Gráfalgoritmusok: összefüggőség, párosítás páros gráfban

Átírás

1 Gráfalgoritmusok: összefüggőség, párosítás páros gráfban Horváth Gyula

2 1. Elvágópontok és hidak 1.1. definíció. Egy G = (V, E) összefüggő irányítatlan gráf p V pontját elvágópontnak nevezzük, ha p-t (és a hozzá kapcsolódó minden élet) törölve, a gráf nem lesz összefüggő Elvágópontok Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf. Feladat: határozzuk meg G mindazon pontját, amelyek benne vannak legalább egy körben! 1.2. Állítás. Irányítatlan gráf bármely mélységi bejárása esetén minden él vagy faél, vagy visszaél Állítás. Egy G = (V,E) irányítatlan gráf p V pontja akkor és csak akkor van körben, ha van olyan u V és v V pont, hogy p = u vagy u leszármazottja p-nek, és (u,v) visszaél G valamely MFF mélységi feszítőfájában.

3 Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf, és tekintsük egy r-gyökerű MFF mélységi feszítőfáját. Legyen D(p) a p elérési ideje a mélségi bejárás során. Definiáljuk az L : V N függvényt a következőképpen: r q p u 1. ábra. L(p) = min { D(p) D(q) : van olyan u leszármazottja p-nek, hogy u q visszaél

4 1.4. Állítás. Az L függvény kiszámítható az élek számával arányos időben (O(E)) a mélységi bejárás során. D(p) L(p) = min D(q) : p q visszaél p q L(q) : p q faél r q p q u 2. ábra.

5 1 void MelyBejar ( i n t p ) { 2 / / Global : G, ido, D, Szin, Apa, L 3 D[ p]= ido ++; 4 L [ p]= ido ; 5 Szin [ p]= Szurke ; 6 for ( i n t q :G[ p ] ) 7 i f ( Szin [ q]==feher ) { / / p >q f a é l 8 Apa[ q]=p ; 9 MelyBejar ( q ) ; 0 L [ p]=min ( L [ p ], L [ q ] ) ; 1 } else i f (Apa[ p ]! = q && D[ q] <L [ p ] ) / / visszaél 2 L [ p]=d[ q ] ; 3 } 1.5. Állítás. Irányítatlan gráf bármely p pontja akkor és csak akkor van benne legalább egy körben, ha L(p) < D(p)) vagy p-nek van olyan u fia a mélységi feszítőfában, hogy L(u) D(p) Állítás. Irányítatlan gráf bármely p pontja akkor és csak akkor elvágópont, ha p r és van olyan q fia a mélységi feszítőfában, hogy L(q) D(p)) Állítás. Irányítatlan gráf esetén a mélységi feszítőfa gyökere akkor és csak akkor elvágópont, ha egynél több fia van a feszítőfában.

6 1 void Elvágopntok ( i n t p ) { 2 / / Global : G, ido, D, Szin, L, ElvagoP 3 D[ p]= ido ++; 4 L [ p]= ido ; 5 Szin [ p]= Szurke ; 6 i n t fiuk =0; 7 for ( i n t q :G[ p ] ) 8 i f ( Szin [ q]==feher ) { / / p >q f a é l 9 fiuk ++; 0 Apa[ q]=p ; 1 MelyBejar ( q ) ; 2 L [ p]=min ( L [ p ], L [ q ] ) ; 3 i f (D[ p] >1 && L [ q]>=d[ p ] ) 4 ElvagoP [ p]= true ; 5 } else i f (Apa[ p ]! = q && D[ q] <L [ p ] ) / / visszaél 6 L [ p]=d[ q ] ; 7 8 i f (D[ p]==1 && fiuk >1) 9 ElvagoP [ p]= true ; 0 }

7 1.2. Hidak 1.8. definíció. Egy irányítatlan G = (V,E) gráf (p,q) E éle akkor és csak akkor híd, ha az élet elhagyva a gráf nem lesz összefüggő Állítás. Egy irányítatlan G = (V,E) gráf (p,q) E éle akkor és csak akkor híd, ha nincs benne egyetlen körben sem Állítás. Egy irányítatlan G = (V, E) gráf (p, q) E éle akkor és csak akkor híd, ha valamely mélységi feszítőfa szerint faél, és számított L fügvénnyel teljesül, hogy L(q) = D(q) következmény. Egy gráf minden hídja az élek számával arányos időben kiszámítható.

