Elektrotechnika Feladattár megoldások

Átírás

1

2 mpresszum Szerző: auscher stván Szakmai lektor: Érdi Péter Módszertani szerkesztő: Gáspár Katalin Technikai szerkesztő: Bánszki András Készült a TÁMOP-..-7/-F-8-4 azonosítószámú projekt keretében. A projekt az Európai nió támogatásával, az Európai egionális Fejlesztési Alap társfinanszírozásával valósult meg. Közreműködő szervezet ESZA Nkft. Copyright: Ez a tananyag a Centroszet Szakképzés-szervezési Nonprofit Kft. tulajdona. (TSZK regisztrációs száma: T4-7/8) A Centroszet Szakképzés-szervezési Nonprofit Kft. a tananyagot oktatási / képzési / foglalkoztatási célra történő felhasználását bármely további felhasználó részére ingyenesen biztosítja tulajdonjogának fenntartása mellett, azonban a felhasználó ezt a jogát üzletszerűen nem gyakorolhatja, így a felhasználás a jövedelemszerzés vagy jövedelemfokozás célját közvetve sem szolgálhatja.

3 Tartalomjegyzék Feladatok megoldásai a Prefixumok, átszámítások című fejezethez... 4 Feladatok megoldásai az Áramköri alapmennyiségek és alapfogalmak című fejezethez... 6 Feladatok megoldásai az Egyenáramú hálózatok című fejezethez... 8 Feladatok megoldásai a Villamos tér című fejezethez... 7 Feladatok megoldásai a Mágneses tér című fejezethez Feladatok megoldásai a Váltakozó feszültség című fejezethez... 54

4 Feladatok megoldásai a Prefixumok, átszámítások című fejezethez.) Töltse ki a táblázatot az első oszlopban található minta alapján! mv nf 5 khz 4 kω ms μs 5 - V -7 F 5 5 Hz 4 4 Ω - s -5 S.) A feladatok megoldása során gyakran kell különböző, ún. előtétszavakkal (prefixumokkal) megjelölt mennyiségekkel számolnunk. A villamos áramköri feladatok előtt gyakoroljuk az átszámításokat! Az átváltott mennyiségek értékeit írjuk fel normálalakban ( hatványaival) is! a. b. c. μv, mv, V -4 V,5 kv 5 V 5. V 5 V,5 kv 5 mv 5. 4 V 5 ma 5 A 5. A 5 μa,5 ma,5 A A A ma μa 7 A kω Ω 6 Ω,5 MΩ 5 kω 5 Ω, ms. - ms Ω mω, S,. - S.) a. Fejezzük ki amperekben az alábbi áramértékeket! 5 ma,5 A 8 μa,8 A 8 ma 8 A 8 ma,8 A,5 ka 5 A ka A b. Fejezzük ki milliamperekben az alábbi áramértékeket! 8 μa,8 ma μa, ma, A ma 6 μa 6 ma,5 ka 5 ma,5 A 5 ma

5 c. Fejezzük ki millivoltokban az alábbi feszültségértékeket! V mv 4 V 4 mv 5 V 5 mv,4 kv 4 mv,4 V 4 mv 8 V,8 mv

6 Feladatok megoldásai az Áramköri alapmennyiségek és alapfogalmak című fejezethez.) Mekkora annak a,5 km-es, előfizetőket összekötő távbeszélő áramkörnek az ellenállása, amelyet mm átmérőjű vörösréz vezetékkel valósítottak meg? d π π A,4mm 4 4 l,5 ρ,75,95 9,5Ω A,4.) Milyen anyagból készült az a mm átmérőjű huzal, amelynek km hosszúságú darabja 5, kω ellenállású? d π π A,4mm 4 4 l A 5,,4 Ωmm ρ ρ,9 (kanthal) A l m.) Egy villamos fűtőtest konstantán fűtőszálának ellenállása 5 C-on 5 Ω. Mekkora az ellenállása szobahőmérsékleten? Először kigyűjtjük az adatokat a szövegből, illetve táblázatból: T 5 C T C 5 Ω α 5? 6 C Kiszámítjuk a hőmérséklet megváltozását: T T T 5 C Meghatározzuk tetszőleges T hőmérsékleten az anyag ellenállását: + + α T ( + α T ) A fenti összefüggésből kifejezzük, majd meghatározzuk az ismeretlen ellenállás értékét: 5 5, Ω α T Már a hőfoktényező előjeléből kiderült, hogy a konstantán NTK anyag, tehát kisebb hőmérsékleten az ellenállása nagyobbra adódott.

7 4.) Egy kültéri transzformátor réztekercsének ellenállása szobahőmérsékleten 8, Ω, üzemi ellenállása pedig 7,5 Ω. Mekkora a tekercs hőmérséklete üzem közben? 7,5 8,, 7Ω,7 α T T, 46 C α,8 8, T T T T T + T,46 +, 46 C

8 Feladatok megoldásai az Egyenáramú hálózatok című fejezethez.) Mekkora feszültség esik azon a 4,7 km hosszú,,5 mm átmérőjű rézvezetéken, amelyen,95 A erősségű áram folyik? d π,5 π A 4,9 mm 4 4 l 4,7 ρ,75 6,75 Ω A 4,9,95 6,75, 66V.) Egy forrasztópáka névleges feszültsége 4 V, árama,5 A. Mekkora áram folyik át rajta, ha az üzemi feszültsége +%-kal illetve -5%-kal megváltozik? 4 9, 6 Ω,5 max 6,4 max,,4 6,4 V max, 75 A 9,6 min,4 min,85 4,4 V min, 5 A 9,6.) Egy villamos hősugárzó áramfelvétele 5, A. A hálózati csatlakozónál 4 V-ot, a készülék kapcsain V-ot mérünk a két vezeték között. Mekkora a vezetékpár ellenállása? 4, 5 Ω 5, 4.) Az ábrán két feszültséggenerátort tartalmazó áramkört láthatunk. a) Határozzuk meg az ellenálláson eső feszültségesés nagyságát! b) Számítsuk ki az áramkörben folyó áramerősséget! Adatok: g 4 V, g V, Ω, Ω, Ω.

9 a) Kirchhoff második törvényét alkalmazva írjuk fel a feszültségek előjeles összegét az ábrán jelölt pozitív mérőirány figyelembevételével! g g, Amiből -t kifejezve: +. g g g b) kiszámításához ismernünk kell az áramerősséget. Az áramerősség kiszámításához helyébe az egyenlőség alapján írjuk be az szorzatot: +. g g Ebből: g g 4, A. + + Térjünk vissza az a) kérdéshez! a) az áramerősség ismeretében az ellenálláson eső feszültség már egyszerűen kiszámolható:, 4, V Hasonló eredményt kapunk, ha értékét behelyettesítjük az előzőleg felírt hurokegyenletbe: g + g 4 +,, 4, V. Az ellenálláson eső feszültség:, 6, V Az ellenálláson eső feszültség:, 4, V Figyeljük meg, hogy a kétféleképpen számolt feszültség értéke, V-tal eltért egymástól. Ez abból adódott, hogy az áramerősséget két tizedesjegy pontossággal, kerekített értékkel számoltuk. Az áram pontosabb értéke,99 V. Több tizedes pontossággal számolva a feszültség mindkét képlet szerint 4 V-ra adódik. Célszerű számításainkban a részeredményeket és a végeredményt néhány tizedesjegy pontossággal kerekítve megadni, számításainkat azonban a számológép memóriájában meglévő adatokkal érdemes folytatni.

10 5.) Az alábbi kapcsolásban szereplő jelzésű ellenálláson mekkora áram folyik keresztül? Adatok: ma 5 Ω k Ω 4, k Ω Ω ma,5 kω 5V 4 5V 5V 4 5V, 5 ma 4 4, 7 ma kω 4, kω ma +,5 ma + 4,7 ma 6, 67 ma 6,67 ma, kω, 667 V 6.) Mekkora a kapcsolás AB pontjai közti eredő ellenállás?

