Mintapélda. a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) B ODÓ T IBOR Ö SSZEÁLLÍTOTTÁK: BME ÁLTALÁNOS- ÉS F ELSŐ GEODÉZIA T ANSZÉK

Átírás

1 . Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.). Ö SSZEÁLLÍTOTTÁK: B ODÓ T IBOR DR. KRAUTER A NDRÁS BME ÁLTALÁNOS- ÉS F ELSŐ GEODÉZIA T ANSZÉK Budapest 999. szeptember

2 Bevezetés Az adott pontok számozása, a vetület és a koordináták. Az egy-egy tantárgy oktatására fordítható tantervi óraszám lassú, de töretlen csökkenése révén felértékelődtek az otthon, egyéni tanulás árán megoldandó feladatok és általában az ismeret-átadás valamennyi, az előadásoktól és a laboratóriumi műszergyakorlatoktól vagy közös számítási gyakorlatoktól eltérő formája. Ez a felismerés vezetett bennünket is egyrészt, amikor a Geodézia II. gyakorlati foglalkozásainak jelentős részét igénybe vevő ún. komplex pontkapcsolási feladatot házi feladattá alakítottuk át, másrészt amikor a házi feladat önálló megoldását megkönnyítő jelen oktatási segédanyagot összeállítottuk. A Mintapélda több mint egyszerű mintapélda. Azzal a szándékkal állítottuk össze, hogy segítségével a hallgatók önállóan képesek legyenek megoldani a házi feladattá előlépett összetett pontkapcsolási feladatot. Igyekeztünk összefoglalni a feladatok megoldásának elvi alapjait is. Ezek az ismeretek egyebek között a nyomtatott jegyzetben is megtalálhatók, itteni szerepeltetésük azonban szükségtelenné teszi bármely más írásos segédanyag igénybe vételét a feladatok megoldásához. A mintapélda és a házi feladatok adott pontjainak számozása egyedi és nem felel meg az állami földmérés gyakorlatának. Az is szokatlan, hogy a feladatokban a vetület ismerete nélkül kell vetületi sík-koordinátákkal számolni. Az ebből fakadó hiányérzetet enyhíti egy-egy rövid összeállítás az adott pontok állami földmérés előírásai szerinti azonosító számozásáról, ill. a vetület típusáról és a vetületi koordináta-rendszerről. Reméljük, hogy az oktatási segédanyag nevének megfelelően segítséget jelent a házi feladat megoldásában. Egyúttal arra kérjük a hallgatókat, hogy az anyaggal kapcsolatos észrevételeiket (különösen a felfedezett hibákra vonatkozóan) juttassák el az összeállítókhoz. Előre is köszönjük. Az adott pontok számozása A felhasznált (adott, ismert) pontok számozásában lényeges eltérés van a mintapélda és a házi feladat, valamint az állami földmérés előírásai között. Ez jórészt kényelmi szempontból van így: sokkal egyszerűbb egy-egy betűvel jelölni az adott pontokat, mint egy-egy számjegy- -csoporttal, amelyek ráadásul hasonlítanak is egymásra, így könnyűszerrel összecserélhetők. A kényelmi szemponton kívül azonban más is szól amellett, hogy nem követtük az állami földmérés pontszámozását. Az állami vízszintes alappontok azonosító száma a térképi hely (a vízszintes koordináták) függvénye. Minthogy az adott pontok koordinátái az egyes házi feladatokban különbözőek, ugyanannak az adott pontnak (pl. a sokszögvonal kezdőpontjának) az állami földmérés előírásai szerinti azonosító száma feladatonként más és más lenne, ami meglehetősen kényelmetlen.

3 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) Az alábbiakban röviden ismertetjük a pontszámozás állami földmérésben alkalmazott módját. Az egységes országos vízszintes alapponthálózat (EOVA) tetszőleges pontjának azonosítója egy, a pont rendűségétől független és egy, a rendűségtől függő részből áll. A rendűségtől független összetevő előállításához meg kell állapítani, hogy az alappont (vetületi képe) az egységes országos térképrendszer (EOTR) melyik : méretarányú térképén található. A rendűségtől független összetevő ennek a térképlapnak az azonosítóját (is) tartalmazza. Ismeretes, hogy a EOTR : méretarányú térképei olyan téglalap alakú területeket ábrázolnak, amelyek y irányú határvonalai egymástól 3 km, x irányú határvonalai pedig egymástól 48 km távolságban haladó egyenesek, ún. szelvényhálózati vonalak. Egy-egy térképlap az y tengellyel párhuzamos sorok és az x tengellyel párhuzamos oszlopok számozása szerint azonosítható. A sorok számozása délről észak felé 0-tól 0-ig, az oszlopok számozása nyugatról kelet felé 0-tól -ig tart. Az : méretarányú térképlap azonosító számának első (az ország legészakibb részén az első két) számjegye a sor száma, az ezt követő egy (az ország legkeletibb részén két) számjegy az oszlop száma. Az azonosító legfeljebb háromjegyű, mert a 0-es sor és a 0-es, valamint a -es oszlop közös területe (ahol négyjegyű lenne az azonosító) az ország területén kívül esik. Tájékoztatásul megemlítjük, hogy Budapest a 65-ös (6-os sor, 5-ös oszlop) térképlapon található. Az is ismeretes, hogy az egységes országos vetület (EOV) észak-keleti tájolású koordinátarendszerét a kezdőponttól nyugat felé 650 km-rel, dél felé pedig 00 km-rel áthelyezték. Ezzel elérték egyrészt, hogy mind az Y, mind az X eltolt koordináta az ország területének minden pontjában pozitív, másrészt, hogy X kisebb, Y pedig nagyobb 400 km-nél, így kisebb a koordináták felcserélésének veszélye. Az ismert Y és X koordinátájú alappontot ábrázoló : méretarányú térképlap azonosítójának megállapítását megnehezíti, hogy az eredeti y és x koordináta-tengelyek egyike sem esik egybe az : méretarányú térképek valamelyik szelvényhálózati vonalával.a szelvényhálózati vonalak és a koordináta-tengelyek relatív helyzete a B. ábrán látható. 48 +x 6 X = 4 65 B. ábra. Az EOV koordinátatengelyeinek és az EOTR : méretarányú térképlapjai szelvényhálózati vonalainak relatív helyzete (a méretek kilométerben) 54 x = 0 X = 00 X = 9 Y = y = 0 Y = 650 Y = y

4 Hiba! A stílus nem létezik. 960 Y [km] Miskolc Salgótarján Nyíregyháza Eger 8 7 Sopron Győr Debrecen X [km] Tatabánya BUDAPEST Szolnok Szombathely Székesfehérvár Veszprém Kecskemét Zalaegerszeg Békéscsaba Kaposvár Nagykanizsa Szeged Szekszárd Pécs B. ábra. Az EOTR : méretarányú térképlapjainak számozása a szelvényhálózati vonalak km-es koordinátáival 3

