = ); g) átmegy a P( ;) és a Q(0; ) pontokon. Módszertani megjegyzés: E feladatok megoldásához célszerű ábrát készíteni. Az y koordináta egyben a függvényérték is. Az f ( x) mx + b = egyenletbe helyettesítve az adatokat adódik a megoldás. A hozzárendelési utasítás felírásához mindig m és b értékeit kell meghatároznunk. Megoldás: a) f ( x) = ; b) f ( x ) = x ; c) f ( x) = x + 5; d) ( x) = 4 x + 5 e) g ( x ) = x 4, 5 ; f) g ( x) = x ; g) ( x) = x f. g ; Módszertani megjegyzés: A 9. feladatot heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén javasoljuk átvenni vagy feladni házi feladatnak. 9. Szöveges feladatok a) Két biciklis egyszerre indul el a 0 km-re lévő szomszédos faluba. Az egyik km 5, a h km másik 0 sebességgel halad. Hány percet kell várakoznia a másik érkezésére, aki h korábban érkezik? Ábrázold a folyamat út idő grafikonját! Megoldás: s A t = képletbe behelyettesítve az egyik v biciklis t 0 5 = = 6 h 5 a távot, míg a másik biciklis t = h perc alatt teszi meg 0 0 = = h alatt.

25 5. modul: FÜGGVÉNYEK 5 Az első biciklis érkezik korábban, és t t percet kell várakoznia a másikra. = Ábrázolandó függvények: f ( x) = 5x, illetve g( x) 0x =. b) Egy úszóbajnokságon a versenytáv 00 m. A leggyorsabb úszó m-t tesz meg másodpercenként, a leglassabb, m-t. Mennyi idő alatt teszi meg a távot ez a két versenyző? Hány másodperccel később ér célba a lassabb úszó? Ábrázold az időt az út függvényében! Módszertani megjegyzés: Ennek a feladatnak az adatait esetleg érdemes megváltoztatni, mivel az eredményéből az következik, hogy a leglassúbb versenyző is új világcsúcsot úszott! 00 Megoldás: A leggyorsabb úszó, másodperc 00 alatt, míg a leglassabb 45, 45 másodperc, alatt teszi meg a távot. A leglassabb versenyző 45,45-,=, másodperccel ér később a célba. Ábrázolandó függvények: f ( x) = x, illetve g( x) x =., c) Két diák borítékolást vállal. Fejenként 000 db lapot kell borítékba helyezniük 4 óra alatt egyenletes teljesítménnyel. Két órán keresztül ennek megfelelően haladnak, de aztán az egyikük elfárad, és így nem tud, csak 00 borítékot elkészíteni óránként. Amikor társa végez a saját adagjával, segít neki, de mivel ő is elfáradt, így ő is csak 00 db borítékkal végez óránként. Hány perccel végeznek később, ha a megmaradt munkát egyenlően osztották szét egymás között? Ábrázold koordináta-rendszerben a már elkészült borítékok darabszámát az eltelt idő függvényében! Megoldás: Az első két órában darab borítékot készítenek el. A másik két órában az egyikük márcsak 00 darabbal végez óránként, így a 4. óra végéig ő összesen 900 darabbal lesz készen.

26 6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Neki még 00 darab van hátra, amivel ha egyedül csinálná, fél óra múlva végezne, de mivel ketten dolgoznak ugyanolyan teljesítménnyel, így negyed óra alatt készülnek el. Ábrázolandó függvények: g ( x) = 50x 0 x 4, illetve ( x) 50x, x f = 00x, < x x, 4 < x 4,5 d) Egy anyuka reggel hétkor elindítja kisfiát az iskolába. A gyerek rollerrel 8 perc alatt teszi meg az, km-es távot. Indulás után perccel az anyuka észreveszi, hogy kisfia otthon hagyta a tízóraiját, és kerékpáron utána viszi. perc alatt 00 m-t tesz meg. Mennyi idő múlva éri utol gyermekét? Ábrázold a folyamat út idő grafikonját! Megoldás: Ha a gyerek, km-t 8 perc alatt tesz meg, akkor perc alatt 50 m-t tesz meg. Jelöljük t-vel az anyuka indulásától a találkozásig eltelt időt percben. A gyerek ekkor ( t + ) 50, míg az anyuka t 00 métert tesz meg. A ( t + ) 50 t 00 = egyenlet adja a megoldást. Tehát az anyuka perc múlva éri utol a kisfiát. Ábrázolandó függvények: g( x) = 00x illetve ( x) = 50 ( x + ) f. e) Egy túraútvonalon elindul az egyik gyalogos km/h sebességgel. Két órával később ugyanezen az útvonalon elindul egy másik gyalogos is km/h sebességgel. Legalább milyen messze lehet a cél, ha ez utóbbi túrázó még előtte beéri az elsőt? Ábrázold koordináta-rendszerben az út idő grafikont! s s Megoldás: A cél legyen legalább s km-re. Ekkor az első gyalogos t = = ideig megy, míg a v második két órával később indul, de km-t tesz meg óránként: t = s +

27 5. modul: FÜGGVÉNYEK 7 I. II. v(km/h) s(km) s s t(h) s s + Mivel mindketten ugyanannyi ideig sétálnak, ezért az s = s + egyenlet eredménye adja a megoldást. Ebből s = km, azaz a cél legalább km-re van a kiindulási ponttól. Ábrázolandó függvények: f ( x) = ( x ) illetve g( x) x =. f) Egy gyárban minden munkásnak 8 óra alatt 40 db terméket kell előállítani. Az egyik munkás csak órával később tudott kezdeni, viszont 40 darabnál nem képes többet elkészíteni óra alatt. Végez-e a munkaidő végéig, vagy bent kell maradnia? Ha bent kell maradnia, akkor mennyi idővel mehet később haza? Ábrázold közös koordinátarendszerben a többi munkás és a később jövő által előállított termékek számát az eltelt idő függvényében! Megoldás: Ez a munkás csak 6 órát dolgozik. Ez idő alatt 6 40 = 40 darab terméket tud előállítani, vagyis nem kell túlóráznia. Ábrázolandó függvények: g( x) 0x ( x) = 40( x ) f. =, illetve g) Egy cukrászüzemben a sütő részleg óránként 40 db süteményt süt ki. A csomagoló részleg viszont óránként 50 darabot képes becsomagolni, így ott egy órával később kezdenek. Hány óra múlva fogynak el a becsomagolandó sütemények? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a sütő és a csomagoló részleg által elkészített sütemények számát az eltelt idő függvényében!

28 8 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Megoldás: Jelöljük t-vel a sütés kezdetétől eltelt időt! sütő részleg csomagoló részleg eltelt munkaidő t t darab/óra összesen 40t 50( t ) A 40 = 50( t ) t egyenlet megoldása szolgáltatja az eredményt: t = 5. Azaz 5 óra múlva fogynak el a csomagolásra váró sütemények. Ábrázolandó függvények: g( x) = 40x illetve ( x) = 50( x ) f. h) Két villamos egyszerre indul el az egymástól 5 km-re lévő végállomásokról. Az egyik 0 km/h, a másik 5 km/h átlagsebességgel halad. Mikor és hol találkoznak? Ábrázold a folyamat út idő grafikonját! Megoldás: egyik villamos másik villamos sebesség (km/h) 0 5 idő (h) t t megtett út (km) 0t 5t A találkozásig mindkét villamos ugyanannyi (t) ideig ment. Az egyik 0t, a másik 5t utat tett meg. A két távolság összege éppen 5 km: 0t + 5t = 5.

