Nem-élet biztosítások díjés tartalékkockázat kalkulációja

Átírás

1 Nem-élet biztosítások díjés tartalékkockázat kalkulációja Standard formula és az EIOPA által ajánlott alternatív számítási módok

2 Az előadás tartalomjegyzéke 1. Bevezetés 1.1. A számítás röviden 1.2. Néhány szó a QIS3-ról 2. A szórásparaméter kalibrációja 2.1. Adatbekérés, adatszolgáltatás, adattisztítás 2.2. Paraméterbecslés 2.3. Az illeszkedés megfelelőségének ellenőrzése 2.4. Kalibrációs szempontok 2.5. Az adatok összesítése (összeurópai versus átlagolás) 3. Biztosítóspecifikus paraméterek számítása

3 1. Bevezetés

4 Bevezetés Erről lesz szó

5 Bevezetés Elméleti alapok Premium risk annak a kockázatát hivatott mérni, hogy a jövőbeli díjak alacsonyabbak lesznek a károk (kárkifizetés+függőkár-tartalék az időhorizont végén) és a jövőbeli költségek összegénél. Az időhorizont 1 év. Reserve risk -nek két forrása van: egyrészt a tartalékok abszolút mértéke lehet, hogy nem jól van megbecsülve, másrészt a jövőbeli aktuális károk sztochasztikus természetüknél fogva fluktuálódhatnak a várható érték körül.

6 Bevezetés Fontos megjegyzés A Premium and Reserve risk részmodul csak a normál gyakoriságú károkkal foglalkozik, az extrém károkat a Catastrophe risk részmodul becsli.

7 A számítás röviden I. Jelölések: PCO s - nettó Best Estimate tartalék; P s - a következő 12 hónap becsült megszolgált díja P last,s - az előző 12 hónap megszolgált díja FP existing,s - FP future,s - becsült jelenértéke a következő 12 hónap utáni megszolgált díjaknak létező szerződésekre becsült jelenértéke a következő 12 hónap utáni megszolgált díjaknak a következő 12 hónapban létrejövő szerződésekre

8 A számítás röviden II. NL pr = 3 σ V V = V s = (V prem,s + V res,s ) (0,75 + 0,25 DIV s ) s V s V prem,s = max P s, P last,s + FP existing,s + FP future,s V res,s = PCO s σ = 1 V s,t CorrS s,t σ s V s σ t V t

9 A számítás röviden III. σ s = (σ prem,s V prem,s ) 2 +σ prem,s σ res,s V prem,s V res,s + (σ res,s V res,s ) 2 V prem,s + V res,s CorrS : Motor vehicle liability 1 50,0% 50,0% 25,0% 50,0% 25,0% 50,0% 25,0% 50,0% 25,0% 25,0% 25,0% 2: Other motor 0,5 1 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 50,0% 50,0% 50,0% 25,0% 25,0% 25,0% 3: MAT 0,5 0, ,0% 25,0% 25,0% 25,0% 50,0% 50,0% 25,0% 50,0% 25,0% 4: Fire 0,25 0,25 0, ,0% 25,0% 25,0% 50,0% 50,0% 25,0% 50,0% 50,0% 5: 3rd party liability 0,5 0,25 0,25 0, ,0% 50,0% 25,0% 50,0% 50,0% 25,0% 25,0% 6: Credit 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1 50,0% 25,0% 50,0% 50,0% 25,0% 25,0% 7: Legal exp. 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 1 25,0% 50,0% 50,0% 25,0% 25,0% 8: Assistance 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0, ,0% 25,0% 25,0% 50,0% 9: Miscellaneous. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 25,0% 50,0% 25,0% 10:Np reins. (casualty) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0, ,0% 25,0% 11:Np reins. (MAT) 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0, ,0% 12:Np reins. (property) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 1