5 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) A B. ábra alapján táblázat készíthető arról, hogy az egyes térképlapoknak melyek az X, ill. Y intervallum-határai. A kérdéses alappont koordinátáit ezekkel a határokkal összehasonlítva könnyen megtaláljuk a megfelelő : méretarányú térképlap azonosítóját. Egyszerűbb azonban egy kellően részletes (a B. ábránál részletesebb) térképet használni, amelyen a szelvényhálózati vonalak kilométeres koordinátái fel vannak tüntetve. Az ismert alappont azonosítójának rendűségtől független összetevője azonban nem az :00 000, hanem az : méretarányú térképlap azonosítója. Ehhez úgy jutunk, hogy a már megtalált azonosítóhoz kötöjellel egy -est kapcsolunk, ha a pont az : méretarányú térképlap északnyugati negyedében van, -est, ha az északkeleti negyedben, 3-ast ha a délnyugati, és 4-est, ha a délkeleti negyedben van. Minthogy az : méretarányú térképlapok keretméretei az : méretarányú térképlap keretméreteinek felezésével adódnak, az intervallum-határok az : méreterányú térképlapokra is egyszerűen megállapíthatók. A vízszintes alaphálózati pont azonosítójának másik, a pont rendűségétől függő összetevője a rendűségtől független összetevőhöz kapcsolódik azzal egybeírva az alábbiak szerint: ha a pont elsőrendű alappont, az összetevő egy 00 és 009 közötti számcsoport másod- v. harmadrendű alappont, az összetevő egy 0 és 049 közötti számcsoport negyedrendű főpont, az összetevő egy 05 és 099 közötti számcsoport. A negyedrendű főpontokat (nevezik kitöltőhálózati vagy K-pontoknak is) a kitöltőhálózat harmadrendű háromszögeinek súlypontja közelében létesítették, és a kitöltőhálózat szögmérésekor ezekre a pontokra ill. ezekről a pontokról is mértek. Ha a pont egyszerű negyedrendű pont, akkor az összetevő számcsoport attól függ, hogy a pont melyik :5 000 méretarányú térképlapon található (az :5 000 méretarányú térképlapok ugyanúgy osztják négy részre az : méretarányú térképlapot, ahogy az utóbbiak az : méretarányú térképlapot). Ha a pont az jelű lapon van, akkor a számcsoport 0-99, ha ez kevés, közötti a jelű lapon van, akkor a számcsoport 0-99, ha ez kevés, közötti a 3 jelű lapon van, akkor a számcsoport , ha ez kevés, közötti a 4 jelű lapon van, akkor a számcsoport , ha ez kevés, közötti. Az azonos rendűségű pontok között a sorszám az X koordináták csökkenésével (tehát északról dél felé) növekszik, egyforma X koordináták esetén Y növekedésével (tehát nyugatról kelet felé) növekszik. Néhány példa: másod- vagy harmadrendű alappont a 65 jelű : méretarányú térképlapon; negyedrendű alappont a 8 43 jelű :5 000 méretarányú térképlapon (az ország keleti szélén); elsőrendű alappont a 08 3 jelű : méretarányú térképlapon (az ország északi szélén); 4

6 Hiba! A stílus nem létezik negyedrendű alappont a 04 jelű :5 000 méretarányú térképlapon (az ország déli szélén; a második -es helyén az 5-ös arra utal, hogy az -gyel kezdődő háromjegyű számok elfogytak). Megemlítjük még, hogy a felsőredű pontoknak azonosító számuk mellett nevük is van: pl (Szőlőhegy); ez a pont egyébként a magyarországi ún. felületi asztrogeodéziai hálózat (FAGH) kiindulópontja. A vetület típusa és a vetületi koordináta-rendszer A mintapéldában nincs megnevezve a vetület, holott a koordináta-jegyzéken kötelező lenne azt feltüntetni (a magassági alapszinttel együtt). A feladatlapon a vetületi redukció km távolságra vonatkozó értéke mindenki számára egyforma, holott a vetületi redukció amellett, hogy a vetület típusától függ, a hely (a koordináták) függvénye is; a különböző feladatkiírásokban szereplő munkaterületeken tehát nem (vagy csak kivételesen) lehetne egyforma. Az egységes vetületi redukció megadásával kényelmetlen számításoktól szeretnénk megkímélni a hallgatókat (és persze az ellenőrzés is gyorsabb ebben az esetben). Tájékoztatásul röviden ismertetjük az egyébként követendő eljárást:. Kiválasztjuk a munkaterületet határoló alappontokat: a mintapéldában K és V, a házi feladatban A, B és C. Minthogy a pontok közötti távolság 5 kmnél nem nagyobb, a munkaterületen a hossztorzulási tényező értéke a határoló pontokra kiszámítható lineármodulusok középértéke lesz.. Szakkönyvből kikeressük a lineármodulus számítási képletét az adott vetületre vonatkozóan. A lineármodulus a hely függvénye: sztereografikus vetületen a pont és a vetületi kezdőpont távolságától függ, érintő hengervetületen az x koordináta abszolút értékétől, metsző hengervetületen az m 0 vetületi méretarány-tényezőtől és x abszolút értékétől (a két hengervetület képletében x páros kitevőjű hatványai szerepelnek). 3. A képlet segítségével kiszámítjuk a lineármodulus értékét a munkaterületet határoló alappontokban; az m hossztorzulási tényező a lineármodulusok középértéke lesz. Ügyeljünk arra, hogy ha az egységes országos vetületen (EOV) dolgozunk, akkor a lineármodulusok értékének kiszámításához az eredeti (eltolás előtti) x koordinátákat kell a képletbe helyettesíteni: x = X m. 4. Az m hossztorzulási tényező az egységhez közeli értékű viszonyszám, amellyel az alapfelületi távolságot megszorozva a vetületi távolságot kapjuk. Ha valami okból (pl. az alapfelületi és a vetületi redukció összevonása miatt) ki akarjuk számítani a vetületi redukció km távolságra jutó értékét, akkor vet. red. [ mm/km] = ( m ) 0. A mintapélda esetében 6 m = 0, és vet. red. = 6 mm/km. A mintapéldában a negatív előjelű vetületi redukció azt mutatja, hogy a (közelebbről meg nem nevezett) vetület süllyesztett képfelületű ún. redukált vetület: ilyen az EOV is. Ami az adott pontok koordinátáit illeti, a mintapélda alappontjainak koordinátái akár eltolás előtti x, y EOV koordinátáknak is tekinthetők, megjegyezve, hogy az alappontok adattárban őrzött törzslapján csak az eltolás utáni X, Y koordináták szerepelhetnek: Y = y m; 5

7 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) X = x m. Az eltolás előtti x koordinátákból itélve a pontrendszer közel van a segédegyenlítőhöz (a távolság 8-9 km), ez nagyjából összhangban van a vetületi redukció 6 mm/km értékével (a hosszrövidülés a segédegyenlítőn a legnagyobb: 70 mm/km). A házi feladatban az ismert pontok koordinátái EOV-jellegűek, de a feladatonként változó helyzetű pontrendszer koordinátái nincsenek összhangban a vetületi redukció valamennyi feladatban állandó értékével. A mintapélda és a házi feladat eltéréseként meg kell említsük, hogy a házi feladat három része ugyanazon a munkaterületen oldandó meg, míg a mintapélda esetében csak a. és a 3. feladat munkaterülete kapcsolódik egymáshoz, az. feladat független a másik kettőtől. 6