29 5. modul: FÜGGVÉNYEK Ebből t = 0,7( h) = 6,6( perc). A villamosok kb. 6 perc múlva találkoznak. Ekkor az egyik 0 6,6 = 490, 8 m -t (kb. 500 m) tesz meg, a másik ,8 = 009, m-t (kb. 000 m). Ábrázolandó függvények: f ( x) = 0 x + 5 illetve g( x) = 5x i) Egy tartályban 8 l víz van. Amikor kinyitják a lefolyót, akkor percenként l víz folyik ki belőle. Egy másik tartályban l víz van, és ebbe percenként l vizet engednek. Mikor lesz a két tartályban ugyanannyi víz? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a víz mennyiségének alakulását! Megoldás: Jelöljük t -vel az eltelt időt. Ekkor az első tartályban t idő elteltével másodikban 8 t, míg a + t liter víz van. Akkor lesz a két tartályban ugyanannyi víz, amikor 8 t = + t. Ez t = perc múlva következik be. Ábrázolandó függvények: ( x) = x + g ( x) = x + 8 f illetve 0. Hol találhatók a számegyenesen az alábbi feltételeknek megfelelő pontok? a) x > ; b) x ; c) x < ; d) 4 < x 5; e) 7,5 x ; f) 0 x <,5; g) x vagy x > 0; h) x < vagy x >. Módszertani megjegyzés: Értelmezési tartomány vizsgálatakor, törtes egyenlőtlenségek megoldásakor gyakran találkozhatunk ezekhez hasonló egyenlőtlenségekkel. A számegyenesen történő ábrázolás jó szemléltető eszköz, átláthatóbbá teszi a megoldáshalmazt.

30 0 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ. Hol találhatók a síkban az alábbi feltételeknek megfelelő pontok? a) x ; b) x < ; c) y > ; d) y 5; e) x és y 5; f) x > és y 0; g) x = 4 és y > 5; h) y = és x > 5, Megoldási útmutató: Az a) d) feladatokban csak az egyik koordinátára vonatkozik a feltétel, a másik tetszőleges értékeket felvehet. Ezért a megoldást jelentő ponthalmaz nyílt vagy zárt félsík. Nyílt félsík esetén jelöljük a határvonalat, zárt félsík esetén nem, hiszen a határoló vonal is hozzá tartozik a megoldási tartományhoz. Az e) h) feladatokban található egyenlőtlenségek megoldáshalmaza egy síknegyed illetve egyenlőség esetén félegyenes. Módszertani megjegyzés: Ezekhez hasonló egyenlőtlenségekkel szintén az értelmezési tartomány vizsgálatánál találkozhatunk (az első részben térben ábrázolható függvények esetén). Mintapélda Keressük meg az y + 4 < x feltételt kielégítő síkbeli pontokat! Megoldás: Az egyenlőtlenséget y-ra rendezve, az y < x 4 egyenlőtlenséget kapjuk. Ha a < jel helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk. Azon síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y koordinátája kisebb, mint a bal oldali kifejezés, vagyis az egyenes alatt találhatóak. A megoldáshalmaz tehát az egyenes alatti félsík.. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek megfelelnek az alábbi feltételnek? a) y < x; b) y x+4; c) y+0,5 > x+,5; d) y x+; e) y > x 4; f) 0,5x > y+.

31 5. modul: FÜGGVÉNYEK Megoldási útmutató:a c) f) egyenlőtlenségek y-ra rendezve könnyen megoldhatóak. A megoldást jelentő ponthalmaz a megadott egyenes (mx + b alak) által határolt, a relációs jelnek megfelelő félsík lesz. Átrendezéskor ügyeljünk arra, hogy -gyel való szorzáskor az egyenlőtlenség jele megfordul.

32 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ II. Lineáris törtfüggvény A lineáris függvény kapcsán olyan szöveges feladatokkal is találkoztunk, amelyek egyenes arányossággal oldhatók meg. Ilyen feladat volt például: Ha füzet 40 Ft, akkor mennyibe kerül,, 4 stb. füzet? Hány füzetet lehet venni, ha legfeljebb 480 Ft értékben akarok vásárolni? Ezt a feladatot átalakíthatjuk a következőképpen: Mintapélda 4 Van 480 Ft-om, amiből füzetet szeretnék vásárolni. A papírboltban 4, 0, 40, 60 és 0 Ft-os füzetek kaphatók. Hány darabot tudok venni az egyes fajtákból a pénzem maradéktalan elköltése mellett, ha csak egyféle füzetet akarok vásárolni? Megoldás: Készítsünk értéktáblázatot! 480 darabszám = ár ár db ár = 480 darab Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó, akkor azok között fordított arányosság van. Az x tengelyen az árat, az y tengelyen a darabszámot ábrázolva a mellékelt grafikont kapjuk. Látható, hogy minél magasabb az ár, annál kevesebb füzetet tudunk rajta venni; és minél alacsonyabb, annál többet. Mivel a boltban fél füzetet nem lehet vásárolni, ezért a grafikon pontjai nem köthetőek össze. Az x tengelyen a minimális ár Ft, a maximális ár 480 Ft lehet. Az y tengelyen ugyanígy meghatározható a legnagyobb és legkisebb érték. Közöttük minden olyan árkategória szóba jöhet, ahol az ár osztója 480-nak. A darabszám és az ár között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létesíthető:

33 5. modul: FÜGGVÉNYEK 480 n-nel jelölve az árat, f(n)-nel pedig a darabszámot kapjuk: f ( n) =, ahol n Z + és n n 480. Így f(n) Z +. Vagyis egy olyan függvényt kapunk, melynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza és 480 között, és értékkészlete is a pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza szintén és 480 között. Mintapélda 5 Egy gyalogos egy 6 km hosszú utat h alatt tesz meg. Mekkora sebességgel halad, ha 0,; 0,5;,5; ;,4; óra alatt teszi meg ugyanezt a távot? Megoldás: Készítsünk értéktáblázatot! s 6 v = =. t t t 0, 0,5,5,4 v 0 4,5 Az x tengelyen az időt, az y tengelyen a sebességet ábrázolva a következő grafikont kapjuk: A sebesség és az idő fordítottan arányosak, hiszen minél rövidebb idő alatt teszem meg ugyanazt a távot, annál gyorsabban kell haladnom, és fordítva, minél hosszabb az utazási idő, annál kisebb a sebesség. Minden időtartamhoz kölcsönösen egyértelműen 6 hozzárendelhető egy sebesség. Az időt t-vel, a sebességet v(t)-vel jelölve a v( t) = t függvényt kapjuk, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a pozitív valós számok halmaza. Ez a grafikon folytonos görbe lesz. A fentiek alapján ez a függvény szigorúan monoton csökkenő.

34 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 6 Ábrázoljuk és jellemezzük az Megoldás: f ( x ) =, x R\{0} függvényt! x Készítsünk értéktáblázatot, és a kapott értékek segítségével ábrázoljuk a függvényt! x 0 0,5 x 0, 0,5 0, ,5 0, 0,5 A függvény neve: lineáris törtfüggvény. Látható, hogy az x tengely mentén haladva az egyre nagyobb, illetve az egyre kisebb számok felé a grafikon hozzásimul az x tengelyhez, de nincs közös pontjuk. Hiszen minél nagyobb abszolútértékű számmal osztjuk az -et, annál kisebb lesz a hányados. És fordítva: minél kisebb abszolútértékű számmal osztunk egy konkrét számot, a hányados abszolútértékben annál nagyobb lesz. Ezt mutatja, hogy a grafikon az origó közelében hozzásimul az y tengelyhez, azaz tetszőlegesen megközelíti, de nem éri el. A függvény a ] ; 0[ és a ]0; + [ intervallumokon szigorúan monoton csökkenő. A 0 kivételével tetszőleges értéket felvehet, így nincs szélsőértéke. További érdekesség, hogy a grafikon az origóra (középpontosan) szimmetrikus. Ez algebrailag azt jelenti, hogy teljesül az f( x) = f(x) összefüggés. Vagyis a függvény páratlan. Találkoztunk-e korábban páratlan függvényekkel? Az origón átmenő lineáris függvények is páratlanok. (f(x) = mx alakúak)

35 5. modul: FÜGGVÉNYEK 5 Összefoglalva, az függvényt a következőképpen jellemezhetjük: x. É.T.: R\{0};. É.K.: R\{0};. Zérushely: nincs; 4. Szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0, 5. Szélsőértéke nincs; 6. Páratlan. Az 5.0 fólia alkalmazása Mintapélda 7 Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! a a) f ( x) =, ahol a R +, x R\{0} x Jellemzés:. É.T.: R\{0}.. É.K.: R\{0}.. Zérushely: nincs. 4. Szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0 és ha x > Szélsőértéke nincs. 6. Páratlan. b) a f ( x) =, ahol a R +, x R\{0} x Jellemzés:. É.T.: R\{0}.. É.K.: R\{0}.. Zérushely: nincs. 4. Szigorúan monoton növekvő, ha x < 0 és ha x > Szélsőértéke nincs. 6. Páratlan.

