KORSPECIFIKUS SZÜLETÉSI ARÁNYSZÁM OK D E M O GRÁFIAI MODELLJEIRŐL

Átírás

1 KORSPECIFIKUS SZÜLETÉSI ARÁNYSZÁM OK D E M O GRÁFIAI MODELLJEIRŐL TEKSE KÁLMÁN A korspecifikus születési arányszámok demográfiai modelljei az 1930-as évek óta a demográfusok és matematikusok kutatásainak tárgyát képezik. Az A. Lotka által (1) proponált determinisztikus stabil népesség struktúrájának vizsgálatai már 1939-ben felvetették a korspecifikus születési arányszámok demográfiai modellje megszerkesztésének szükségességét. Mint ismeretes Lotka modelljének matematikai alapjául a t évbeli leányélve születések B(t) száma, az élveszületett leányok a kort megélésének p(a) és az a korú nők leánygyermekszülésének f(a) valószínűségei (azaz a továbbélés, illetve a bruttó fertilitás, mint az a változó időtől független folytonos függvényei) közötti integrálegyenlet szolgál.1 Ennek általános megoldása alakban kereshető, ahol a Qt konstansok az [1] egyenlet kezdeti feltételeitől függenek, r, к (f = 1,2,...) pedig az karakterisztikus egyenlet sajátértékei (1), (3). E sajátértékek között egy valós szám, a többi komplex szám (minden komplex sajátérték konjugáltja is sajátérték és ezek valós része kisebb mint a valós sajátérték) (4). A [2] egyenlet tehát a leányélveszületések B(t) számát bármely t időpillanatra egy aperiodikus exponenciális trend és exponenciális amplitúdójú oszcilláló eloszlások szuperpozíciójaként állítja elő. A komplex sajátértékek numerikus kiszámítása a gyakorlatban munkaigényes feladatnak bizonyult. A számítások egyik, viszonylag könnyen járható útja а Ф (a) = /(a)p(a) nettó fertilitási függvény leírása valamely analitikusan könnyen kezelhető formulával. 1 Feltéve, hogy a vizsgált népesség zárt. A modell feltételeinek egzakt megfogalmazására vonatkozóan lásd (2).

2 2 0 2 Ily módon már az 1930-as években felmerült a nettó fertilitás egyik tényezője, a korspecifikus születési arányszámok demográfiai modellje megszerkesztésének szükségessége. Eleinte különböző Pearson-típusú görbékkel próbálták megközelíteni az empirikus fertilitási adatokat (5), az 1940-es évek legelején pedig H. Hadwiger (6), (7) egy teljesen eredeti típusú (a hőelméletben, valamint bizonyos Gauss-féie valószínűségi folyamatok elméletében stb. szerepet játszó) formulával kísérletezett, amely a következő alakban írható: [4] Az 1950-es évek elején L. Yntema (4) vizsgálatokat folytatott a Hadwiger-típusú görbéknek az és évi holland empirikus nettó-fertilitási adatokra való illeszkedésére vonatkozóan. A paraméter viszonylag pontos becslését már az approximáció harmadik lépésében elérte, az illeszkedés jóságának mérésére pedig a megfigyelt és a számított fertilitási adatok eltérésének négyzetösszegét használta. Számításai azt mutatták, hogy a közönséges normálgörbe és a Pearson-féle III. típusú eloszlás közel egyformán illeszkedik a vizsgált empirikus adatokra (az előbbi kissé pontosabban), ugyanakkor a Hadwiger-típusú eloszlás illeszkedése az előzőeknél mintegy 2,5 2,7-szer jobb. A második világháború után, amikor a népességelőreszámítások elméleti és gyakorlati kérdései a demográfiai kutatások előterébe kerültek, fokozódott a korspecifikus születési arányszámok modelljei matematikai vizsgálatainak gyakorlati jelentősége. A korspecifikus termékenységi arányszámokra ható társadalmi és gazdasági tényezők felderítésére, ezek jövőbeni várható alakulásának megbízható előreszámítására irányuló intenzív kutatások (amelyeket már pl. az évi római World Population Conference számos előadása (8) is érintett) felhasználásával később rendkívül érdekes kísérletek történtek a születési évjáratok, a házassági kohorszok stb. (kor-, tartam- stb.) specifikus születési arányszámainak megoszlását (illetve e megoszlások néhány jellemzőjének alakulását) előreszámítva a népességszám perspektivikus előrebecslésére (lásd pl. (8), (9)). E vizsgálatok azonban egyáltalán nem (vagy csak igen kismértékben) próbálták kiaknázni a korspecifikus születési arányszámok lehetséges modelljeiben rejlő lehetőségeket. Amikor e momentumra 1962-ben Vincze I. felhívta a figyelmet (10), rámutatott arra is, hogy olyan modelleket kellene szerkeszteni, amelyek a Hadwiger-féle formulánál bizonyos értelemben rugalmasabban viselkednek. Több szabad paraméter bevezetése az elméletileg számított és empirikus fertilitási értékek jobb egyezését biztosítaná. Ugyanebben az időben D. P. Mazur (11) egy, a korábbiaktól lényegesen eltérő egyszerű modellt javasolt a korspecifikus születési arányszámok leíráahol a H paramétert pedig a legjobb illeszkedésnek megfelelően választják meg (approximációs eljárással, ismert R0 és T esetén egy értékből kiindulva).