8 . feladat Alappontsűrítés sokszögeléssel, magassági vonal számítása, poláris pontmeghatározás. Az adott pontok felhasználásával, valamint a mellékelt mérési jegyzőkönyvek segítségével határozzuk meg: a K és V ismert pontok között vezetett és mindkét végpontján tájékozott (K kezdőpontjában magasponthoz csatlakozó) sokszögvonal és pontjának vízszintes koordinátáit; ugyanezen sokszögvonal ugyanezen pontjainak vízszintes koordinátáit, ha a vonal csak a V pontján tájékozott; ugyanezen sokszögvonal ugyanezen pontjainak koordinátáit, ha a vonal egyik végpontján sem tájékozott; a sokszögpontok magasságát a sokszögvonalnak megfelelően vezetett M V magassági vonalból; a sokszögpontból poláris pontként meghatározott és pontok vízszintes koordinátáit és magasságát. Tudnivalók a megoldáshoz:. A vetületi távolságok kiszámításához az alapfelületi redukció képletében elegendő a munkaterület átlagos tengerszint feletti magassága (méterre kerekített) értékével számolni: km. g H tv, ahol az R átlagos Földsugár értéke R = átl a vetületi redukció átlagos értéke a munkaterületen km távolságra 6 mm.. A magasságkülönbségek kiszámításakor a Földgörbület és a refrakció együttes hatása (méterben) : + 0,068 ( t [ km] ) v ; 0,4 km-nél rövidebb távolságokra a hatás cm-nél kisebb, ezért nem szokás kiszámítani. 3. Az ötödrendű magassági vonal záróhibájának megengedett értéke Σt eng = 6, ahol Σt a vonal hossza kilométerben, n az oldalak száma. n A megengedettnél nem nagyobb záróhibát az oldalhosszak négyzetével arányosan kell elosztani. 4. A mindkét végpontján csatlakozó és mindkét végpontján tájékozott ötödrendű sokszögvonal szögzáróhibájának megengedett értéke szögmásodpercben dβ eng = 8 + n, ahol n a törésszögek száma. A megengedettnél nem nagyobb szögzáróhibát a törésszögekre egyenlően kell elosztani. 7

9 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) 5. A mindkét végpontján csatlakozó és mindkét végpontján tájékozott ötödrendű sokszögvonal koordináta-záróhibákból számított lineáris záróhibájának megengedett értéke centiméterben deng = 0 + 0Σt, ahol Σt a sokszögvonal hossza kilométerben. A csak a kezdőpontján tájékozott sokszögvonal megengedett lineáris záróhibája ezen érték,-szerese, míg a tájékozás nélküli (beillesztett) sokszögvonal záróhibája ha a hosszváltozást az m méretarányszorzóval nem vesszük figyelembe a képletből kiszámítható érték 0,8-szerese. A feladat megoldása A koordináta-jegyzék meghatározott pontok részében helyet biztosítunk az, a, a és a pontok vízszintes koordinátáinak és magasságának. Koordináta-jegyzék a pont Y [m] X [m] M [m] neve/száma megjelölése Felhasznált alappontok K torony 34, , V kő 3 9, ,0 47,57 A torony 7, ,76 B torony 430, ,83 M falicsap 95,43 Meghatározott pontok kő 053, ,56,64 kő 60, ,84 7,75 kő 399, ,09,46 kő 703, ,6 6,40 Megjegyzés: a M falicsap ugyanannak a templomnak a bejárata mellett van, amelynek tornya a K pont A szögmérési jegyzőkönyvben kiszámítjuk az irányértékeket (elvileg úgy, hogy a két távcsőállásban kapott vízszintes körleolvasások átlagát 90 -kal megváltoztatjuk, gyakorlatilag úgy, hogy az I. távcsőállásban kapott fok-értékhez hozzáadjuk a perc- és a másodperc-értékek számtani közepét) és a zenitszögeket (kiírjuk a két távcsőállásban kapott magassági körleolvasások összegét, majd megfelezzük a 360 mínusz összeg eltérést, végül az eltérés felét előjelhelyesen összevonjuk az I. távcsőállásban kapott magassági körleolvasással). Ugyanebben a jegyzőkönyben redukáljuk a ferde távolságokat a vízszintesre, rendre megszorozva azokat a megfelelő zenitszög színuszával. Ezután következik a vetületi távolságok kiszámítása. Kiszámítjuk a munkaterület átlagos tengerszint feletti magasságát (az M és a V pontok magasságának átlaga kb. méter), az km távolságra eső átlagos redukciót az alapfelületre: g H tv, ahol R = km; t v =km; R = átl 8

10 Hiba! A stílus nem létezik. a redukció értéke 9 mm. A vetületi redukció átlagos értéke a munkaterületen 6 mm/km, így a redukciók összege Σred = 8 mm/km Szögmérési és távmérési jegyzőkönyv á.p. h Ir. p. H vízszintes I. körleolv. II. irányérték magassági I. körleolv. II. zenitszög z ferde távolság vízszintes S,48,44 V,45, K A K S , ( ) , ( ) , ( ) V , ( ) , ( ) , ( ) A , ( ) B M , ( ) 045,90 045, ,80 765, ,67 680,33 34,678 34,608,0,00 89,08 890,95 A következő lépés a magasságkülönbségek kiszámítása. A táblázatban szereplő adatok közül az ismertek a szögmérési jegyzőkönyvből származnak; a Földgörbület és a refrakció együttes t v hatása ( k ) R, ahol R = km a közepes Földsugár, k = 0,3 a refrakció-együttható szokásos értéke, így a hatás méterben 0,068 ( t [ km] ) v nem számítjuk az értékét. A magasságkülönbség: m h H + t cot z + 0,068 ( t [ km] ) + ; 0,4 km-nél rövidebb távolságokra =. v v 9

11 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) Vetületi távolságok ponttól pontig vízsz. táv. [m] Σred. [mm] vetületi táv. [m] M 890, ,853 S 045, , , ,595 V 680, ,76 34, ,589,00 7 0,993 Magasságkülönbségek Álláspont Irányz. pont h [m] H [m] vízsz. táv. t v [m] zenitszög z 0,068 t [m] mag. kül. m [m] M,48,00 890, ,05 7,4,48,44 765, ,04 +4,97,44,48 765, ,04 5,4 V,44,45 680, ,75 V,45,44 680, ,03 9,8,44,00 34, ,9,44,00, ,35 Ezután összeállítjuk a magassági vonalat. Az M V számítási irány felvétele után oda magasságkülönbségek lesznek mindazok, amelyek a számítás irányába esnek, vissza magasságkülönbségek lesznek a számítás irányával ellentétesek. A közép magasságkülönbség számítása előtt a vissza magasságkülönbségek előjelét meg kell változtatni; ha oda magasságkülönbség is van, a közép a két érték átlaga lesz. Magassági vonal pont M V magasságkülönbség m [m] oda vissza közép javítás [m] vízsz. táv. t v mag. M [km] (t v) (mag. kül m) [m] 95,43 7,4 +7,4 +0,07 0,89 0,79 (+7,),64 +4,97 5,4 +5,06 +0,05 0,77 0,59 (+5,) 7,75 +9,75 9,8 +9,78 +0,04 0,68 0,46 (+9,8) +5,98 +0,6,34,84 47,57 V M = +5,4 = +0,6 = 6 cm < eng = cm 0