10 A számítás röviden IV. LoB σ prem,s σ res,s 1: Motor vehicle liability 10% NP lob 9% 2: Other motor 8% NP lob 8% 3: MAT (Marine, Aviation & Transport) 15% NP lob 11% 4: Fire 8% NP lob 10% 5: 3rd party liability 14% NP lob 11% 6: Credit 12% NP lob 19% 7: Legal exp. 7% NP lob 12% 8: Assistance 9% NP lob 20% 9: Miscellaneous. 13% NP lob 20% 10:Np reins. (casualty) 17% 20% 11:Np reins. (MAT) 17% 20% 12:Np reins. (property) 17% 20% NP lob értéke az 1., 4., 5. LoB-ban 80%, egyébként 100%.

11 Néhány szó a QIS3-ról Az első, jelenlegihez hasonló szabályozás a QIS3- ben szerepel (korábban pl. külön volt Premium risk és Reserve risk, más metodológiával). A QIS3 kalibráció legfőbb hibája az volt, hogy rendkívül limitált adatokkal dolgozott. A Premium risk -nél német, a Reserve risk -nél német és angol adatokat vett csak figyelembe. Szükségessé vált az adatgyűjtés kiszélesítése EU szintre és a kalibráció áttekintése.

12 2. A szórásparaméter kalibrációja

13 Adatbekérés A Level2 szintű szabályok átadásával egyidőben az EIOPA megalakított egy ún. Joint Working Group - ot (továbbiakban JWG), hogy széleskörűen felülvizsgálja a QIS5-ben található Premium and Reserve risk faktorok megfelelőségét. A Joint Working Group tagjai: Group Consultatif, AMICE, CEA, CRO fórum és az Európai Bizottság megfigyelői.

14 Premium risk adatbekérés I. A JWG 2010 októberében európai szintű adatgyűjtésbe kezdett. Az adatigény az alábbi volt (LoB-onként és káresemény éve szerint): - bruttó megszolgált díjak - bruttó megszolgált jutalék - költség információk, tartalmazzák (amennyiben elérhető) a nem allokált kárrendezési költségeket valamint bármely más releváns költséget

15 Premium risk adatbekérés II. - bruttó végső kár jelenlegi becslése (tartalmazza 2009-ig káresemény éve szerint a kárkifizetések évenkénti bontását és a QIS5 szerinti Best Estimate tartalékot év végén); - bruttó végső kár becslése az 1. év végén (tartalmazza a kárkifizetéseket az 1. évben és a QIS5 szerinti Best Estimate tartalékot az 1. év végén);

16 Reserve risk adatbekérés Az alábbi adatokat kérték be LoB-onként és káresemény éve szerint : - kifizetéses háromszögek - Best Estimate kártartalék háromszögek - bejelentéses háromszögek, amennyiben elérhetőek

17 Adatbekérés Az adatszolgáltatás mind Premium risk, mind Reserve risk esetben tartalmazzon - vb értelemben bruttó - vb értelemben bruttó, de katasztrófa károk nélküli - vb értelemben nettó (katasztrófa károk nélküli) adatokat.

18 Ennyi válasz érkezett: Adatszolgáltatás LoB/Countries H-ME H-IP H-WC MTPL MO MAT PROP LIAB C-S L-E AS MISC NP-H NP-C NP-M NP-P Total Undertakings Countries Austria Belgium Bulgaria Cyprus Czech Republic Germany Denmark Estonia Spain Finland France Greece Hungary Ireland Iceland Italy Liechtenstein Lithuania Luxembourg Latvia Malta Netherlands Norway Poland Portugal Romania Sweden Slovenia Slovakia United Kingdom

19 Adattisztítás Az alábbi adatokat ki kellett szűrni: - nempozitív megszolgált díjak; - duplán elküldött adatok; - rövid időtartamok kevés megfigyeléssel; -inkonzisztencia a megszolgált díj és a becsült károk között; -inkonzisztencia a becsült károk és a háromszögek adatai között (pl. a végső kár jóval alacsonyabb,mint az első éves);