36 6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok. Egy építkezésen brigád év alatt képes építeni egy házat. Mennyi idő alatt végez,, 5, 0 brigád? Ábrázold grafikonon a munka időtartamát a brigádok száma szerint! Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész számok halmazán értelmezett f ( x) grafikonja diszkrét pontokból áll. =, melynek x 4. Egy 0 literes kismedencét csap5 perc alatt tölt tele. Mennyi idő alatt tölti fel ezt a medencét,, 4, 5 csap? Ábrázold grafikonon! Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész számok halmazán értelmezett f ( x) diszkrét pontokból áll. 5 =, melynek grafikonja x 5. Egy ember egy 00 m -es kertet 4 nap alatt ás fel. Mennyi idő alatt ássa fel,, 4, 5, 6, 0 ember? Ábrázold grafikonon! Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész 4 számok halmazán értelmezett f ( x ) =, melynek grafikonja x diszkrét pontokból áll. 6. Hány fordulóval tud,,, 4, 6, 0, tehergépkocsi elszállítani,4 t árut, ha egy gépkocsi legfeljebb 00 kg-t szállíthat? Ábrázold grafikonon! Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész számok halmazán értelmezett f ( x) diszkrét pontokból áll. =, melynek grafikonja x

37 5. modul: FÜGGVÉNYEK 7 7. Egy téglalap területe, cm. Milyen kapcsolat van a téglalap két oldala között? Ábrázold grafikonon az oldalak egymáshoz való viszonyát! Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós számok halmazán értelmezett f ( x), =. x 8. Egy m hosszú, 5 mm keresztmetszetű üvegcsövet teletöltünk higannyal. Mekkora lesz a higanyoszlop magassága, ha ;,5; 7,5; 0; 5 mm keresztmetszetű edénybe öntjük át? Ábrázold grafikonon a magasságot a keresztmetszet függvényében! Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós számok halmazán értelmezett f ( x) 5000 =. x 9. Egy 4,5 V-os zsebtelepre tolóellenállást kapcsoltak. Mekkora áram folyik az áramkörben, ha az ellenállást úgy állítják be, hogy annak értéke 0 Ω, 0 Ω, 0 Ω, illetve 50 Ω (ohm) legyen? Ábrázold grafikonon az ellenállás áramerőség függvényt! (feszültség = áramerősség ellenállás, azaz U = I R) Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós számok halmazán értelmezett f ( x) 4,5 =. x 0. Egy 00 m hosszú mm keresztmetszetű wolfram szálból készült ellenállástekercs ellenállása 5,5 Ω. Hogyan változik az ellenállása, ha a keresztmetszetét kétszeresére, háromszorosára, négyszeresére növeljük, illetve felére, harmadára, negyedére csökkentjük? Ábrázold grafikonon a keresztmetszet ellenállás függvényt! (A keresztmetszet és az ellenállás fordítottan arányos.)

38 8 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós számok halmazán értelmezett f ( x) 5,5 =. x. Tudjuk, hogy N erő kg tömegű testen s alatt m/s sebességváltozást hoz létre. Ugyanaz az N nagyságú erő s alatt mekkora sebességváltozást eredményez ; 4; 0; 0,5; ; kg tömegű testen? (A tömeg és a másodpercenkénti sebességváltozás, 4 0 azaz a gyorsulás fordítottan arányos.) Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós számok halmazán értelmezett f ( x) grafikonja diszkrét pontokból áll. =, melynek x Mintapélda 8 Ábrázoljuk az ( x) f = függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt! x + Megoldás:. lépés: Készítsünk értéktáblázatot! x 4 0 x 4 x x + 5

39 5. modul: FÜGGVÉNYEK 9 A táblázat. sorából látható, hogy ha a nevezőhöz hozzáadunk -at, akkor a függvény az értékeit -mal korábban veszi fel. A számláló kettővel való szorzása pedig a függvényértékek megkétszerezését jelenti.. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját! Az 5. fóliacsomag alkalmazása Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat. Az ábrázolás menete: ) d( x) ) ( x) = (értéktáblázat. sora). x e = d grafikonjának eltolása x + az x tengely mentén negatív irányba egységgel (értéktáblázat. sora). Segíti az ábrázolást, ha az x tengely pontjába húzunk egy, az y tengellyel párhuzamos segédtengelyt. f = e grafikonjának y x + ) ( x) tengely menti kétszeres nyújtása (értéktáblázat. sora).. lépés: Jellemzés:. É.T.: R\{ },. É.K.: R\{0},. zérushely: nincs, 4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x <, illetve ha x >, 5. szélsőérték: nincs, 6. paritás: nem páratlan és nem páros.

40 40 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 9 Ábrázoljuk az ( x) f = + függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt! x Megoldás:. lépés: Készítsünk értéktáblázatot! x x + x 6 5 x A táblázat. sorából látható, hogy a nevezőben lévő kétszeres szorzó minden függvényértéket felére csökkent. = x x A törthöz -at adva pedig a függvényértékek -mal nőnek.. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját! Az 5. fóliacsomag alkalmazása Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat. Az ábrázolás menete: ) d( x) = (értéktáblázat. sora). x = d értékeinek felezése x (értéktáblázat. sora). Ez a függvény ) e( x) grafikonjának y tengely menti -szeres zsugorítását jelenti. ) f ( x) = + e grafikonjának x eltolása az y tengely mentén pozitív irányba egységgel (értéktáblázat 4. sora). Az ábrázolást segíti, ha az y tengely pontjába húzunk egy, az x tengellyel párhuzamos segédtengelyt

41 5. modul: FÜGGVÉNYEK 4. lépés: Jellemzés:. É.T.: R\{0},. É.K.: R\{},. zérushely: + = 0 egyenletből x x =, 6 4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0, illetve ha x > 0, 5. szélsőérték: nincs, 6. paritás: nem páros, nem páratlan. Feladatok. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt! a( x) = ; b ( x) = ; c ( x) = + ; d ( x) =. 4x x x x + Megoldási útmutató: A függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatóak. Transzformáció sorrendje:. x tengely menti eltolás;. y tengely menti nyújtás/zsugorítás;. tükrözés az x tengelyre; 4. y tengely menti eltolás. A hozzárendelési utasításnak megfelelően egyes lépések kimaradhatnak. e ( x) = ; x + h( x) = ; x f ( x) = ; g ( x) = + 4 ; x x i( x) = ; j ( x) =. x x Megoldási útmutató: Az e ( x) függvény esetén, az f ( x) függvény esetében emelhető ki. Ezek után a függvény grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható. A h( x) j( x) függvényeknél először ábrázoljuk abszolútérték jel nélkül a függvényt, majd a grafikon x tengely alatti részét tükrözzük az x tengelyre. Míg az x függvény páratlan, addig az x függvény páros.

42 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ III. Másodfokú függvények Az 5.8 kártyakészlet alkalmazása Csoportalakítás: Minden tanuló kap egy kártyát a kártyakészletből. Azok a tanulók alkotnak egy 4 fős csoportot, akiknek a kártyáján a hatványozás azonosságait megfelelően alkalmazva a műveletek eredménye ugyanaz a szám. Az 5.9 szakértői mozaik alkalmazása Ismétlés: a másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása, jellemzése, transzformációi. Az ismétlő órán az alapszintű példák közül, míg az 5. órán a közép és emelt szintű feladatok közül válogatnak. A 9.-es tananyag ismétlése szakértői mozaik segítségével történik. Minden csoport megkapja a szakértői mozaikban található feldolgozandó témaköröket. A megbeszéltek alapján válaszolnak az első feladatban található kérdésekre. Szakértői mozaik alkalmazása: Minden csoportból azok, akik ugyanazt a témakört kapták, egy tanár által kijelölt asztalhoz ülnek. Itt közösen megértik, feldolgozzák a tananyagot. Ha készen vannak, akkor mindenki visszamegy a saját csoportjához, és ott szóforgóval elmagyarázzák egymásnak, amit tanultak (elsőnek az. tananyagot magyarázza el az a diák, aki azt kapta, majd a. tananyag kerül sorra, stb.; mindig az a tanuló magyaráz, aki azt a tananyagot kapta). A szakértői mozaik témakörei:. A másodfokú függvény tulajdonságai;. A másodfokú függvény transzformálása: y tengely menti eltolás;. A másodfokú függvény transzformálása: x tengely menti eltolás; 4. A másodfokú függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás. A továbbiakban függvények grafikonjának ábrázolásával folytatjuk. Mind az. tananyagban, mind jellemzéskor új fogalomként jelenik meg a párosság, illetve emelt szintre készülőknél a konvexitás, konkávitás fogalma.