3 S Z Ü L E T É S I A R Á N Y S Z Á M O K M O D E L L J E I 203 sára. E modell a korspecifikus születési arányszámok és a maximális korspecifikus arányszám közötti kapcsolatot a következő formulával fejezi ki: A formulában t az adott naptári év, amelyre az adatok vonatkoznak, w1 és w2 ez évben a propagatív kor alsó és felső határa, f(t, a) a t évben az a korbeli specifikus születési arányszám (1000 a korú nőre jutó élveszületések száma), i pedig a max f(t, a) értéknek megfelelő korév. A paraméterek megválasztásában levő önkény folytán az [5] típusú (az a = i helyen nem differenciálható) függvények közül az empirikus adatokra legjobban illeszkedő meghatározása bizonyos nehézségekbe ütközik. Ennek ellenére, mint azt D. P. Mazur megmutatta, a modell nagy pontossággal írja le az Egyesült Államok évi korspecifikus fertilitási arányszámait. E vizsgálatok során önként vetődik fel a kérdés, hogy a korspecifikus születési arányszámok lehetséges modelljei közül melyik (esetleg melyek) a vizsgált demográfiai jelenséget legjobban jellemző modell (esetleg modellek). A megfelelő modell megválasztásánál, illetve a különböző modellek összehasonlításánál fontos probléma a modell paramétereinek leghatásosabb becslése és a nyert paraméterek lehetőleg könnyen kezelhető demográfiai értelmezése. Az első kérdés vizsgálata lehetővé teszi, hogy a legjobb modellt a paraméterek becslési eljárásaitól függetlenül határozzuk meg, a második kérdéskör tanulmányozása pedig elősegíti a modell gyakorlati alkalmazásait a különböző demográfiai elemzéseknél. Jelen dolgozat célja a vázolt kérdések (főleg az 1956 utáni magyar fertilitási adatokon történő) vizsgálata. E dolgozatban, a korábbi ilyen típusú vizsgálatokhoz hasonlóan, csupán empirikus jellegű (megfigyelt korspecifikus élveszületési arányszámokra jól illeszkedő) demográfiai modellekkel foglalkozunk, nem érintve a vizsgált jelenség belső struktúrájából fakadó elméleti problémákat.2 A modellek illeszkedésének mérésére a lehetséges (egyik vagy másik szempontból érzékenyebb) mértékek közül a hasonló vizsgálatokban legelfogadhatóbb eljárást : az empirikus és a modell alapján számított elméleti fertilitási értékek d a (a = 15,16...,49) eltéréseinek egyszerű négyzetösszegét választottuk. Végül megemlítjük, hogy vizsgálatainkban (hacsak külön megjegyzést nem teszünk) a gyakorlati szempontból exponáltabb bruttó fertilitási függvényekkel foglalkozunk, amelyek alakja a propagatív korévek nagyságukat illetően alig változó halandósági intenzitásai folytán az elemzések szempontjából elhanyagolható mértékben tér el a nettó fertilitási függvényekétől. 2 Az újabb demográfiai szakirodalom a demográfiai modell terminológiát sok vonatkozásban különböző értelemben használja. Egyes szerzők, és ezeket követi a jelen tanulmány terminológiája is, az empirikus adatok matematikai jellegű leírását tekintik modellnek, mások a jelenség mechanizmusába mélyebben hatoló megközelítésre (pl. bizonyos szimulációs eljárásokra) alkalmazzák e kifejezést. [5]

4 204 T E R S E K Á L M Á N 1. A KORSPECIFIKUS FERTILITÁS MODELLJÉNEK MEGVÁLASZTÁSA A fertilitási függvények vizsgálatánál a népesség valamely naptári évben megfigyelt termékenységi adataiból, legegyszerűbb esetben az anya kora szerinti élveszületési arányszámokból, pl a korú nőre jutó élveszületések fa számaiból indulunk ki. Elméletileg a igen tág határok között változhat, gyakorlatilag azonban európai viszonylatban a propagatív kor alsó határának 15 év, felső határának 49 év tekinthető. A statisztikai megfigyeléseknél a csupán egész értékeket vesz fel, az fa élveszületési arányszámok pedig egy diszkrét eloszlást definiálnak. Lényegét tekintve természetesen itt egy folytonos eloszlásról van szó (tehát fa az a változó folytonos függvénye) és fa diszkrét formáját csak a termékenység jelenlegi mérési módjának köszönheti. Az empirikus fa értékek tipikusan ferde eloszlás képét mutatják a számegyenes [15, 49] zárt intervellumában. Gyakorlati szempontból e ferde eloszlás első megközelítésére alkalmas demográfiai modell valamely diszkrét (pl. Poisson vagy még inkább negatív binomiális) eloszlás lenne. Azonban már a legegyszerűbb illeszkedésvizsgálatok eredményei is mutatják, hogy ilyen megközelítés lehetetlen. Ily módon a valóságnak is jobban megfelelő és az irodalomban is követett eljárás: az empirikusan diszkrétnek kezelt fa eloszlás valamely ismert folytonos eloszlással való megközelítése látszik gyakorlatilag a legkönnyebben járható útnak. Az ilyen megoldások nagy részének előnye az igen hatásos statisztikai segédeszközök alkalmazhatóságán túlmenően a Lotka-féle modellbeli használhatóságukban rejlik. A következőkben megvizsgáljuk, hogy az empirikus korspecifikus születési arányszámok elméleti leírására milyen mértékben alkalmasak a szóba jövő Pearson-féle [I. (béta) és III. (gamma) típusú] statisztikai eloszlásfüggvények, valamint Hadwiger és Mazur modelljei. A vizsgálatokat az évi magyar termékenységi adatokon végezzük. A számítások egyszerűsítése kedvéért az empirikus fa értékek helyett egyes alakú sűrűségfüggvénnyel (ahol В (г, s) az ún. béta-függvény) kedvező lenne abból a szempontból, hogy mind az empirikus, mind a [6] függvény ugyan- 3 Az eltolás után nyert értékekre is az /* jelölést használjuk, ami nem okoz félreértést.