11 A Ω-os, a 4 Ω-os és az 5 Ω -os ellenállások párhuzamosan kapcsolódnak, és egyik pólusuk a B pontra csatlakozik. Másik pólusuk is közös, de az áramkör egyik pontjához sem kapcsolódik ( lóg a levegőben ). Ha feszültséget kapcsolnánk az A-B pontokra, csak a Ω-os ellenálláson folyhatna áram, tehát: AB Ω 4 A Ω-os ellenállás árama: A, és a Ω -os ellenálláson nem folyik AB áram. Tehát az eredő ellenállás meghatározásánál csak azokat az ellenállásokat kell figyelembe venni, amelyeken áram folyik, ha az áramkörre feszültséget kapcsolunk. 7.) Számítsuk ki az alábbi ábra ellenállás-hálózatának eredőjét! Adatok: kω kω kω 4 4 kω 5 5 kω 6 6 kω 7 7 kω 8 8 kω Első lépésben vonjuk össze a soros és ellenállások eredőjét a velük párhuzamos ellenállással, valamint a párhuzamosa 6 és 7 ellenállásokat (a ábra): ' ( + ) ( + ), 5 kω + ' , kω

12 a. ábra b. ábra c. ábra Második lépésben vonjuk össze a soros és 4 ellenállások eredőjét a velük párhuzamos 5 ellenállással (b. ábra): ' ' +,5 kω + 4 kω 5, 5 kω 4 4, ' ' ' 4 5 5,5 5 ( + ), Ω ' k ' ,5 + 5 tolsó lépésként vonjuk össze a párhuzamos 5 és 8 párhuzamos ellenállásokat és a velük sorba kapcsolt 7 ellenállást (c. ábra): ' ' ' 5 8 ',6 8 e ( 5 8 ) , 5, kω. ' +, ) Számítsuk ki az alábbi kapcsolás eredő ellenállásának értékét!

13 Adatok: kω kω kω 4 kω 5 kω 6 kω 7 kω 8 kω Megjegyzés: A mintafeladat megoldásakor, a reciprok értékek összegére utaló műveleti jel: X. Betűzzük meg a csomópontokat! Egyszerűsítsük a kapcsolást, az azonnal látható és számítható soros és párhuzamos részeket vonjuk össze: Az 5 és 6 ellenállások párhuzamosan kapcsolódnak, velük sorosan kapcsolódik az 8 ellenállás. Eredőjük A Az A és 7 ellenállások párhuzamos kötéssel sorosan kapcsolódnak az 4 ellenállással. Eredőjük A B Az B értékű ellenállás az -mal párhuzamosan, eredőjük sorosan az -vel kapcsolódik össze. Eredőjük B + C Az áramkör teljes ellenállását az C és párhuzamos értéke adja C e ajzoljuk le az egyes lépéseket Számítsuk ki az áramkör (eredő) ellenállását a fentiek alapján! 5 6 Ω Ω A Ω Ω Azonos értékű, párhuzamosan kötött ellenállások eredője:, az azonos értékű n sorosan kötött ellenállásoké n alapján számítható, tehát A Ω + Ω Ω A 7 Ω Ω B A Ω Ω A Ω B Ω Ω C B Ω Ω + 4 Ω B

14 e C kω 4 Az áramkör eredő ellenállása: e kω 9.) Számítsd ki az alábbi hálózat A és B kapcsok közötti eredő ellenállását! Ahol az értéket nem tüntettük fel, ott az ellenállások értéke annyi kω, amennyi az indexük! A vegyes kapcsolásokat a sorosan és párhuzamosan kapcsolt elemek összevonásával, belülről kifelé haladva egyszerűsíthetjük, így eljutunk az eredő ellenálláshoz. Az ábrán látható, hogy az, 5 és 7 ellenállások sorosan kapcsolódnak, így meghatározhatjuk az eredőjüket: A kω 5 7 Ezzel a kapcsolás egyszerűbbé vált, amelyet az alábbi ábra mutat. Most már jól látható, hogy az imént kiszámított A ellenállás párhuzamosan kapcsolódik 4 -gyel, ezért ezeket is össze tudjuk vonni: A B A 4, kω A 4 A b ábra szerint az B ellenállás sorosan kapcsolódik az és ellenállásokkal: C B + +, + + 7, kω Már csak az C és 6 ellenállásokat kell összevonnunk, és megkapjuk az eredő ellenállást (c ábra): C 6 7, 6 C 6, 5 kω + 7, + 6 C 6

15 .) Számítsd ki az alábbi hálózat A és B kapcsok közötti eredő ellenállását! Ahol az értéket nem tüntettük fel, ott az ellenállások értéke annyi kω, amennyi az indexük! (((( 4 ) ) 6 ) + 7 ) (((( 4) + + 5) 6) + 7), Ω 9 k.) Számítsd ki az alábbi hálózat A és B kapcsok közötti eredő ellenállását! Ahol az értéket nem tüntettük fel, ott az ellenállások értéke annyi kω, amennyi az indexük! Ω 4 7.) Határozzuk meg annak a feszültségosztónak a kimeneti feszültségét, amelyben 4 kω, 6 kω és be V! 6 6 ki be 7, V Mekkora feszültséget mérhetünk a feszültségosztó kimenetén kω belső ellenállású módszerrel? A műszer az osztót kω-mal terheli, ezért helyett az új ellenállás: t 6 5 kω, és t

16 5 ki, 7 V Ennyit mutat a műszer is, több mint 5%-kal kevesebbet a valódi értéknél. Tanulságként jegyezzük meg, hogy egy áramkör valamely elemén a méréssel megállapított feszültség csak akkor közelíti a valódi értéket (az eltérés %-nál kisebb), ha az ellenállásnál a műszer bemeneti (belső) ellenállása legalább -szer nagyobb! Az elektronikus mérésekhez ezért kis terhelő hatású (nagy bemeneti ellenállású) feszültségmérő szükséges..) Határozza meg a CD pontok közt mérhető feszültséget! CD be + ( + 4 ) 5 ( + 4 ) ) Számítsuk ki az ábrán látható kettős feszültségosztó és jelzésű pontjain a kimeneti feszültséget! Adatok: be V 5 Ω Ω 8 Ω 4 Ω

17 Írjuk fel a kimeneti pontokra az összefüggéseket! ( + 4 ) be + [ ( + 4 )] Az és 4 ellenállások az feszültség leosztásával hozzák létre az feszültséget: Számítsuk ki az ellenállások eredőjét! A + 4 B A e + B Az adatokkal történő számítást kezdjük az ellenállások eredőjének a meghatározásával! A Ω + Ω Ω B A Ω Ω Mivel azonos értékű ellenállások kapcsolódnak párhuzamosan, az eredőjük: Ω B 5 Ω e + B 5 Ω + 5 Ω 55 Ω Helyettesítsük be a feszültségosztók felírt összefüggéseibe az adatokat! B 5 Ω 5 be V V, 7 V + 5 Ω + 5 Ω 55 B 4 Ω 5,4,7 V V,54V 54 mv + 8 Ω + Ω 4 5.) Határozzuk meg az áramkörben az AB feszültséget a feszültségosztás törvényének ismételt alkalmazásával!

18 Adatok: be V Ω Ω 4 Ω 4 8 Ω 5 4 Ω Válasszuk nulla potenciálú pontnak az A pontot! Számítsuk ki a D és C pontok potenciálját a feszültségosztás törvényével: 5 + ( + 4 ) 4 + ( 4 + 8) D be V, ( ) 4 ( ) 5 4 be V, + + C 4 5 ( + 4 ) ( 4 + 8) DC D C 4 6V. A feszültségosztás törvényének ismételt alkalmazásával az DC feszültségből BC kiszámítható: 4 8 BC DC 6 4V Az ábrán látható, hogy: 4 AB C + BC V 6.) Mekkora áram folyik a Ω-os ellenálláson?,6 Ω 6 A, 78 A,6 +

19 7.) Mekkora áram folyik az a ábra 5 Ω-os ellenálláson? a, Először kiszámítjuk a főág ( 5Ω ) áramát Ohm törvénnyel: V be 5 Ω e ( 5 Ω 5 Ω 5 Ω + 4 Ω) 5 Ω + 5 Ω,4 A Ezután leegyszerűsítjük a hálózatot a megfelelő ellenállások összevonásával (b ábra): A 5 Ω 5 Ω 5 Ω + 4 Ω 5 Ω 5 Ω A,4 A, A 5 Ω + 5 Ω Ez az áram folyik a CD ágban. Végül mégegy áramosztással: 5 Ω 5 Ω 5, A, 4 A 5 Ω 5 Ω + 5 Ω b, 8.) Határozd meg az ellenálláson eső feszültség értékét!

20 V ( ) ( ) 9.) Mekkora áram folyik az ábrán látható ellenálláson? Mekkora az ellenállás értéke? 5 7 ma 5 47, 7Ω 7.) Számítsd ki az ellenállás és az áram értékét a K kapcsoló nyitott állásában! Határozd meg az t ellenálláson eső feszültséget a K kapcsoló zárt állásában! 6 ma,4, kω t,,4 t 6, 67 V +,4 +,,4 ( ) ( ) t

21 .) Határozd meg az ábrán látható kettős feszültségosztó és 4 feszültségét! , 49 ( ) ( ) Ω ,49 4,5, 46V , ,46, 9V ) Feszültségosztó kapcsolással állítunk elő kívánt értékű feszültséget ohmos fogyasztó számára. Adatok: A fogyasztó ellenállása t Ω A fogyasztó teljesítményfelvétele P t W A tápegység kapocsfeszültsége k 4 V Feladatok: a) Határozd meg a fogyasztó üzemeltetéséhez szükséges feszültség értékét! b) Számítsd ki az osztót képező ellenállások arányát ( /?) terheletlen állapotban! A kimeneti feszültség megegyezik az előzőleg meghatározott t feszültséggel. c) Mekkora feszültség jut a fogyasztóra, ha a feszültségosztó értéke megegyezik a fogyasztó ellenállásával? (Az osztót képező ellenállások aránya azonos az előző kérdésben meghatározott aránnyal.) d) Számítsd ki a terhelt osztó áramfelvételét, ha t és t a) P t P t 6V b) t 4 ki ki K + K +!