43 5. modul: FÜGGVÉNYEK 4. A másodfokú függvény tulajdonságai x 6 0,5 5 4 f(x) = x , g(x) = x , ,6 0 0, , , 4 9 7, ,69 f(x) = x g(x) = x Minden másodfokú függvény képe parabola.. É.T.: R. É.K.: + f függvény esetén: R {} 0 g függvény esetén: R {} 0. Monotonitás: f függvény esetén: ha x 0, szigorúan monoton csökkenő. ha x 0, szigorúan monoton növekvő. g függvény esetén: ha x 0, szigorúan monoton növekvő. ha x 0, szigorúan monoton csökkenő. 4. Szélsőérték: f függvény esetén: g függvény esetén: minimumhely: x = 0, maximumhely: x = 0, minimumérték: f(0) = 0. maximumérték: f(0) = 0.

44 44 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 5. Zérushely: Az f és a g függvényeknek egyaránt a 0 helyen van csak közös pontja az x tengellyel, így mindkét függvény zérushelye: x = Paritás: Mindkét függvény páros, mivel teljesül rájuk az x = ( x) tulajdonság. Általánosságban véve egy függvényt akkor nevezünk párosnak, ha teljesül rá, hogy f(x) = f( x). Ez geometriailag azt is jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. 7. Az f(x)= x függvényt (alulról nézve) konvexnek nevezzük, mivel bármely két pontját összekötve az így kapott húr minden pontja a parabola pontja fölött helyezkedik el. A g(x) = x függvényt (alulról nézve) konkávnak (vizuális típusúak számára: KONK V nevezzük), mivel bármely két pontját összekötve az így kapott húr minden pontja a parabola pontja alatt helyezkedik el.. A másodfokú függvény transzformálása: y tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f(x) = x, a g(x) = x, illetve h(x) = x + függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot. x g(x) 6 6 h(x) Ha az f függvény értékeiből -at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig -t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelenti, illetve + egységgel.

45 5. modul: FÜGGVÉNYEK 45 Általánosságban: a g(x) = x +v (v 0-tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f(x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén v egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.. A másodfokú függvény transzformálása: x tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f(x) = x, a g(x) = (x+), illetve h(x) = (x ) függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot. x f(x) g(x) x f(x) h(x)

46 46 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva negatív irányba egységgel. A h függvény az értékeit egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g(x)=(x+u) (u 0-tól különböző tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f(x)=x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén u egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba. 4. A másodfokú függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! f(x) = x ; g(x) = x ; h(x) = x. x g(x) h(x) 8 4,5 0,5 0 0,5 4,5 8

47 5. modul: FÜGGVÉNYEK 47 Általánosságban: a függvény az f(x)=ax hozzárendelési utasítással adható meg, ahol a 0-tól különböző tetszőleges valós szám. Szemléletesen: ha az a szorzótényező 0 és között van, akkor a másodfokú függvény grafikonja szétnyílik, -nél nagyobb, akkor a grafikon szűkül, negatív, akkor pedig a grafikon az x tengelyre tükröződik is. Feladatok. Válaszolj a következő kérdésekre! Válaszodat indokold! a) Add meg az ( x) = x + f függvény értékkészletét! Megoldás: É.K.: [; [ b) Mely intervallumon szigorún monoton csökkenő az f ( x) = x, illetve a g( x) = x függvény? Megoldás: Ha x 0, akkor az f, ha x 0, akkor a g függvény szigorúan monoton csökkenő. c) Minimuma vagy maximuma van a h(x) = x függvénynek? Megoldás: Maximuma van, mivel az x együtthatója negatív. d) Hol van szélsőértéke a ] ; 5] intervallumon értelmezett k(x) = (x ) függvénynek, és mekkora ez az érték?

48 48 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Megoldás: A k ( x) függvénynek ezen az értelmezési tartományon minimuma van az x = helyen, valamint maximuma van az = 5 maximumértéke k () 5 = 9. x helyen. Minimumértéke ( ) = 0 k, e) Párosak-e az m(x) = x +, illetve az n(x) = (x+) függvények? Megoldás: Az m függvény páros, hiszen x + = ( x) + x + x +. mivel ( ) ( ). Az n függvény nem páros, f) Hol van zérushelye a p(x) = x +4, a q(x) = x +, illetve az r(x) = (x 5) függvényeknek? Megoldás: A p függvénynek a és a helyeken van zérushelye. A q függvénynek nincsen, míg az r függvénynek az 5 helyen van zérushelye. g) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x+) függvény grafikonját a g(x) = x függvény képéből (parabolából)? Megoldás: x tengely menti negatív irányba egységgel történő eltolással kapjuk. h) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x ) + függvény grafikonját a g(x) = x függvény képéből (parabolából)? Megoldás: Az x tengely mentén + egységgel, majd az y tengely mentén is + egységgel toljuk el g függvény grafikonját. i) Milyen transzformációval kapjuk az a(x) = x, illetve a b(x) = 0,5x függvények grafikonját az f(x) = x függvény képéből (parabolából)? Megoldás: Az a grafikonját f-ből először egy y tengely menti háromszoros nyújtással, majd egy x tengelyre való tükrözéssel kapjuk, míg a b-t egy 0,5-szeres zsugorítással.

49 5. modul: FÜGGVÉNYEK Ábrázoljuk a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! a ( x) = x + ; ( x) = x + b ( x) = x ; ( x) = x d ; g ( x) = ( x + ) ; x [ 5;0] e ; 4 c ( x) = 4x 8 ; ( x) = x + 6 f ; [ ;] x. ; Megoldási útmutató: A függvények grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható. n ; x Z, x ; 4 l ( x) = ( x) 8 ; x ] ;[ ; m ( x) = ( x + ) + 4 ; ( x) = ( x 4) Megoldási útmutató: A függvények grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható. Az l függvény grafikonja pedig l ( x ) = 4x 8 átalakított formában elemi transzformációk alkalmazásával. ( ) o ( x) = x ; p ( x) = x + 4. Megoldási útmutató: Először emeljük ki az x együtthatóját mindkét függvény esetében: 4 o ( x ) = 9( x ) ; p ( x ) = ( x 8) transzformációkkal ábrázolható. Ezek után a függvények grafikonja elemi Módszertani megjegyzés: A 5. feladat házi feladatnak ajánlott. 5. Rajzold be a koordinátatengelyeket úgy, hogy a megadott hozzárendelési utasítás igaz legyen!

