Hangtan II. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

Átírás

1 Hangtan II. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

2 Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek 2 / 32

3 Bevezetés Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek A hang longitudinális hullámként terjed. Most ennek a terjedésnek a részletes leírásával foglalkozunk. Cél: a nagy léptékekben megmérhető mennyiségek (pl. hangintenzitás, frekvencia) és a mikroszkopikus, közvetlenül nehezen mérhető mennyiségek (pl. a levegőrészek elmozdulása, a hang által létrehozott nyomásváltozás) közötti kapcsolat. 3 / 32

4 Bevezetés Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek A hang longitudinális hullámként terjed. Most ennek a terjedésnek a részletes leírásával foglalkozunk. Cél: a nagy léptékekben megmérhető mennyiségek (pl. hangintenzitás, frekvencia) és a mikroszkopikus, közvetlenül nehezen mérhető mennyiségek (pl. a levegőrészek elmozdulása, a hang által létrehozott nyomásváltozás) közötti kapcsolat. A gáz nyugalmi állapotát jellemzi az egyensúlyi nyomás, sűrűség, hőmérséklet és az, hogy a gáz nyugalomban van. során a nyomás, sűrűség, stb. kissé megváltoznak. Sejtés: a változások kicsik a nyugalmi értékekhez képest. (Ha nem így lenne, a hang látható hatásokat okozna a levegőben.) 3 / 32

5 Egyszerűsítések Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Csak a síkhullám esettel foglalkozunk. (Bármilyen hullám kis része jól közelíthető ezzel.) x-tengely: terjedési irányban. x-re merőlegesen semmi sem változik, ezért mindent x függvényeként adunk meg. p = p 0 x 0 x p = p 0 + p(x,t) ξ(x, t) x(x, t) x Az ábrán jelölt levegőrétegek mozgását vizsgáljuk. 4 / 32

6 Jelölések Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek p = p 0 x 0 x x p = p 0 + p(x,t) ξ(x, t) x(x, t) x 0 : rétegek nyugalmi vastagsága x(x,t): torzuló réteg vastagsága az x helyen, t időben ξ(x,t): az eredetileg x helyen levő gázrész elmozdulása az egyensúlyi helyzethez képest p 0 : nyugalmi állapot nyomása p(x,t) = p 0 + p(x,t): a nyomás hely és időfüggése 5 / 32

7 Alapvető Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek ξ(x,t)-ből a gázrétegek sebessége és gyorsulása: v(x,t) = ξ(x,t) t a(x,t) = 2 ξ(x,t) t 2 Fontos! Nem a gáz részecskéinek, hanem sok gázrészecskéből álló rétegnek a mozgásáról van szó. 6 / 32

8 Alapvető Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek ξ(x,t)-ből a gázrétegek sebessége és gyorsulása: v(x,t) = ξ(x,t) t a(x,t) = 2 ξ(x,t) t 2 Fontos! Nem a gáz részecskéinek, hanem sok gázrészecskéből álló rétegnek a mozgásáról van szó. Egy gázréteg tömege végig ugyanaz, mint kezdetben: m = x 0 A 0 = xa ahol A a vizsgált keresztmetszet nagysága, 0 a gáz nyugalmi, pedig a pillanatnyi sűrűsége. 6 / 32

9 A gázrétegek Egy gázrétegre a szomszédos gázrétegek nyomása gyakorol erőt: F = p(x,t)a p(x + x)a = Mivel x kicsi, ezért jó közelítéssel: F = p(x,t) xa p(x + x,t) p(x,t) xa x 7 / 32

10 A gázrétegek Egy gázrétegre a szomszédos gázrétegek nyomása gyakorol erőt: F = p(x,t)a p(x + x)a = Mivel x kicsi, ezért jó közelítéssel: Newton II. törvény szerint: F = p(x,t) xa p(x + x,t) p(x,t) xa x F = ma(x,t) = p(x,t) xa. A gyorsulás és a gázréteg tömegének fenti kifejezéseivel: xa 2 ξ(x,t) t 2 = p(x,t) xa 2 ξ(x,t) t 2 = p(x,t) 7 / 32