22 c) Ω 6 Ω t 6 t K 4 4, 8V d) + 4 Ω e t K 4V g, 57 A 4 Ω e t.) Az ellenálláson átfolyó áram,5 A Ω 5 Ω 8 Ω 4 Ω g Ω Számítsd ki az g, g és ki értékét! g +, 5 A g g + V + 5V 8V ki 4V 4.) Egy m 5 Ω belső ellenállású árammérő műszer méréshatárát -, - és -szeresére kell növelni. Milyen értékű sönt ellenállásokkal oldható meg a feladat? m 5 55, Ω 56 s ni m 5 5, Ω 5 s ni m 5, Ω 5 s n i

23 5.) Egy alapműszer mv feszültség hatására kerül végkitérésbe. A méréshatárt 5 mv-ra akarjuk kiterjeszteni. A műszer belső ellenállását nem ismerjük, de azt tudjuk, hogy a 5 mv méréshatárhoz 5 kω előtét ellenállás tartozik. Mekkora előtét ellenállást kell használnunk az 5 mv-os méréshatárhoz? n 5 u m,5 5 e u m m k n,5 n e ( n ) Ω 5 u m 5 u ( n ) ( 5 ) Ω e u m 4 k 6.) Határozd meg V méréshatárú műszerhez szükséges előtétellenállás értékét, hogy az új méréshatár 5 V legyen! V esetén a műszer ma áramot vesz fel. 5V V e 4 kω ma 7.) Mekkora az ábrán látható generátor-kapcsolás üresjárási feszültsége és rövidzárási árama? Mekkora áram folyik egy Ω-os terhelésen?

24 A felső ágban látható és index-szel jelölt generátorok sorba kapcsolódnak, ezért forrásfeszültségeik összeadódnak: +,5 + 4, 5V A sorba kapcsolt generátorok belső ellenállásai is összeadódnak: + + Ω b b b Az alsó ágban látható 4 és 5 indexű generátorok is sorba vannak kapcsolva, tehát eredő feszültségük és eredő belső ellenállásuk az előzőekkel megegyezően számolható: ,5 4, 5V + + Ω b45 b4 b5 Csak azonos feszültségű generátorokat szabad párhuzamosan kapcsolni, különben a nagyobb feszültségű generátort a kisebb állandóan terhelné. Feladatunkban a felső és alsó ág generátorainak eredő feszültsége áganként azonos, így eredő feszültségük az egyes ágak feszültségével egyezik meg: , 5V A belső ellenállások is párhuzamosan kapcsolódnak: Ω b45 b b45 A indexű generátor sorba kapcsolódik az,, 4, és 5 jelű generátorok eredőjével, tehát az ábrán látható kapcsolást helyettesítő generátor jellemzői: ,5, 5V + + Ω b b b45 Egy feszültséggenerátor üresjárási feszültsége megegyezik a forrásfeszültségével (a. ábra): ü, 5V A feszültséggenerátor rövidzárási árama a forrásfeszültség és a belső ellenállás hányadosa (b. ábra):,5 5, A Z 5 b Ω-os terhelés esetén a fogyasztó sorba kapcsolódik a generátor belső ellenállásával, így a terhelőáram (c. ábra): +,5, t b t + A

25 8.) Határozzuk meg az ábrán látható hálózat Thevenin- és Norton-helyettesítőképét! Adatok: g V g kω g ma g 5 Ω kω kω Határozzuk meg először az g forrásfeszültségű és g belső ellenállású feszültséggenerátor Norton-helyettesítőképét (b. ábra)! g V g ma. Ω g b. ábra Az így kapott hálózat a c. ábrán látható. c. ábra

26 Most vonjuk össze a két áramgenerátort, és a párhuzamos belső ellenállásokat! Az így létrejövő hálózat a d ábrán látható. d. ábra g g + g ma + ma ma, g g 5 g g g Ω g + g + 5 Ezek után határozzuk meg az g belső ellenállású, g forrásáramú áramgenerátor Thevenin-helyettesítőképét (e ábra)! e. ábra g g g A Ω 4V Határozzuk meg az így kapott kétpólus Thevenin-helyettesítőképét! Számítsuk ki először a hálózat üresjárási feszültségét a feszültségosztás törvényének felhasználásával! Ügyeljünk arra, hogy üresjárásban az ellenálláson nem folyik áram, tehát nincs rajta feszültségesés! Ω ü g 4V, 5V g + + Ω + Ω + Ω Az eredő belső ellenállás meghatározásához az g ideális feszültséggenrátort rövidzárral helyettesítjük (f. ábra): b g ( g + ) + ( + ) +, 75 kω f. ábra A kétpólusú hálózat Thevenin-helyettesítőképe a g ábrán látható. Ennek alapján határozzuk meg a Norton helyettesítőképet h ábra: g,5 V g, 49 ma 75 Ω g

27 g. ábra h. ábra 9.) Határozzuk meg az ábrán látható kétpólus Thevenin- és Nortonhelyettesítőképének elemeit, ha g ma; g,5 kω;, kω;, kω; 4,7 kω! ü 4,4 V; b 6,44 Ω; g,9 ma, mivel g 5 ü g, 4,4V; g b ( g + ) + (,5 +,), + 4,7 6,44 kω; g ü 4,4 g, 9 ma 6,44 b b.) Határozzuk meg az ábrán látható kétpólus Thevenin- és Nortonhelyettesítőképnek elemeit, ha g 5 V; g,5 kω ;, kω; kω; 5, kω!

28 ü 4,6 V; b,75 kω; g 8, ma, mivel ( + ) 5 ( + ) +,5 + [,5, + ] + 5,,75 ; ( + 5, ) ( + 5, ), 5, 4,6V; +, + 5, ü g g g b [( g ) + ] ( ) kω 4,6 75 ü g b 8, ma..) Egy 7 V forrásfeszültségű,,5 Ω belső ellenállású feszültséggenerátort Ω ellenállású terheléssel zárunk le. Számítsd ki a generátor kapocsfeszültségét és a terhelésen átfolyó áramot! ajzold le a kapcsolást a megadott és a kiszámított értékek feltüntetésével! t k b + t k 7 4, 96V,5 + 7, A t +,5 + 6 b t.) Számítsd ki az ábrán látható áramkörben a terhelő ellenállás és a terhelő áram értékét! k 8 5 t, 6 A k b t k 5 t b Ω b t k

29 .) Egy generátor terhelhetősége 5 A. Megengedhető-e a teljesítményillesztés, ha a generátor üresjárási feszültsége V és a belső ellenállása,5 Ω? A till > 5 A b,5 Mivel illesztés esetén nagyobb áram folyik, mint a megengedett maximális áram, ezért a generátort nem szabad illesztve lezárni. 4.) Számítsd ki az ábrán látható áramkörben az összes teljesítmény, a hasznos teljesítmény, a veszteségi teljesítmény és a hatásfok értékét! Mekkora teljesítmény vehető ki a generátorból illesztés esetén? Mekkora a kapocsfeszültség és a terhelésen folyó áram illesztésnél? Mekkora a generátor rövidzárási árama? 5 64, A t b + 9 t, +,5 P 5 64,9 889,5W be t 8, 9 Pv t b 64,9, 598,4W 5, 4 kw Ph Pbe Pv 8,9 5,4, 5 kw Ph,5 η,74 7,49% Pbe 8,9 5 Ph max 65,5W 6, 5 4 b 4, 5 kill 57, 5V 5 87, A till 5 b, 5 Z 575 A, b kw kw

30 5.) Az ábrán két feszültséggenerátort tartalmazó összetett áramkör látható. a) Határozzuk meg az, és áramok nagyságát! b) Számítsuk ki az ellenállásokon eső feszültségeket! Adatok: g V g V Ω Ω Ω a) Alkalmazzuk az., majd a. jelű hurokra a Kirchhoff huroktörvényét: + g +, + g g +. Két egyenletünk és három ismeretlenünk van, ezért írjuk fel az A jelű csomópontra Kirchhoff csomóponti egyenletét: +. Az első két egyenletben írjuk be helyébe a vele egyenlő + kifejezést: + +, Ha a második egyenlőséget megszorozzuk hárommal, +, +, És a második egyenlőségből kivonjuk az első egyenlőséget, akkor kiesik: +, ebből:, A ma. Az értékét az első egyenletbe behelyettesítve:,, A ma.