8 1 / / I r á n y í t a t l a n gráf h i d j a i 2 #include < bits / stdc ++.h> 3 # define maxn using namespace std ; 5 struct El { 6 i n t p, q ; 7 El ( ) { } ; 8 El ( i n t x, i n t y ) { p=x ; q=y ; } 9 } ; 0 i n t n ; / / pontok száma 1 vector <int > G[maxN] ; 2 3 void BeOlvas ( ) { 4 / / Global : n,g 5 i n t m, p, q ; 6 scanf ( "%d %d", &n,&m) ; 7 for ( i n t i =0; i <m; i ++){ 8 scanf ( "%d %d", &p,&q ) ; 9 G[ p ]. push_back ( q ) ; 0 G[ q ]. push_back ( p ) ; 1 } 2 }

9 3 enum Paletta { Feher, Szurke, Fekete } ; 4 Paletta Szin [maxn] ; 5 i n t D[maxN] ; 6 i n t L [maxn] ; 7 i n t Apa[maxN] ; 8 vector <El > Hidak ; 9 i n t ido ; 0 1 void MelyBejar ( i n t p ) { 2 / / Global : G, ido, D, Szin, L, Hidak 3 D[ p]=++ ido ; 4 L [ p]= ido ; 5 Szin [ p]= Szurke ; 6 for ( i n t q :G[ p ] ) 7 i f ( Szin [ q]==feher ) { / / p >q f a é l 8 Apa[ q]=p ; 9 MelyBejar ( q ) ; 0 L [ p]=min ( L [ p ], L [ q ] ) ; 1 i f ( L [ q]==d[ q ] ) 2 Hidak. push_back ( El ( p, q ) ) ; 3 } else i f (Apa[ p ]! = q && D[ q] <L [ p ] ) / / visszaél 4 L [ p]=d[ q ] ; 5 }

10 6 i n t main ( ) { 7 BeOlvas ( ) ; 8 ido =0; 9 for ( i n t p=1;p<=n ; p++) Szin [ p]= Feher ; 0 for ( i n t p=1;p<=n ; p++) 1 i f ( Szin [ p]==feher ) 2 MelyBejar ( p ) ; 3 4 p r i n t f ( "%d \ n", Hidak. size ( ) ) ; 5 for ( El e : Hidak ) 6 p r i n t f ( "%d %d \ n", e. p, e. q ) ; 7 }

11 2. Kétszeresen összefüggő komponensek 2.1. definíció. Azt mondjuk, hogy egy G = (V, E) irányítatlan gráf kétszeresen összefüggő, ha V > 1, összefüggő és bármely élét törölve a gráf továbbra is összefüggő marad Állítás. Egy G = (V,E) irányítatlan gráf akkor és csak akkor kétszeresen összefüggő, ha verv > 1 vagy bármely éle benne van egy körben ábra.

12 Példa bemenet és kimenet bemenet kimenet

13 Belátható, hogy a kétszeresen összefüggő komponenseket úgy kapjuk, hogy töröljük a gráf élei közül a hidakat. 1 / / I r á n y í t a t l a n gráf kétszeresen összefüggő ( biconnected ) komponensek 2 #include < bits / stdc ++.h> 3 # define maxn using namespace std ; 5 struct El { 6 i n t p, q ; 7 El ( ) { } ; 8 El ( i n t x, i n t y ) { p=x ; q=y ; } 9 } ; 0 i n t n ; / / pontok száma 1 vector <int > G[maxN] ; 2 void BeOlvas ( ) ; 3 4 enum Paletta { Feher, Szurke, Fekete } ; 5 Paletta Szin [maxn] ; 6 i n t D[maxN] ; 7 i n t L [maxn] ; 8 i n t Apa[maxN] ; 9 stack <El > V; 0 vector <vector <El >> H; 1 i n t ido ;