12 Hiba! A stílus nem létezik. Σt A záróhiba megengedett értéke a eng = 6 képlettel számítandó, ahol Σt a vonal hossza n kilométerben, n az oldalak száma. A megengedettnél nem nagyobb záróhibát az oldalhosszak négyzetének arányában kell elosztani. A sokszögpont magasságának ismeretében kiszámíthatjuk a és a pontok magasságát is. Az eredményeket beírjuk a koordináta-jegyzék megfelelő helyére. és magassága ponttól pontig mag. kül. m [m] magasság M [m] 7,75 6,9,46 7,75,35 6,40 A későbbiekben egy-egy irányszögre vagy távolságra többször is szükségünk lehet, ezért érdemes az irányszög- és távolságszámítások eredményét külön jegyzőkönyvben rögzíteni. Irányszögek és távolságok pontról pontra távolság [m] irányszög K A 345, V A 453, V B 66, , V 680, K V 305, Ezután következik a csatlakozás a magasponthoz. A sokszögvonal K kezdőpontja ún. magaspont: torony. A szögmérési jegyzőkönyvből látható, hogy a kezdőponttal szomszédos sokszögpontból mérhető az A ismert pontra mutató irány. A magasponthoz való csatlakozáshoz szükséges a t K távolság és a β K kezdőponti törésszög. A távolság (az első sokszögoldal hossza) az S segédpont felvétele után a KS háromszög megoldásával határozható meg. A háromszögben meg kell mérni a t S távolságot továbbá a két földi ponton keletkezett KS és SK szögeket; a távolságot redukálni kell a vetület síkjára. Egyetlen tájékozó irány esetében és a kezdőponti törésszög szokásos értelmezése szerint (a törésszög baloldali szára párhuzamos a +x tengellyel) a törésszöget a KA háromszög megoldása után irányszögátvitellel számíthatjuk ki. A háromszögben ismert két oldal hossza (a korábban már kiszámított K ság és az irányszög- és távolságszámításból adódó t KA távolság), valamint a nagyobbikkal t távol- szemközti η szög, színusztétellel kiszámítható tehát a másik ismert oldallal szemközti ε szög, majd a háromszög harmadik szöge, a K csúcspontú ξ szög. Ennek a szögnek az egyik (nem

13 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) feltétlenül a jobboldali!) szára a KA irány, amelynek irányszögét a t KA távolsággal együtt már kiszámítottuk. A ξ szög másik szára az a K irány, amely egyúttal a kezdőponti törésszög jobboldali szára. A kezdőponti törésszög szokásos értelmezése szerint a β K törésszög egyúttal a K első sokszögoldal δ K tájékozott irányértéke, amely a δ KA irányszög és a KA háromszög K csúcsánál lévő ξ szög ismeretében irányszögátvitellel kiszámítható. Készítsünk ábrát! A számításokat megkönnyíti a magasponthoz való csatlakozásról készített vázlat. Ne törekedjünk arra, hogy a vázlaton a +x tengellyel párhuzamos egyenes a lap hoszszanti élével párhuzamosan felfelé mutasson. Érjük be annyival, hogy a szögeket és a távolságokat nagyjából arányosan feltüntető vázlaton be tudjuk jelölni a +x tengely irányát. A sokszögvonalról később készítendő vázlaton azután a magasponthoz csatlakozás ábráját el tudjuk forgatni a szükséges mértékben addig, ameddig a +x tengely iránya szokásos helyzetébe nem kerül. Mielőtt hozzáfognánk a vázlat elkészítéséhez, számítsunk ki néhány szöget és távolságot. Vegyük szemügyre a szögmérési jegyzőkönyvet. Amíg nincs előttünk az ábra, nem tudhatjuk, hogy melyik az éppen keresett szög jobboldali szára (a szögek kiszámításakor a jobboldali szögszár irányértékéből kell a baloldali szögszár irányértékét levonni). Azt azonban tudjuk, hogy ha a keresett szög egy háromszög belső szöge, akkor legfeljebb tompaszög lehet, a kivonás eredménye tehát minden esetben 80 -nál kisebb szög kell legyen. (Ha valamelyik kivonás negatív eredményt adna, a kisebbítendőhöz 360 -ot hozzá kell adni.) A keresett szögek és távolságok: SK szög S = KS szög SK = K = S = A két szög összege (amelynek színusza egyenlő a harmadik szög színuszával): A keresett t K távolság (az első sokszögoldal hossza): t K ( ) ( ) sin = 045,745 = 890,90 m sin A KA háromszögben irányszög- és távolságszámításból: t KA 345,67 m; δ = = KA A KA szög = η K = A = ,9 345,67 A keresett ε szög színusztételből: ε = arcsin sin( 6 5 3) = A háromszög harmadik szöge: = 80 ( η + ε ) = 43 4 ξ. A KS háromszög megoldása után hozzákezdhetünk a vázlat elkészítéséhez. Vegyük fel önkényesen vízszintes irányúnak a K szakaszt úgy, hogy a K magaspont a szakasz baloldali végpontja legyen. Az SK szögnek K a baloldali szára, az S irányt tehát úgy kapjuk, hogy az pontban az K iránnyal kb. 30 -os szöget bezáró félegyenest rajzolunk. A két szög össze-