31 a két áram összege: +, +,,4 A 4 ma. b) Az áramok ismeretében az ellenállásokon eső feszültségek kiszámolhatók:,4 A Ω 4V,, A Ω 6 V,, A Ω V. A három ág árama: 4 ma; ma; ma. Az ellenállásokon eső feszültségek: 4V; 6V; V. Figyeljük meg, hogy: +, g g V 4V 6V V + V. Az g generátor fogyasztóként szerepel az áramkörben, mivel a rajta átfolyó áram iránya és a generátorfeszültség iránya megegyezik. 6.) Határozzuk meg az ábra áramkörében az 87 Ω-os ellenálláson eső feszültséget a szuperpozíció tételének alkalmazásával! Adatok: 4 Ω 8 Ω 87 Ω g 4 V g 4.5 V. megoldás Számítsuk ki először a bal oldali generátor hatására keletkező feszültségösszetevőt! AZ g generátort rövidzárral helyettesítjük. Alkalmazzuk a feszültségosztás törvényét (a ábra)! ' 87 8 g 4 5,54V. + 8 Számítsuk ki a jobboldali generátor hatására keletkező feszültségösszetevőt! Most az g generátort helyettesítjük rövidzárral (b ábra): " 87 4 g 4,5 7,94V

32 Az ellenálláson eső feszültség a két feszültségösszetevő összege: ' " + 5,54 + 7,94,45V.. megoldás Számítsuk az egyes generátorok hatására az ellenálláson átfolyó áramösszetevőket, majd az áram ismeretében számítsuk ki a feszültséget! A fenti ábra jelöléseivel: g 4 ', A ' 8 Alkalmazzuk az áramosztás törvényét: ', 7,84 ma; g 4,5 ",7 A; " 4 ",7 9, ma; " ' + 7,84 ma + 9, ma 6,94 ma;,694 87,44V. Az ellenálláson eső feszültség mindkét számításban,4 V-ra adódott. 7.) Számítsd ki az ábrán látható kapcsolás valamennyi ellenállásán átfolyó áramot! ' 5, 475 A ( ) ( ) " 5 4, 5V + ( ) + ( 5)

33 ",5 ",5 A ''', 875 A + ( ) + ( 5 ) ' '' ''' + +,475 +,5,875, 6 A ránya megegyezik az ábrán vett iránnyal. ' 5 5, 65V + ' ' 5 " ", 5V " ",5,5 A 5 ( ) + ( 5 ),65,5 A ''' 5, 5V + ''' ''',5 5 ( ) + ( 5 ),5 A ' " ''' + +,5 +,5 +,5, 4 A ránya megegyezik az ábrán feltüntetett iránnyal. ' ', 65V ' ',65, 5 A " 4, 75 A + ''' ''' ( ) + ( 5), 5V ''' ''',5, 65 A ' " ''' + +,5 +,75,65 A ránya megegyezik az ábrán felvett iránnyal. 8.) Számítsd ki az ábrán látható kapcsolás valamennyi áramát tetszőleges hálózatszámítási módszerrel!

34 Megoldás szuperpozíció tételével ' t + ( 4 ) + ( 4 4) ( 4 ) ( ) ' ' 6 4,9, ma 7 ' ' 4 4,7, 855 ma ' ', 855 ma 4 4 ( ( + )) 4 + ( 4 ( + ) ) 4,9 ma ", 6 ma + 4 " " + + 4,6, 9 ma " " ( ) (,6,9), ma " 7 4 " ", ma ' " +,7,7 ma 7 ránya megegyezik az ábrán felvett iránnyal. ' " + 4,9 +,7 5 ma ránya megegyezik az ábrán felvett iránnyal. ' " +,855,6, 755 ma ránya ellentétes az ábrán felvett iránnyal. ' " +,855 +,9, 755 ma ránya megegyezik az ábrán felvett iránnyal ) Számítsd ki az ábrán látható kapcsolás t terhelő ellenállásán eső feszültséget és a rajta átfolyó áramot! A szuperpozíció tétele szerint az áramkörben szereplő feszültséggenerátor és áramgenerátor hatását külön-külön kell figyelembe venni. Először azt vizsgáljuk meg, hogy a feszültséggenerátor hatására mekkora és milyen irányú feszültség esik ( t ), valamint mekkora és milyen irányú áram folyik ( t ) az t ellenálláson, miközben az áramgenerátort szakadással helyettesítjük (a ábra).

35 a, Az ábrán az irányának megfelelően vettük fel t és t irányát. Az t feszültség kiszámításához először az 4 feszültséget határozzuk meg feszültségosztással: 4 ( + t ) 4 ( 5 + ) 4,5 V + ( 4 ( + t )) + ( 4 ( 5 + ) ) Egy ismételt feszültségosztással megkapjuk az t feszültséget. Mivel t iránya megegyezik az eredeti ábrán felvett feszültségaránnyal, ezért ezt a feszültség pozitív előjellel vesszük figyelembe: ' t t 4,5, 47 V + t 5 + Ennek a feszültségnek hatására a terhelő ellenálláson folyó áram: ' ' t,47 t,6 A 6 ma t Most megvizsgáljuk, hogy az áramgenerátor hatására mekkora feszültség esik az t ellenálláson, miközben a feszültséggenerátort rövidzárral helyettesítjük (b. ábra). Az ábrán az irányának megfelelően vettük fel t és t irányát. b, Az t áramot áramosztó képlettel számítjuk ki. Mivel t iránya ellentétes az eredeti ábrán felvett áramiránnyal, ezért ezt az áramot negatív előjellel vesszük figyelembe: " 4 4 t,55 A 5, 5 ma + t + ( 4 ) ( 4 ) Ennek az áramnak hatására a terhelő ellenálláson eső feszültség: " " t t t 5,5, 6V A szuperpozíció tétele szerint a generátorok hatásait előjelhelyesen összegezni kell: ' " t t + t,47,6, 85V ' " t t + t 6 5,5 54, 5 ma A feszültség és az áram pozitív előjele azt mutatja, hogy az irányuk megegyezik a kezdetben feltételezett iránnyal.

36 4.) Határozd meg az ábrán látható T tag Thevenin és Norton helyettesítő képeit! + + 7, 5 b ( ) ( ) Ω 4 8V + + 4, 9 A + + ( ) ( ),9, 65 A + +

37 Feladatok megoldásai a Villamos tér című fejezethez.) Mekkora erőhatás lép fel a Q,5 mc és a Q,4 mc nagyságú pontszerű töltések között, ha egymástól cm távolságra vannak? Q Q 9,5,4 F k 9 4, 47 MN r,.) Mekkora a villamos térerősség a Q μc töltéstől 4 és 6 cm távolságban? 6 Q 9 MV E4 k 9 67, 5 r ( 4 ) m 6 Q 9 MV E6 k 9 4, r 6 ( ) m.) Mekkora a villamos térerősség és a potenciál egy μc 5 nagyságú pontszerű töltéstől 9 cm távolságban? A töltés erőterébe, tőle 9 cm-re egy μc nagyságú töltést helyezünk el. Mekkora erőhatás lép fel a két töltés között? 6 Q 9 5 MV E k 9 5, 56 r ( 9 ) m 6 Q 9 5 k 9 5 kv r F E Q 5,56 7, 8 N 4.) Mekkora a villamos térerősség annak az 4 cm sugarú vezető gömbnek a felszínén, amelyet a földhöz képest 6 kv feszültségre kapcsolunk? Mekkora a gömbön levő töltésmennyiség? Meghatározott összefüggésünk szerint: E, ahol a gömb sugara. 4 6 V 6 V kv E, m m m A töltéssűrűség a gömb felszínén: D ε ε r E, ahol ε r. A gömb töltése pedig Q D A ε ε r E 4π,68 µ As.