50 50 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ f ( x) = x f ( x) = ( x + ) f ( x) = ( x 5) f 4 ( x) = ( x ) f 5 ( x) = x + 5 f 6 ( x) = x

51 5. modul: FÜGGVÉNYEK 5 f 7 ( x) = x 9 f 8 ( x ) = x f ( x ) = ( x ) f ( x ) = ( x + ) f ( x) = ( x + ) 4 f ( x) = ( x 4) + +

52 5 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Módszertani megjegyzés: A 6., 7. és 9. feladatok célja a koordinátageometriai alapozás. Egy-egy koordinátageometriai feladaton belül részfeladatot képezhet az ábra vagy egyéb ismeretek alapján történő egyenletfelírás. A következő feladatot azoknak a tanulóknak ajánljuk, akik heti 4-5 órában tanulnak matematikát. 6. Írd fel a képeken látható parabolák hozzárendelési utasítását! a) b) Megoldás: f ( x) = x + f ( x) = x c) d) Megoldás: f ( x) = x + f ( x) = ( x + )

53 5. modul: FÜGGVÉNYEK 5 e) f) Megoldás: f ( x) = x 6 f ( x) = ( x ) 4 g) h) = x 5 Megoldás: f ( x) = ( x + ) 5 ( ) ( ) i) j) f x Megoldás: f ( x) = ( x ) + f ( x) = ( x + 4) +

54 54 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ k) Megoldás: f ( x) = ( x + ) 4 7. Legyen a kiindulási függvény az ( ) f x = x. Mi lesz a függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját a) eltoljuk az x tengely mentén pozitív irányba egységgel? b) eltoljuk a v(0;) vektorral? c) tükrözzük az y tengelyre? d) eltoljuk a v( ; ) vektorral? e) kétszeresére nyújtjuk? f) tükrözzük az x tengelyre, majd felére zsugorítjuk? g) először tükrözzük az x tengelyre, majd eltoljuk az y tengely mentén +5 egységgel? h) eltoljuk a v(0;) vektorral, majd tükrözzük az x tengelyre? i) először eltoljuk a v(;) vektorral, majd tükrözzük az y tengelyre? Megoldási útmutató: Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a transzformált függvényeket, majd olvassuk le a kapott grafikon hozzárendelési utasítását. a) f ( x) = ( x ) ; b) ( ) = x f x + ; c) ( x) x f = ; = x ; d) ( ) = ( x + ) f x ; e) f ( x) = x ; f) ( ) g) f ( x) = x + 5 ; h) f ( x) = x ; i) ( x) = ( x +) + f x f.

55 5. modul: FÜGGVÉNYEK Egy céllövőnek a versenyen a tőle 8 m távolságra, 6 m magasan levő korongot kell eltalálnia a győzelemhez. Lövés után a golyó az 4 f ( x) = x képlettel megadott függvény grafikonjának vonalán mozog, ahol x a golyó versenyzőtől való távolságát jelenti. Készítsd el a függvény grafikonját, és döntsd el, hogy megnyeri-e ez a céllövő a versenyt? (A légellenállástól eltekintünk.) Megoldás: Készítsünk ábrát! Az ábrán már látszik, hogy a golyó telibe találja a korongot, és versenyzőnk nyer. Mutassuk meg, hogy tényleg így van! Tegyük fel, hogy a golyó az origóból indul ki, és a korongot egy ponttal ábrázoljuk. Berajzolva a röppályát, azt kell megvizsgálni, hogy a P(8;6) pont rajta van-e ( ) f x = x hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonján. 4 Behelyettesítve a képletbe kapjuk: f () 8 = 8 = 6. A pont rajta van a parabolán, így 4 versenyzőnk valóban győz. Módszertani megjegyzés: A következő feladat heti 4-5 órában matematikát tanuló diákoknak ajánlott. 9. Írd fel annak a másodfokú függvénynek a hozzárendelési utasítását, amelyről tudjuk, hogy az f(x) = x vagy a g(x) = x függvényből a következő transzformációval származik: a) az y tengely pontjában szélsőértéke van. b) az x tengelyt a 4 helyen érinti. c) maximuma van az (5;) pontban. d) minimuma van a ( ;) pontban. e) átmegy a P( ;0) ponton, szimmetrikus az y tengelyre. f) átmegy a P( ;5), Q(;) és R(;5) pontokon.

56 56 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Megoldási útmutató: Mindegyik feladatnál célszerű ábrát készíteni. Ez alapján az a) f) feladatok könnyen megoldhatóak. A g) példában is segít az ábrakészítés, hiszen így kiderül, hogy a Q pontban a függvénynek szélsőértéke van. a) f ( x) = x vagy g ( x) = x ; b) f ( x) = ( x 4) vagy ( x) = ( x 4) c) f ( x) = ( x 5) + ; d) ( x) = ( x + ) + f ; e) f ( x) = x + vagy g ( x) = x + 9 ; f) ( x) = ( x ) + f. Mintapélda 0 Készítsük el az f(x) = x +5x-6 függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt! Megoldás: Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás: f ( x ) = ( x 5x) 6 = ( x,5 x + 6,5 6,5) = ( x,5) 6,5) = = 6 = 6 ( x,5) + 6,5 6 = (,5) + 0, 5 = x Jellemzés:. É.T.: R.. É.K.: ] ; 0,5].. Zérushely: g ; x x ; x = + 5x 6 = 0 5 ± = x = 4. Monotonitás: 5 4 ( ) ( 6) ( ) = 5 ± 5 4 = = = x,5: szigorúan monoton növő, x,5: szigorúan monoton csökkenő. 5. Szélsőérték: maximumhely: x =,5, maximumérték: f(,5) = 0,5. 6. Nem páros, nem páratlan. 7. Konkáv (alulról nézve).

57 5. modul: FÜGGVÉNYEK 57 Feladatok 0. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! n(x) = x +6x+9; q(x) = x x x [ ; ]; s(x) = x +4x+ x Z; o(x) = x 4x+4; r(x) = x x ; t(x) = x x+6 x Z +. Megoldás: A függvények grafikonja teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás után elemi transzformációkkal ábrázolható. n ( x) = ( x + ) ; ( x) = ( x ) 9 4 q ( x) = ( x ) 4 ; r ( x) = x ; s ( x) = ( x + ) ; ( x) Jellemzés a mintapélda szerint. o ; t = x +. 4 Mintapélda Készítsük el a f ( x) = x x függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt! Megoldás: Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás: ( x ) = ( ) 4 f ( x) = x x + = x. Jellemzés:. É.T.: R.. É.K.: R + {0}.. Zérushely: x x = 0. x ; x x ± = = = ( ) 4 = ± 4 + =

58 58 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 4. Monotonitás: x : szigorúan monoton csökkenő, x : szigorúan monoton növő, x : szigorúan monoton csökkenő, x: szigorúan monoton növő. 5. Szélsőérték: lokális maximum hely: x =, maximumérték: f() = 4, abszolút minimum hely: x = ; x =, minimumérték: f() = f() = Paritás: nincs. 7. Ha < x <, akkor konkáv (alulról nézve), ha x < vagy x >, akkor konvex (alulról nézve).. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! f ( x) = x 8x + ; f 4 ( x) = x + 6x ; f ( x) = x 6x ; f ( x) = x 4x ; 5 + f ( x) = x 8x ; f ( x) = x + x 4. 6 Megoldás: A függvények grafikonja teljes négyzetté alakítás után elemi transzformációkkal ábrázolható. Teljes négyzetté alakított függvények: ( x) = ( x ) 6 f ; f ( x) = ( x ) 5 ; f ( x) = ( x ) 8 ; ( x) = ( x + 9) 7 ( ) ( ) f x = x ; ( x) = ( x ) 4 5 f. 6 + f 4 ; A minimum- és maximumhely illetve -érték meghatározásával például a szélsőérték feladatok megoldásánál találkozhatunk. Az 5.0 kártyakészlet és az 5. ablak alkalmazása

59 5. modul: FÜGGVÉNYEK 59 A következő feladat megoldásához használjuk a rendelkezésre álló eszközöket! A tanár minden csoportnak odaadja a kártyakészletet és az ablak ábráját. Minden tanuló négy kártyát húz. A tanulók a kártyájukon látható függvényeket írják be az ablak megfelelő rubrikáiba.. A függvény grafikonjának elkészítése nélkül határozd meg a zérushelyek számát! Állapítsd meg, hogy maximuma vagy minimuma van-e a függvénynek! Csoportosítsd az alábbi függvényeket a felsorolt szempontok alapján! Csoportosítandó függvények: ( x + 0 7) f ( x) = x + ; f 7( x) = ( x + 5)( x 5) 4x 0; f ( x) = x + x + 7 ; 4 f ( x) = ( x + 0) + 6x ; f 8 ( x) = x( x 6) ; f 4 ( x) = ( x 0)( x ) + 4 ; f + ( x) = (4 x) x ; f9 ( x) (x )( x ) + 4x = ; f ( x) = 7 + x( x 4) ; 5 + f ( x) = ( 4x x ) 9 ; f ( x) = x + x 5; f 5 ( x) = x 5x + 6,5 ; f ( x) = ( x )( x ) x + 7; f ( x) = ( x + 4)( x + 8) 8; f ( x) = 7 x 6x. 6 + f 6 ( x) = 4( x + ) x Szempontok: nincs zérushelye, egy zérushelye van, két zérushelye van, minimuma van, maximuma van. Megoldás: A kijelölt műveletek elvégzése után a csoportosítandó függvények: f ( x ) = x 0x 7 f ( x ) = x + 6x 0 f ( x) = x x 8 + f 4 ( x ) = x + 8x + 9 f 5 ( x ) = x 5x + 6, 5 f 6 ( x ) = x + x + 40 f 7( x ) = x 0x 50 f 8( x ) = x + x f 9 ( x ) = x 6x +