14 Hiba! A stílus nem létezik. géből látjuk, hogy a háromszög harmadik szöge, amelynek csúcspontja a K pont, valamivel nagyobb 90 -nál (kb. 9,5 ; a háromszög kialakításánál törekedni kell a közel merőleges metsződésre), így ezt a félegyenest is megrajzolhatjuk. A két félegyenes metszéspontja lesz az S pont. A KA háromszög megrajzolásakor vegyük figyelembe, hogy az A félegyenes az pontban lévő kb. 7 -os szög baloldali szára, amely tehát megrajzolható. A K pontból kiinduló KA félegyenes a K pontban lévő kb. 43,5 -os szög jobboldali szára, amely szintén megrajzolható. Ha a rajzunk arányhelyes, a két félegyenes A metszéspontja (nem kell megkeresni!) kb. két és félszer akkora távolságra lesz a K ponttól, mint az pont (a korábbi számítások eredményeiből adódik, hogy a megfelelő oldalak aránya, illetve a megfelelő szögek színuszainak aránya,64). Most már megkereshetjük a K pontban a +x tengellyel párhuzamos egyenes irányát. A legegyszerűbb, ha abból indulunk ki, hogy a δ KA irányszög kb. 336,5, a +x tengellyel párhuzamos egyenes irányszöge pedig 0. A KA baloldali szögszárhoz képest a +x tengellyel párhuzamos egyenes tehát egy kb. 3,5 -os szög jobboldali szára. Végül számítsuk ki az első sokszögoldal δ K tájékozott irányértékét. Az irányszögátvitel sze- δ = δ ξ = = β rint K KA ( ) ( ) K Ellenőrzésül nézzük meg, hogy a vázlaton először megrajzolt K egyenes, mint jobboldali szögszár valóban kb. 93 -os szöget zár-e be a vázlaton utoljára megrajzolt és a +x tengellyel párhuzamos egyenessel (. ábra). A következő lépés a törésszögek kiszámítása. A számítás módja a szögmérési jegyzőkönyvből értelemszerűen adódik, mihelyt felvettük a számítás irányát. Legyen a számítás iránya a magassági vonal számításával egyezően K V, ekkor az pontbeli törésszögnek a jobboldali, K pedig a baloldali szára: = K = = 00 β ( ) ( ) 34 a pontbeli törésszögnek V a jobboldali, pedig a baloldali szára: = V = = β ( ) ( ) 48 A végponti törésszög szokásos értelmezése szerint a törésszög jobboldali szára a +x tengelylyel párhuzamos félegyenes, baloldali szára pedig az utolsó sokszögoldal V félegyenese. Más szavakkal: a végponti törésszög az utolsó sokszögoldal δ V tájékozott irányértékét 360 -ra kiegészítő szög: β V = 360 δ V. A δ V tájékozott irányérték kiszámításához a V végponton mért iránysorozatot tájékozni kell. Ehhez ki kell számítani a V pontból az A és B ismert pontokra mutató irányok irányszögét és a távolságokat. A két ismert pontra a megfelelő irányszögek és irányértékek különbségeként egy-egy tájékozási szöget számítunk. A két tájékozási szög távolság szerint súlyozott számtani középértéke lesz az ún. középtájékozási szög, amelyet az ismeretlen pontra vonatkozó irányértékhez hozzáadva megkapjuk a keresett δ V tájékozott irányértéket. Ezt az értéket 360 -ra ki kell egészíteni ahhoz, hogy megkaphassuk a sokszögvonal β V végponti törésszögét. 3

15 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) S 045,745 m β K d K ~ 9,5 ~ 30 K ξ ~ 43,5 t K η ~ 7 ~ 3,5 t KA. ábra. Csatlakozás a magasponthoz (vázlat) II +x A ε A A V végponton mért iránysorozat tájékozása (irányszögek és távolságok a megfelelő jegyzőkönyvből) álláspont ir. pont irányérték irányszög v. (tájék. ir. ért.) tájékozási v. (középtájék.) szög V A , (4 9 3) (8 36 9) táv. [km] B ,6 V A tájékozás végeredménye: δ V = 4 9 3, így β = A számítás a sokszögpontok koordinátáinak kiszámításával folytatódik. A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal pontjai koordinátáinak kiszámítása előtt nem árt, ha vázlatot készítünk a sokszögvonalról. Megegyezés szerint a +x tengely irányát a lap hosszanti élével párhuzamosnak tekintjük. A két sokszögponton mért törésszög kb. 00 ill. 60, tehát a vonal nyújtottnak tekinthető, így irányát az első sokszögoldal tájékozott irányértéke (a kezdőpontbeli törésszög) nagyjából meghatározza. Ez a szög kb. 93, ami azt jelenti, hogy a K kezdőpontot a lap jobboldalán kell felvenni, mert a vonal jobbról balra halad. Az oldalhosszak és a törésszögek arányos felvételével eljuthatunk a V végpontig, ahol ellenőrizhetjük a β V végponti törésszöget. Ezután a vonalat kiegészíthetjük a tájékozó irányokkal és a magasponthoz való csatlakozás kellően elforgatott ábrájával is (. ábra). 4

16 Hiba! A stílus nem létezik. II +x A A V tv ~ 680 m β V = 360 δ V ~ 45 β ~ 60 t ~ 760 m II +x tk ~ 890 m B β ~ 00 K S β K = δ K ~ 93. ábra. A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal vázlata A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal számításakor egy szögfeltétel és két koordináta-feltétel írható fel. A szögfeltétel szerint a törésszögek összege egy (n + ) szög belső vagy külső szögeinek összege (esetünkben külső szögeké), de ennek nincs különösebb jelentősége, mert a szögfeltételt úgy is átfogalmazhatjuk, hogy a törésszögek összege 80 egész számú többszöröse kell legyen. Az alappontok kerethibája és a szögmérés hibái miatt a szögfeltétel nem teljesül maradéktalanul: a sokszögvonalnak szögzáróhibája van, amelynek megengedett értéke szögmásodpercben (8 + n), ahol n a törésszögek száma. A megengedett értéket meg nem haladó szögzáróhibát a törésszögekre egyenlően kell elosztani. A számítást célszerű táblázatban végezni, amelynek első oszlopába beírjuk a számítás iránya szerint a sokszögvonal pontjait, utolsó két oszlopának megfelelő helyére pedig a K kezdőpont és a V végpont koordinátáit. Ezután a táblázat megfelelő oszlopában a megfelelő helyre bemásoljuk a törésszögeket. A kitöltött táblázatból látható, hogy a kezdőponti törésszög a kezdőpont utáni sorba kerül, mert ez a törésszög határozza meg a következő sokszögoldal (a törésszög jobboldali szára) tájékozott irányértékét, amelytől a következő sokszögpont koordinátája függ. A törésszögek beírása után a következő törésszög-helyre beírjuk a törésszögek összegét, alatta beírjuk az összeg kell értékét (a 80 megfelelő egész számú többszörösét), alatta kiszámítjuk a dβ szögzáróhibát (kell mínusz van) és feltüntetjük a szögzáróhiba megengedett értékét. A szögzáróhibát valamennyi törésszögre egyenlően osztjuk el. Ha a szögzáróhiba számértéke nem egész számú többszöröse a törésszögek számának, akkor a hányados le- és felkerekítésével úgy számítjuk ki az egyes törésszögek javítását, hogy azok összege egyenlő legyen a szögzáróhibával. A javításokat előjelükkel együtt a törésszögek másodperc-értéke fölé írjuk. A szögzáróhiba helyes kiszámítását és elosztását úgy ellenőrizhetnénk, hogy összeadjuk a javított törésszögeket: az összeg a 80 egész számú többszöröse kell legyen. Helyette a számítás következő lépését használjuk ellenőrzésül. Képzeljük el a sokszögvonalat, mint vektorsokszöget egymáshoz illeszkedő végpontokkal; a nyílhegyek a számítás irányába mutatnak. A vektorsokszög első vektora az x tengellyel párhuzamos és a K kezdőpontra mutat: ez a x tengellyel párhuzamos irány, amelynek irányszöge 80, ezt az értéket tájékozott irányértékként 5