14 2 void MelyBejar ( i n t p ) { 3 / / Global : G, ido, D, Szin, L, V,H 4 D[ p]=++ ido ; 5 L [ p]= ido ; 6 Szin [ p]= Szurke ; 7 for ( i n t q :G[ p ] ) { 8 i f ( Szin [ q]==feher ) { / / p >q f a é l 9 V. push ( El ( p, q ) ) ; 0 Apa[ q]=p ; 1 MelyBejar ( q ) ; 2 L [ p]=min ( L [ p ], L [ q ] ) ; 3 i f ( L [ q]>=d[ p ] ) { / / t a l á l t u n k egy komponenst 4 i f (V. top ( ). p==p && V. top ( ). q==q ) { / / p q híd 5 V. pop ( ) ; 6 } else { 7 El pq ; 8 vector <El > Hp; 9 do{ 0 pq=v. top ( ) ; V. pop ( ) ; 1 Hp. push_back ( pq ) ; 2 } while ( pq. p!=p pq. q!=q ) ; 3 H. push_back (Hp ) ; 4 } 5 }

15 6 } else i f ( q!=apa[ p ] && Szin [ q]==szurke ) { / / p >q visszaél 7 L [ p]=min ( L [ p ],D[ q ] ) ; 8 V. push ( El ( p, q ) ) ; 9 } 0 } 1 Szin [ p]= Fekete ; 2 }

16 3 void Komponensek ( ) { 4 / / global : G, H 5 for ( i n t p=1; p<=n ; p++) Szin [ p]= Feher ; 6 ido =0; 7 for ( i n t p=1; p<=n ; p++) 8 i f ( Szin [ p]==feher ) MelyBejar ( p ) ; 9 vector <El > Hp; 0 / / a veremben maradt komponens k i í r á s a 1 while (V. size ( ) > 0 ) { 2 El pq=v. top ( ) ; V. pop ( ) ; 3 Hp. push_back ( pq ) ; 4 } 5 i f (Hp. size () >0) H. push_back (Hp ) ; 6 }

17 7 i n t main ( ) { 8 ios_base : : sync_with_stdio ( false ) ; 9 cin. t i e (NULL) ; 0 BeOlvas ( ) ; 1 Komponensek ( ) ; 2 cout<<h. size () < < endl ; 3 for ( vector <El > komp: H) { 4 for ( El e : komp) 5 cout<<e. p<<" "<<e. q ; 6 cout <<endl ; 7 } 8 } 9 void BeOlvas ( ) { 0 / / Global : n,g 1 i n t m, p, q ; 2 cin >>n>>m; 3 for ( i n t i =0; i <m; i ++){ 4 cin >>p>>q ; 5 G[ p ]. push_back ( q ) ; 6 G[ q ]. push_back ( p ) ; 7 } 8 }

18 3. Erősen összefüggő komponensek 3.1. Feladat: Iskolahálózat (IOI96) Néhány iskola számítógépes hálózatba van kötve. Az iskolák a szabadon terjeszthető programok elosztására megállapodást kötöttek: minden iskola egy listát vezet azokról az iskolákról ("címzett iskolákról"), amelyek számára a programokat továbbküldi. Megjegyzés: ha B iskola szerepel az A iskola terjesztési listáján, akkor A nem feltétlenül szerepel B terjesztési listáján. Írjon programot, amely meghatározza azt a legkisebb számot, ahány iskolához egy új programot el kell juttatni ahhoz, hogy - a megállapodás alapján, a hálózaton keresztül terjesztve - végül minden iskolába eljusson. Bemenet A bementi állomány első sora egy egész számot, a hálózatba kapcsolt iskolák n; számát tartalmazza (2 n 1000). Az iskolákat az elsoő n pozitív egész számmal azonosítjuk. A következő n sor mindegyike egy-egy terjesztési listát ír le. Az i+1-edik sor az i-edik iskola terjesztési listáján szereplő iskolák azonosítóit tartalmazza. Minden lista végén egy 0 szám áll. Az üres lista csak egy 0 számból áll. Kimenet A kimenti állomány első sorába azt a legkisebb m számot kell írni, ahány iskolához egy új programot el kell juttatni ahhoz, hogy - a megállapodás alapján, a hálózaton keresztül terjesztve - végül minden iskolába eljusson. A második sor pontosan m egész számot tartalmazzon egy-egy szóközzel elválasztva, azon iskolák sorszámait, ahova kezdetben el kell juttatni az új programot. Több megoldás esetén bármelyik megadható.