60 60 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ f 0 ( x ) = x + x + 4 f ( x ) = x + 4x + 4 f ( x ) = x 6x f ( x ) = x + x 4 7 f 4 ( x ) = x x + 4 f 5 ( x ) = x + x + 7 f 6( x ) = x 4x nincs zérushelye: f ; f ; f ; f 4 ; f 5 ; f 6 ; f 6 ; egy zérushelye van: f 7 ; f 8 ; f 9 ; f 0 ; két zérushelye van: f ; f ; f ; f 4 ; f 5 ; maximuma van: f ; f ; f 7 ; f 8 ; f ; f ; f ; f 6 ; minimuma van: f ; f 4 ; f 5 ; f 6 ; f 9 ; f 0 ; f 4 ; f 5.. A kertünkben zöldségtermesztés céljából szeretnénk elkeríteni egy részt. 0 m hosszú drótot vettünk a kerítéshez. Mekkorák legyenek a veteményes oldalai, hogy a lehető legtöbb zöldséget tudjuk benne termeszteni? Megoldás: Legyenek a veteményes oldalai a illetve b hosszúak. Ekkor = ( a + b) 0 alapján b = 0 a. A + terület: T a b = a ( 0 a) = a 0a =. Az a értéket változónak tekintve képezhető a + t( a ) = a 0a hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvény. A feladatban ennek a függvénynek keressük a maximumát. Mivel a főegyüttható negatív, ezért létezik maximum. Teljes négyzetté alakítással: t ( a ) = ( a 0a ) = ( a 5 a ) = a ( 5) + 5 Akkor kapjuk a legnagyobb területet, ha a kert oldalai 5 m hosszúak (a = 5, b = 5), vagyis négyzet alakú. Ekkor a területe 5 m.

61 5. modul: FÜGGVÉNYEK 6 4. Bontsunk fel egy 0 cm hosszú szakaszt két részre úgy, hogy a) a darabok fölé rajzolt szabályos háromszögek területének összege a legkisebb legyen! b) a két darab hosszának a szorzata a legnagyobb legyen! a) Megoldás: a) Egy háromszög területét T a m = a képlettel számoljuk ki. Szabályos háromszög esetén m a = a, amit behelyettesítve a területképletbe kapjuk: T = a 4 szakaszok fölé emelt két szabályos háromszög területének összege pedig: T = 4 x ( x) Ebből: t ( x ) x + ( 0 x) ( ) = ( x ) = x 4 4 Az x = 5 helyen van minimum, és a minimumérték: 50, A b) A két darab szorzata ott a legnagyobb, ahol az f ( ( x) x ) = x 0 függvénynek maximuma van. Alakítsuk szorzattá a képletet! f ( ( x 0x) = x( 0) x ) = x A függvény zérushelyei 0; 0. A szélsőérték hely: = 5. Ez azt jelenti, hogy a szakaszt két egyenlő részre kell felosztani ahhoz, hogy a két darab szorzata maximális legyen.

62 6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 5. Egy konvex sokszögben összesen 44 átló húzható. Határozd meg a sokszög oldalszámát! Ábrázold koordináta-rendszerben a konvex sokszög oldalai és a benne húzható átlók száma közötti összefüggést. Megoldás: Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma átlója vannak a keresett sokszögnek, tehát n 44 = n ( n ), ebből n 88 = 0 n( n ). Tudjuk, hogy összesen 44 n ; = 8 A 8 nem megoldás, mert a sokszög csúcsainak száma nem lehet negatív. Így a keresett sokszög oldalú. Az 5. kártyakészlet és az 5. ablak alkalmazása A következő feladatban használjuk a rendelkezésre álló eszközöket! A tanár minden csoportnak odaadja az. ablakot, illetve a kártyakészletet. A csoport minden tagja húz négynégy kártyát, majd beírja az ablak megfelelő rubrikáiba a pontokat. Mielőtt hozzálátnak a feladatnak, célszerű ábrázolni a függvények grafikonját. Ugyanúgy, ahogy korábban a függvényeknél, a pontokat is többféleképpen jelölhetjük:. Különböző betűkkel: P,Q,R,... Alsó indexben jelölve a különbözőséget: P, P, P,. 6. Csoportosítsd a következő pontokat aszerint, hogy azok hogyan helyezkednek el az f ( x) = x + 7 és g ( x) = ( x + ) 4 függvények grafikonjához képest! Pontok: P (;5) ; P (0;7) ; P (0; ) ; P ( ;0) ; 4 P ( ; 5) ; 5 P 6 (0;0) ; P ;5) ; ( 7 9 P 8 ; ; P 9 (;) ; P ( ;6) ; 0 P (; 90) ; P ( 7;) ;

63 5. modul: FÜGGVÉNYEK 6 P ( 4;4) ; P (;5) 4 ; P ( 5; 6) ; 5 P 6 (6; ). Szempontok: vagy az f vagy a g függvények grafikonján található, az f függvény és a g függvény grafikonja felett található, az f függvény grafikonja alatt, de a g függvény grafikonja felett található, az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található, az f függvény grafikonja felett, de a g függvény grafikonja alatt található. Megoldás: Ábrázoljuk a függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben:. vagy az f vagy a g függvények grafikonján található: P ; P ; P ; P 4 ;. az f függvény és a g függvény grafikonja felett található: P 0 ; P ;. az f függvény grafikonja alatt, de a g függvény grafikonja felett található: P 5 ; P 6 ; P 7 ; 4. az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található: P 8 ; P 9 ; 5. az f függvény grafikonja felett, de a g függvény grafikonja alatt található: P ; P ; P 4 ; P 5 ; P 6.

64 64 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda Ábrázoljuk számegyenesen a (x )(x+) 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazát! Megoldás: Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = (x )(x + ) függvény grafikonját! Az előjelek megállapításához elegendő, ha tudjuk az x tengellyel való metszéspontokat, illetve azt, hogy a parabola felfelé vagy lefelé nyílik. Ennek az alapján: Az ábráról leolvasható a megoldáshalmaz: x vagy x. Természetesen a feladat algebrai úton is megoldható: egy kéttényezős szorzat akkor pozitív, ha a szorzótényezők előjelei megegyeznek. Ekkor x 0 és x + 0 egyenlőtlenségek közös megoldáshalmaza az x, illetve az x 0 és x + 0 egyenlőtlenségek közös megoldásaként adódik az x. Feladatok 7. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát: a) ( x )( x + ) 0 ; b) ( x + ) 0 d) ( x ) > 0; e) ( ) 0 x ; c) ( + 5) 0 x. x ; Megoldási útmutató: A c) e) feladatok koordináta-rendszerben történő ábrázolással megoldhatóak. Az a) és a b) feladatoknál a szorzat előjelét a szorzótényezők előjelének függvényében határozzuk meg. Például az a) feladatban a szorzat akkor lesz nem negatív ( 0), ha ((x ) 0 és (x+) 0) vagy ((x ) 0 és (x+) 0). A b) feladatnál pedig akkor lesz nem pozitív ( 0), ha (x 0 és (x+) 0) vagy (x 0 és (x+) 0). 8. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát: a) + 0 x ; b) ( 5 x)( + x) > 0 d) 8 > 0 x ; e) ( + )( + x) 0 ; c) x + < 0 ; 4 x.

