Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok Szegedi Tudományegyetem

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok 2014. Szegedi Tudományegyetem"

Átírás

1 Adatányászat Klaszterezés Szegedi Tudományegyetem Adatányászat

2 Mit várhatunk egy klaszterezőtől? Az ojektumok olyan csoportjainak megtalálása, hogy az egy csoportan levő ojektumok hasonlóak lesznek egymáshoz, mint a más csoportan levőkhöz Pl. vásárlói csoportok meghatározása, weoldalak csoportosítása Adatányászat

3 Formálisaan mit várjunk el egy jó klaszterezéstől? Adott pontok egy S halmaza, melyeken legyen értelmezve d : S S R+ {0} távolság(metrika) f (d, S) klaszterfüggvény S egy Γ particionálását adja vissza Skála invariancia: d, α > 0 f (d, S) = f (αd, S) Gazdagság: f segítségével legyen előállítható S minden particionálása Γ d : f (d, S) = Γ Konzisztencia: f (d, S) = Γ f (d 0, S) = Γ, amennyien d 0 d-nek egy Γ-transzformációja d egy Γ-transzformációja d 0, amennyien a Γ felontás mellett minden (i, j) pontpárra d 0 (i, j) d(i, j), továá d 0 (k, l) d(k, l) az eltérő klaszteree tartozó pontpárokra Adatányászat

4 Kleinerg lehetetlenségi tétele (2002) Nem adható klaszterező eljárás, amely a skála invariancia, gazdagság és konzisztencia jó tulajdonságaival egyszerre írna Legjo eseten a három tulajdonságól kettőt választhatunk egy klaszterező eljárás tekintetéen Adatányászat

5 Lehet még ennél is rossza? Dimenzionalitás átka Magas dimenzióan minden pont távolsága hasonló(an magas), nincs értelme közelségről eszélni Mi lesz 1d-en két pont várható távolsága egységnyi hosszúságon? És n-dimenzióan? Nem Euklideszi terek: pontok átlaga nem értelmezhető Adatányászat

6 Klaszterezés lehetséges csoportosítása Klaszterezés stílusa szerint Hierarchikus klaszterezés: a pontok klasztrestruktúráját klaszterek egymása ágyazott rendszereként adja meg Particionáló klaszterezés: csupán a pontok diszjunkt részhalmazait határozza meg Gráf alapú/távolság alapú klaszterezők Milyen tereken és adattípusokon tud dolgozni? Adatányászat

7 Hierarchikus klaszterezők Felülről lefele, vagy alulról felfele haladó eljárások Összekötő (linkage) algoritmuscsalád/agglomeratív klaszterezés 1: 2: 3: 4: 5: kezdeten minden pont alkosson egy önálló klasztert while (megállási feltétel nem teljesül) do [Ci, Cj ] := összevonásra legalkalmasa klaszterek Ck = Ci Cj end while a megállási feltétel, valamint az összevonásra legalkalmasa klaszterek definiálásának módosításával tö, változatos viselkedésű algoritmus kapható Adatányászat

8 Hierarchikus klaszterezés dendrogram Adatányászat

9 Hierarchikus klaszterezés klaszterek kialakítása Adatányászat

10 Statégiák Ci és Cj összevonásásra Mi legyen i és j, ha k klaszter közül kell válasszunk (i, j) = arg min1 i,j k,i6=j min(d(ci, Cj )) (i, j) = arg min1 i,j k,i6=j max(d(ci, Cj )) (i, j) = arg min1 i,j k,i6=j r (Ci Cj ), ahol r (C ) = maxx C d(x, centroid(c )) (itt a klaszteren elüli sugarak átlagával is számolhatunk akár) (i, j) = arg min1 i,j k,i6=j d(ci Cj ), ahol d(c ) = maxx,y C d(x, y ) Mi a klasztersugár (r (C )) és átmérő (d(c )) közötti összefüggés? Adatányászat

11 Lehetséges megállási feltételek Klaszterek számának előre definiálásával Maximum t távolsággal társítható élek ehúzása Akármi, amit a klaszterek összevonási stratégiáihoz rokoníthatunk (pl. az átlagos klaszterátmérők drasztikus növekménye) Nem állunk meg, a teljes fára vágyunk (filogenetikus fák) Adatányászat