19 Példa bemenet és kimenet bemenet kimenet 2 1 5

20 Elvi megoldás Legyen G = (V,E) az iskolahálózatot leíró irányított gráf, tehát V = {1,...,n} és (p,q) E akkor és csak akkor, ha a p iskola terjesztési listájában szerepel q. A megoldás egy olyan D V, amelyre teljesül: ( q V )( p D)(p q) A legkisebb elemszámú ilyen D halmazt keressük. A megoldást lépésenként építhetjük: Adott p pontra jelölje Eler(p) a p pontból elérhető pontok halmazát: D := /0; DbolElert := /0; p V p / DbolElert { D := D Eler(p) {p} DbolElert := DbolElert Eler(p) } Eler(p) = {q V : p q} Az algoritmus futási ideje legrosszabb esetben O(n 3 ). Megmutatjuk, hogy lényegesen gyorsabban is lehet számítani.

21 ábra. A hálózat gráfja

22 Soroljuk egy osztályba azokat a pontokat, amelyek egymásból elérhetők, jelölje ezt az eqvivalencia relációt. Tehát p q akkor és csak akkor, ha p q és q p. A p q reláció nyilvánvalóan eqvivalencia-reláció. Jelölje [p] a p pontot tartalmazó eqvivalencia-osztályt, tehát minden olyan komponensből kell egy-egy pontot választani, amely komponensbe nem vezet él a [p] = {q : p q és q p} A [p] halmazokat a gráf erősen összefüggő komponenseinek nevezzük. Tekintsük azt a gráfot, amelynek pontjai a G gráf erősen összefüggő komponensei, és [p] [q] akkor és csak akkor él, ha van olyan u [p] és van olyan v [q] hogy u v él az eredeti G gráfban. Ezt a gráfot G komponens-gráfjának nevezzük. Nyilvánvaló, hogy a komponens-gráf körmentes. A megoldás kiolvasható a komponens-gráfból: ábra. Erősen összefüggő komponensek

23 ábra. Komponens-gráf

24 komponens-gráfban. A feladat megoldásához nem kell feltétlenül előállítani a komponens-gráfot. Tegyük fel, hogy a G gráfnak k komponense van (ha k=1, akkor a gráfot erősen össefüggőnek mondjuk). Végezzünk egy mélységi bejárást, és legyenek p 1,..., p k az egyes komponensek azon elemei, amelyeket elsőnek érjük el a mélységi bejárás során. Ezeket a pontokat a komponens ősapjának nevezzük. Rakjuk sorba a gráf pontjait úgy, hogy amikor a mélységi bejárás során a pontot feketére színezzük, akkor a pontot a sor elejére rakjuk. Ebben a sorrendben az ősapák olyan sorrendben lesznek, hogy ha van p i p j út, akkor p i előbb szerepel a sorban, mint p j. Tehát a sorban az első pont olyan ősapa, amely komponense 0-befokú. Vegyük be ezt a megoldáshalmazbe, majd fessük be a belőle elérhető pontokat. Így az első be nem festett pont ismet egy olyan ősapa, amelynek komponense 0-befokú. Folytatva a beválasztás, befestés eljárást, amíg minden pontot be nem festettünk, megkapjuk a megoldást. Ez az algoritmus az élek számával arányos futási idejű lesz.