20 Adattisztítás Az adattisztítás után a következő adatmennyiség maradt a Premium risk esetében: Raw data gross Adjusted gross LoB Number Average size Mean length Number Average size Mean length Motor TPL ,7 10, ,6 9,0 Motor Other ,6 10, ,6 8,7 MAT ,1 9, ,5 8,6 Fire ,2 9, ,0 8,7 General Liability ,5 10, ,5 8,5 Credit & Suretyship 68 58,6 7, ,4 8,2 Legal Expenses ,7 9, ,2 8,4 Assistance 70 15,4 7,2 58 5,7 7,1 Miscellaneous ,1 7, ,1 7,4 NPRI - property ,3 6, ,7 6,6 NPRI - casualty 9 240,4 7, ,3 7,9 NPRI - MAT ,6 8, ,1 8,9 Medical Expenses ,1 8, ,6 7,3 Income Protection ,9 10, ,9 8,3 Workers Comp 43 37,1 9, ,2 6,7 NPRI - health 5 107,3 8, ,8 8,0 Total

21 Adattisztítás Az adattisztítás után a következő adatmennyiség maradt a Reserve risk esetében: Triangle type Premium methods Gross data Net data Gross data Net data Non-life Number Average size Mean length Number Average size Mean length Number Average size Mean length Number Average size Mean length Motor TPL , , , ,1 Motor Other , , , ,0 MAT , , , ,2 Fire , , , ,9 General Liability , , , ,6 Credit & Suretyship , , , ,5 Legal Expenses , , , ,5 Assistance , , , ,4 Miscellaneous , , , ,7 NPRI - property , , , ,0 NPRI - casualty , , , ,2 NPRI - MAT 8 7 9, , , ,2 Medical Expenses , , , ,5 Income Protection , , , ,7 Workers Comp , , , ,4 NPRI - health , ,0 Total

22 Premium risk alapfeltevések Paraméter becslés 1. Az adott évi végső kár várható értéke arányos a bruttó megszolgált díjjal, ahol az arányossági tényező társaságspecifikus paraméter; 2. Az adott évi végső kár szórásnégyzetéhez is a bruttó megszolgált díjat használták két modellben: a szórásnégyzet vagy a megszolgált díjjal, vagy a megszolgált díj négyzetével legyen arányos. 3. A várható érték és a szórásnégyzet specifikációjához normális illetve lognormális eloszlást illesztettek.

23 Premium risk módszertan Paraméter becslés 1. A kumulált végső kárt összetett Poisson-eloszlással modellezték. A kár darabszám legyen Poisson-eloszlású, az egyedi kárösszeg eloszlása legyen normális illetve lognormális; 2. a kárfolyamatban levő determinisztikus paramétereket időtől függő sztochasztikus paraméterekre cserélték; 3. majd egy maximum-likelihood becslésből származtatott becslési kritérium függvényt minimalizáltak.

24 Reserve risk alapfeltevések Paraméter becslés Kétféle módszert teszteltek: az egyik módszer a pénzügyi év adatain alapul, és a Premium risk -el analóg módon számolódik. Nevezzük ezt a továbbiakban Premium risk type módszernek. A másik módszer a kárbekövetkezési éves kifutási háromszögeken alapul. Nevezzük a továbbiakban Triangle módszernek.

25 Paraméter becslés Premium risk típusú Reserve risk alapfeltevés Kicseréljük a bruttó megszolgált díjat a kártartalékkal és alkalmazzuk a Premium risk alapfeltevéseket.

26 Paraméter becslés Triangle típusú Reserve risk alapfeltevés Kétféle módszert vizsgált a JWG: A tartalék kockázat előrejelzésének relative root mean squared error (RRMSEP)-ján alapuló módszert illetve az eltérések társaságspecifikus együtthatóján alapuló módszert.