11 Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A sűrűsödés-ritkulás gyors: adiabatikus változások: pv κ =állandó, ahol κ a gáz specifikus fajhőhányadosa. (Termodinamika.) p(x,t)v (x,t) κ = p(x,t)( x(x,t)a) κ = állandó Mivel A állandó: p(x,t)( x(x,t)) κ = p 0 ( x 0 ) κ 8 / 32

12 Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A sűrűsödés-ritkulás gyors: adiabatikus változások: pv κ =állandó, ahol κ a gáz specifikus fajhőhányadosa. (Termodinamika.) p(x,t)v (x,t) κ = p(x,t)( x(x,t)a) κ = állandó Mivel A állandó: p(x,t)( x(x,t)) κ = p 0 ( x 0 ) κ ξ(x, t) x 0 x ξ(x + x 0,t) x x(x,t) = x 0 + ξ(x + x 0,t) ξ(x,t) ( ) x0 + ξ(x + x 0,t) ξ(x,t) κ p(x,t) = p 0 x 0 ( p(x,t) 1 + ξ(x + x ) 0,t) ξ(x,t) κ = p 0 x 0 x 0 + ξ(x + x 0,t) ξ(x,t) 8 / 32

13 Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A sűrűsödés-ritkulás gyors: adiabatikus változások: pv κ =állandó, ahol κ a gáz specifikus fajhőhányadosa. (Termodinamika.) p(x,t)v (x,t) κ = p(x,t)( x(x,t)a) κ = állandó Mivel A állandó: p(x,t)( x(x,t)) κ = p 0 ( x 0 ) κ x 0 x ξ(x + x 0,t) ξ(x, t) x x 0 + ξ(x + x 0,t) ξ(x,t) x(x,t) = x 0 + ξ(x + x 0,t) ξ(x,t) ( ) x0 + ξ(x + x 0,t) ξ(x,t) κ p(x,t) = p 0 x 0 ( p(x,t) 1 + ξ(x + x ) 0,t) ξ(x,t) κ = p 0 x 0 ( p(x,t) 1 + ξ(x,t) ) κ = p 0 8 / 32

14 A hullámegyenlet Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Kicsi nyomásváltozások: p(x,t) p 0 és ξ/ 1. Ezért: ( 1 + ξ(x,t) ) κ 1 + κ ξ(x,t) 9 / 32

15 A hullámegyenlet Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Kicsi nyomásváltozások: p(x,t) p 0 és ξ/ 1. Ezért: ( 1 + ξ(x,t) ) κ 1 + κ ξ(x,t) p(x,t) = p 0 + p(x,t) és p(x,t) (1 + ξ(x,t)/) κ = p 0 alapján: azaz ( ( (p 0 + p(x,t)) 1 + κ ξ(x,t) ) = p p(x,t) p 0 ) ( 1 + κ ξ(x,t) ) = 1 9 / 32

16 A hullámegyenlet Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Kicsi nyomásváltozások: p(x,t) p 0 és ξ/ 1. Ezért: ( 1 + ξ(x,t) ) κ 1 + κ ξ(x,t) p(x,t) = p 0 + p(x,t) és p(x,t) (1 + ξ(x,t)/) κ = p 0 alapján: azaz ( ( (p 0 + p(x,t)) 1 + κ ξ(x,t) ) = p p(x,t) p 0 Egyszerű átalakításokkal: ) ( 1 + κ ξ(x,t) ) = 1 p(x,t) p 0 + κ ξ(x,t) dx + p(x,t) p 0 κ ξ(x,t) dx = 0 9 / 32

17 A hullámegyenlet Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Kicsi nyomásváltozások: p(x,t) p 0 és ξ/ 1. Ezért: ( 1 + ξ(x,t) ) κ 1 + κ ξ(x,t) p(x,t) = p 0 + p(x,t) és p(x,t) (1 + ξ(x,t)/) κ = p 0 alapján: azaz ( ( (p 0 + p(x,t)) 1 + κ ξ(x,t) ) = p p(x,t) p 0 Egyszerű átalakításokkal: ) ( 1 + κ ξ(x,t) ) = 1 p(x,t) p 0 + κ ξ(x,t) dx + p(x,t) p 0 κ ξ(x,t) dx = 0 Az utolsó tag elhanyagolható: (két kicsi tag szorzata) 9 / 32