25 1 vector <int > G[maxN] ; 2 3 enum Paletta { Feher, Szurke, Fekete } ; 4 i n t T [maxn] ; 5 Paletta Szin [maxn] ; 6 i n t n, nn ; 7 8 void MelyBejar1 ( i n t p ) { 9 Szin [ p]= Szurke ; 0 for ( i n t q :G[ p ] ) 1 i f ( Szin [ q]==feher ) 2 MelyBejar1 ( q ) ; 3 T [ nn ]=p ; 4 } 5 void MelyBejar2 ( i n t p ) { 6 Szin [ p]= Szurke ; 7 for ( i n t q :G[ p ] ) 8 i f ( Szin [ q]==feher ) 9 MelyBejar2 ( q ) ; 0 } 1 void Beolvas ( ) { }

26 2 i n t main ( ) { 3 Beolvas ( ) ; 4 for ( i n t i =1; i <=n ; i ++) Szin [ i ]= Feher ; 5 nn=n ; 6 for ( i n t x=1;x<=n ; x++) 7 i f ( Szin [ x]==feher ) 8 MelyBejar1 ( x ) ; 9 for ( i n t i =1; i <=n ; i ++) Szin [ i ]= Feher ; 0 vector <int > mego; 1 for ( i n t i =1; i <=n ; i ++){ 2 i n t x=t [ i ] ; 3 i f ( Szin [ x]==feher ) { 4 mego. push_back ( x ) ; 5 MelyBejar2 ( x ) ; 6 } 7 } 8 cout<<mego. size () < < endl ; 9 for ( i n t x :mego) 0 cout<<x<<" " ; 1 cout <<endl ; 2 return 0; 3 }

27 Ha elő kell állítani az erősen összefüggő pomponenseket, akkor az előző algoritmust annyiban kell módosítani, hogy a festés helyett a transzponált gráfban az eléhető pontok kerülnek egy-egy komponensbe. 1 / / I r á n y í t o t t gráf erősen összefüggő komponensei 2 #include < bits / stdc ++.h> 3 # define maxn using namespace std ; 5 struct El { 6 i n t p, q ; 7 El ( ) { } ; 8 El ( i n t x, i n t y ) { p=x ; q=y ; } 9 } ; 0 i n t n ; / / pontok száma 1 i n t ido ; 2 vector <int > G[maxN] ; 3 vector <int > Gt [maxn] ; / / a transzponált gráf

28 4 void BeOlvas ( ) { 5 / / Global : n,g 6 i n t m, p, q ; 7 cin >>n>>m; 8 for ( i n t i =0; i <m; i ++){ 9 cin >>p>>q ; 0 G[ p ]. push_back ( q ) ; 1 Gt [ q ]. push_back ( p ) ; 2 } 3 } 4 enum Paletta { Feher, Szurke, Fekete } ; 5 Paletta Szin [maxn] ; 6 i n t T [maxn] ; 7 vector <vector <int >> H;

29 8 void MelyBejar ( i n t p ) { 9 / / Global : G, ido, D, Szin 0 Szin [ p]= Szurke ; 1 for ( i n t q :G[ p ] ) 2 i f ( Szin [ q]==feher ) 3 MelyBejar ( q ) ; 4 T [ ido ++]=p ; 5 } 6 vector <int > Hp; 7 void MelyBejarT ( i n t p ) { 8 / / Global : Gt, Szin, Hp 9 Hp. push_back ( p ) ; 0 Szin [ p]= Fekete ; 1 for ( i n t q : Gt [ p ] ) 2 i f ( Szin [ q]==szurke ) 3 MelyBejarT ( q ) ; 4 }