5 S Z Ü L E T É S I A R Á N Y S Z Á M O K M O D E L L J E I 205 azon [0,34] zárt intervallumban van értelmezve és alkot valószínűségi sűrűségfüggvényt, bár elméletileg elképzelhető, hogy fa > 0 valamely a > 49 értékre is. Már Yntema is kísérletezett az empirikus fertilitás III. (gamma) típusú alakú sűrűségfüggvénnyel (itt T (p) az ún. gamma-függvény) való leírásával. A [7] függvény a számegyenes egész pozitív részén (tehát olyan x-ek mellett is, amelyekre esetleg f*x= 0) pozitív értéket vesz fel. A korspecifikus termékenységi arányszámok Mazur-féle [5] modellje, a béta-típusú eloszláshoz hasonlóan, zérustól különböző értéket csupán a nők propagatív periódusának megfelelő intervallumban vesz fel. A modellek paramétereinek becslései Mint említettük, a Hadwiger-görbe egyetlen H paraméterének becslésére lényegében csupán a négyzetes eltéréseket minimalizáló approximációs eljárás szolgál, és így a legjobb H érték meghatározása fáradságos munkát igényel. A Mazur-féle determinisztikus jellegű [5] függvény i és f(t, i) paramétereit az empirikus eloszlás egyértelműen meghatározza. Az adott típusú függvények családjában a legjobban közelítő analitikus meghatározása nehéz feladatnak tűnik, különösen ha tekintetbe vesszük, hogy az [5] függvény az értelmezési tartománj^ban nem mindenütt differenciálható. A Pearson-típusú függvények paramétereinek becslésére több lehetőség is kínálkozik. Vizsgálatainknál elsősorban a technikailag legegyszerűbben végrehajtható momentumok módszerét alkalmaztuk. Ismeretes, hogy amenynyiben m az empirikus eloszlás átlaga és o'- korrigált szórásnégyzete, akkor a momentumok módszere a gamma-eloszlás paramétereinek becsléseként az a béta-eloszlás paramétereinek becslésére pedig az egyenletrendszer megoldásait szolgáltatja. Jó statisztikai közelítés várható a paraméterek maximum-likelihood módszerrel végzett becslései révén is, amelyek pl. a gamma-eloszlás esetén az egyenletek megoldásainként nyerhetők (12). Mindkét eloszlástípus esetén a B(r, s), illetve а Г (p) függvények helyett új független fi, illetve у paramétereket bevezetve nyert háromparaméteres függvények paramétereinek a legkisebb négyzetek módszerével végzett becsléseivel is próbálkozhatunk stb. A paraméterek különböző becslései lehetővé teszik, hogy a becslési eljárásoktól függetlenül határozzuk meg az empirikus fertilitási függvényt legjobban megközelíthető modell típusát. 4 Demográfia

6 A z évi magyar korspecifikus élveszületési arányszámok empirikus és becsült értékei Эмпирические значения и оценки возрастно-специфических коэффициентов pooicdaemocmu в Венгрии, 1961 г. Observed and estimated ąge-specific birth rates, Hungary, 1961 Горизонтальная графа: (1) Возраст; (2) действительная численность; (3) оценка численности (4) при помощи распределения Гамма; (5) методом моментов; (6) методом максимального првадоподобия; (7) методом наименьших квадратов; (8) моделью М азура; (9) живорождений, приходящихся на 1000 женщин соответствующего возраста. Вертикальная графа: (1) Значения параметров. Heading: (1) Age; (2) actual num ber; (3) estim ated num ber by (4) gam m a-type distribution by m ethod of; (5) m om ents; (6) m axim um likelihood; (7) least squares; (8) M azur-type m odel; (9) of livebirths per 1000 women. Lateral text: 1. Values of param eters.

7 207 Az évi magyar korspecifikus születési arányszámok vizsgálatai (lásd 1. tábla) azt mutatják, hogy az empirikus eloszlást legjobban a gammaeloszláson alapuló modell írja le, ezen belül is a maximum-likelihood módszerrel és a momentumok módszerével becsült paramétereknek megfelelő formulák. A Mazur-féle modell ennél lényegesen rosszabb közelítést ad, a Hadwiger-féle formula és a béta-eloszláson alapuló modell, továbbá az úgyszintén ferde és még szóba jövő lognormális eloszlás pedig teljesen alkalmatlanok az újabb magyar korspecifikus termékenység jellemzésére. (Pl. a momentumok módszerével végzett becslések esetén a béta-eloszlásra dik, míg a tulajdonképpeni gamma-eloszlásra ez az érték bármilyen becslés esetén 1500 alatt marad (lásd 1. tábla). A gamma-eloszláson alapuló modell paramétereinek becslése momentumok módszerével és maximum-likelihood módszerrel közel azonos hatásfokkal végezhető, így hasonló célokra legcélszerűbb az igen könnyen kezelhető momentumok módszerét alkalmazni. Megjegyzendő, hogy az empirikus és becsült eloszlások eltérését értékkel mérve ugyanerre az eredményre jutnánk. Egyébként a gamma-eloszláson alapuló modell illeszkedése az empirikus adatokhoz elfogadhatónak minősíthető, akár a próbát (lásd 1. tábla utolsó sorát), akár a Kolmogorov Szmirnov próbát alkalmazzuk, míg a Mazur-féle modell illeszkedésére csak az utóbbi próba ad pozitív feleletet. Összehasonlításul érdemes megemlíteni, hogy a momentumok módszerével nyert gamma becslések az empirikus adatoktól maximálisan 14,5 egységnyire térnek el, a maximum-likelihood becslésnél a maximális eltérés 16,6, a Mazur-féle becslésnél pedig az 50-et is túlhaladja. Amíg azonban a Mazur-féle modell az eloszlás felfelé ívelő szakaszát igen nagy hibával írja le (a négyzetes eltérések összegének nagy része ebből adódik), addig az eloszlás lefelé ívelő szakaszán nagyfokú illeszkedést mutal az empirikus adatokra. A különböző becslési eljárásokkal számított gammaeloszláson alapuló modell ugyanakkor az empirikus eloszlástól túl nagy eltérést sehol sem mutat, azonban helyenként (elsősorban a leszálló ágon) jobban eltér ettől, mint a Mazur-féle modell (lásd az I. ábrát). A kapott ered menyek tehát azt mutatják, hogy a magyar korspecifikus termékenységi adatok legjobb modellje a [7] formula által definiált gamma-típusú érték adóeloszlás, amely 1000 a korú nő élveszüléseinek számára a becslést adja. E meggondolásokból kiindulva a korspecifikus születési arányszámok alakulását az időszakra a gamma-eloszláson alapuló modell felhasználásával végeztük, amelynek paramétereit a momentumok módszerével becsültük. Az eredmények értékelésénél felmerül az a kérdés is, hogy a Pearsontípusú eloszlásokon alapuló modell illeszkedik-e a Mazur által tanulmányo- 4 *