27 Paraméter becslés RRMSEP (relative root mean squared error) típusú módszer Jelölések: PCO C,LoB - társaságonként és LoB-onként a jelenlegi Best Estimate tartalék (chain-ladder módszerrel számítva) V C,LoB - társaságonként és LoB-onként a kockázat mértéke RRMSEP C,LoB - társaságonként és LoB-onként a később definiált RRMSEP egy éves időtávon belül σ res,lob - LoB-onként a Reserve risk szórása

28 Paraméter becslés RRMSEP (relative root mean squared error) típusú módszer 1. lépésként ki kell számítani RRMSEP-t és RMSEP-t RRMSEP C i,j D I I C i,j = 1 V E (C I i,j C i,j 2 DI RMSEP C i,j D I I C i,j = E I (C i,j C i,j 2 DI ahol C i,j -t (kumulált i. évi végső kár) szeretnénk megbecsülni D I információ alapján. Feltevések: 1. C i,j függetlenek különböző i-re 2. i, j: C i,j Markov-lánc, és f j, s j konstansok, melyekre E C i,j C i,j 1 = f j C i,j 1 és Var C i,j C i,j 1 = s j 2 C i,j 1

29 Paraméter becslés RRMSEP (relative root mean squared error) típusú módszer V C,LoB = PCO C,LoB Ekkor a legkisebb négyzetek módszerét használó becslő függvény minimalizálja az alábbi összeget C (V C,LoB σ res,lob RMSEP C,LoB ) 2 Deriválva és a deriváltat 0-val egyenlővé téve kapjuk: σ (res,lob) = C V C,LoB RMSEP C V C,LoB 2 = C 2 V C,LoB RRMSEP C V C,LoB 2

30 Paraméter becslés Az eltérések társaságspecifikus együtthatóján alapuló módszer 1. lépésként itt is ki kell számítani RRMSEP értékét 2. lépésként meg kell határozni küszöbindexeket úgy, hogy biztosítsák a károsultak illetve a társaságok előre meghatározott százalékának védelmét, amely megfelel a deklarált 1 éven belüli 99,5%-os biztonsági szintnek.

31 Az illeszkedés megfelelőségének ellenőrzése Két módszert használtak az illeszkedés megfelelőségének ellenőrzésére: - szórásgörbéket (scatter plot) - valószínűség-valószínűség ábrákat (probability-probability plot)

32 Az illeszkedés megfelelőségének ellenőrzése Szórásgörbék A triangle módszer kivételével az összes LoB-ra és az összes becslési módszerre készült. Az ábrákból látható, hogy minél nagyobb egy társaság, annál kisebb a szórás és a szórás volatilitása is. Ugyanakkor a volatilitás nem éri el a 0-t. Ez az állítás mindegyik LoB-ra igaz volt.

33 Az illeszkedés megfelelőségének ellenőrzése Szórásgörbék példa

34 Az illeszkedés megfelelőségének ellenőrzése Valószínűség-valószínűség ábrák Ezeket az ábrákat annak ellenőrzésére szokták használni, hogy megfelelő valószínűségi változó eloszlását használjuk-e. Minél közelebb van a görbe az egyeneshez, annál jobb a modell illeszkedése az adatokra. A látható különbség okai különbözőek lehetnek: - az eloszlás család (normális, lognormális, gamma) tulajdonságai - szórásnégyzet modellezése; - a mintaértékek függetlensége ill. összefüggősége Jelentős különbség esetén további elemzés szükséges.

35 Az illeszkedés megfelelőségének ellenőrzése Valószínűség-valószínűség ábra példa

36 Kalibrációs szempontok Valószínűség eloszlás feltételezések A nagy számok törvénye miatt a normális eloszlás természetes és egyszerű jelölt a LoB-onkénti és évenkénti kumulált kár eloszlásra. Másik egyszerű és kézenfekvő jelölt a lognormális eloszlás. Az aktuáriusi kockázat elmélet megemlít további lehetőségeket (pl. normal power method vagy eltolt gamma eloszlás), de ezek három paramétert is tartalmaznak és nagy portfolióknál jól közelíthetők normális eloszlással. Sem elméleti, sem a tényleges adatokból felépített modellek alapján nem lehetett lényeges eltérést találni a két eloszlás között, így praktikus okok miatt a normális eloszlást választották.