18 A hullámegyenlet (folyt és a korábban kapott alapján: p(x,t) = κp 0 ξ(x,t) 2 ξ(x,t) t 2 = p(x,t) 2 ξ(x,t) t 2 = p(x,t) = (p 0 + p(x,t)) = κp 0 2 ξ(x,t) 2 10 / 32

19 A hullámegyenlet (folyt és a korábban kapott alapján: p(x,t) = κp 0 ξ(x,t) 2 ξ(x,t) t 2 = p(x,t) 2 ξ(x,t) t 2 = p(x,t) 0 miatt: (kis változások) = (p 0 + p(x,t)) = κp 0 2 ξ(x,t) 2 2 ξ(x,t) t 2 = κp ξ(x,t) 2 10 / 32

20 A hullámegyenlet (folyt és a korábban kapott alapján: p(x,t) = κp 0 ξ(x,t) 2 ξ(x,t) t 2 = p(x,t) 2 ξ(x,t) t 2 = p(x,t) 0 miatt: (kis változások) = (p 0 + p(x,t)) = κp 0 2 ξ(x,t) 2 2 ξ(x,t) t 2 = κp ξ(x,t) 2 Ez egy hullámegyenlet. Megoldása: ξ(x,t) = f(x ± ct), ahol c = κp0 0 a terjedési sebeség. 10 / 32

21 A hangsebesség Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Az előzőekben kapott c = κp 0 / 0 összefüggés az ideális gázok állapotegyenlete, azaz alapján átírható: pv = m µ RT c = κ RT µ (R = 8,31 J/(mol K) az univerzális gázállandó, T a hőmérséklet (kelvinben), µ a gáz átlagos móltömege kg/mol-ban.) 11 / 32

22 A hangsebesség Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Az előzőekben kapott c = κp 0 / 0 összefüggés az ideális gázok állapotegyenlete, azaz alapján átírható: pv = m µ RT c = κ RT µ (R = 8,31 J/(mol K) az univerzális gázállandó, T a hőmérséklet (kelvinben), µ a gáz átlagos móltömege kg/mol-ban.) Hosszú levezetés után egyszerű eredményt kaptunk. Jegyezzük meg: a fizika alaptörvényeiből ez levezethető volt. 11 / 32

23 Két példa Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Példa: Ellenőrizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levegő adatainak felhasználásával! 12 / 32

24 Két példa Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Példa: Ellenőrizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levegő adatainak felhasználásával! Megoldás: A levegő adatai: κ = 1,4, µ = 29 g/mol=0,029 kg/mol. T = 273 K esetén: c = 1,4 8, ,029 = 330,9 m s 12 / 32

25 Két példa Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Példa: Ellenőrizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levegő adatainak felhasználásával! Megoldás: A levegő adatai: κ = 1,4, µ = 29 g/mol=0,029 kg/mol. T = 273 K esetén: c = 1,4 8, ,029 = 330,9 m s Példa: Mekkora a hang terjedési sebessége 273 K-en tiszta H 2 gázban? A hidrogéngáz esetén κ = 1,4 és µ = 2 g/mol értékekkel számolhatunk. 12 / 32

26 Két példa Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Példa: Ellenőrizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levegő adatainak felhasználásával! Megoldás: A levegő adatai: κ = 1,4, µ = 29 g/mol=0,029 kg/mol. T = 273 K esetén: c = 1,4 8, ,029 = 330,9 m s Példa: Mekkora a hang terjedési sebessége 273 K-en tiszta H 2 gázban? A hidrogéngáz esetén κ = 1,4 és µ = 2 g/mol értékekkel számolhatunk. Megoldás: Egyszerű behelyettesítéssel c = 1260 m/s adódik, ami a hidrogéngázban mért értékkel megegyezik. 12 / 32

27 Még egy példa Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Példa: Hány százalékkal terjed gyorsabban a hang a nyári, 30 C-os melegben, mint a téli 20 C-os hidegben? 13 / 32