8 208 /..Ir évi magyar korspecifikus születési arányszámok empirikus, valamint különféle módszerekkel becsült eloszlásai Распределение возрастно-специфических коэффициентов рождаемости в Венгрии в 1961 г., исчисленное при помощи эмпирического метода и различных других методов. Empirical and estimated distributions of age-specific fertility rates, Hungary, 1061 zott évi amerikai fertilitási anyagra és ha igen, a Mazur-féle modellhez viszonyítva milyen hatásfokkal. Az Egyesült Államok ( native white ) női népessége évi korspecifikus születési arányszámainak szempontjából vizsgálva a problémát, a kérdésre igenlő választ kell adni, bár az empirikus eloszlástól veit eltérések négyzetösszege több mint kétszerese a Mazur-féle modellnél megfigyelhetőnek (3963 az 1809 egységgel szemben), és különösen a legexponáltabb koréveknél tetemes az eltérés. Hollandia évi korspecifikus nettó fertititását vizsgálva hasonló képet kapunk: a Mazur-féle modell (amelyre az empirikus és becsült adatok eltéréseinek négyzetösszege 407) némiképpen jobb illeszkedést mutat az empirikus eloszlásra, mint a Hadwiger-féle görbe (478). míg a gamma-eloszlás illeszkedése ezeknél jóval gyengébb (1294). Meg kell jegyeznünk, hogy mindkét említett példa igen magas termékenységii sokaságra vonatkozik, hiszen pl. Hollandia évi nettó re

9 209 produkciós együtthatója 1,10 volt (4) az évi magyarországi 0,88-dal szemben (13). A vázolt jelenség azt mutatja, hogy a korspecifikus termékenység (vagy az ezzel rokonságot mutató más demográfiai eloszlások) modellszerű leírására nem rögzíthető egyszer s mindenkorra egyik vagy másik ún. legjobb formula. Egy adott sokaság jellemzéséhez minden konkrét esetben külön kell megvizsgálni a szóba jövő formulák illeszkedésének hatásfokát és csak ennek értékelése után választható meg a termékenységet legjobban jellemző modell végső alakja. Előfordulhat egyébként, hogy egy adott népesség korspecifikus születési arányszámainak hosszabb időszakban végzett vizsgálatánál a társadalmi és gazdasági tényezők hatásának eredményeképpen különböző időpontokra esetleg különböző típusú modell írja le legpontosabban a fertilitást. Az eredmények alapján indokoltnak látszik egy olyan hipotézis felállítása is, amely szerint a népesség termékenységi szintje döntően befolyásolja a modell alakját, magasabb termékenységű népesség korspecifikus születési arányszámát a Mazur- (ill. Hadwiger-) féle modell írja le pontosabban, míg alacsonyabb termékenység esetén a gamma-eloszláson alapuló modell részesíthető előnyben. (Legalább is Európában a termékenység szintje, valamint az egyes korcsoportok viszonylagos születési intenzitásai, tehát a fertilitási függvény alakja között bizonyos kapcsolatok állhatnak fenn.) A magyarországi termékenység időszakbeli adatainak következő elemzése, úgy tűnik, alátámasztja ezt a hipotézist. 2. A MAGYAR KORSPECIFIKUS SZÜLETÉSI ARÁNYSZÁMOK ELOSZLÁSA AZ ÉVEKBEN A második világháború utáni időszakban Magyarország népességének termékenysége jelentős változásokon ment át (13), (14). Közvetlenül a háború után az élveszületések száma sok európai országtól eltérően csak kismértékben növekedett és az években lényegében a 20,4%o-es szint körül ingadozott. E nem túl jelentős növekedés után azonban már 1951-től ismét csökkenni kezdett a termékenység, mely folyamatot az évek termékenységének ugrásszerű megemelkedése (az 1952, évi 19,6%0-es szintről 1954-re 23%0-re szökött fel) szakított meg. E hirtelen változás egyik fő oka az évben hozott rendelkezés volt a művi vetélés számának korlátozására, amihez hozzájárult még a mezőgazdasági népesség születési mozgalmának időszakos megélénkülése. E rendelkezés egyes káros hatásai azonban csakhamar szembetűnővé váltak és így célszerűnek mutatkozott a terhességmegszakításra vonatkozó jogszabályok fokozatos enyhítése. E folyamat eredményeképpen 1955 óta a termékenység szintje állandóan csökkenő tendenciát mutat. A csökkenés mértéke az években volt a legintenzívebb, amikor is az 1000 lakosra jutó élveszületések száma az évi 23%0-ről az évi 16%0-re zuhant. Azóta a már alacsony születési arányszám, érthető módon kisebb ütemben, de továbbra is állandóan csökken óta az 1000 lakosra jutó élveszületések száma Európában Svédország után Magyarországon a legalacsonyabb, sőt 1962-re a legalacsonyabb 12,9%0-re süllyedt. Ezzel együtt járt a reprodukciós együtthatók gyors csökkenése; a bruttó reprodukciós együttható az évi 1,429 értékről az évi 0,868-ra, ennek megfelelően a nettó együttható ugyanezen időszakban 1,308-ról 0,808-ra csökkent (15).