12 Hierarchikus klaszterezés nem Euklideszi tereken Ha az adataink sztringek, melyek távolságát szerkesztési távolsággal mérjük, hogy határozzuk meg klaszterek összevonása után az új klaszter közepét? medoid : C klaszter azon eleme, melyhez képest a töi klaszterelem összességéen a lehető legközele van (pl. átlagos, maximális,... értelemen) Adatányászat

13 Medoidok Példa ecda aec aecd acd aecd 2 2 aec 4 Összeg Max Négyzetösszeg acd aecd aec ecda Adatányászat

14 Hierarchikus klaszterező hatékonysága Amennyien n pontunk van, az i. lépésen O((n i)2 ) művelettel megoldható két klaszter összevonása Mivel O(n) összevonás lehetséges, ezért O(n3 ) műveletigényű a teljes algoritmus Hogy javítanánk? Páronkénti távolságok meghatározása O(n2 ) Tároljuk ezeket prioritási soran. Mi enne a jó? Az eredeti műveletigény O(n2 log n)-re redukálható Adatányászat

15 k-közép módszer Nem kapunk hierarchikus struktúrát vissza Jellemzően előre ismertnek veszi a meghatározandó klaszterek k számát Mindössze az adatpontok klaszterközepekhez való rendelését végzi Ehhez megkeresi a legjo klaszterközepeket valamilyen célfüggvény minimalizálása mellett, pl. SSE = k X X k xj µi k2 i=1 xj Ci, ahol µi az i klaszterhez rendelt középpont Adatányászat

16 k-közép módszer a klaszterközepek meghatározására inicializáljuk a k klaszterközéppontot: µ = [µ1,..., µk ] 2: while (megállási feltétel nem teljesül) do 4: 6: 8: 10: 12: 14: µnew := zeros(k, m) clustersizes := zeros(1, k) for i = 1 to n do c := arg minj xi µj 2 µnew (c) := µnew (c) + xi clustersizes(c) := clustersizes(c) + 1 end for for i = 1 to k do µnew (i) = µnew (i)/clustersizes(i) end for µ = µnew end while Adatányászat

17 k-közép eljárás prolémái Felteszi az adatan fellelhető csoportok számának előzetes ismeretét Kezdeti kalszterközepekre való érzékenység Nagy klaszterek jogtalan hátránya sorolása Zajos adatokra való érzékenység Szaályos alakú (és nem túl nagy) régiók felismeréséen jó Adatányászat

18 Megoldási javaslatok a k-közép eljárás prolémáira Valamilyen jósági mérőszám mellett különöző k-k kipróálása mellet egy ésszerű választást végrehajtani Kezdőpontok megfelelő inicializálása µi := x X : µi 6= µj i 6= j-re k klasztere történő hierarchikus klaszterezést követően minden válasszunk az egyes klaszterekől véletlenül egy középpontot Folyamatosan válasszunk új elemeket, hogy azok minimális távolsága a már meghatározott centroidokhoz maximális legyen Algoritmus töszöri végrehajtása, klaszterek összeolvasztása utófeldolgozásként, amennyien szükséges Adatányászat

19 BFR (Bradley, Fayyad, Reina) algoritmus Erős feltételezés: a d-dimenziós klaszterek egyes dimenziói egymástól független Gauss eloszlásokkal írhatók le A pontokat végigolvassuk, de ahelyett, hogy mindegyiket tárolnánk, azokkal a pontokkal, amelyekről kielégítő valószínűséggel feltételezhető, hogy egy már megkezdett klasztere fog tartozni csak frissítjük a klaszterközép statisztikáját A klaszterközepeket 2d + 1 értékkel írjuk le: klaszterhez rendelt pontok száma, azok egyes dimenziónkénti elemeinek összege, valamint négyzetösszegük Mahalanois távolsággal ecsülhetjük r a már megkezdett 2 Pd xi ci klaszterközepektől vett távolságot formáan. i=1 σi Most miért így? Adatányászat