28 Még egy példa Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek Példa: Hány százalékkal terjed gyorsabban a hang a nyári, 30 C-os melegben, mint a téli 20 C-os hidegben? Megoldás: Ha csak a hőmérséklet-különbségek okoznak változást, akkor a hangsebességek aránya: c 2 c 1 = κ RT 2 µ κ RT 1 µ = T 2 T 1 = = 1,09 A nyári melegben tehát kb. 9%-kal terjed gyorsabban a hang, mint a téli hidegben. 13 / 32

29 Érdekességek Bevezetés Egyszerűsítések Jelölések A gázrétegek Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hullámegyenlet A hangsebesség Érdekességek A hangsebesség hőmérsékletfüggése érdekes jelenségeket okoz. Töréstörvény: (hullámtan) sinα 1 sinα 2 = c 1 c 2 = T1 T2 A hang tehát eltér irányától, ha nem merőlegesen érkezik egy határra, ahol a hőmérséklet megváltozik. Ez szabad téren sokszor jelentkező hatás. hideg meleg meleg hideg Emiatt lehet, hogy egy vonat zakatolása 500 m-ről alig, 2 km-ről jól hallható. Ezért változik, mennyire hangosan hallatszik a magasan repülő repülők hangja, stb. 14 / 32

30 A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség 15 / 32

31 Alapvető A gázréteg Harmonikus hullám esetén: ξ(x,t) = ξ m sin(kx ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia. A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség 16 / 32

32 Alapvető A gázréteg Harmonikus hullám esetén: ξ(x,t) = ξ m sin(kx ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia. A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség A gázrétegek sebessége: v(x,t) = ξ(x,t) t = ξ m ω cos(kx ωt) ebből a sebesség amplitúdója: v m = ξ m ω. 16 / 32

33 Alapvető A gázréteg Harmonikus hullám esetén: ξ(x,t) = ξ m sin(kx ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia. A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség A gázrétegek sebessége: v(x,t) = ξ(x,t) t = ξ m ω cos(kx ωt) ebből a sebesség amplitúdója: v m = ξ m ω. A gyorsulás: a(x,t) = 2 ξ(x,t) t 2 = ξ m ω 2 sin(kx ωt) 16 / 32

34 A gázréteg Fentebb levezettük, hogy a(x,t) = p/, ezért: Normál hang esetén 0, ezért ( ) ξ m ω 2 sin(kx ωt) = p(x,t) p(x,t) = 0ξ m ω 2 sin(kx ωt) 17 / 32

35 A gázréteg Fentebb levezettük, hogy a(x,t) = p/, ezért: Normál hang esetén 0, ezért ( ) ξ m ω 2 sin(kx ωt) = p(x,t) p(x,t) = 0ξ m ω 2 sin(kx ωt) Ennek mindkét oldalát x szerint integrálva: p(x,t) = p 0 0ξ m ω 2 1 k cos(kx ωt) = p 0 0cξ m ω cos(kx ωt). (k = 2π/λ, ω = 2πf és c = fλ felhasználásával.) 17 / 32

36 A gázréteg Fentebb levezettük, hogy a(x,t) = p/, ezért: Normál hang esetén 0, ezért ( ) ξ m ω 2 sin(kx ωt) = p(x,t) p(x,t) = 0ξ m ω 2 sin(kx ωt) Ennek mindkét oldalát x szerint integrálva: p(x,t) = p 0 0ξ m ω 2 1 k cos(kx ωt) = p 0 0cξ m ω cos(kx ωt). (k = 2π/λ, ω = 2πf és c = fλ felhasználásával.) nyomásingadozások amplitúdója: p m = 0cξ m ω. 17 / 32

37 A hang energiája Gázrétegek: harmonikus rezgőmozgás. A korábban tanultak szerint egy rétegben tárolt energia: E = 1 2 mv2 m = 1 2 A x 0 0v 2 m Energiasűrűség: e = E V = 1 2 0v 2 m 18 / 32