65 5. modul: FÜGGVÉNYEK 65 Megoldási útmutató: Az a), c) és d) feladatok koordináta-rendszerben történő ábrázolással megoldhatóak. A b) és d) feladatoknál a szorzat előjelét a szorzótényezők előjelének függvényében határozzuk meg. Mintapélda Ábrázoljuk számegyenesen a x 6x egyenlőtlenség megoldáshalmazát! x ; 6 ± = Megoldás: = = = Mivel a főegyüttható pozitív (+), ezért a parabola felfelé nyílik. Az x tengelyt az 5 és az helyen metszi. A keresett halmaz: x vagy x 5. Mintapélda 4 Mely egész számokra teljesül a x 6x 7 0 egyenlőtlenség? Megoldás: A megfelelő egyenlet gyökei: 6 ± x ; =, x x = = + 4, 4 59, Mivel a főegyüttható negatív ( ), ezért a parabola lefelé nyílik. Az egyenlőtlenségnek megfelelő értékek a két gyök között találhatók: x +. A keresett egész számok: { 4; ; }.

66 66 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok 9. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldási halmazát: a) x 9x ; d) x x + ; b) x + x 6 és x Z; e) 4x x 5x ; c) x + x 0 > 0. Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után összevonunk, ahol szükséges. a) x vagy x 7; b) x { ; ; 0; ; ; }; c) x < vagy x > 5; d) x vagy x 4; e) x vagy x Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldási halmazát: 8x x a) + < x + 4 ; b) x 6x + 8 < x + x és x Z; c) ( + 4 )( x + ) + > 0 x ; x. 4 d) ( + 5)( x ) > x + x Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után összevonunk, ahol szükséges. a) x < vagy x > ; b) nincs ilyen; c) R\{ }; d) x 6 vagy x + 6. Módszertani megjegyzés: A 5. és a 6. mintapélda, valamint a 4. és a 4. feladat elvégzése heti 4-5 órában történő oktatás esetén ajánlott. Mintapélda 5 Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira y < x 6 x + 7? Megoldás: Teljes négyzetté alakítás felhasználásával ábrázoljuk a az f(x) = x 6x+ 7 függvény grafikonját.

67 5. modul: FÜGGVÉNYEK 67 ( x + 6x) + 7 = ( + ) + 6 f ( x) = x A megoldáshalmazt a grafikon alatti pontok alkotják. Feladatok 4. Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira + a) y < x 6x 4; b) y x 5x? Megoldás: a) b)

68 68 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 6 Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyekre x + x 0 > x + 6? Megoldás: Legyen f ( x) = x + x 0 és g ( x) = x + 6. Ábrázoljuk az f és g függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben! Az f(x) függvény grafikonjának pontos ábrázolásához teljes négyzetté alakítunk: ( x + x) 0 = ( x + x +,5,5) 0 = ( +,5 ), 5 f ( x) = x Az ábra alapján már meg lehet becsülni, hol lesz a megoldáshalmaz, de a megoldáshoz szükséges még a metszéspontok pontos meghatározása.. lépés: Alkalmazzuk az abszolútérték definícióját! x + 6 = x 4, x + 6 = ( x + ) 6 = x 8, x x <. lépés: A definíciót felhasználva oldjuk meg az egyenletet! I. Ha x, akkor x x + x 0 = x 4 + x 6 = 0 ( 6) ± 4 4 ± ± 7 x ; = = = = ± 7 x = + x = 7, 65 7, 65

69 5. modul: FÜGGVÉNYEK 69 Mivel x, ezért x nem megoldás. II. Ha x <, akkor x x + x 0 = x 8 + 4x = 0 ( ) 4 ± ± 4 4 ± 6 x ; = = = = ± 6 x = + x = 6 0, , 45 Mivel x <, ezért x nem megoldás. Összefoglalva: a megoldáshalmaz: x < 6 vagy x > + 7. Feladatok 4. Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyek koordinátáira a) x x + ; b) x 4x + > x 4? Megoldás: a) b)

70 70 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 4. Egy üzemben a darabszám függvényében a költséget a k( x) = 4 + x függvény írja le millió forintban. A bevételt pedig a b( x) = x + 600x 8000kifejezés adja meg szintén millió forintban. a) Milyen darabszámok esetén lesz a bevétel nagyobb, mint a kiadás? b) Milyen darabszám mellett lesz a legnagyobb a nyereség (bevétel kiadás)? Megoldás: Ábrázoljuk a két függvény grafikonját közös koordináta-rendszerben! Az a) feladatban azon egész számok jelentik a megoldást, amelyeknél b > k. Ez ugyanaz, mint a h = b k függvény két zérushelye között található egész számok halmaza. A b) feladat megoldásához ezt a h függvényt használjuk fel. Ugyanis a b) feladat megoldását a h függvény maximumhelye és maximum értéke jelenti. Mivel b grafikonja lefelé nyíló parabola, így a keresett darabszámok a két függvény metszéspontjai között találhatóak. Vizsgáljuk a h = b k függvényt! 0 = x 0 = x x ; x x 597 ± = + 600x 8000 x x , = 4, , 84 = 64, 46 4 ( ) ( 8004) Mivel a főegyüttható negatív, ezért a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, mely a két zérushelye között pozitív értéket vesz fel, a két zérushelyen kívül pedig negatív. = 597 ± 77 4 = 597 ± 460, 84 4

71 5. modul: FÜGGVÉNYEK 7 a) Ha a darabszám legalább 5 és legfeljebb 64, akkor a bevétel nagyobb, mint a kiadás, tehát van nyereség. b) Teljes négyzetté alakítással kapjuk meg a megoldást. h ( x) = ( x 98,5x) 8004 = ( x 98,5x + 75,565 75,565) 8004 = ( x 49,5) , 5 = 49,5 darab árú esetén lenne a nyereség maximális. Mivel a darabszám csak egész szám lehet, ezért maximális nyereséget 49 darab esetén érünk el. A teljes négyzetté alakított képletből leolvasható, hogy ilyen darabszám esetén a nyereség kb mft. Mintapélda 7 x + x Oldjuk meg az 0 x + 4x + 6 Megoldás: egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Legyen f ( x) = x + x és g ( x) = x + 4x + 6. A nevező nem lehet 0: x + 4x D = 6 4 < 0. Mivel a diszkrimináns negatív, ezért a nevező sehol sem vesz fel 0 értéket. Mivel a diszkrimináns negatív és a főegyüttható pozitív, így a g függvény grafikonja olyan parabola, amelynek minden pontja az x tengely fölött van. A függvény mindenütt pozitív értéket vesz fel. Most számoljuk ki az f függvény zérushelyeit: x ; ± = ± 7 = ; + 7 x = 0,56 7 x =,56

72 7 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjelei megegyeznek. Mivel a nevező mindenütt pozitív, így a számlálónak is nemnegatívnak kell lennie. Az f függvény főegyütthatója pozitív, így a függvény akkor vesz fel nemnegatív értékeket, ha 7 x vagy x + 7. A tört értéke is ezekben az esetekben lesz nemnegatív. Mintapélda 8 Milyen valós számokra igaz az alábbi egyenlőtlenség? x + x + < x x + 4 Megoldás: Kikötés: x 0, x + 4 0, és x, x 4. Törtes egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor az első lépés mindig a kikötés, mert a nullával való osztás nincs értelmezve. Egyenlőtlenség megoldásakor, ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség jele megfordul. A törtes egyenlőtlenségeket célszerű nullára rendezni: x + x + < 0 x x + 4 ( x + )( x + 4) ( x )( x + 4) + ( x )( x + 4) ( x )( x + 4) x( x ) ( x )( x + 4) / közös nevezőre hozás: < 0, ( x + )( x + 4) + ( x )( x + 4) x( x ) ( x )( x + 4) < 0 / zárójelfelbontás: A nevezőben a zárójelek felbontása felesleges, hiszen az egyenlőtlenség megoldásához a zérushelyekre lesz szükség, amelyek a szorzat alakból könnyen leolvashatók. x + 7x + + x + x 4 x ( x - )( x + 4) + x < 0 / összevonás: x + x < 0. ( x )( x + 4)