20 Élei lehetnek címkézettek (pl. ellenség, arát), továá súlyozottak (pl. telefoneszélgetés) Megjelenési formái Ismeretségi, társszerzőségi gráf (Erdős-Bacon szám) Levelezési gráf: G = (V, E ), hogy (x, y ) E x, y V (írt(x, y ) írt(y, x)) Mi lenne, ha az utolsó helyén állna? Valami egzotikusa: páros (k-részű) gráfok ( social ookmarking ) A hagyományos klaszterező eljárások nem (vagy legaláis csak korlátozottan) működnek esetüken Okai Skálázódás (hiánya) Két csúcs között lévő kapcsolat mértékének számszerűsítése Címkézett élek kezelése Adatányászat

21 Ilyenek a szociális hálózatok? Nem mondhatnánk. Ez sokkal inká egy véletlen (Erdős-Rényi) gráf Adatányászat

22 Példa szociális hálózat Zachary karate klu gráfja Adatányászat

23 Kisvilággráfok sajátosságai fokszámeloszlás lineáris skálán Adatányászat 14 16

24 Kisvilággráfok sajátosságai fokszámeloszlás log-log skálán Adatányászat

25 Kisvilággráfok sajátosságai fokszámeloszlás egy valós nagyságú példán Adatányászat

26 Kisvilággráfok sajátosságai Hatványeloszlás Fokszámok eloszlása hatványeloszlást követ (valami arátságos eloszlás helyett) p(x) exp (x µ)2 helyett p(x) x1β Milyen hatása lesz ennek log p(x) alakulására? Adatányászat

27 Kisvilággráfok sajátosságai Kis átmérő d(g ) = 2 V ( V 1) P u,v V u v log ( V ) Kis átmérő: alacsony a pontpárok közötti átlagos távolság (Milgram, Karinthy) Adatányászat

28 Kisvilággráfok sajátosságai Klaszterezettség, összefüggőség ha A csúcs szomszédja B és C is, akkor B és C csúcsok véletlennél nagyo valószínűséggel szomszédok X G = (V, E ) csúcsának klaszterezettsége: között menő élek száma c(x ) = 2 X Xszomszédjai szomszédjai ( X szomszédjai 1) G klaszterezettsége: a csúcsok klaszterezettségének átlaga Hogy jelenik meg mindez a szomszédsági gráfan? Adatányászat

29 Mi is a célunk tulajdonképp? Gráfok vágásai Egy G = (V, E ) hasonlósági gráf csúcsainak olyan particionálására (S T = S T = V ) vágyunk, ami minimális él eltávolításával (Cut(S, T )) jár minimális vágás továá közel azonos méretű részhalmazokat eredményez ) Cut(S,T ) Normalizált vágás = Cut(S,T Vol(S) + Vol(T ), ahol Vol(S), illetve Vol(T ) azon élek számát adja meg, amely legalá egy csúcsa S-en, illetve T -en található Laplace mátrix: L = D A, ahol D diagonális mátrix dii eleme a gráf i csúcsának fokszámát tartalmazza, aij pedig 1, ha i és j csúcsok összeköttetésen állnak, különen 0 Állítás: L szimmetrikus és pozitív szemidefinit. Biz.: tálán P V P V x Lx = 21 i=1 j=1 aij (xi xj )2 következménye: L sajátértékei valósak, és 0 Adatányászat

30 Spektrálklaszterezés alapja és a Rayleigh-Ritz tétel Lehet-e λ1 = 0? Ha igen, mikor? Lehet-e λi = 0, i > 1? Ha igen, mikor? P V P V Végső soron x Lx = 21 i=1 j=1 aij (xi xj )2 minimalizálása a cél, úgy, hogy k x k= 1, és x ~1 Rayleigh-Ritz tétel: min xx Mx x = λ1, valamint x Mx arg min x x = x1, ahol λ1 M legkise sajátértéke, x1 -pedig a hozzátartozó sajátvektor Továá minden sajátvektorra xi = arg minx x1,...,xi 1 x Mx x x Mit von mindez az általános eredmény maga után a Laplace mátrixra nézve? Adatányászat