38 A hang energiája Gázrétegek: harmonikus rezgőmozgás. A korábban tanultak szerint egy rétegben tárolt energia: E = 1 2 mv2 m = 1 2 A x 0 0v 2 m Energiasűrűség: e = E V = 2 0v 1 m 2 Ez c sebességgel terjed. Egy A nagyságú, a terjedési irányra merőleges felületre t alatt Ac t térfogatú tartományból érkezik az e energiasűrűségű energia: E = e Ac t = 1 2 0v 2 m Ac t 18 / 32

39 A hang energiája Gázrétegek: harmonikus rezgőmozgás. A korábban tanultak szerint egy rétegben tárolt energia: E = 1 2 mv2 m = 1 2 A x 0 0v 2 m Energiasűrűség: e = E V = 1 2 0v 2 m Ez c sebességgel terjed. Egy A nagyságú, a terjedési irányra merőleges felületre t alatt Ac t térfogatú tartományból érkezik az e energiasűrűségű energia: E = e Ac t = 1 2 0v 2 m Ac t P = E t = 1 2 0v 2 m Ac 18 / 32

40 A hang energiája Gázrétegek: harmonikus rezgőmozgás. A korábban tanultak szerint egy rétegben tárolt energia: E = 1 2 mv2 m = 1 2 A x 0 0v 2 m Energiasűrűség: e = E V = 1 2 0v 2 m Ez c sebességgel terjed. Egy A nagyságú, a terjedési irányra merőleges felületre t alatt Ac t térfogatú tartományból érkezik az e energiasűrűségű energia: E = e Ac t = 1 2 0v 2 m Ac t P = E t = 1 2 0v 2 m Ac I = P A = 1 2 c 0v 2 m (= ec) 18 / 32

41 Összefoglalás A hangról levezetett ismeretek összefoglalása. A gázréteg Hullámegynelet: 2 ξ(x,t) t 2 = c 2 2 ξ(x,t) 2 A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség 19 / 32

42 Összefoglalás A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség A hangról levezetett ismeretek összefoglalása. Hullámegynelet: Hangsebesség: c = 2 ξ(x,t) t 2 κp0 0 = c 2 2 ξ(x,t) 2 = κ RT µ 19 / 32

43 Összefoglalás A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség A hangról levezetett ismeretek összefoglalása. Hullámegynelet: Hangsebesség: c = 2 ξ(x,t) t 2 κp0 0 = c 2 2 ξ(x,t) 2 = κ RT µ Harmonikus hanghullám esetén pedig a levegő egyes darabjai harmonikus rezgőmozgást végeznek ξ m amplitúdóval, ω körfrekvenciával, v m = ξ m ω sebességamplitúdóval, p m = 0cξ m ω nyomás-amplitúdóval. A hangintenzitás: I = (1/2)c 0v 2 m = (1/2)p 2 m/( 0c). 19 / 32

44 Az akusztikus impedancia A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség Akusztikus impedancia: Z = 0c. Az előző így kicsit egyszerűbbek lesznek: p m = Zξ m ω = Zv m I = 1 2 Zv2 m = 1 2 p 2 m Z 20 / 32

45 Az akusztikus impedancia A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség Akusztikus impedancia: Z = 0c. Az előző így kicsit egyszerűbbek lesznek: Néhány gáz adatai: p m = Zξ m ω = Zv m I = 1 2 Zv2 m = 1 2 p 2 m Z Anyag c [m/s] [kg/m 3 ] Z [kg/(m 2 s)] levegő (0 C) 332 1, levegő (20 C) 344 1, levegő (40 C) 355 1, H 2 (0 C) , CO 2 (0 C) 259 1, vízgőz (100 C) 405 0, / 32

46 Egy példa A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség Példa: Számoljuk ki egy 80 db-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! 21 / 32

47 Egy példa A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Példa: Számoljuk ki egy 80 db-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = 0c = 428 kg/(m 2 s). A 80 db-es hang intenzitása: I = I /10 = 10 4 W/m 2. Érdekesség 21 / 32