10 A magyar korspecifikus születési arányszámok empirikus, valamint a gamma- Эмпирические значения и оценки возрастно-специфических коэффициентов роэ/сдаемости в Observed and estimated age-specific fertility rates. Hungary, Горизонтальная графа: (1) Возраст; (2) действительная численность; (3) оценка при пощихся на 1000 женщин Heading: (1) Age; (2) actual number; (3) estimated number; (4) by gamma-distribution; E demográfiailag nyugtalan időszakban tehát mindössze az 1956 utáni évek termékenységi adatai mutatnak stabil (1962-ig csökkenő) tendenciát, és ezért az előzőekben vázolt modellt is csupán az évek korspecifikus termékenységi adatainak leírására alkalmaztuk. Segítségével a termékenység szintjének csökkenésén túlmenően a nők kor szerinti termékenységi intenzitásában bekövetkezett változások is jól jellemezhetők. Tisztán mód-

11 S Z Ü L E T É S I A R Á N Y S Z Á M O K M O D E L L J E I 211 eloszlással és a Mazur-féle modell alapján becsült értékei az években Венгрии в ггисчисленные на основе метода распределения Гамма и модели Мазура (The estimates are based on gamma-distribution and Mazur-type models.) мощи; (4) распределения Гамма; (5) распределения Мазура; (6) живорождений, приходясоответствующего возраста. (5) by Mazur-type model; (6) of livebirths per 1000 women. szertani meggondolásokból bemutatjuk ugyanezen időszakra a korspecifikus termékenység leírását a Mazur által proponált modell segítségével is. A számítások eredményeit a 2. és a 3. tábla tartalmazza. A 2. táblán feltüntettük az egyes évekre vonatkozó empirikus és a gamma-eloszlás, valamint a Mazur-féle modell alapján becsült korspecifikus születési arányszámokat, míg a 3. tábla e modellek paramétereit és a becslések hatásfokát mutatja.

12 212 Ezekből leolvasható, hogy a gamma-eloszlással nyert becslések pontossága minden évre nagyobb a Mazur-féle modell alapján végzett becslésekénél. Míg a gamma-eloszlás pontossága a termékenység szintjének csökkenésével monoton növekszik, addig a Mazur-féle modell pontossága (1962 kivételével) mindvégig egy magas szint körül ingadozik. E tény az előző pontban említe tt hipotézist látszik alátámasztani. 3. A gamma-eloszlás, valamint a Mazur-féle modell paraméterei és a becslések hatásfoka, Magyarorszá g, Параметры распределения Гамма и модели Мазура и эффективность оценок в Венгрии, по гг. Parameters of the gamma-distribution and of the M azur-type model and the efficiency of the estimates, Hungary, Горизонтальная графа: (1) Год; (2) параметры; (3) отклонение от эмпирического распределения; (4) распределения Гамма; (5) модели Мазура. H eading: (1) Year; (2) parameters; (3) deviation from the empirical distribution; (4) of the gamma-distribution; (5) of the Mazur-type model. Mint all. ábrán megfigyelhető, a gamma-eloszlás az években éppen a legexponáltabb, a legmagasabb termékenységű évesek korcsoportjában mutat eltérést az empirikus eloszlástól, míg a évesek korcsoportjában a Mazur-féle modellel ellentétben nagyfokú egyezést tapasztalhatunk. A termékenység szintjének csökkenésével az eltérések is csökkennek és az években már a évesek korcsoportjában is kielégítő a gamma-eloszlás illeszkedése. Megjegyzendő, hogy a évek intervallumában mindkét eloszlás relative jelentősen eltér az empirikus eloszlástól, a Mazur-féle modell nagyobb mértékben, mint a gamma-eloszlás. A paraméterek változása jól mutatja a korspecifikus termékenység struktúrájában végbement változásokat. hányados csökkenése jelzi a termékenységi eloszlás moduszának eltolódását a fiatalabb korosztályok felé, ami által az eloszlások egyre ferdébbé válnak. E modusz az évi 24 feletti értékről fokozatosan 23,4 alá csökkent. A folyamat eredményeképpen jelentősen megnőtt a fiatalabb korcsoportok súlya az összenépesség termékenységében. A értéke például az évi 0,1069-ről 1962-re