31 Spektrálklaszterezés ~ Minimalizálni akarjuk xx Lx x -t, hogy k x k= 1 és x 1 ez épp x2, az ún. Fiedler-vektor lesz (Rayleigh-Ritz tétel értelméen) Egy lehetséges (korántsem egyedüli) forgatókönyv, hogy a pontokat kettéválasztjuk a pozitív és negatív értéket felvevő sajátvektorkomponenseknek megfelelően Egyáltalán iztosak lehetünk enne, a Fiedler-vektor fog > 0 és < 0 elemeket tartalmazni egyszerre? A 0 mentén való szeparáció helyett hagyatkozhattunk volna a mediánra is, vagy továi sajátvektorokra is akár A proléma visszavezethető még töek között: minimális vágásra, véletlen sétákra,... Adatányászat

32 Girvan-Newman algoritmus (a, ) él köztessége = azon pontpárok száma, amelyek között menő legrövide út tartalmazza (a, ) élet A magas érték jó vagy rossz? A gráf minden X pontjáól indulva határozzuk meg (X, ) csúcspárok köztességét (szélességi ejárás) A szélességi ejárás után lássuk el az egyes csúcsokat azokkal az értékekkel, hogy a gyökéről hányféle legrövide út vezet hozzájuk A szélességi ejárás azonos szintjén elüli élek nem lehetnek részei a gyökérelemől induló legrövide utaknak Ellenen a töi, ún. DAG-élek legalá egy legrövide úton fekszenek A gyökérhez 1 értéket társítva haladjunk szintenként, és egy gyerekcsúcs értéke legyen a szülei értékeinek összege Adatányászat

33 Girvan-Newman algoritmus folytatás Az aktuális X gyökérelem viszonyáan lássuk el a gráf egyes éleit köztességértékekkel (alulról felfele haladva) Minden élhez határozzuk meg, hogy adott X gyökérelem viszonyáan a legrövide utak mekkora hányada megy rajtuk keresztül A levelekhez 1 értéket társítunk Nem-levél csúcsok := 1 + kimenő DAG élek értékeinek összege Egy csúcs köztességének felterjesztése során a szülők felé vezető éleken a szülők a hozzájuk X -ől vezető legrövide utak arányáan osztozkodnak Ismételjük az eljárást, hogy minden csúcs legyen egyszer gyökérelem, az élek által felvett köztességértékeket pedig összegezzük az iterációk során (megjegyzés: minden élt kétszer számoltunk, így indokolt lehet az élek végső értékeinek 2-vel való osztása) Adatányászat

34 Köztesség alapú particionálás Az élekhez társított köztességértékeket tekinthetjük egyfajta távolságnak (még ha metrikának nem is) Iteratív módon összevonhatjuk a legkise köztességű élek végén lévő pontokat Eljárhatunk fordítva is: az eredeti gráfot a legnagyo köztességértékű éleket elhagyva komponensekre onthatjuk Adatányászat

35 A korái ismereteink is kapóra jönnek Véletlen séták (extrémmód) Perszonalizált PageRank (PRP) segítségével Elfogult teleportálás: (1 β) valószínűséggel induljunk újra Rendezzük a csúcsokat PRP szerint és vegyük a normalizált vágások értékeit a k legmagasa PRP értékű csúcsok mentén A normalizált vágások lokális minimumai tekinthetők klaszterhatároknak Normalized Cut Personalized PageRank Adatányászat 9

36 A korái ismereteink is kapóra jönnek Gyakori elemhalmazok Gyakori elemhalmazok keresése páros gráfokon Kosarak:?, Termékek:? Adatányászat

Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok. Szegei Tudományegyetem. Lehetetlenségi tétel Hierarchikus eljárások Particionáló módszerek

Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok. Szegei Tudományegyetem. Lehetetlenségi tétel Hierarchikus eljárások Particionáló módszerek Adatányászat Klaszterezés Szociális hálózatok Szegei Tudományegyetem Adatányászat Mit várhatunk egy klaszterezőtől? Az ojektumok olyan csoportjainak megtalálása, hogy az egy csoportan levő ojektumok hasonlóak

Részletesebben

Szociális hálózatok Gráf alapú módszerek. Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok. Szegedi Tudományegyetem. Adatbányászat