48 Egy példa A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség Példa: Számoljuk ki egy 80 db-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = 0c = 428 kg/(m 2 s). A 80 db-es hang intenzitása: I = I /10 = 10 4 W/m 2. I = 1 2 Zv2 m v m = 2I Z = 6, m s 21 / 32

49 Egy példa A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség Példa: Számoljuk ki egy 80 db-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = 0c = 428 kg/(m 2 s). A 80 db-es hang intenzitása: I = I /10 = 10 4 W/m 2. I = 1 2 Zv2 m v m = I = 1 2 p 2 m Z 2I Z = 6, m s p m = 2IZ = 0,29 Pa 21 / 32

50 Egy példa A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség Példa: Számoljuk ki egy 80 db-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = 0c = 428 kg/(m 2 s). A 80 db-es hang intenzitása: I = I /10 = 10 4 W/m 2. I = 1 2 Zv2 m v m = I = 1 2 p 2 m Z 2I Z = 6, m s p m = 2IZ = 0,29 Pa v m = ξ m ω ξ m = v m ω = v m 2πf = 1, m 21 / 32

51 Egy példa A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Érdekesség Példa: Számoljuk ki egy 80 db-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = 0c = 428 kg/(m 2 s). A 80 db-es hang intenzitása: I = I /10 = 10 4 W/m 2. I = 1 2 Zv2 m v m = I = 1 2 p 2 m Z 2I Z = 6, m s p m = 2IZ = 0,29 Pa v m = ξ m ω ξ m = v m ω = v m 2πf = 1, m Érdekes, milyen kicsi változásokat okoz ez az erősen hallható hang. 21 / 32

52 Érdekesség A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Az erős hangok által okozott elmozdulások is kicsik. Kivétel: erős, de mély hangok esete. Például egy 110 db-es, 20 Hz-es hang esetén a levegőrészek elmozdulása több, mint 0,1 mm. Ezt 60 fonosnak érezzük, tehát közepesen erős. A 0,1 mm-es változás viszont érzékelhető pl. a bőr felszínén. Ekkor érezhető is a hang. Érdekesség 22 / 32

53 Érdekesség A gázréteg A hang energiája Összefoglalás Az akusztikus impedancia Az erős hangok által okozott elmozdulások is kicsik. Kivétel: erős, de mély hangok esete. Például egy 110 db-es, 20 Hz-es hang esetén a levegőrészek elmozdulása több, mint 0,1 mm. Ezt 60 fonosnak érezzük, tehát közepesen erős. A 0,1 mm-es változás viszont érzékelhető pl. a bőr felszínén. Ekkor érezhető is a hang. Érdekesség Gyorsan mozgó testek körül vagy robbanáskor erős lökéshullámok keletkezhetnek, melyek akár fényképezhetők is. 22 / 32

54 23 / 32

55 A gázokhoz hasonlóan a hang itt is csak longitudinális lehet. (A folyadék rétegek egymáson való elcsúszása nem eredményez rugalmas erőt.) A leírás nagyon hasonlít a gázok esetére. Eredmény: a hangsebesség a folyadék κ kompresszibilitásával kapcsolatos: c f = 1/(κ 0) Néhány folyadék adatai: Anyag c [m/s] [kg/m 3 ] Z [kg/(m 2 s)] víz (0 C) , víz (20 C) , tengervíz (13 C) , glicerin (20 C) , benzin (20 C) , / 32

56 Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei szilárd testekben Hajlítási hullámok 25 / 32

57 Bevezetés A folyadékok és gázok esetétől eltérően transzverzális hullámok is terjedhetnek. (Felléphetnek nyíróerők is.) Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Hajlítási hullámok 26 / 32

58 Bevezetés Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Hajlítási hullámok A folyadékok és gázok esetétől eltérően transzverzális hullámok is terjedhetnek. (Felléphetnek nyíróerők is.) A jelenséget bonyolulttá teszi, hogy a kereszt- és hosszirányú relatív méretváltozások összekapcsolódnak: egy nyújtott rúd keresztmetszete csökken. 26 / 32