13 S Z Ü L E T É S I A R Á N Y S Z Á M O K M O D E L L J E I 213 II. A magyar korspecifikus születési arányszámok empirikus és ( gamma-eloszlással, illetve Mazur-modellel) becsült eloszlásai az években Эмпирические распределения возрастно-специфических коэффициентов Венгрии в гг. и их оценки, исчисленные при помощи распределения Гамма или Модели Мазура. Empirical and estimated (by gamma-distribution and Mazur-type model) distributions of age-specific fertility rates, Hungary, ,1281-re, a évi értéke pedig 0,3539-ről 1962-re 0,3995-re növeke- dett. Ez azt jelenti, hogy míg 1956-ban a népesség bruttó reprodukciójának csupán 46%-át tette ki a éves nők termékenysége, addig 1962-ben már majdnem 60%-át. Ugyanakkor ezzel ellentétben például a éves éves nők termékenysége, amely 1956-ban a bruttó reprodukció 25%-át fedezte, 1962-ben még 19%-át sem tette ki. Másrészről p csökkenésénél λ relatíve gyorsabb ütemben növekedett, aminek eredményeképpen a valószínűségi sűrűségfüggvény maximális értékei az évi 0,074-ről az években 0,0805 értékre növekedtek. Természetesen ennek ellenére a bruttó reprodukció gyors csökkenésével a gamma-eloszláson alapuló termékenységi modell maximális értékei mégis jelentősen csökkentek. Összefoglalva tehát megállapítható, hogy a gammaeloszlás paramétereinek változása visszatükrözi az általános termékenység csökkenését, valamint azt, hogy a termékenység súlya a fiatalabb korosztályok felé tolódott el. A Mazur-féle modell paraméterei érthető módon kevésbé rugalmasan követik a változásokat, 1956-hoz viszonyítva az empirikus

14 214 T E K S E K Á L M Á N eloszlások maximális értékei 1960-ra 87,4%-ra, 1962-re pedig 78,6%-ra csökkentek, ugyanakkor a bruttó reprodukciós együttható 1960-ra az évi 77,5%-ára, 1962-re pedig 69,0%-ára zuhant. Az eloszlás modusza ugyancsak kissé nehézkesen reagál az empirikus eloszlás elferdülésére. A gamma-eloszlás p és Aparaméterértékei az években igen határozott lineáris trendet mutatnak. A p értékek trendje a (t, p) koordinátarendszerben p = 0,0399t + 3,8473, [8] a Aértékek trendje pedig a (t, λ) rendszerben λ = 0,0067t + 0,3267 [9] lineáris egyenletekkel becsülhető (az együtthatók meghatározása a legkisebb négyzetek módszerével történt). Ugyanezen időszakban a értékek alakulása lényegében egybeesik az ötéves korcsoportok termékenysége alapján számított bruttó reprodukciós együtthatók alakulásával (15). A korspecifikus fertilitás modelljeinek paraméterei igen tömör formában jellemzik a termékenységet, ezért meghatározásuk a demográfia egy sor gyakorlati problémájának megoldásában gyümölcsöztethető. így például a gamma-eloszlással becsült fertilitás néhány paramétere segítségével könynyen jellemezhetők különböző alacsony termékenységű országok egy adott időpontbeli korspecifikus termékenységének differenciái. Másrészről, amint az elmondottakból is látható, egy adott népesség különböző évekre meghatározott (például a gamma-eloszláson alapuló fertilitási függvényeinek) paraméterei segítségével a korspecifikus fertilitás struktúrájában végbement időbeli változások könnyen leírhatók és mélyebben elemezhetők a társadalmi és gazdasági jelenségekkel való összefüggésükben. Végül e modell segítségével alaposabb vizsgálat alá vehető a perspektivikus népességelőreszámítások legproblematikusabb komponense, a termékenység. Igaz, a modell csak igen korlátozott mértékben alkalmas a termékenység általános szintje jövőbeni alakulásának vizsgálatára, azonban a termékenységnek az anya kora szerinti struktúrája a modell paramétereire vonatkozó bizonyos hipotézisek segítségével jól becsülhető. A népességelőreszámítások ugyanakkor a termékenység általános szintjét egyéb demográfiai megfontolások alapján számítják ennek struktúráját azonban legtöbbször csak triviális hipotézis alapján (valamely korábbi év megfigyelt általános vagy korspecifikus fertilitásának jövőbeli feltételezésével) becsülik előre, így egy ilyen modell segítségével a népességelőreszámítások említett fogyatékossága kiküszöbölhető, és bizonyos további feltételezések mellett a korábbiaknál pontosabban becsülhető a korspecifikus születési arányszámok, valamint a bruttó reprodukciós együttható jövőbeli alakulása. Amennyiben például Magyarországon a korspecifikus termékenység a [8] és [9] egyenletnek megfelelően alakul a jövőben, akkor 1980-ra a sűrűségfüggvények a 22 éves kor környékén igen nagy (0,10-hez közeli) maximumokat vesznek fel és a termékenység súlya még inkább a fiatalabb korcsoportok felé tolódik el ra a reprodukció majdnem fele a éves anyákra jut és közel kétharmad része a 24 éven aluli nőknél jelentkezik majd.

15 S Z Ü L E T É S I A R Á N Y S Z Á M O K. M O D E L L J E I 215 A magyar népességelőreszámítások bizonyos korábbi évek korspecifikus termékenységi arányszámainak a jövőre vetítésein alapulnak (16). Ha azonban figyelembe vesszük a magyar korspecifikus termékenység vázolt modelljei paramétereinek a változását és feltesszük, hogy ez a jövőben is (esetleg kisebb módosulásokkal) folytatódni fog, akkor az általános termékenységi arányszám jövőbeli alakulására vonatkozó hipotézisek alapján a jövő tér- I I I. A z évek magyar korspecifikus születési arányszámait leíró gamma-eloszlások paraméterértékei és ezek trendjei Значения параметров распределений Гамма, описывающие возрастно-специфические коэффициенты роэюдаемости Венгрии в гг. и их трэнды Values of parameters of the gamma-distributions describing the Hungarian age-specific fertility rates for the years and their trends mékenységére a korábbiaknál pontosabb becslések nyerhetők. A magyar népességelőreszámítások hipotézisei szerint az közötti időszakban az f15_49 általános termékenységi arányszám az 1961-ben megfigyelt alacsony 56,6%0-es (I. változat), az évi közepes 58,9%0-es (II. változat), illetőleg az évi viszonylag magas 60,6%o-es (III. változat) szinten mozog majd; míg az közötti időszakban az egyes változatok rendre 58,9%0-es, 60,6%o-es és 63,5%0-es termékenységi szinttel számolnak. Mindhárom változat a propagatív korú nők n15_ 19 számát 1971-re re, 1981-re re becsüli. Ezekből kiszámítható az összes születések b = = n 15_49 f13_ 49 száma. Az előző pont jelöléseit használva azonban az a korú nők na számából és az összefüggésből tehát ahol az egyenlőség jobb oldalán szereplő összes mennyiség a népességelőreszámítások eredményeiből, valamint a vázolt modell alapján ismert.