Szociális hálózatok Gráf alapú módszerek. Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok. Szegedi Tudományegyetem. Adatbányászat Klaszterezés Szegedi Tudományegyetem Élei lehetnek címkézettek (pl. ellenség, barát), továbbá súlyozottak (pl. telefonbeszélgetés) Megjelenési formái Ismeretségi, társszerzőségi gráf (Erdős-Bacon szám)

Részletesebben

Közösség detektálás gráfokban

Közösség detektálás gráfokban Közösség detektálás gráfokban Önszervező rendszerek Hegedűs István Célkitűzés: valamilyen objektumok halmaza felett minták, csoportok detektálása csakis az egyedek közötti kapcsolatok struktúrájának a

Részletesebben

7. Régió alapú szegmentálás

7. Régió alapú szegmentálás Digitális képek szegmentálása 7. Régió alapú szegmentálás Kató Zoltán http://www.cab.u-szeged.hu/~kato/segmentation/ Szegmentálási kritériumok Particionáljuk a képet az alábbi kritériumokat kielégítő régiókba

Részletesebben

Adatbányászat: Klaszterezés Haladó fogalmak és algoritmusok

Adatbányászat: Klaszterezés Haladó fogalmak és algoritmusok Adatbányászat: Klaszterezés Haladó fogalmak és algoritmusok 9. fejezet Tan, Steinbach, Kumar Bevezetés az adatbányászatba előadás-fóliák fordította Ispány Márton Logók és támogatás A tananyag a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0046

Részletesebben

Szalai Péter. April 17, Szalai Péter April 17, / 36

Szalai Péter. April 17, Szalai Péter April 17, / 36 Szociális hálók Szalai Péter April 17, 2015 Szalai Péter April 17, 2015 1 / 36 Miről lesz szó? 1 Megfigyelések Kis világ Power-law Klaszterezhetőség 2 Modellek Célok Erdős-Rényi Watts-Strogatz Barabási

Részletesebben

Gépi tanulás a gyakorlatban. Kiértékelés és Klaszterezés

Gépi tanulás a gyakorlatban. Kiértékelés és Klaszterezés Gépi tanulás a gyakorlatban Kiértékelés és Klaszterezés Hogyan alkalmazzuk sikeresen a gépi tanuló módszereket? Hogyan válasszuk az algoritmusokat? Hogyan hangoljuk a paramétereiket? Precízebben: Tegyük

Részletesebben

Gyakorló feladatok adatbányászati technikák tantárgyhoz

Gyakorló feladatok adatbányászati technikák tantárgyhoz Gyakorló feladatok adatbányászati technikák tantárgyhoz Buza Krisztián Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Klaszterezés kiértékelése Feladat:

Részletesebben

Klaszterezés. Kovács Máté március 22. BME. Kovács Máté (BME) Klaszterezés március / 37

Klaszterezés. Kovács Máté március 22. BME. Kovács Máté (BME) Klaszterezés március / 37 Klaszterezés Kovács Máté BME 2012. március 22. Kovács Máté (BME) Klaszterezés 2012. március 22. 1 / 37 Mi a klaszterezés? Intuitív meghatározás Adott dolgokból halmazokat klasztereket alakítunk ki úgy,

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Korszerű információs technológiák Klaszteranalízis Tompa Tamás tanársegéd Általános Informatikai Intézeti Tanszék Miskolc, 2018. október 20. Tartalom

Részletesebben

A segédletben található esetleges hibákkal kapcsolatos visszajelzéseket szívesen veszem.

A segédletben található esetleges hibákkal kapcsolatos visszajelzéseket szívesen veszem. Adatbányászat oktatási segédlet A segédletben található esetleges hibákkal kapcsolatos visszajelzéseket szívesen veszem. 1. gyakorlat 1.1. feladat Bonferroni-elv: Gyanúsnak definiálunk egy vásárlói párost,

Részletesebben

Keresés képi jellemzők alapján. Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék

Keresés képi jellemzők alapján. Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Keresés képi jellemzők alapján Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Lusta gépi tanulási algoritmusok Osztályozás: k=1: piros k=5: kék k-legközelebbi szomszéd (k=1,3,5,7)

Részletesebben

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31. Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás

Részletesebben

Képrekonstrukció 9. előadás

Képrekonstrukció 9. előadás Képrekonstrukció 9. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem hv-konvex összefüggő halmazok Mag-burok-szerű rekonstrukció: S. Brunetti, A. Del Lungo, F.