38 5.) Mekkora a térerősség két párhuzamos, egymástól mm távolságban levő síklemez között, ha a lemezek közé 5 V feszültségű generátort kapcsolunk? Mekkora a lemezek töltése, ha egymás felé forduló felületük egyenként 4 dm, és közöttük ε r jellemzőjű szigetelőanyag van? A lemezek között a tér homogén. Tehát: 5 V 5 V kv E 5 5. d m m m A felületi töltéssűrűség: D ε ε r E, ahol ε r. Egy-egy lemez belső felszínén a töltésmennyiség: Q D A ε r E A ε As 5 Q 8,86 5 Vm 8 Q 5,4 As,54 µ V m. 4 As (Mivel a mező homogén, a felületi töltéseloszlás egyenletes.) m. 6.) Két 5 cm felületű, egymástól,5 mm távolságban elhelyezett fémlemez közé porcelánból készült szigetelőanyagot helyezünk el, és 4 V feszültségre kapcsoljuk. Számítsa ki a térerősséget a lemezek között, a töltéssűrűséget és a töltésmennyiséget a lemezek felszínén, a kondenzátor kapacitását és energiáját, valamint a kondenzátorra kapcsolható legnagyobb feszültséget! A síkkondenzátor lemezei között homogén villamos tér alakul ki, tehát a térerősség a lemezek között minden pontban azonos. A térerősség egyenesen arányos a lemezekre kapcsolt feszültséggel, és fordítottan arányos a lemezek közötti távolsággal: 4 E 6 d,5 kv m A térerősség a felületi töltéssűrűséggel egyenesen arányos, az arányossági tényező a dielektromos állandó (permittivitás) reciproka. A szigetelőanyagként alkalmazott porcelán relatív dielektromos állandója ε r 5,5. E ε ε r D D ε ε E 5,5 8,86 r 6 µ C 7,8 m A felületi töltéssűrűség (dielektromos eltolás) az egységnyi felületre jutó töltések mennyisége a 4. feladat szerint, így ebből az összefüggésből a lemezeken felhalmozott töltések mennyisége meghatározható: Q 6 4 D Q D A 7,8 5 9, 5 nc A

39 A síkkondenzátor kapacitása a 48. feladatban megismertek szerint egyenesen arányos a lemezek felületével és fordítottan arányos a lemezek közötti távolsággal, az arányossági tényező pedig a dielektromos állandó: 4 A 5 C ε r ε 5,5 8,86 8, 7 d,5 pf A kapacitást az előzőleg kiszámított adatokból egyszerűbben is meghatározhattuk volna, hiszen a definíció szerint a kapacitás az egységnyi feszültség hatására felhalmozott töltések mennyisége, és ismerjük a lemezek töltését és feszültségét is: 9 C Q 9,5 8, pf 4 5 Az eltérés a kerekítésekből adódik, a 8,7 pf a pontosabb, hiszen azt a kiinduló adatokból számítottuk ki, és csak egyszer kerekítettünk. A kondenzátorban tárolt energia most háromféleképpen is kiszámítható, mert ismerjük már a kapacitást, a feszültséget és a töltést is: W C 8,7 4, 9 nj W Q 9, nj 9 Q ( 9,5 ) W 4, nj C 8,7 A kiszámított értékek közötti eltérések ugyancsak a kerekítésekből származnak. tt a harmadik eredmény a legpontatlanabb, mert a töltés is és a kapacitás is számított érték. A 4. feladatban már ismertettük, hogy az átütési szilárdság (E d ) az a térerősség, amelynél az átütés bekövetkezik. Az átütési szilárdság anyagra jellemző érték, amely táblázatokból kikereshető. Néhány szigetelőanyag átütési szilárdsága a Feladatok kötet Összefoglaló részében megtalálható. A porcelán az átütési szilárdsága: E d 5 kv / cm. A szigetelőanyag vastagsága ismeretében meghatározható az a feszültség is, ahol az átütés bekövetkezik ( max ): 5 Ed d 5,5 75V, 75 kv max

40 7.) Mekkora lesz az alábbi ábrákon látható kondenzátorok közös ( k ) feszültsége, ha kivezetésüket a feltöltés után a szaggatott vonal mentén összekötjük? C + C a. k, 8V C + C 7 + C + C b. k 4, 66V C + C C + C 47 9 c. k, 89V C + C ) Mekkora lesz az ábrán látható kapcsolásban az feszültség a K kapcsoló nyitott és zárt állásában? K nyitott állásban: K zárt állásban: C 4 8V C + C 4 + 8, 7V + ( ) + ( ) C 4 8,7 5, 8V C + C ) Mekkora lesz az ábrán látható kapcsolásban az feszültség a K kapcsoló nyitott és zárt állásában? K nyitott állásban: K zárt állásban: V C 4, V C + C V

41 .) Számítsa ki az alábbi hálózat A és B kapcsok közötti eredő kapacitását! Határozza meg az egyes kondenzátorok feszültségét és töltését, ha az A és B pontok közé 4 V feszültséget kapcsolunk! Ahol a kapacitás értékeket nem tüntettük fel, ott a kondenzátorok kapacitása annyi nf, amennyi az indexük! (C i i nf) C C C + C C + C , 85 ((( ) ) ) ((( ) ) ) nf Q C, ,4 C 68, 4 nc i 4 5 Eredő C i (nf) 4 5,855 Q i (nc),5 48 6,55,96 6,55 68,5 i (V),5 4,8,49, 4.) Mekkora lesz egy kondenzátor feszültsége a bekapcsolás után két időállandónyi idő elteltével, ha a generátor forrásfeszültsége V? t τ C ( e ) ( e ) 86, 47 V.) Határozzuk meg, hogy az alábbi ábrán látható kapcsolási rajz K kapcsolójának vastag vonallal jelölt helyzetében a bekapcsolását követő 5 μs múlva mekkora a C síkkondenzátor C feszültsége! Mennyi idő alatt töltődik fel a kondenzátor? Mekkora a kondenzátor egy-egy fegyverzetén tárolt töltésmennyiség feltöltés után? A C síkkondenzátor felülete 5 cm, a fegyverzeteket, mm vastag kondenzátorpapír választja el egymástól, amelynek relatív permittivitása. További adatok: g 6 V; g kω;, MΩ. τ 99,4 µ s; c 6,75V; t feltöltés ms; A d Q,, mivel C ε ε r 8,86,5 pf; 4

42 τ ( g + ) C ( + ),5 99,4 µ s; t τ 5 99,4 c g ( e ) 6 ( e ) 6,75V; t feltöltés 5τ 5 99,4 ms; Q C,5 6, 8 C..) Cn nx μf a) be 5 V c? c? c5? b) Q? Q 4? c) Ha c4 V, akkor be? a) c 5 V a párhuzamosság miatt! [KÉP: ÁBA] A kapacitív osztó képletét alkalmazva: C4 C5 + C 5, c be 5 8V C4 C5 + C + C 7, A hurok törvény alapján C be C V [KÉP: ÁBA] C4 4 C5 C 7, V C + C Q b) C Q C C µ F 7 V µ C C Huroktörvény: C 4 C C5 7,, 89V Q C C 4 µ F,89V 5, 56 µ C c) Két módszerrel is megoldhatjuk a feladatot. Az egyik a kapacitív osztásra Q alapszik, a másik a C alapképlet és a huroktörvény segítségével történik. C5 C4 + C C 4 C C C 4, 8V C4 + C5 C5 5 C C + C4 C5 + C C C C C,8 6, 5V C + C4 C5 + C C 6, be C 5V. Q C 4 µ F V 4 µ C 4 4 4

43 Soros kondenzátorokon a töltésmennyiségek azonosak, tehát Q5 4 µ C Q 5 Q4 4 µ C 5, 8V C 5 µ F C F,8 V Q + Q4 5, ,8, 8V Q µ 5, 4 µ C Q 9,4 µ C Q 9,4 µ C 4, 7 V C µ F be C + 4,7 +,8 6, 5 V

44 Feladatok megoldásai a Mágneses tér című fejezethez.) Mennyivel változik meg a mágneses térerősség, az indukció és a mágneses fluxus, ha egy mm belső átmérőjű, menetből álló, 75 mm hosszú tekercstestbe vasmagot helyezünk, amelynek relatív permeabilitása 5? A B mágneses indukció,5 T, a tekercs árama 5 ma. H ; B,5 T; Φ 5,7 5 Wb, mivel Θ N,5 6 A; Θ 6 A H 8 ; l,75 m d π π (, ) 4 A, m ; B µ H 4π 8 T; 4 B' µ µ r H µ r B 5,5 T; Φ B A,, Wb; 4 5 Φ ' B' A,5, 5,7 Wb. B B' B 5,, 5 T 5 7 Φ Φ' Φ 5,7, 5,7 5 Wb..) Mekkora a mágneses térerősség két vezeték közötti felezőpontban, ha a vezetékekben folyó áramok azonos irányban, és mekkora, ha ellentétes irányban folynak? Az áramerősség az egyik vezetékben 5 A, a másikban 8 A. A vezetékek közötti távolság 5 cm. A A H a 4,44 ; H e 7, 6, mivel m m 5 A H 5,9 ; π r π 5 m 8 A H,46 ; π r π,5 m A H azonos H H 5,9,46 4,44 ; m A H ellentétes H + H 5,9 +,46 7,6. m

45 .) Mekkora a menetszáma annak a tekercsnek, amelynek az ellenállása Ω, és V-os feszültségre kapcsolva a gerjesztése Amenet?, A Θ Θ N N menet, 4.) Mekkora a mágneses térerősség abban a légmagos, 8 cm közepes átmérőjű tekercsben, amelynek mágneses fluxusa μwb? A tekercs belsejébe μ r relatív permeabilitású vasmagot teszünk. Mekkora lesz a térerősség a tekercs belsejében? d π 8 π A 54,47 cm Φ Φ B A B 78,59 µ T 4 A 54,47 6 B 78,59 A Légmagos tekercs: H 6, µ π m B H 6,54 A ma Vasmagos tekercs: H v,85, 85 µ µ µ m m r r 5.) Mekkora a mágneses térerősség a vezető felületén és a vezető tengelyétől cm távolságban, ha a vezető átmérője mm, és a vezetőben,75 A erősségű áram folyik? H,75 8, 7 π r π,5 A H,75, 98 π r π m A m 6.) Határozza meg az alábbi ábrán látható vezeték elrendezések esetén az A és a B pontokban a mágneses térerősség értékét!