16 A bruttó és nettó reprodukciós együtthatók becsült értékei és évekre a magyar népességelőreszámítások hipotéziseit feltételezve Оценки брутто и нетто коэффициентов воспроизводства по 1970 и 1980 гг. на основе гипотез венгерских проекций численности населения Expected gross and net reproduction rates for the years 1970 and 1980 based on the assumptions of the Hungarian population forecasts a Zárójelben a hipotézis alapjául szolgáló term ékenység éve szerepel. A m egfigyelt b ru ttó reprodukciós eg y ü tth ató k értéke 1958-ban 1,045; 1959-ben 1,0005; 1960-ban 0,975 és 1961-ben 0,938 volt. Горизонтальная графа: (1) Год; (2) оценки коэффициентов воспроизводства, исчиленные н а основе; (3) гипотезы; (4) брутто; (5) нетто. В скобках приведен год фертильности, служащ ей основой гипотезы. Значение наблюденного брутто коэффициента воспроизводства составило 1,045 в 1958 г., 1,0005 в 1959 г., 0,975 в 1960 г. и 0,938 в 1961 г. Heading: (1) Y ear; (2) expected reproduction rate based on th e; (3 )... hypotheses; (4) gross; (5) net. a) In the brackets there stands the calendar year of fertility serving as base for the hypothesis, values of th e gross reproduction rates observed were 1,045 in 1958, 1,0005 in 1959, 0,975 in 1960 and 0,93S in kulnak, a A népességelőreszámítás feltételezéseinek teljesülése esetén, amennyiben az ismertetett modell paraméterei továbbra is a [81 és [91 trend szerint alavárható értékeit, illetve ezekből a leánygyermek születések hányadával való szorzás útján nyert becsült bruttó reprodukciós együtthatókat az és évekre a 4. tábla szemlélteti. A nettó reprodukciós együtthatókat az évi átlagos halandósági szint állandóságának feltételezésével a leánygyermekek évi átlagos születési arányát felhasználva számítottuk ki (5. tábla). Eszerint az elkövetkező 20 évben még a népességelőreszámítás közepes hipotézise mellett sem várható, hogy a nettó reprodukciós együttható eléri az egyet, sőt még a hipotézis alapjául szolgáló éveknek megfelelő együttható értékét sem. 3. NÉHÁNY B E FEJEZ Ő M EGJEGYZÉS Mint már említettük, a jelen vizsgálat egyik fő eredménye annak megmutatása, hogy a korspecifikus születési arányszámok leírásához nem létezik valamilyen egyszer s mindenkorra rögzített típusú modell. Adott népesség fertilitási függvényének jellemzéséhez minden esetben meg kell vizsgálni a szóba jövő modellek illeszkedésének mértékét, miközben a modell paramétereit a technikailag elérhető legjobb hatásfokú becslésekkel kell meghatározni. A modell és a megfigyelt eloszlás közötti eltéréseket nem lehet a népmozgalmi

17 SZÜLETÉSI ARÁNYSZAMOK MODELLJEI A magyar korspecifikus születési arányszámok becsült értékei az és évekre a népességelőreszámítás közepes hipotézisét feltételezve Оценки возрастно-специфических коэффициентов рождаемости в Венгрии по 1970 и 1980 гг. на основе гипотезы-медиум проекций численности населения Estimated age-specific fertility rates for the years 1970 and 1980 by the assumptions of the medium hypothesis of the population forecasts Горизонтальная графа: (1) Возраст; (2) оценка численности живорождении, приходящ ихся на 1000 женщин. Heading: (1) Age; (2) estim ated livebirths per 1000 women statisztika hibájának rovására írni, hiszen pl. Magyarországon ezek a hibák jelentéktelenek. Mindenesetre az alacsony, de fiatalabb korcsoportokban relatíve nagy intenzitású termékenységgel rendelkező népesség születési arányszámait a gamma-eloszláson alapuló vázolt modell viszonylag nagy pontossággal írja le, miközben a paraméterek becslésére a momentumok módszere (egyszerűsége mellett is) pontos eredményeket szolgáltat. Magas és kevésbé ferde eloszlású termékenység esetén a Mazur-féle modell használható jobban. Nyitott probléma még a két típust elválasztó határ megállapítása.