Részletesebben

Számítógépes képelemzés 7. előadás. Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék

Számítógépes képelemzés 7. előadás. Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Számítógépes képelemzés 7. előadás Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Momentumok Momentum-alapú jellemzők Tömegközéppont Irányultáság 1 2 tan 2 1 2,0 1,1 0, 2 Befoglaló

Részletesebben

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit

Részletesebben

Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter

Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME

Részletesebben

Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor

Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás.   Szénási Sándor Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Legrövidebb utak keresése Minimális feszítőfa keresése Gráfok 2

Részletesebben

Döntéselőkészítés. VII. előadás. Döntéselőkészítés. Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat)

Döntéselőkészítés. VII. előadás. Döntéselőkészítés. Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat) VII. előadás Legyenek adottak Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat) I, I 2,, I i,, I m személyek és a J, J 2,, J j,, J n munkák. Azt, hogy melyik személy melyik munkához ért ( melyik munkára van kvalifikálva)

Részletesebben

Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet

Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Tartalom 3/ kernelek segítségével Felügyelt és félig-felügyelt tanulás felügyelt: D =

Részletesebben

Szociális hálók klaszterezése

Szociális hálók klaszterezése EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Besenyei Andrea Matematika BSc. Matematikai elemző szakirány Szociális hálók klaszterezése Szakdolgozat Témavezető: Dr. Kósa Balázs Információs Rendszerek

Részletesebben

Gépi tanulás. Féligellenőrzött tanulás. Pataki Béla (Bolgár Bence)

Gépi tanulás. Féligellenőrzött tanulás. Pataki Béla (Bolgár Bence) Gépi tanulás Féligellenőrzött tanulás Pataki Béla (Bolgár Bence) BME I.E. 414, 463-26-79 pataki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/pataki Féligellenőrzött tanulás Mindig kevés az adat, de

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Felvételi tematika INFORMATIKA

Felvételi tematika INFORMATIKA Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 5. el adás Közösségszerkezet El adó: London András 2017. október 16. Közösségek hálózatban Homofília, asszortatívitás Newman modularitás Közösségek hálózatban

Részletesebben

Gráfalgoritmusok ismétlés ősz

Gráfalgoritmusok ismétlés ősz Gráfalgoritmusok ismétlés 2017. ősz Gráfok ábrázolása Egy G = (V, E) gráf ábrázolására alapvetően két módszert szoktak használni: szomszédsági listákat, illetve szomszédsági mátrixot. A G = (V, E) gráf

Részletesebben

Adatbányászat: Klaszterezés Alapfogalmak és algoritmusok

Adatbányászat: Klaszterezés Alapfogalmak és algoritmusok Adatbányászat: Klaszterezés Alapfogalmak és algoritmusok 8. fejezet Tan, Steinbach, Kumar Bevezetés az adatbányászatba előadás-fóliák fordította Ispány Márton Tan,Steinbach, Kumar Introduction to Data

Részletesebben

Adatbányászat: Klaszterezés Alapfogalmak és algoritmusok

Adatbányászat: Klaszterezés Alapfogalmak és algoritmusok Adatbányászat: Klaszterezés Alapfogalmak és algoritmusok 8. fejezet Tan, Steinbach, Kumar Bevezetés az adatbányászatba előadás-fóliák fordította Ispány Márton Tan,Steinbach, Kumar Introduction to Data

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc 12. téma Klaszterezési módszerek Klaszterezés célja Adott az objektumok, tulajdonságaik együttese. Az objektumok között hasonlóságot és különbözőséget fedezhetünk fel.

Részletesebben

Adatbányászati szemelvények MapReduce környezetben

Adatbányászati szemelvények MapReduce környezetben Adatbányászati szemelvények MapReduce környezetben Salánki Ágnes salanki@mit.bme.hu 2014.11.10. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Felügyelt

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet

Részletesebben

Algoritmuselmélet 7. előadás

Algoritmuselmélet 7. előadás Algoritmuselmélet 7. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 11. ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 1 Múltkori

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Csima Judit BME, SZIT február 18.