30 5 i n t main ( ) { 6 BeOlvas ( ) ; 7 for ( i n t p=1; p<=n ; p++) Szin [ p]= Feher ; 8 ido =1; 9 for ( i n t p=1; p<=n ; p++) 0 i f ( Szin [ p]==feher ) MelyBejar ( p ) ; 1 for ( i n t i =n ; i >0; i ){ 2 i f ( Szin [ T [ i ]]== Szurke ) { 3 Hp. clear ( ) ; 4 MelyBejarT ( T [ i ] ) ; 5 H. push_back (Hp ) ; 6 } 7 } 8 cout<<h. size () < < endl ; 9 for ( vector <int > h : H) { 0 for ( i n t x : h ) 1 cout<<x<< " " ; 2 cout <<endl ; 3 } 4 return 0; 5 }

31 4. Párosítás páros gráfban 4.1. definíció. A G = (V, E) irányítatlan gráfot páros gráfnak nevezzük, ha a V ponthalmaz felbontható két diszjunkt A és B részhalmazra úgy, hogy bármely (u,v) E él esetén vagy u A és v B, vagy u B és v A definíció. A G = (V, E) irányítatlan páros gráf esetén egy P E élhalmazt párosításnak nevezünk, ha bármely két P-beli élnek nincs közös pontja.

32 4.1. Maximális párosítás: magyar módszer Legyen P egy párosítása a G = (V,E) páros gráfnak, ahol A + B = V. Azt mondjuk, hogy egy p V pont párosított, ha valamely q pontra (p,q) P. Az a 0,b 1,a 1,...,b k,a k,b k+1 pontsorozatot növelő útnak nevezzük, ha az alábbiak teljesülnek. 1. a 0 és b k+1 nem párosított és a 0 A és b k+1 B vagy a 0 B és b k+1 A 2. (a i,b i ) P; i = 1,...,k 3. (a i,b i+1 ) E; i = 0,...,k b1 b2 b3 b4 a0 a1 a2 a3 7. ábra. Növelő út Nyilvánvaló, hogy ha a fenti pontsorozat növelőút, akkor a P {(a i,b i ) : i = 1,...,k} {(a i,b i+1 ) : i = 1,...,k + 1} is párosítás és eggyel több párt tartalmaz, mint P. A megyar módszer (Kőnig Dénes és Egervári Károly munkája alapján) olyan algoritmus maximális párosítás előállításáa, amely növelő utak keresésén alapszik. Az algoritmus helyességét az alábbi állítás bizonyítja Állítás. Legyen P egy olyan párosítása a G = (V,E) páros gráfnak, hogy nincs növelő út a gráfban. Ekkor P maximális párosítás.

33 1 #include < bits / stdc ++.h> 2 # define maxn using namespace std ; 4 5 vector <int > G[maxN] ; 6 bool Nemvolt [maxn] ; 7 i n t Par [maxn] ; 8 i n t n ;

34 9 bool NoveloUtKeres ( i n t a ) { 0 / / Globalis : G, Par, Nemvolt 1 Nemvolt [ a]= false ; 2 for ( i n t b :G[ a ] ) { 3 i f ( Nemvolt [ b ] ) { 4 i f ( Par [ b]==b ) { 5 Par [ a]=b ; Par [ b]=a ; 6 return true ; 7 } else { 8 Nemvolt [ b]= false ; 9 i f ( NoveloUtKeres ( Par [ b ] ) ) { 0 Par [ a]=b ; Par [ b]=a ; 1 return true ; 2 } 3 } 4 } 5 } 6 return false ; 7 }

35 8 i n t MagyarModszer ( ) { 9 / / A+B p r a ríció meghatározása 0 bool A[maxN] ; 1 queue<int > S; 2 for ( i n t x=1;x<=n ; x++){ 3 A[ x]= false ; 4 Nemvolt [ x]= true ; 5 } 6 A[1]= true ; Nemvolt [1]= false ; 7 S. push ( 1 ) ; 8 while (! S. empty ( ) ) { 9 i n t x=s. front ( ) ; S. pop ( ) ; 0 for ( i n t y :G[ x ] ) 1 i f ( Nemvolt [ y ] ) { 2 Nemvolt [ y]= false ; 3 A[ y ] =!A[ x ] ; 4 } 5 } 6 i n t parokszama =0; 7 for ( i n t i =1; i <=n ; i ++) Par [ i ]= i ;