37 Kalibrációs szempontok Különbségek a különböző tagállamok adatai között Az adatok jelentősen eltértek nemcsak mérettől, hanem tagállamtól függően is. Ennek fő okai a következőek: - különböző termékek (feltételszövegek); - különböző underwriting előírások; - különböző kárrendezési gyakorlat - különböző bírósági gyakorlat. E probléma kezelésére később még visszatérünk az adatok összegzésénél.

38 Kalibrációs szempontok A portfolió méretének jelentősége illetve az adatok reprezentativitása Minden LoB-ra és minden módszerre érvényes törvénynek tűnik, hogy a volatilitás a méret növelésével csökken. Azonban a JWG feladata mérettől független faktorokat ajánlani. Ténylegesen az országok közötti különbség jelentősebb volt, és e kettő között kereszt-összefüggés is megfigyelhető. Másik fontos kérdés volt, hogy a kapott adatok mennyire tekinthetőek reprezentatívnak a teljes európai piacra nézve. A megoldás a LoB-onkénti medián méret alkalmazása, amit a QIS5 szerinti 65% kvantilissal modelleztek (a kis társaságok nem lesznek érintve az SII szabályozásban).

39 Kalibrációs szempontok Underwriting cycle hatás a díjakban A díj a kitettségként egyszerűsített becslése. Az Underwriting cycle hatás azt jelenti, hogy attól függően, mennyire hard illetve soft körülmények vannak egy adott piacon, a díjtételek lehetnek magasabbak illetve alacsonyabbak. Általában megfigyelhető egy adott üzletágban a hard illetve soft szakaszok változása. A JWG elismerte ennek a ténynek a jelentőségét, ugyanakkor nem található alkalmazhatónak beépíteni az alkalmazott modellekbe, ugyanis nem lehetett megítélni, az egyes társaságok egyes LoB-jai a ciklus melyik részén tart. Azonban ezt a témát szükségesnek találta elemezni a további kalibrációk során.

40 Kalibrációs szempontok Viszontbiztosítás kezelése A Reserve risk számításánál felhasznált adatok főleg bruttó adatok. Ennek elsődleges oka az volt, hogy a társaságok jelentős része nem tudott historikus adatokat adni a nettó tartalékokról. A kalkuláció során az a feltevés erősödött meg, hogy a nettó tartalék adatok volatilitása kisebb, mint a bruttó adatoké. Végül egy LoB-tól függő gross-to-net faktor került alkalmazásra.

41 Bekövetkezés éve Bekövetkezés éve Kalibrációs szempontok Végső kár: első év végi versus aktuális becslés Első év végi adatok: Kumulált kárkifizetés Kifizetés éve (1,1) (1,6) (2,1) (2,5) (3,1) (3,4) (4,1) (4,3) (5,1) (5,2) (6,1) Aktuális becslés Kártartalék Értékelés éve (1,1) (1,6) (2,1) (2,5) (3,1) (3,4) (4,1) (4,3) (5,1) (5,2) (6,1)

42 Kalibrációs szempontok Végső kár: első év végi versus aktuális becslés A Premium risk számításának oka az a kockázat volt, hogy az egy éves kárkifizetés + becsült BE tartalék nagyobb lesz, mint a megszolgált díj. A felhasznált adatok főleg bruttó adatok. A rákövetkező évben a BE tartalék már a Reserve risk részét fogja képezni. Ezek az okok az első év végi adatok használatát indokolnák. Az első év végi adatok használata ellen szól, hogy az első év végi kártartalék tartalmazhat még prudenciális többletet, ami ellentmond a Solvency II. elveinek. Emiatt a faktorok becslése is torzulhat.