17 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) beírjuk a K pont sorába. A vektorsokszög utolsó vektora az x tengellyel párhuzamos, és a V végpontból mutat felfelé : ez a +x tengellyel párhuzamos irány, amelynek irányszöge 0 ; ezt az értéket kell kapjuk utolsó tájékozott irányértékként. A vektorsokszög bármelyik elemét az azt megelőzőből a következőképpen állíthatjuk elő: a megelőző vektor irányát ellenkezőjére változtatjuk (azaz ún. irányszögátvitellel a sokszögoldal tájékozott irányértékét 80 -kal megváltoztatjuk), majd az új értékhez hozzáadjuk a két vektor csatlakozási pontjában (a megfelelő sokszögpontban) megmért és a szögzáróhiba arányos részével megjavított törésszöget. Ily módon az első (80 -os) tájékozott irányértékből n darab irányszögátvitel végrehajtása és n darab törésszög hozzáadása után utolsó tájékozott irányértékként pontosan zérust kell kapjunk. Számítás közben az egyes tájékozott irányértékeket beírjuk a jegyzőkönyv megfelelő helyére. A vetületi távolságokat úgy írjuk be, hogy azok egy sorba kerüljenek a megfelelő sokszögoldal tájékozott irányértékével. Ezzel minden készen áll a két koordináta-feltétel felírásához. A két koordináta-feltétel szerint hibátlan mérés és kerethibától mentes alappontok esetében a sokszögoldalak koordinátatengely-irányú vetületének összege meg kell egyezzen a kezdő- és a végpont megfelelő koordinátáinak különbségével, azaz Σ y = y V yk és Σ x = x V xk. Az egyes oldalvetületeket az ellenőrzött tájékozott irányértékekből és a vetületi távolságokból számítjuk ki (érdemes a poláris derékszögű koordináta-átszámítás fix programját használni). A jegyzőkönyv utolsó két oszlopának alján kiszámítjuk a végpont mínusz kezdőpont koordináta-különbségeket, majd összeadjuk a y valamint a x oldalvetületeket. A mérési hibák és a kerethiba miatt a koordináta-feltételek nem teljesülnek, két koordináta- dy = y y Σ és dx = ( x x ) Σ x záróhibá- záróhiba keletkezik. Kiszámítjuk a ( ) y kat, majd a d dy + dx ahol Σt a sokszögvonal hossza kilométerben. V K = lineáris záróhibát, (megengedett értéke d [ cm] = 0 + 0Σt V K eng ), A megengedettnél nem nagyobb lineáris záróhiba összetevőit a sokszögoldalak hosszának arányában osztjuk el az egyes oldalvetületekre. A javításokat úgy kell kerekíteni, hogy azok összege a megfelelő koordináta-záróhiba pontos értékét adja ki, ezt érdemes ellenőriznünk. Ezután az oldalvetület és javítása előjeles összegeként kiszámítjuk és a jegyzőkönyv megfelelő helyére beírjuk a javított oldalvetületeket. A sokszögpontok koordinátáit a javított oldalvetületekkel a kezdőponttól a végpont felé haladva folyamatos összegzéssel számítjuk ki. Ellenőrzésül a V végpont koordinátáit is kiszámítjuk; ezek pontosan meg kell egyezzenek a végpont ismert koordinátáival. Megjegyezzük még, hogy a kerekítési hibák csökkentése érdekében az oldalvetületeket és a koordinátákat milliméter élességgel számítjuk ki, de a koordináta-jegyzékbe az új pontok koordinátáinak centiméterre kerekített értéke kerül. A sokszögpontok koordinátáinak ismeretében kiszámíthatjuk a sokszögponton poláris pontként meghatározott és pontok vízszintes koordinátáit (a két pont magasságát már kiszámítottuk). Első lépésként tájékoznunk kell a sokszögponton mért iránysorozatot. Ilyen feladatot a V végponton mért iránysorozat tájékozásakor már megoldottunk. 6

18 Hiba! A stílus nem létezik. Kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal: a sokszögpontok koordinátáinak kiszámítása. pont törésszög vetületi javítás javítás javított y javított x távolság tájék. ir. ért y x y x K , , V Σβ ,90 765, ,76 +0,084 0,058 88, ,443 88,7 +349,50 053, ,563 +0,073 0, , ,77 556,97 +55,36 60, ,840 +0,065 0,044 69,89 +80,70 69, ,4 3 9, ,00 ~ 336 m 995,5 + 55,04 995, , ,5 55, dy = +0, dx = 0,5 kell d = 0, + 0,5 = 0,68 m dβ = + 0 < dβ eng = 36 d = 0,68 m < d eng = 0,333 m A ponton mért iránysorozat tájékozása álláspont ir. pont irányérték irányszög v. (tájék. ir. ért.) tájékozási v. (középtájék.) szög táv. [km] ,77 V , (6 4 54) ( ) ( ) ( ) A és pontok koordinátáinak számítási módjával is találkoztunk már a sokszögpontok koordinátáinak kiszámításakor: A tájékozott irányértékeket az iránysorozat tájékozása jegyzőkönyvből, a vetületi távolságokat az azonos című jegyzőkönyvből vettük át. Az oldalvetületek értékét centiméterre kerekítettük. Felhívjuk a figyelmet, hogy a és pont koordinátáinak számítására nincs ellenőrzésünk. Az állami földmérés nem enged meg ilyen pontmeghatározást. A pontok helyét úgy kell(ett volna) megválasztani, hogy azokról legalább egy további alappont (a sokszögponton kívül) látható és irányozható legyen. A koordináták kiszámítása után a két új ponton mért iránysorozatot tájékozni kell, és az irányeltérések minősítik a meghatározás pontosságát. Esetünkben a pontmeghatározás sajátos célú (a pontok nem állami alappontok, iránymérést sem végeztünk az új pontokon, ezért beérhetjük azzal, hogy a számítást egymástól függetlenül kétszer végezzük el. Egyező eredmények esetén a koordinátákat átírjuk a koordináta-jegyzék meghatározott pontok elnevezésű részébe. 7

19 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) A és pontok koordinátáinak kiszámítása pont tájék. ir. ért. vetületi táv. [m] y vagy y x vagy x 60, , ,589 +0,40 03,75 399, ,09 60, , ,993 93,3 89,3 703, ,6 * * * A feladatkiírás szerint a sokszögpontok koordinátáit egy olyan sokszögvonalból is ki kell számítanunk, amely csak a V pontjában tájékozott. Ez egy olyan kétszeresen csatlakozó egyszeresen tájékozott sokszögvonal, amelynek kezdőpontja V, végpontja pedig K. A kezdőpont és a végpont felcserélése miatt ellentétes lesz a számítás iránya, és az új törésszögek a korábbi törésszögek 360 -ra kiegészítői lesznek: a kezdőpontbeli törésszög β V = δ V = a pontbeli törésszög = 360 ( ) = β az pontbeli törésszög = 360 ( 00 34) = β a végponton nincs tájékozás, tehát törésszög sem számítható. A számítás a következőkben tér el a kétszeresen tájékozott sokszögvonal számításának már megismert módjától: a végponton nincs tájékozás, tehát nincs szögfeltétel és szögzáróhiba sem számítható; a lineáris záróhiba megengedett értéke a megfelelő kétszeresen tájékozott sokszögvonalra vonatkozó érték,-szerese. A meghatározott sokszögpontok koordinátáit nem kell kiírni, érdemes azonban összehasonlítani azokat a kétszeresen tájékozott sokszögvonal számításából kapott megfelelő koordinátákkal. Az összehasonlításból kitűnik, hogy a legnagyobb eltérés mindössze mm. 8