Csima Judit BME, SZIT február 18. 1 Véletlen gráfok és valós hálózatok Csima Judit BME, SZIT 2011. február 18. Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? 2. A klasszikus modell:

Részletesebben

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre

Részletesebben

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,

Részletesebben

Klaszterezés, 2. rész

Klaszterezés, 2. rész Klaszterezés, 2. rész Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 208. április 6. Csima Judit Klaszterezés, 2. rész / 29 Hierarchikus klaszterezés egymásba ágyazott klasztereket

Részletesebben

1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007

1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007 Hálózatok II 2007 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Szerda 17:00 18:30 Gyakorlat: nincs Vizsga írásbeli Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/g/07nwii

Részletesebben

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA 26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma

Részletesebben

Példa Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.

Példa Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él. Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

Nagy-György Judit. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Nagy-György Judit. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Többváltozós statisztika Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Többváltozós módszerek Ezek a módszerek több változó együttes vizsgálatára vonatkoznak. Alapvető típusaik: többdimenziós eloszlásokra vonatkozó

Részletesebben

Számítógép és programozás 2

Számítógép és programozás 2 Számítógép és programozás 2 11. Előadás Halmazkeresések, dinamikus programozás http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ A keresési feladat megoldása Legyen a lehetséges megoldások halmaza M ciklus { X legyen

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Principal Component Analysis

Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Közösségek keresése nagy gráfokban

Közösségek keresése nagy gráfokban Közösségek keresése nagy gráfokban Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2011. április 14. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek

Részletesebben

Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009

Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009 Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Hétfő 10:00 12:00 óra Gyakorlat: Hétfő 14:00-16:00 óra Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/0910nwmsc

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 2. el adás A hálózatkutatás néhány fontos fogalma El adó: London András 2015. szeptember 15. Átmér l ij a legrövidebb út a hálózatban i és j pont között =

Részletesebben

Szepesvári Csaba. 2005 ápr. 11

Szepesvári Csaba. 2005 ápr. 11 Gépi tanulás III. Szepesvári Csaba MTA SZTAKI 2005 ápr. 11 Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III. 2005 ápr. 11 1 / 37 1 Döntési fák 2 Felügyelet nélküli tanulás Klaszter-anaĺızis EM algoritmus Gauss

Részletesebben

HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (

HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: ( HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör Teljes gráf: Páros gráf, teljes páros gráf és Hamilton kör/út Hamilton kör: Minden csúcson áthaladó kör Hamilton kör Forrás: (http://www.math.klte.hur/~tujanyi/komb_j/k_win_doc/g0603.doc

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Klaszteranalízis Hasonló dolgok csoportosítását jelenti, gyakorlatilag az osztályozás szinonimájaként értelmezhetjük. A klaszteranalízis célja A klaszteranalízis alapvető célja, hogy a megfigyelési egységeket

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Keresések Gregorics Tibor Mesterséges intelligencia

Keresések Gregorics Tibor Mesterséges intelligencia Keresések ADAT := kezdeti érték while terminálási feltétel(adat) loop SELECT SZ FROM alkalmazható szabályok ADAT := SZ(ADAT) endloop KR vezérlési szintjei vezérlési stratégia általános modellfüggő heurisztikus

Részletesebben

Képrekonstrukció 6. előadás

Képrekonstrukció 6. előadás Képrekonstrukció 6. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Diszkrét tomográfia (DT) A CT-hez több száz vetület szükséges időigényes költséges károsíthatja

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és

Részletesebben

Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás

Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás Elágazás és korlátozás A backtrack alkalmas-e optimális megoldás keresésére? Van költség, és a legkisebb költségű megoldást szeretnénk előállítani. Van

Részletesebben

Bevezetés Standard 1 vállalatos feladatok Standard több vállalatos feladatok 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Bevezetés Standard 1 vállalatos feladatok Standard több vállalatos feladatok 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 10. Előadás Vállalatelhelyezés Vállalatelhelyezés Amikor egy új telephelyet kell nyitni,

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék

Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék 2016/17 2. félév 8. Előadás Dr. Kulcsár Gyula egyetemi docens Kereső algoritmusok alkalmazása

Részletesebben

Elengedhetetlen a játékokban, mozi produkciós eszközökben Nélküle kvantum hatás lép fel. Az objektumok áthaladnak a többi objektumon