59 Bevezetés Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Hajlítási hullámok A folyadékok és gázok esetétől eltérően transzverzális hullámok is terjedhetnek. (Felléphetnek nyíróerők is.) A jelenséget bonyolulttá teszi, hogy a kereszt- és hosszirányú relatív méretváltozások összekapcsolódnak: egy nyújtott rúd keresztmetszete csökken. Ha a rúd kezdeti hossza l 0, keresztirányú mérete pedig d 0, akkor a vizsgálatok szerint a relatív keresztirányú és hosszirányú méretváltozás aránya egy adott anyag esetén állandó µ érték: d d 0 = µ l l 0 µ mindig 0 és 0,5 közé esik, de a legtöbb anyag esetén 0,25 és 0,4 közé. Elnevezés: Poisson-szám. 26 / 32

60 ... Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Hajlítási hullámok A nyújtáskor fellépő rugalmas erőket a Hooke-törvény adja meg: F = A E l l 0 ahol A a test keresztmetszetének nagysága, E a Young-modulusz nevű anyagi állandó. 27 / 32

61 ... Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Hajlítási hullámok A nyújtáskor fellépő rugalmas erőket a Hooke-törvény adja meg: F = A E l l 0 ahol A a test keresztmetszetének nagysága, E a Young-modulusz nevű anyagi állandó. Az egyszerű (homogén és izotrop) anyagok rugalmasság szempontjából ezzel a két rugalmas állandóval jellemezhetők: E: Young-modulusz µ: Poisson-szám Nem homogén és izotrop anyag esetén ezek hely- és irányfüggőek (és még speciális jelenségek is fellépnek), de ilyen esettel nem foglalkozunk. 27 / 32

62 Hullámok nagyméretű Amennyiben a test minden mérete sokkal nagyobb a vizsgált hullám hullámhosszánál, a test tehetetlenségénél fogva nem engedi, hogy a keresztirányú méretváltozások lényeges hatást okozzanak. 28 / 32

63 Hullámok nagyméretű Amennyiben a test minden mérete sokkal nagyobb a vizsgált hullám hullámhosszánál, a test tehetetlenségénél fogva nem engedi, hogy a keresztirányú méretváltozások lényeges hatást okozzanak. Ekkor a klasszikus longitudinális és transzverzális hullámok terjedhetnek: longitudinális hullám transzverzális hullám c l = E 0 1 µ (1+µ)(1 2µ) c t = E 0 1 2(1+µ) 0 a test anyagának sűrűsége. 28 / 32

64 Hullámok véges méretű Speciális jelenségek lépnek fel, ha a közeg terjedési irányra merőleges méretei kisebbek a hullámhossznál. Ekkor ugyanis a hossz- és keresztirányú deformációk összekapcsolódása kevert longitudinális-transzverzális hullámot okoz. tágulási hullám (vékony rúd esete) c d = E 0 29 / 32

65 Hullámok véges méretű Speciális jelenségek lépnek fel, ha a közeg terjedési irányra merőleges méretei kisebbek a hullámhossznál. Ekkor ugyanis a hossz- és keresztirányú deformációk összekapcsolódása kevert longitudinális-transzverzális hullámot okoz. tágulási hullám (vékony rúd esete) Rayleigh-hullám (nagy test felszíni hullámai) c d = E 0 c R = c t 0,87+1,12µ 1+µ 29 / 32

66 Hullámterjedési sebességek viszonya c x 2 0/E 1.8 c l Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei c R c t c d Hajlítási hullámok µ 30 / 32

67 Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Hajlítási hullámok Anyag c l [m/s] c d [m/s] c t [m/s] [kg/m 3 ] µ acél ,28 alumínium ,34 ólom ,44 vörösréz ,35 ablaküveg ,22 bazalt ,31 beton fenyőfa gipszkarton márvány ,31 parafa porcelán ,23 vörösfenyő / 32

68 Hajlítási hullámok Vékony rétegek (lemezek, falak) vastagságban együttes hullámzása. Bevezetés Hullámok nagyméretű Hullámok véges méretű szilárd testekben Hullámterjedési sebességek viszonya Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Hajlítási hullámok Érdekesség: a terjedési sebesség a frekvenciától is függ: 1 c h = 4 πfdcd 3(1 µ 2 ) 32 / 32