43 Kalibrációs szempontok Végső kár: első év végi versus aktuális becslés Az aktuális becslés adatait használva ez a hátrány elkerülhető, ugyanakkor ez az eljárás nem lesz teljesen konzisztens azzal az alapkoncepcióval, hogy a Premium risk és a Reserve risk egyértelműen megkülönböztetendő. Végül egy olyan kombinált módszer mellett döntöttek, amely minden LoB esetén a maximális mennyiségű adathalmazt vizsgálja, és összehasonlítja a két koncepcióból kapott eredményt.

44 Kalibrációs szempontok Díjadatok katasztrófa díjjal való csökkentése Elkerülendő a katasztrófa kockázatok dupla kezelését, a bruttó díjat csökkenteni szükséges a katasztrófa kockázatok díjával. Problémát jelentett, hogy a legtöbb társaság nem küldött erre vonatkozóan adatot (kivéve a Property LoB-ot). Minden társaságnál és minden LoB esetén megvizsgálta a JWG, hogy a kárhányad adatok időbeli változását. Ahol kellően sima illetve ciklikus mintát követett, ott úgy vélték, ez bizonyíték a katasztrófa mentes évekre. Viszont ahol volt egy kiugróan magas érték, abban az esetben az a feltételezés lett elfogadva, hogy katasztrófa esemény okozta a magas értéket.

45 Kalibrációs szempontok Díjadatok katasztrófa díjjal való csökkentése Eltávolítva a feltételezett katasztrófával terhelt éveket, kapunk egy újabb adathalmazt, melyet lehet elemezni a korábban megismert módon. Végül összehasonlítva a két adathalmazra kapott volatilitási faktort, meg lehet becsülni a katasztrófa károk hatását a volatilitási faktorra. Például Első év végi és normális eloszlású becslést használva a következő táblázatot kapjuk:

46 Kalibrációs szempontok Díjadatok katasztrófa díjjal való csökkentése Catastrophe claims adjustment Observed unbiased sigma CAT adjustment Observations Based on eliminating selected observations Gross Ex CAT Implied Recommended Original Excluded Motor Other 9,10% 9,20% -0,10% 0,00% Motor TPL 10,80% 10,70% -0,10% 0,00% Fire (see under) -2,00% General Liability 17,20% 16,50% -0,70% -1,00% Health: Medical Expenses 6,30% 6,10% -0,20% 0,00% Health: Income Protection 9,20% 9,30% 0,10% 0,00% MAT 20,70% 18,70% -2,00% -2,00% Credit & Suretyship 28,60% 20,30% -8,20% -8,00% Miscellaneous 16,90% 13,20% -3,70% -3,50% Health: Workers Comp 11,60% 11,50% -0,10% 0,00% Based on adjusted data submitted Fire and other damage to property 14,50% 13,00% -1,50% 1700 N/A Fire and other damage to property (common) 11,90% 9,50% -2,40% 177 N/A

47 Kalibrációs szempontok Megfelelőségi vizsgálat A cél az volt, hogy az eddig számolt torzítatlan szigma -t megszorozzuk egy olyan kappa értékkel, amely biztosítja azt, hogy az SCR számításában előírt 99,5% megfelelőségi szint teljesüljön. A 99,5% megfelelőségi szintet kétféleképpen lehet értelmezni: - biztosítottak (vagy reserve risk esetén károsultak) szintjén; - társaságok szintjén. A portfolió méretek aszimmetrikus eloszlása miatt a megfelelőségi szint biztosítottak esetén mindig magasabb lesz, mint társaságok esetén.