73 5. modul: FÜGGVÉNYEK 7 Az egyenlőtlenség megoldásához szükség van a számláló zérushelyeire is: x x x ; 6 ± ± 60 = = = ± 5 = + x = 0 / : + 6x 6 = = 0,87 5 = 6,87 Ábrázoljuk külön a számlálónak, illetve külön a nevezőnek, mint függvénynek a grafikonját. Egy tört értéke akkor és csak akkor negatív, ha a számláló és a nevező ellentétes előjelű. I. + x > 0 x és ( )( x + 4) < 0 A számláló pozitív, ha x < 5 vagy x > + 5. A nevező negatív, ha 4 < x <. x (számláló pozitív és a nevező negatív): A két halmaz közös része a megoldás: + 5 < x <. x és ( )( x + 4) > 0 II. + x < 0 x (számláló negatív és a nevező pozitív): A számláló negatív, ha 5 < x < + 5. A nevező pozitív, ha x < 4 vagy x >. A két halmaz közös része a megoldás: 5 < x < 4. A részmegoldások összesítése a kikötéssel: 5 < x < 4 vagy + 5 < x <. Megjegyzés: Az irracionális értékek ábrázolása a számegyenesen csak hozzávetőleges.

74 74 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 44. Oldd meg a valós számok halmazán az x + + egyenlőtlenséget! x + Megoldás: Kikötés: x. x + x Megoldandó egyenlőtlenség: 0. x + Megoldáshalmaz: x + vagy x <. x x Oldd meg az < x + x Megoldás: Kikötés: x és x. 8x 4 x + x Megoldáshalmaz: < x < vagy < x <. Megoldandó egyenlőtlenség: < 0 ( )( ) egyenlőtlenséget, ha x R és x ] 4;[!. x x Oldd meg a valós számok halmazán a + + x 5 x Megoldás: Kikötés: x és x,5. Megoldandó egyenlőtlenség: egyenlőtlenséget! x 9x 0. ( x, 5)( x) Megoldáshalmaz: + x vagy < x <, 5 vagy x.

75 5. modul: FÜGGVÉNYEK Oldd meg a valós számok halmazán a x 5 4x > x x egyenlőtlenséget! Megoldás: Kikötés: x 7. x + 6x + Megoldandó egyenlőtlenség: > 0. x + Megoldási halmaz: x < 7 vagy < x < Oldd meg a valós számok halmazán a x x x + x + < 0 egyenlőtlenséget! Megoldás: A számláló diszkriminánsa D = ( ) 4 =, és az x együtthatója pozitív: ez azt jelenti, hogy a számláló értéke minden valós x-re pozitív. A nevező diszkriminánsa D = ( ) 4 = 7, az x együtthatója pozitív: ez azt jelenti, hogy a nevező értéke is minden valós x-re pozitív. A tört értéke tehát minden valós x-re pozitív, ezért az egyenlőtlenségnek nincs megoldása. Mintapélda 9 Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyekre y x 6x + és y > x egyszerre teljesül? Megoldás:

76 76 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Közös tartomány: Ha a függvény grafikonja eleme a tartománynak ( vagy esetén), akkor a tartomány színével színezzük ki. Ha a nem eleme (< vagy > esetén), akkor a grafikon fekete színű. Az 5.4 kártyakészlet alkalmazása Módszertani megjegyzés: A tanulók párokban dolgoznak. A tanár minden asztalra kiteszi a kártyakészletet részre osztva. Ebben a készletben relációs jeleket, logikai kapcsolatokat, valamint képleteket tartalmazó kártyák találhatóak. A páros mindkét tagja húz egy másodfokú kifejezést és egy relációs kártyát. Valamint felváltva húznak a logikai kapcsolatot tartalmazó kártyát is. Először külön-külön ábrázolják a füzetükbe az egyenlőtlenség megoldási halmazát, majd egy közös koordináta-rendszerben, a logikai kapcsolatnak megfelelően kiszínezik a náluk lévő két egyenlőtlenségből álló egyenlőtlenség-rendszer megoldási halmazát. A tanulók úgy húznak relációs kártyákat, hogy a kisebb-nagyobb relációs jelek mind a négy lehetséges kombinációja előforduljon (egyenlőségtől eltekintve). Az és, illetve vagy logikai kapcsolatokat pedig felváltva alkalmazzák.

77 5. modul: FÜGGVÉNYEK 77 IV. A négyzetgyökfüggvény Az 5.5 kártyakészlet alkalmazása Módszertani megjegyzés: Alkossanak 4 fős csoportokat a négyzetgyökkel kapcsolatos ismereteik alapján a kártyakészlet segítségével! A tanár kitesz minden asztalra egy számot, valamint szétosztja a gyökös kifejezéseket tartalmazó kártyákat a tanulók között. A tanulók keressék meg azt az asztalt, amelyen a kártyájukon látható kifejezés értéke szerepel. Mintapélda 0 Hány egység a négyzet oldala, ha ismert a területe? Töltsd ki a táblázatot! Tudjuk, hogy a négyzet területe: T =. Ebből a = T. a T ,5 0,0 a 5 0,5 0, Definíció: Egy nemnegatív szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelyet négyzetre emelve megkapjuk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha a 0, akkor a jelöli azt a nemnegatív valós számot, amelyre ( a ) = a. Megjegyzés: Mivel két olyan szám is létezik, amelynek négyzete a, ezért azt a nem pozitív számot, amelynek négyzete szintén a ( 0 = 0). a -val jelöljük Ezen definíció alapján megadható a négyzetgyök függvény fogalma. Definícó: Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett f ( x) = x hozzárendeléssel megadott függvényt. Az 5. fólia alkalmazása

78 78 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda Ábrázoljuk a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett f ( x) = x hozzárendeléssel megadott függvényt, és jellemezzük! A fenti táblázatot értéktáblázatként felhasználva a következő grafikont kapjuk: Jellemzés:. É.T.: R + {0};. É.K.: R + {0};. Zérushely: x = 0; 4. Monotonitás: szigorúan monoton növő; 5. Szélsőérték: minimumhely: x = 0; minimumérték: f(0) = 0; 6. Paritás: nem páros, nem páratlan; 7. Konkáv (alulról nézve). Mintapélda a) Határozd meg, hogy a 68 négyzetgyöke melyik két egész szám között található! b) Határozd meg öttized pontossággal, hogy az 55 négyzetgyöke melyik két racionális szám között található! Megoldás: a) x=68, 8 < 68 < 9. b) x=55, 7 < 55 < 7, 5, mert 49 < 55 < 56,5. Feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladat házi feladatnak javasolt.

79 5. modul: FÜGGVÉNYEK a) Határozd meg, mely két egész szám között található az alábbi számok négyzetgyöke! b) Határozd meg öttized pontossággal, mely két racionális szám között található az alábbi számok négyzetgyöke! x a) b) 0,5 < x < < x < < x < < x < 0 < x < < x < 7 < x < < x < 8 < x < < x < < x < < x < 44 < x < < x < 70 < x < < x < Megoldás: x a) b) 0,5 0 < x < 0,5 < x < < x < < x <,5 0 < x < 4 < x <,5 7 4 < x < 5 4 < x < 4,5 8 5 < x < 6 5 < x < 5,5 5 < x < 6 5,5 < x < < x < 7 6,5 < x < < x < 9 8 < x < 8,5

80 80 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 50. Az ábra segítségével határozd meg egy tizedesjegy pontossággal a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett f ( x) = x függvény értékeit az alábbi helyek esetén! x f(x) f(0) = f( ) = f(,5) = f(5,7) = f(8,) = Megoldás: x f(x),4,7,4,6,8 f(0) = 0; f( ) = nem értelmezett; f(,5) =,6; f(5,7) =,4; f(8,) =,8. Módszertani megjegyzés: A következő feladatot házi feladatnak javasoljuk. 5. Az előző grafikon alapján olvasd le egy tizedesjegy pontossággal, hogy hol veszi fel az f ( x) = x, R + {0} függvény a táblázatban szereplő függvényértékeket! x f(x) 0, 0,5 0,7,,6,,5,9