36 8 / / Növelo utak keresése 9 for ( i n t a=1;a<=n ; a++) 0 i f (A[ a ] && Par [ a]==a ) { 1 for ( i n t x=1;x<=n ; x++) Nemvolt [ x]= true ; 2 i f ( NoveloUtKeres ( a ) ) 3 parokszama++; 4 } 5 return parokszama ; 6 }

37 7 void Beolvas ( ) { 8 i n t m, x, y ; 9 cin >>n>>m; 0 for ( i n t i =1; i <=m; i ++){ 1 cin >>x>>y ; 2 G[ x ]. push_back ( y ) ; 3 G[ y ]. push_back ( x ) ; 4 } 5 } 6 i n t main ( ) { 7 Beolvas ( ) ; 8 i n t m=magyarmodszer ( ) ; 9 cout <<m<<endl ; 0 for ( i n t a=1;a<=n ; a++) 1 i f ( Par [ a ]! = a ) { 2 cout<<a<<" "<<Par [ a]<<endl ; 3 Par [ Par [ a ] ] = Par [ a ] ; 4 } 5 return 0; 6 }

38 4.2. Minimális lefedő halmazok Tekintsünk egy G = (V,E) páros gráfot, ahol V = A+B és legyen P egy maximális párosítása G-nek definíció. Egy p 1,..., p k utat alternáló útnak vezünk, ha az egymást követő élek közül az egyik P-beli, a másik nem P-beli. A gráf éleit irányítsuk úgy, hogy u v ha u A és (u,v) nem párosított, vagy u B és (u,v) párosított. Jelölje A(x) azt a logikai függvényt, amleyre A(x) akkor és csak akkor igaz, ha x A. Ha az x pont párosított, akkor Par(x) jelölje x párját, egyébként legyen Par(x) = x Definiáljuk az L logikai függvényt az V ponthalmazon úgy, hogy L(x) akkor és csak akkor igaz, ha van olyan a A pont, hogy x elérhető a-ból alternáló úton. Ha L(x) igaz, akkor azt mondjuk, hohy x L-cimkézett. Soroljuk a gráf pontjait az A1, A2, A3, B1, B2, B3 diszjunk részhalmazokba az alábbiak szerint. A1(x) = A(x) Par(x) = x: nem párosított A-beli pontok halmaza A2(x) = A(x) Par(x) x L(x): párosított A-beli L-címkézett pontok halmaza A3(x) = A(x) Par(x) x!l(x): párosított A-beli nem L-címkézett pontok halmaza B1(x) =!A(x) Par(x) = x: nem párosított B-beli pontok halmaza B2(x) =!A(x) Par(x) x L(x): párosított B-beli L-címkézett pontok halmaza B3(x) =!A(x) Par(x) x!l(x): párosított B-beli nem L-címkézett pontok halmaza

39 A3 B3 A2 B2 A1 B1 8. ábra. Pontok osztályozása (maximális) párosítás alapján.

40 4.3. Minimális lefedő ponthalmaz 4.5. definíció. Egy G = (V, E) irányítatlan gráf F V ponthalmazát lefedő ponthalmaznak nevezzük, ha bármely (u,v) E élre u F vagy v F Állítás. A3 B2 halmaz minimális feledő ponthalmaz Állítás. A minimális feledő ponthalmaz elemszáma megegyezik a maximális párosítás elemszámával Maximális független ponthalmaz 4.8. definíció. Egy G = (V, E) irányítatlan gráf F V ponthalmazát független ponthalmaznak nevezzük, ha bármely (u,v) E élre u / F vagy v / F Állítás. A1 A2 B1 B3 maximális független ponthalmaz Minimális lefedő élhalmaz definíció. Egy G = (V, E) irányítatlan gráf F E élhalmazát lefedő élhalmaznak nevezzük, ha bármely u V pontra van olyan v V hogy (u,v) F Állítás. Párosító élek + egy-egy A1 B2 és B1 A3 él minimális lefedő élhalmazt alkot.