20 Hiba! A stílus nem létezik. Kétszeresen csatlakozó és V kezdőpontján tájékozott sokszögvonal: a sokszögpontok koordinátáinak kiszámítása pont törésszög vetületi javítás javítás javított y javított x tájék. ir. ért távolság y x y x V , , ,056 +0, ,85 80,6 680, ,88 80,0 60, , ,063 +0, ,85 55,74 765, ,94 55, , , ,073 +0, ,64 349, ,90 K , ,53 34, ,0 ~ 336 m + 995,49 55, ,300 54, , ,09 dy = 0,9 dx = +0,0 d = 0,79 m < d eng = 0,400 m * * * A feladatkiírás szerint a sokszögpontok koordinátáit egy olyan sokszögvonalból is ki kell számítanunk, amely egyik végpontján sem tájékozott. Az ilyen ún. beillesztett sokszögvonal pontjainak koordinátái többféleképpen is kiszámíthatók. Legyen a számítás iránya az eredeti K V. A beillesztett sokszögvonal K kezdő- és V végpontjának koordinátái ismertek, kiszámíthatjuk tehát a két pont közötti ún. záróoldal δ KV irányszögét és t KV hosszát. Ezután számítsuk ki a vonalat ún. szabad sokszögvonalként. A szabad sokszögvonal neve onnan ered, hogy az első sokszögoldal irányát nem köti semmi, azt szabadon választhatjuk meg. Vegyük fel önkényesen az első sokszögoldal irányát a +x tengellyel párhuzamosan, az első sokszögoldal tájékozott irányértéke tehát A törésszögek ismeretében a további sokszögoldalak tájékozott irányértéke az ismert módon kiszámítható, és kiszámíthatók az oldalvetületek is, amelyeket előjelhelyesen a K kezdőpont ismert koordinátáihoz adva megkapjuk a (V) előzetes végpont koordinátáit. Az () és () előzetes sokszögpontok koordinátáira nincs szükségünk. A (V) előzetes végpont koordinátáinak ismeretében kiszámíthatjuk a (V) előzetes végpontra vonatkozó záróoldal δ K ( V ) irányszögét és t K ( V ) hosszát is. Hasonlítsuk össze a két értékpárt: a (V) előzetes végpontra vonatkozóan: δ K ( V ) = ; tk ( V ) = 305,695 m a V végleges végpontra vonatkozóan: δ KV ; t = 305,47 m = KV 9

21 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) Beillesztett sokszögvonal: a (V) előzetes végpont koordinátáinak kiszámítása pont törésszög vetületi y x tájék. ir. ért távolság y x K 34, , ,90 890,90 () , ,46 765,595 () , ,5 680,76 (V) 955, ,897 Az előzetes végleges átszámításhoz valamennyi tájékozott irányértéket ϕ szöggel meg kell változtatni, ahol ϕ = δ KV δ K ( V ) = , és valamennyi oldal hosszát m-szeresére kell tkv változtatni, ahol m = = 0, tk ( V ) Megjegyezzük, hogy m ~ értéke azt jelzi, hogy az oldalhosszak meghatározásában nem követtünk el nagyobb hibát. Ugyanakkor ϕ értéke nem mutatja meg a szögmérésben esetleg elkövetett durva hibát (ezért kell a beillesztett sokszögvonalban a törésszögeket különös gonddal megmérni!). A továbbiakban a ϕ-vel elforgatott és m-szeresére nyújtott (zsugorított) sokszögvonalban a sokszögpontok koordinátáinak kiszámításakor végleges oldalvetületeket kapunk. Folyamatos összegzéssel kiszámítjuk a sokszögpontok koordinátáit, majd ellenőrzésül az ismert V végpont koordinátáit is. A kiszámított koordináták a számítás élességén belül meg kell egyezzenek a végpont ismert koordinátáival. A meghatározott sokszögpontok koordinátáit nem kell kiírni, érdemes azonban összehasonlítani azokat a kétszeresen tájékozott ill. az egyszeresen tájékozott sokszögvonal számításából kapott megfelelő koordinátákkal. A kétszeresen tájékozott sokszögvonalhoz képest a legnagyobb koordináta-eltérés mm, az egyszeresen tájékozott sokszögvonalhoz hasonlítva az eltérések még kisebbek. Ismerkedjünk meg a beillesztett sokszögvonal kiszámításának egy másik módjával is. A számítás annyiban különbözik az imént bemutatottól, hogy a ϕ elforgatási szög kiszámítása után elmarad az m méretarányszorzó kiszámítása. Emiatt az oldalvetületek előzetes értékeit kapjuk meg és ki kell számítanunk a két koordináta-záróhibát, majd a lineáris záróhibát is. A lineáris záróhiba megengedett értéke a megfelelő kétszeresen tájékozott sokszögvonalra vonatkozó érték 0,8-szerese. A megengedettnél nem nagyobb lineáris záróhiba összetevőit a már megismert módon (az oldalhosszak arányában) osztjuk el az egyes oldalvetületekre. A sokszögpontok koordinátáit szintén a már megismert módon (a kezdőponttól a végpont felé haladva az oldalvetületek összegzésével) számítjuk ki. Ellenőrzésül a V végpont koordinátáit is kiszámítjuk; a kiszámított koordináták pontosan meg kell egyezzenek a végpont ismert koordinátáival. 0

22 Hiba! A stílus nem létezik. Beillesztett sokszögvonal: a sokszögpontok koordinátáinak kiszámítása pont törésszög vetületi y x tájék. ir. ért távolság y x K 34, , V ,90 765, ,76 88, , , , , ,60 60, ,844 69,88 +80,66 3 9, ,00 Beillesztett sokszögvonal: a sokszögpontok koordinátáinak kiszámítása más módon pont törésszög vetületi javítás javítás javított y javított x tájék. ir. ért távolság y x y x K 34, , V ,088 0,05 88,6 +349, ,90 88, , , ,573 +0,076 0, , ,77 765, ,93 +55,3 60, ,850 +0,067 0,039 69,83 +80,60 680,76 69, ,99 3 9, ,00 ~ 336 m 995, ,05 995, , , ,05 dy = +0,3 dx = 0,35 d = 0,68 m deng = 0,67 m A meghatározott sokszögpontok koordinátáit nem kell kiírni, érdemes azonban összehasonlítani azokat a beillesztett sokszögvonal pontjainak korábban már kiszámított koordinátáival. Megállapítható, hogy a még éppen megengedhető lineáris záróhiba ellenére (mind a tényleges, mind a megengedett záróhiba kerekített értéke 7 cm) a kétféle módon számított koordináták legfeljebb mm-re térnek el egymástól.

23 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.)