46 5 H A 7, 96 π d π, A m H A H A + H A 7,96 + 7,96 5, 9 A m 5 H A 7, 96 π d π, A m d d + d + 4, 4 cm 4 5 H B 5, 6 π d π,44 A m d d + d + 4, 4 cm A H B 5, 6 π d 5 π,44 m A H B HB + H B 5,6 + 5,6 7, 96 (ld. ábra) m 7.) Egy zárt vasmag keresztmetszete 9 cm, relatív permeabilitása 4, az erővonalak közepes hossza cm. Mekkora gerjesztés hoz létre a vasban μwb fluxust? 6 Φ B, T, mt 4 A 9 B, A H,6 4 7 µ r µ 4 π m Θ H l,6, 6 Amenet 8.) Mekkora gerjesztő árammal tudunk,5 T indukciót létrehozni az ábrán látható, állandó permeabilitásúnak tekinthető, négyzet alakú vasmagban? Mekkora a tekercs induktivitása? Mekkora energiát tárol ez a tekercs? Mekkora gerjesztő áramra volna szükség, ha a vasmagban δ mm-es légrést alkalmaznánk?

47 B A H,5, 98 v 5 7 µ r µ 4 π m a + b l k cm, 4 m Θ H v l k,98,4 9, 55 Amenet Θ 9,55 Θ N 9, ma N 5 b a 8 4 A v 4 cm A L N µ µ 5 4 π lk,4 W L ( 9, ) 5,6 95, 5 mj 4 5, 6 r H 9.) Az ábrán látható, állandó permeabilitásúnak tekinthető, négyzet alakú vasmagra készítünk légréses tekercset. Mekkora a szükséges gerjesztő áram értéke, ha Φ 65 μwb fluxust szeretnénk előállítani? b a 5 A v,5 6,5 cm 6 Φ 65 Φ B A B T 4 A 6,5 B 5 A H 7,96 7 µ 4 π m B A H 6, 7 v 7 µ r µ 4 π m a + b + 5 l k 4 δ 4, 49, 9 cm Θ H l k + H δ 6,, ,96 Θ 976,5 Θ N 65 ma N 5 5 v 976, 5 Amenet

48 .) Az ábrán látható, állandó permeabilitásúnak tekinthető, köralakú vasmagra készítünk légréses tekercset. Mekkora a szükséges menetszám, ha Φ 47 μwb fluxust szeretnénk előállítani? d π π A,4 cm Φ 47 Φ B A B, 5 T 4 A,4 B,5 6 A H l,9 7 µ 4 π m B A H,5 56, 6 v 7 µ r µ 45 4 π m a + b 8 + l k π δ π,, cm 6 Θ H v lk + H l δ 65,6, +,9 65, 55 Amenet Θ 65,55 Θ N N 44 menet,.) Zárt, homogén anyagú, állandó 4 cm keresztmetszetű ferromágneses gyűrűre két tekercset helyezünk, az ábra szerint. Mekkora feszültség mérhető az N menetes tekercs kapcsain, ha az N menetes tekercsben folyó áramot, s alatt,5 amperről egyenletesen,5 amperre növeljük? (A vas közepes hossza l 5 cm, relatív permeabilitása μ r 8.) Feltételezzük, hogy μ r eközben nem változik meg. Feltételezzük, hogy a szórt fluxus elhanyagolhatóan kicsi.

49 A mágneses kör fluxusát az áram létesíti. A mágneses indukció a vastestben: N B µ µ r H µ µ r, l ahol l a vastest közepes hossza. A mágneses kör fluxusa: N Φ B A µ µ r A, l ahol A a gyűrű keresztmetszete. A fluxus megváltozását az áram megváltoztatása okozza. A fluxus megváltozása és változási sebessége: N Φ µ µ r A, l Φ N µ µ r A. t t l Számítsuk ki a fluxusváltozás sebességét! Φ,5, Vs 4π 8 4 5,6. t,,5 s A. tekercsben indukált feszültséget megkapjuk, ha a fluxusváltozást sebességét megszorozzuk a. tekercs menetszámával: Φ i N,6 6V. t.) Az ábrán egy l cm hosszúságú vezetőt láthatunk, amely v,5 m/s sebességgel halad egy B,5 T indukciójú térben. A vezető két végéhez egy ellenállás csatlakozik. A vezető sebessége a vezetékre és az indukcióra is merőleges. Mekkora az u indukált feszültség? Mekkora áram folyik az áramkörben, ha az ellenállás értéke Ω? u i 7,5 mv; i 75 µ A, mivel u i B l v,5,,5 7,5 mv; ui 7,5 i 75 µ A.

50 .) Egy tekercsben ma áram folyik. Mekkorára kell növelni az áramot μs alatt egy mh induktivitású tekercsben ahhoz, hogy sarkain V indukált feszültség keletkezzen? 6 i t i L, A ma t L, + + ma 4.) Az ábrán látható tekercs árama 64 μs alatt 5 ma-ról nullára csökken. Mekkora feszültség indukálódik a tekercsben?,5 i L 6,8 7, 69 kv 6 t 64 4 A 7 L N µ µ , H r l 8 π k b a 6 4 A v cm a + b l k 4 4 cm m 5.) Az 5.5 ábrán látható áramkörben egy induktivitást kapcsolunk az g generátorra. a) Számítsuk ki a változás időállandóját! b) Mennyi idő múlva állandósul az áramkörben folyó áram, és mekkora a max áramerősség? c) Számítsuk ki, hogy a bekapcsoláshoz képest 5 ms múlva mekkora lesz az áramkörben folyó áram erőssége? d) Mekkora feszültség mérhető az induktivitáson 5 ms elteltével?

51 Adatok: g V; g Ω; Ω; L H. 5.5 ábra L H a) a változás időállandója: τ ms. ( + ) Ω b) Az áramkörben folyó áram gyakorlatilag 5 τ 5 5 ms elteltével állandósul. Az áramkörben folyó max. áram meghatározásához alkalmazzuk Kirchhoff huroktörvényét: g ui i ( + g ). Akkor max. az áram, amikor az indukált feszültség nullára csökkent. g ( + g ), g, A. + ma g + c) A bekapcsolás pillanatában indukált u i feszültség az áram ugrásszerű növekedésével megakadályozza. Emiarr az áram csak fokozatosan éri el az állandósult max. értéket, amikor az induktivitása már nem fejt ki ellenállást az árammal szemben. Az időbeli változást a következő egyenlőség írja le: t τ i ( e ). Helyettesítsük be az ismert adatokat ( e, 788 ): t 5 i5 e τ, ( e ) 55, ma. d) Az induktivitáson mérhető feszültség folyamatos csökkenésének függvényét a következő egyenlőség írja le: t τ ui i e. Helyettesítsük be az adatokat: 5 5 u i e 4, 46V.

52 Az ábra szerinti áramkör időállandója ms, az áram 5 ms idő elteltével gyakorlatilag eléri a ma-es max. értékét. A K kapcsoló bekapcsolása után 5 ms-mal az áramkörben folyó áram erőssége 55, ma-re nőt, az induktivitáson mérhető feszültség 4,46 V-ra csökkent. 6.) Az ábrán egy áramkör kapcsolási rajza látható, amelyben az induktivitás egy K kapcsoló érintkezőjén át egy feszültséggenerátorra csatlakozik. A K kapcsoló átkapcsolásával az induktivitást leválaszthatjuk a feszültséggenerátorról, és ezzel egyidejűleg egy ellenállást csatlakoztatunk az L induktivitású tekercsre. a) Mekkora ellenállást kell alkalmaznunk, hogy az indukált feszültség az első pillanatban ne haladja meg a V-ot? b) Mekkora az áramkör időállandója, és mennyi idő múlva szűnik meg az i áram a tekercsben? c) Mekkora az indukált feszültség a kikapcsolás után 4 ms múlva? d) Mekkora a mágneses energia nagysága a tekercsben a kikapcsolás pillanatában? Adatok: g V; g Ω; L mh. g a) A kikapcsolás pillanatában az áram: ma. Kirchhoff hurokegyenletét felírva a K kapcsoló átkapcsolásának pillanatában: ui. i max Ebből az ellenállást kifejezve: 67 Ω. L b) Az időállandó: τ 6 µ s. 67 A kikapcsolás folyamata 5τ ideig tart: 5 τ 5 6 µ s. c) A kikapcsolás után 4 μs-mal az indukált feszültség: 6 t 4 τ ui i e e 5, 84V g

53 d) A tekercsben tárolt mágneses energia a kikapcsolás pillanatában: 6 W L 74 µ W s. Max. 67 Ω-os ellenállást alkalmazhatunk. Az áramkör időállandója ezzel az ellenállásértékkel 6 μs. A folyamat μs alatt gyakorlatilag lezajlik, ennyi idő után áram már nem folyik a tekercsben. A kikapcsolás után 4 μs-mal a tekercsen 5,84 V indukált feszültség mérhető. A kikapcsolás pillanatában, a tekercsben tárolt energia 7 μw s.