18 218 Mint bemutattuk, a modellek hasznosíthatók (a korspecifikus termékenység nemzetközi és időbeli összehasonlításán túlmenően) a különböző népességelőreszámításoknál. Természetesen ilyen előreszámítások realitása növekedne, ha a születések várható számait az egyes születési kohorszok évenkénti és befejezett termékenységének alakulására vonatkozó hipotézisekre alapulva lehetne becsülni. Sajnos a gamma-eloszláson alapuló modell csak a befejezett termékenységi! kohorszokra alkalmazható, itt viszont a termékenység súlya a távoli múltra esik és így az előreszámítások szempontjából csekély aktualitással rendelkezik. A Mazur-féle modell ugyanakkor igen alkalmasnak tűnik a korévek szerinti élveszületések maximumát elért, de befejezetlen termékenységű születési kohorszok még várható termékenységének becslésére. Feltehető, hogy a modell a kohorszok korspecifikus termékenységének lemenő ágain ugyanolyan jól illeszkedik az empirikus adatokra, mint egyébként. Sajnos ennek vizsgálatához magyar anyag nem állott rendelkezésünkre. IRODALOM 1. Lotka, A. J.: Théorie analitique des associations biologiques. Deuxième partie: Analyse démographique avec application particulière á l espece hum aine. Paris H erm ann e t Cie. 2. Lopez, A.: Problems in sta b le Population Theory. Princeton, Office of Population Research. Princeton U niversity p. 3. Hertz, P.: Die Bewegung eines E lektrons unter dem Einflusse einer stets gleich. gerichteten K raft. M athem atische Annáién p. 4. Yntema, L.: M athem atical models of dem ographic analvsis. Leiden, J. J. Green and Zoon N. V. 78 p. 5. Wicksell, S. D.: N uptiality, fertility and reproductivity. Skandinavisk Aktuarietidskrift p. ' ' 6. Hadwiger, H.: Eine analytische Reproduktionsform el für biologische Gesam theiten. Skandina- _ visk Aktuarietidskirft p. 7. Hadwiger: H. Ruchti, W.: D arstellung der F ruchtbarkeit durch eine biologische R eproduktionsform el. Archív Math. Wirtschafts- und Sozialforschung S. Proceedings of th e W orld Population Conference, Rom e U. N. New Y ork, Yol. IV p. 9. Dr. Acsádi György: A term ékenység előrebecslése a kohorszok gyerm ekszáma alapján. Demográfia évi 4. sz p. 10. Dr. Vincze István: Megjegyzések a népesség szám szerű alakulásának vizsgálatához. Demográfia évi 2. sz p. 11. Mazur, D. P.: A D em ographic Model for E stim ating Age-order Specific F ertility R ates. Journal of the American Statistical Association SS. p. 12. Kendall, M. G.: The Advanced Theory of Statistics. London, I. 457 p., II. 521 p. 13. D r. Szabadi) E gon : M agyarország népesedési helyzete: a családtervezés gazdasági, társadalm i és egészségügyi vonatkozásai. D em ográfia, évi 3. sz p. 14. M agyarország népesedése S tatisztikai Időszaki Közlem ények 60. kötet. B udapest, p. 15. Good, D.: Some Aspects of F ertilitv Change in H ungarv. Population Index, No p. 16. Dr. Theiss Ede: R eprodukció-m érés és dem ográfiai modellek. Demográfia, évi 4. sz p. 17. A népesség szám ának v árh ató alakulása I. 1-ig.,,F változat. K SH N épességtudom ányi K utató Csoportjának kéziratos anyaga. B udapest, p. О Д ЕМ О ГРАФ И Ч ЕСКОЙ м о д е л и в о з р а с т н о -с п е ц и ф и ч е с к и х КОЭФ Ф И Ц И ЕН ТО В РОЖ ДАЕМ ОСТИ Резюме Целью настоящего очерка является исследование некоторых возмож ных математических моделей аналитических приближений возрастноспецифических коэффициентов рождаемости, в первую очередь на основании венгерских данных о плодовитости за годы. Автор помимо пользующ ихся сравнительно широкой известностью наклонных распределений сравнивает также и точность моделей, предложенных Х эдви-

19 S Z Ü L E T É S I A R Á N Y S Z Á M O K M O D E L L J E I 219 гером и Мазуром, принимая при этом во внимание степень эффективности различных способов оценки отдельных параметров моделей. Можно установить, что известные до сих пор модели, в первую очередь из-за наличия влияющих решающим образом на плодовитость, постоянно изменяющихся общественных и экономических обстоятельств, не создают возможности для установления раз навсегда данной формы модели возрастно-специфических коэффициентов рождаемости. В случае каждой данной совокупности в отдельном порядке надо определить вид формулы, которая наилучшим образом изображает плодовитость. Например низкую венгерскую плодовитость в течение упомянутых лет лучше всего изображает модель, основывающаяся на распределении гамма (содержащая параметры определенные методом максимальной правдоподобии и методом моментов), а высокую возрастно-специфическую плодовитость в Соединенных Ш татах Америки в 1950 году, или, соответственно, в Голландии в 1935 и 1949 годах наилучшим образом приближает модель разработанная Мазуром. ON THE DEMOGRAPHIC MODELS OF THE AGE-SPECIFIC BIRTHS RATES Summary The aim of the study is to examine some possible m athem atical models (analytical approximations) of the age-specific birth rates, primarily on basis of the H ungarian fertility data of the period Besides the known skew probability distributions the author compares the accuracy of the models proposed by Hadwiger and Mazur, considering the efficiency of the different methods of estimation of the param eters of the models. I t can be stated th a t the models known so far do not enable us to fix the pattern of the model of the age-specific birth rates once for all, primarily due to the perm anently changing social and economic circumstances, influencing the trend of fertility fundam entally. Regarding each population the formula describing fertility the best ought to be determined. The low fertility of H ungary in the above mentioned years, for instance, can best be described by means of the model based on the gam ma-type distribution (with a param eter determined by the method of moments or by the method of maximum likelihood), whereas regarding the age-specific fertility of USA in 1950, or of the N etherlands in 1935 and 1949, it is the Mazur model th a t gives a better approximation.