Elengedhetetlen a játékokban, mozi produkciós eszközökben Nélküle kvantum hatás lép fel. Az objektumok áthaladnak a többi objektumon Bevezetés Ütközés detektálás Elengedhetetlen a játékokban, mozi produkciós eszközökben Nélküle kvantum hatás lép fel Az objektumok áthaladnak a többi objektumon A valósághű megjelenítés része Nem tisztán

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Babeş Bolyai Tudományegyetem, Matematika és Informatika Kar. szinte minden tudományterületen találkozhatunk. A sok fontos alkalmazás közül itt

Babeş Bolyai Tudományegyetem, Matematika és Informatika Kar. szinte minden tudományterületen találkozhatunk. A sok fontos alkalmazás közül itt Gépi tanulás gráfokkal Bodó Zalán Babeş Bolyai Tudományegyetem, Matematika és Informatika Kar 1. Bevezetés A gráfelmélet a matematika és számítástudomány egyik fontos ága. Az első, 1736-ban publikált a

Részletesebben

Gyakori elemhalmazok kinyerése

Gyakori elemhalmazok kinyerése Gyakori elemhalmazok kinyerése Balambér Dávid Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudomány szakirány 2011 március 11. Balambér Dávid (BME) Gyakori

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok

Részletesebben

HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás

HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás HÁLÓZAT informálisan Hálózat Irányított gráf Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) kapacitása Spec csúcsok: Forrás (Source): a kiindulási pont csak ki élek Nyelő

Részletesebben

Összefoglalás és gyakorlás

Összefoglalás és gyakorlás Összefoglalás és gyakorlás High Speed Networks Laboratory 1 / 28 Hálózatok jellemző paraméterei High Speed Networks Laboratory 2 / 28 Evolúció alkotta adatbázis Önszerveződő adatbázis = (struktúra, lekérdezés)

Részletesebben

Panorámakép készítése

Panorámakép készítése Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)

Részletesebben

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont 1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

B-fa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.

B-fa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás.  Szénási Sándor. B-fa Felépítés, alapvető műveletek előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar B-fa Felépítése Beszúrás művelete Törlés

Részletesebben

Gráf-algoritmusok ERŐS / GYENGE KÖTÉSEK

Gráf-algoritmusok ERŐS / GYENGE KÖTÉSEK Gráf-algoritmusok ERŐS / GYENGE KÖTÉSEK Sapientia-EMTE 2017-18 http://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/networks-book/ A gyenge kapcsolatok ereje The strength of weak ties (legidézettebb cikk) 1969 (American

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út

HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út SÍKBA RAJZOLHATÓ GRÁFOK ld. előadás diasorozat SZÍNEZÉS: ld. előadás diasorozat PÉLDA: Reguláris 5 gráf színezése 4 színnel Juhász, PPKE ITK, 007: http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/juhasz_5_foku_graf.bmp

Részletesebben

Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára. 11. Előadás

Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára. 11. Előadás Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Bajusz Barbara 203. április 24.. Vektorerelációk és SDP.. A maximális vágás probléma Adott egy w : E(G) R + elsúlyozott

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj!

Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj! Dinamikus programozás Oszd meg, és uralkodj! Mohó stratégia Melyiket válasszuk? Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj! Háromszögfeladat rekurzívan: c nj := a nj ha 1 j n c ij := a ij + max{c

Részletesebben

Konjugált gradiens módszer

Konjugált gradiens módszer Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Részletesebben

22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA

22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA 22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is

Részletesebben

Csima Judit BME, SZIT február 17.

Csima Judit BME, SZIT február 17. 1 Véletlen gráfok és valós hálózatok Csima Judit BME, SZIT 2010. február 17. Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? 2. A klasszikus modell: Erdős-Rényi véletlen-gráf modell definíció jellemzői

Részletesebben

ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele

ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake (ismétlés) A szegmentáló kontúr egy paraméteres görbe: x Zs s X s, Y s,, s A szegmentáció energia funkcionál minimalizálása: E x Eint x

Részletesebben

Algoritmuselmélet 18. előadás

Algoritmuselmélet 18. előadás Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok

Részletesebben