54 Feladatok megoldásai a Váltakozó feszültség című fejezethez.) Egy szinuszosan változó áram a polaritás váltás után μs múlva éri el első maximumát. Mekkora az áram frekvenciája? T 4 t 4 4µ s 6 f,5 Hz 5 khz 6 T 4.) Egy MHz frekvenciájú szinuszosan változó feszültség mennyi idő múlva éri el az effektív értékével azonos pillanatértéket? Mekkora a pillanatértékhez tartozó fázisszög? 6 ω π f π c / s p 6 p sin π t t arcsin 6 π 6 6 π Φ ω t π,5 rad 45 4,5 6 s 5 ns.) Egy 59 Hz frekvenciájú váltakozó áramú körben a szinuszosan változó feszültség effektív értéke,6 V, az áram effektív értéke,5 ma. A feszültség,5 ms-mal előbb éri el a maximumát, mint az áram. Mekkora a fázisszög a feszültség és az áram között? Írja fel a feszültség és az áram időfüggvényét! Mekkora a feszültség és az áram pillanatértéke az áram fázisváltása után, ms múlva? Mekkora a feszültség pillanatértéke, ha az áram pillanatértéke ma? A feszültség és az áram közötti fázisszög kiszámításához szükségünk lesz a körfrekvenciára: ω π f π 59 c / s A két jel közötti fáziskülönbséget radiánban a körfrekvencia és az idő szorzata adja: Φ ω t,5, 5 rad A radiánban kapott fázisszöget alakítsuk fokká: 6 π rad 6 rad 57,,5 rad π Tehát a feszültség -kal siet az áramhoz képest. Az időfüggvények felírásához ismernünk kell a jelek amplitúdóját is, amelyeket az effektív értékekből számíthatunk ki: p,6 5V és p,5 5 ma

55 Most már ismerjük az amplitúdókat, a körfrekvenciát és a jelek közötti fázisszöget, tehát felírhatók az időfüggvények. A fáziseltérést a gyakorlatban mindig az áramhoz viszonyítjuk, tehát az áram fázisszögét nullának vesszük fel, és a fázisszög a feszültség időfüggvényében szerepel (V-. ábra). u( t) p sin( ω t + Φ) 5 sin( t + ) ( V ) i( t) p sin ω t 5 sin t ( ma) [KÉP: Szücs 88/] A V-. ábrán látható, hogy az áram kétszer vált fázist egy periódus alatt. A negatívból pozitívba történő átmenet után 8 -kal (π radiánnal) pozitív negatív átmenet lesz, és a két átmenet után a feszültség és az áram is különböző pillanatértéket vesz fel. A behelyettesítésnél a fázisszöget át kell alakítanunk radiánba, hiszen a másik tagot is radiánban kapjuk meg: π u 5 sin(, + ) V 6 π u 5 sin(, + + π ) V 6 i 5 sin,, 48 ma i 5 sin(, + π ), 48 ma Az áram az ma-es pillanatértéket két időpontban veszi fel egy perióduson belül. Először ezeket az időpontokat kell meghatároznunk az áram időfüggvényéből: 5 sin t t arcsin, s, ms 5 5 sin( π t ) t ( π arcsin ),94 s, 94 ms 5 A t és t értékeket behelyettesítve a feszültség időfüggvényébe, megkapjuk a keresett pillanatértékeket: π π u 5 sin( t + ) 5 sin(, + ) 9, 9V 6 6 π π u 5 sin( t + ) 5 sin(,94 + ) 4, 75V ) Egy áramkörben,5 A erősségű és Hz frekvenciájú áram folyik. a) Számítsuk ki az áramkör Ω értékű ellenállásán eső feszültség csúcsértékét! b) Írjuk fel az áram és feszültség időbeli lefolyásának kifejezését, ha feltételezzük, hogy az áram cosinus függvény szerint változik! c) ajzoljuk fel az áram és a feszültség idő szerinti változását és a vektoriális képet,az áram a cos függvény szerint változik!

56 a) Először írjuk fel az áram időfüggvényét a feltételnek megfelelően! i p cosωt, az áramerősség csúcsértéke: p,5, 77 A, behelyettesítve: i,77 cosωt A. A feszültség ohm törvénye szerint:,77 A Ω 7, V. p p 7 b) Az ohmos jelleg miatt a feszültség menete megegyezik az áraméval: u p cosωt 7,7 cosωt V. Az áram és a feszültség periódusideje: T,5 s ms f Hz 5. c) A tisztán ohmos jelleg miatt az ellenálláson átfolyó áram és az általa létrehozott feszültség azonos fázishelyzetű, vektoraik is azonos irányúak: 5.) Egy tisztán induktív jellegű áramkörben ma erősségű, 5 Hz frekvenciájú szinuszos áram folyik. a) Számítsuk ki, mekkora feszültség esik az L mh értékű induktivitáson! b) Írjuk fel az áramerősség és feszültség időfüggvényét! c) ajzoljuk fel az áramerősség és a feszültség idő függvénye szerinti változását! a) Az áram időfüggvénye: i p sin ωt sin ωt 4, sin ωt ma. A feszültségesés meghatározásához ismernünk kell, hogy a tekercsnek az adott frekvencián mekkora a látszólagos ellenállása (reaktancia). X L ω L π f L 6,8 5 Hz, H, 4 Ω. Az induktív látszólagos ellenálláson átfolyó áram és az általa létrehozott feszültségesés között φ 9 fáziseltérés van. b) A feszültség időfüggvénye a 9 -os fáziseltérés miatt: u p cosωt, az p p X L 4, A,4 Ω, 44V u,44 cosωt V., behelyettesítve: c) ajzoljuk meg a feszültség és az áramerősség időfüggvényét! T, s ms f 5 Hz

57 A feladatban szereplő feszültség és áram φ 9 fáziseltérésű, a feszültség π -vel hamarabb éri el a maximális és a nulla értékeket, mint a körben folyó áram. 6.) Egy tisztán kapacitív jellegű áramkörben a C nf kapacitású kondenzátoron,5 V szinuszosan váltakozó feszültségesés jön létre. Az áramkört tápláló generátor frekvenciája khz. a) Számítsuk ki az áramkörben folyó áram erősség csúcsértékét! b) Írjuk fel a feszültség-áramerősség időfüggvényét! c) ajzoljuk fel az áramerősség és a feszültség idő függvénye szerinti változását, és a vektoriális képet! a) Írjuk fel a feszültség időfüggvényét: u p sin ωt az p,5 V,4, 5V, u,5 sin ωt V. Az áramkörben folyó áram erősségét a kondenzátor reaktanciája és a rajta eső feszültség értékéből tudjuk meghatározni. A kapacitív reaktancia: X C,6 Ω. ω 4 8 C 6,8 Hz F Az áramkörben folyó áram csúcsértéke: p,5v p, A, ma. X,6 kω C b) A kondenzátor reaktanciáján eső feszültség 9 -kal később éri el a maximális (és a nulla) értéket, mint a körben folyó áram. A kiindulási feltétel szerint a feszültség szinuszosan változik, a kör árama siet 9 -kal, ezért cosinus függvény szerint írjuk fel az időfüggvényét: i p cosω t, cosωt ma.