24 . feladat Mérési vonalpontok, derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok számítása, területszámítás. A koordináta-jegyzékben megadott sokszögpontok felhasználásával számítsuk ki a -5 kisalappontok (mérési vonalpontok) vízszintes koordinátáit; a mérési eredmények a Felmérési alappontok távmérési jegyzőkönyve elnevezésű munkarészben találhatók, a mérési vonalpontok kiszámításának módja a Meghatározási vázlat elnevezésű munkarészen (. ábra) látható. A mérési vonalhálózatról derékszögű koordinátaméréssel bemértük annak a tömbnek a négy sarokpontját (0-04), amelyen a későbbiekben házhelyeket fognak kialakítani. A mérési adatok a Derékszögű koordinátamérési jegyzet elnevezésű munkarészben találhatók meg (. ábra). Amint ott látható, valamennyi sarokpontot két mérési alapvonalról mértünk be, a tömbhatárpontok végleges koordinátái a két számításból kapott koordináták számtani középértéke legyen. Számítsuk ki a 0-04 pontok alkotta négyszög területét a sarokpontok végleges koordinátáiból. A megoldás Mindenekelőtt számítsuk ki a Felmérési alappontok távmérési jegyzőkönyve c. munkarészben a vízszintes távolságokat. A távolságokat rátét-távmérővel mérték, amely II. távcsőállásban rögzíthető a teodolit távcsövén. A vízszintes távolság kiszámításához a ferde távolságot a zenitszög szinuszával kellene megszorozni, a zenitszög értékéhez (zérus indexhibát feltételezve) a II. távcsőállásbeli magassági körleolvasást 360 -ra ki kell egészíteni. Ezt elkerülhetjük, ha a zenitszög helyett a táblázatban lévő z II értékekkel számolunk és nem veszünk tudomást arról, hogy az így számított távolság (a szinuszfüggvény harmadik és negyedik szögnegyedbeli negatív előjele miatt) negatív lesz. A vízszintes távolságokat elegendő centiméter élességgel kiírni. A következő feladat a mérési vonalpontok koordinátáinak kiszámítása. Vegyük észre, hogy csak azok a mérési vonalak számíthatók, amelyek kezdő- és végpontjának koordinátái már ismertek, így a számítás sorrendje többé-kevésbé kötött. A számításra ellenőrzést ad: a t távolságkülönbségek előjeles összege pontosan egyenlő kell legyen a kezdő- és a végpont közötti távolsággal; a koordináták számításának ellenőrzéséül utolsóként a végpont ismert koordinátáit is kiszámítjuk. A mérési vonalpontok kiszámított koordinátáit beírjuk a koordináta-jegyzék meghatározott kisalappontok elnevezésű részébe. 3

25 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) Koordináta-jegyzék a pont Y [m] X [m] M [m] neve/száma megjelölése Felhasznált sokszögpontok kő 60 55, , kő , ,66 3 kő 60 68, ,3 4 kő 6 095, ,44 Meghatározott kisalappontok cövek 60 89, 38 07, cövek 6 0, ,34 3 cövek 60 59, ,66 4 cövek , ,9 5 cövek , ,0 Tömbsarokpontok 0 kő , ,00 0 kő 60 9, ,49 03 kő , ,0 04 kő , 37 50, II +x ábra. A kisalappontok (mérési vonalpontok) meghatározási vázlata 04 II +y 3 4 4

26 Hiba! A stílus nem létezik. 0 4,7, (334,6) 4 [345,9] 9,80 4,54 9,64 33,96 (38,30) 5 0 0, ,3 (336,44) 4,46 3 [345,79] 5, ,40 5,69 (35,84) 3 [40,4],47. ábra. Derékszögű kordinátamérési jegyzet Felmérési alappontok távmérési jegyzőkönyve ponttól pontig mag. körleolv. z II ferde táv. vízsz. táv ,67 333, ,3 405, ,57 76, ,405 4, , , ,408 40, ,049 79, ,398 47, ,583 50,50 A tömbsarokpontokat derékszögű koordinátaméréssel határoztuk meg, a mérési jegyzet (manuálé) alapján összeállítható a négy mérési vonalra a számítási jegyzőkönyv. (Emlékeztetőül: a számítást a vonal ismert kezdőpontjából kiindulva a vonal ismert végpontjával bezárólag végezzük; a részletpont abszcisszája negatív, ha a kezdőpontból a végpont felé nézve a talppont mögöttünk van; a részletpont ordinátája negatív, ha a kezdőpontból a végpont felé nézve a részletpont a vonal jobb oldalán van.) 5

27 Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) A számításra ellenőrzést ad: a a abszcissza-különbségek előjeles összege pontosan egyenlő kell legyen a kezdő- és a végpont között megmért távolsággal (a zárójelben álló ún. végmérettel); a b ordináta-különbségek előjeles összege zérus kell legyen; a koordináták számításának ellenőrzéséül utolsóként a végpont ismert koordinátáit is kiszámítjuk. Minden tömbhatárpontot két mérési vonalról mértünk be, össze kell tehát hasonlítsuk a kétféle módon számított koordinátákat. Ha az eltérés (koordinátánként) 0 cm-nél nem nagyobb, akkor a meghatározás elfogadható és végleges koordinátának a számtani középértéket kell tekinteni. A végleges koordinátákat be kell írni a koordináta-jegyzékbe. Mérési vonalpontok számítási jegyzőkönyve Az i-edik vonalpont koordinátái: r y y B A = és ( t ) AB m x x y i = yi + ti, i r és xi = xi + ti, i m, ahol B A = ; A a mérési vonal kezdőpontja, B a végpontja, ( AB ) ( t ) ún. végméret, a két pont megmért távolsága. AB t az mérési vonal pont t t y x , , 333,6 333, , 38 07, (405,) 7, , ,66 Σ = 405, +369,4 +66, ,4 + 66,54 r = = + 0,9 456; m = = + 0, , 405, 3 mérési vonal pont t t y x , , 3 76,56 76, , ,66 3 (4,39) 35, , ,3 Σ = 4,39 +55,73 38, ,73 38,80 r = = + 0,377 68; m = = 0, ,39 4,39 6

28 Hiba! A stílus nem létezik. 3 4 mérési vonal pont t t y x , ,3 345,7 345,7 6 0, ,34 4 (40,36) 74, , ,44 Σ = 40,36 +44,75 +68, + 44, , r = = + 0, ; m = = + 0, ,36 40,36 mérési vonal pont t t y x , 38 07, 4 79,03 79, , ,9 5 47,33 38, , ,0 (50,50) 84,7 6 0, ,34 Σ = 50,50 +93,08 46, ,08 46,78 r = = + 0, ; m = = 0, ,50 50,50 Derékszögű koordinátamérés számítási jegyzőkönyve: a tömbsarokpontok koordinátái Az i-edik bemért pont koordinátái: y x i i = yi + ai, i r bi, i m; = x i + a i, i m + b i, i r (r és m meghatározását lásd a Mérési vonalpontok számítási jegyzőkönyve c. munkarészben) 3 4 mérési vonal pont a b a b y x , ,66 0,36 +4,7,36 +4, , , ,9 9, ,7 4,5 60 9, ,5 4 (334,6) 0,30 +9, , ,9 Σ = 334,6 Σ = ,0 +35, ,0 + 35,5 r = = + 0,94 57; m = = + 0, ,6 334,6 7