41 1 #include < bits / stdc ++.h> 2 # define maxn using namespace std ; 4 5 vector <int > G[maxN] ; 6 bool Nemvolt [maxn] ; 7 i n t Par [maxn] ; 8 bool A[maxN] ; 9 bool L [maxn] ; 0 bool C[maxN] ; 1 i n t n ;

42 2 bool NoveloUtKeres ( i n t a ) { 3 / / Globalis : G, Par, Nemvolt 4 Nemvolt [ a]= false ; 5 for ( i n t b :G[ a ] ) { 6 i f ( Nemvolt [ b ] ) { 7 i f ( Par [ b]==b ) { 8 Par [ a]=b ; Par [ b]=a ; 9 return true ; 0 } else { 1 Nemvolt [ b]= false ; 2 i f ( NoveloUtKeres ( Par [ b ] ) ) { 3 Par [ a]=b ; Par [ b]=a ; 4 return true ; 5 } 6 } 7 } 8 } 9 return false ; 0 }

43 1 i n t MagyarModszer ( ) { 2 / / A+B p r a ríció meghatározása 3 queue<int > S; 4 for ( i n t x=1;x<=n ; x++){ 5 A[ x]= false ; 6 Nemvolt [ x]= true ; 7 } 8 A[1]= true ; Nemvolt [1]= false ; 9 S. push ( 1 ) ; 0 while (! S. empty ( ) ) { 1 i n t x=s. front ( ) ; S. pop ( ) ; 2 for ( i n t y :G[ x ] ) 3 i f ( Nemvolt [ y ] ) { 4 Nemvolt [ y]= false ; 5 A[ y ] =!A[ x ] ; 6 } 7 } 8 i n t parokszama =0; 9 for ( i n t i =1; i <=n ; i ++) Par [ i ]= i ;

44 0 / / Növelo utak keresése 1 for ( i n t a=1;a<=n ; a++) 2 i f (A[ a ] && Par [ a]==a ) { 3 for ( i n t x=1;x<=n ; x++) Nemvolt [ x]= true ; 4 i f ( NoveloUtKeres ( a ) ) 5 parokszama++; 6 } 7 return parokszama ; 8 } 9 0 void AltBejar ( i n t a ) { 1 L [ a]= true ; 2 Nemvolt [ a]= false ; 3 for ( i n t b :G[ a ] ) i f ( Nemvolt [ b ] && Par [ b ]! = b ) { 4 L [ b]= true ; Nemvolt [ b]= false ; 5 AltBejar ( Par [ b ] ) ; 6 } 7 }

45 8 void Beolvas ( ) { 9 i n t m, x, y ; 0 cin >>n>>m; 1 for ( i n t i =1; i <=m; i ++){ 2 cin >>x>>y ; 3 G[ x ]. push_back ( y ) ; 4 G[ y ]. push_back ( x ) ; 5 } 6 }

46 7 i n t main ( ) { 8 Beolvas ( ) ; 9 i n t m=magyarmodszer ( ) ; 0 cout <<m<<endl ; 1 / / minimális lefedő élhalmaz 2 for ( i n t a=1;a<=n ; a++) 3 i f ( Par [ a ]! = a ) { 4 cout<<a<<" "<<Par [ a]<<endl ; 5 Par [ Par [ a ] ] = Par [ a ] ; 6 } 7 / / minimális lefedő ponthalmaz 8 for ( i n t x=1;x<=n ; x++){ 9 Nemvolt [ x]= true ; 0 L [ x ] =!A[ x ] ; 1 C[ x]= false ; 2 } 3 for ( i n t x=1;x<=n ; x++) 4 i f (!A[ x ] ) AltBejar ( x ) ; 5 for ( i n t x=1;x<=n ; x++) 6 C[ x]= A[ x ] &&! L [ x ]!A[ x ] && L [ x ] ; 7 8 return 0; 9 }