58 c) ajzoljuk fel a feszültség és az áramerősség idő szerinti változását, valamint az áramkörre jellemző vektorábrát! A periódusidő: T, ms µ s 4 f Hz 7.) Számítsuk ki, mekkora a hatásos teljesítménye az L,5 H és Ω elemekből álló soros körnek, ha f Hz frekvenciájú és 4 V feszültségű generátorra kapcsoljuk! L,5 H Ω f Hz 4 V P? πfl π,5 68, Ω X L Z + X L + 8, 659, 4 Ω cos ϕ (soros L impedancia vektorábra; link 6.8.) Z cos ϕ, 4, 64 A Z 659,4 P cos ϕ 4,64,, 6W 8.) Számítsuk ki egy 45 VA látszólagos teljesítményű motornak a hatásos és meddő áramát! A motort 4 V feszültségű és 5 Hz frekvenciájú hálózatról működtetjük, a teljesítménytényezője cosφ,6. S 45 VA 4 V f 5 Hz cosφ,6 h? m? P cos ϕ P S cosϕ 45,6 S P 7 P h h 6, 4 A 4 7W

59 A fogyasztó áram vektorábrája (link 6.7 fejezet, TK. 66. ábra) cosϕ,6 ϕ 5, m tgϕ m h tgϕ 6,4,4 8,6 A h 9.) Számítsuk ki, mekkora annak a berendezésnek a hatásos teljesítménye, amely a V-os hálózatból A áramot vesz fel! A berendezés hatásfoka η 85 %, a teljesítménytényezője cosφ,6. V A η 85 % cosφ,6 P? S 76VA P fel S cos ϕ 76,6 656W (a hálózatból felvett teljesítmény) P P η 47, W (a berendezés által leadott teljesítmény) le fel 6.) Egy egyfázisú motor A áramot vesz fel a V-os hálózatból. Számítsuk ki a teljesítménytényezőjét, ha 8%-os hatásfok mellett 64 W hatásos teljesítményt fejt ki! A V η 8 % P le 64 W cosφ? S 46VA Ple 64 Pfel W η,8 P fel W cos ϕ,7 S 46VA.) Számítsuk ki, mekkora kapacitású kondenzátorral tudjuk kompenzálni a V, 5 Hz-es hálózatról működő, 6 A áramfelvételű induktív fogyasztó fázistolását, ha a berendezés teljesítménytényezője cosφ,84! V f 5 Hz 6 A cosφ,84

60 C? A fogyasztó áram vektorábra (link ugyanaz mint a /4-ben) cosϕ,6 ϕ, 86 m sin ϕ m sinϕ 6,546,55 A Olyan értékű kondenzátort kell alkalmazni, amelyen ugyanakkora áram folyik keresztül, mint a tekercs gerjesztő árama ( m ). X C 7, 66 Ω m,55 X C,45 45 F C πfc πfx π 5 7,66 µ C.) Egy soros kapcsolás 54 Ω-os ellenállásból és 95 mh induktivitású tekercsből áll. Mekkora az áramkörben folyó áram effektív értéke, és mekkora az ellenálláson ill. az induktivitáson eső feszültség, ha a soros -L kapcsolásra, V amplitúdójú, khz frekvenciájú feszültséget kapcsolunk? Számítsuk ki a feszültség és az áram közötti fáziseltérést! 54 Ω L 95 mh, V f khz?;?; L?; φ? πfl π 95 X L 596,9 Ω Z + X L ,9 84, 9 Ω 5V 5 8, ma Z 84,9 7,87 54, V L X L,87 596,9, V X L 596,9 tgϕ,5 ϕ 47, 8 54

61 .) Számítsuk ki, mekkora ohmos ellenállás kell bekötnünk az L μh induktivitású soros körbe, hogy az áramkör határfrekvenciája khz legyen! L μh F h khz? f πl πl h f h π 6 8,84 Ω 4.) Kapcsoljunk párhuzamosan egy mh induktivitású tekercset és egy Ω értékű ellenállást. Az áramkört tápláló generátor frekvenciája Hz és 5 V feszültség esik a párhuzamosan kapcsolt -L áramkörön. Számítsuk ki az ágáramokat és az eredő áramerősséget! Határozzuk meg a feszültség áram fázisszögét! L mh Ω f Hz 5V?; L?;? φ? X L πfl π, 75, 6 5, 67 A 5, A L X 75,6 66 L + L,67 +,66, 68 A tg ϕ,98 ϕ 75, 8 75,6 X L Ω

62 5.) Írjuk fel a párhuzamos L-tagra kapcsolt szinuszos feszültség időfüggvényét, ha a tekercsen átfolyó áram időfüggvénye: i 85 sin(4,6t ) ma, a tekercs induktivitása 4 mh! Mekkora az L-tagon átfolyó eredő áram csúcsértéke, ha az ellenállás 7 Ω-os? Ellenőrizzük számításainkat áramköri szimulációval! u, sin(4,6t + 6 ) V ; 74, Ω ecs 8, ma, mivel i Lcs sin( ω t + ϕil ) 85 sin(4,6t ) Lcs 85 ma ω 4,6 s cs X L Lcs 4,6 4 85, V ϕ u ϕ i u cs sin( ω t + ϕu ), sin(4,6t + 6 ) V u, sin(4,6t + 6 ) V A feszültség 9 -kal siet az induktivitás áramához képest. cs, ics 6 ma 7 i , ma ecs cs Lcs 6.) Egy nagy vasmagos tekercsen, 5 hertzes hálózatban: 8 V, A, P 8 W. Mekkora a tekercs induktivitása és veszteségi ellenállása? S 8 6VA; Z 4 Ω P 8 cos ϕ,5; ϕ 87, ; sinϕ,998; S 6 X L Z sinϕ sinϕ 4,998 4 Ω ; r v Z cosϕ 4,5 Ω ; X L 4 L,7 H. ω π 5 Más úton: P 8 P Pv rv ; rv Ω ; 4 Z X L + rv ; X L rv Ω

63 7.) Az ábrán látható áramkört V, 4 Hz frekvenciájú feszültséggel tápláljuk. Számítsuk ki, mekkora: az áramkör eredő impedanciája, az ohmos és kapacitív tagon eső feszültség, az eredő feszültség, az áramkör fázisszöge! ajzoljuk meg: az eredő feszültség és az áramerősség időfüggvényét, a feszültség áramerősség vektorábrát Az áramkör eredő impedanciája: Z + X C Határozzuk meg a kapacitív reaktanciát! X C 98 Ω. ω 7 5 C π f C 6,8 4 5, Számítsuk ki az eredő impedanciát! 6 Z + ( ) + (98), Ω X C A részfeszültségek kiszámításához ismerni kell a körben folyó áramot: V,69 A, 69 ma. Z 4454 Ω Az ohmos tagon eső feszültség:,69 A Ω 5, 8V A kapacitív tagon eső feszültség: C X C,69 A,98 Ω, 7 V. Az eredő feszültség: e + C 5,8 +,7 8,9 + 4,5, 97 V. Az eredő feszültség tulajdonképpen a generátor feszültsége. A, V eltérés a számolási elhanyagolások következménye. A fázisszög az áramkör feszültség és áramerősség forgásvektorainak egymáshoz viszonyított helyzetét adja meg. ajzoljuk meg a vektorábrákat, számítsuk ki az áramkör fázisszögét!

64 X C A fázisszög: tg ω C ϕ, ω C behelyettesítve: tg ϕ, 99, 7 6,8 4 5,4 ebből ϕ arc tg,99 6,. dőfüggvények: 8.) Számítsuk ki, mekkora az ábrán látható négypólus határfrekvenciája és az ezen a frekvencián mérhető kimeneti feszültsége! Számítsuk ki, mekkora frekvencián lesz az áramkör kimeneti feszültsége, ha a kimenetével párhuzamosan kötünk egy 5 nf kapacitású kondenzátort! Adatok: be V 6 Ω C nf be

65 f h 654 Hz 7 C 6 π π X C ki be X + C Mivel határfrekvencián X C ki be be 7, 7 V Ha a nf kondenzátorral párhuzamosan kapcsolunk még egy 5 nf-os kondenzátort, az eredő kapacitásuk 5 nf lesz. (C e ) f Hz h C π π e 9.) Egy 85 Ω-os ellenállással 5 nf kapacitású kondenzátor van párhuzamosan kötve. A kondenzátoron 5 khz frekvenciájú, 54 ma effektív értékű áram folyik. Mekkora az ellenálláson folyó áram? Mekkora a két áram közötti fáziskülönbség és az eredő impedancia? Ellenőrizzük az áramkörben folyó eredő áramot a feszültség és impedancia, valamint az áramháromszög felhasználásával! 85 Ω C 5 nf f 5 khz C 54 ma?; Z?; φ? X C 6, 69 9 πfc π 5 5 Z X C 85 6,69 5Ω 4,4, 4 A C X C 54 6,69 4, 4V tg ϕ ϕ 5, 6,69 X C Ω.) Egy kondenzátor kapacitása,7 μf. A vele párhuzamosan kapcsolt fogyasztó ellenállása 57 Ω. Mekkora áram folyik az áramkör két ágában, ha a kétpólus kapcsain 4 V amplitúdójú, 6 khz frekvenciájú szinuszos feszültség mérhető? Mekkora az eredő áram és mekkora a fázisszöge? C,7 μf 57 Ω 4 V f 6 khz C?;?;?; φ? 7 V