48 Kalibrációs szempontok Megfelelőségi vizsgálat (példa)

49 Az adatok összesítése (összeurópai versus átlagolás) Az összeurópai szinten történő összesítés az összes adatot egy pool -ban vizsgálná, míg az átlagolási módszer először országos szinten számolna, majd az országonkénti eredményből készítene egy súlyozott átlag eredményt (az országok LoB szintű díjával súlyozva). Az EIOPA tagok az összeurópai módszer mellett érveltek, mondván, hogy az eredeti cél egységes EU-szintű paraméterek meghatározása volt mind a Premium risk mind a Reserve risk esetén. A biztosítótársaságok résztvevői rámutattak ezzel szemben az adatok heterogenitására, a különböző nemzeti sajátosságok (pl. különböző termékek,különböző underwriting előírások, különböző kárrendezési gyakorlat, különböző bírósági gyakorlat) jelentőségére.

50 Az adatok összesítése (összeurópai versus átlagolás) Ezzel szemben az EIOPA tagok rámutattak arra, hogy a beérkezett adatok mennyisége országonként jelentősen különböző, így több ország adatai nem tekinthetőek reprezentatívnak és emiatt biztosítani kell azt, hogy a kapott adatok konzisztensek legyenek azokkal az adatokkal, amelyek a statisztikai elemzésből származnak. Végül egy kombinált módszer került elfogadásra: - mint az átlagolási módszernél, az európai faktor a nemzeti faktorok súlyozott átlaga legyen; - mind a Premium risk mind a Reserve risk számításánál az alkalmazott metodológia egységes legyen. A regionális faktorok mellett a metodológia biztosítsa a megfelelő összefüggést a portfolió mérete és a volatilitás között;

51 Az adatok összesítése (összeurópai versus átlagolás) - szükséges, hogy a metodológia teljesen konzisztens legyen a statisztikai adatok eredményével; - a kalibráció a társaságok méretének mediánján alapult. Azonban, mivel azon társaságok, melyek mérete a medián felett van, a biztosítottak több, mint 95%-át reprezentálják, ezért a kalibráció a biztosítottak 95%-nak való megfelelőségi szintjére lett redukálva. Ezzel a kockázatot biztosan felülbecsüljük.

52 3. Biztosítóspecifikus paraméterek számítása

53 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása A standard formulában bizonyos feltételek teljesülése esetén van lehetőség biztosítóspecifikus paramétereket alkalmazni a standard paraméterek helyett. A premium risk-re egyféle, a reserve risk-re kétféle módszer található az L2 dokumentumban.

54 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása Premium risk feltételek: - legalább 5 egymást követő év adatai rendelkezésre állnak; - a katasztrófa-kockázattal korrigálni kell az adatokat; - a kár adatok tartalmazzák a kárrendezési költségeket; - adott kárbekövetkezési évi kumulált kárösszeg egyenesen arányos az adott évi megszolgált díjjal; - adott kárbekövetkezési évi kumulált károk szórásnégyzete négyzetesen arányos az adott évi megszolgált díjjal; - a kumulált károk lognormális eloszlásúak; - a paraméterek becslésére a maximum-likelihood módszer alkalmazható.

55 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása Premium risk számítás: σ prem,s,usp = c σ δ, γ T + 1 T 1 + (1 c) σ prem,s ahol σ δ, γ = ex p( γ T + T t=1 π t δ, γ ln y t T t=1 π t δ, γ x t π t δ, γ = 1 l n( 1 + ((1 δ) x + δ) e2 γ x t

56 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása Premium risk számítás: δ és γ pár minimalizálja az alábbi kétváltozós függvényt T t=1 π t δ, γ (ln y t x t π t δ, γ + γ ln (σ δ, γ) ) 2 T - t=1 ln(π t δ, γ ) ahol t=1,2,,t jelöli a kárbekövetkezési éveket, y t a t-ik évbeli kumulált kárt, x t a t-ik évbeli megszolgált díjat c a credibility faktor, ami T-től és LoB-tól függ az alábbi táblázat szerint

57 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása Premium risk számítás: c credibility faktor Időtartam években 1.,5., 6. LoB Többi LoB 5 34% 34% 6 43% 51% 7 51% 67% 8 59% 81% 9 67% 92% 10 74% 100% 11 81% 100% 12 87% 100% 13 92% 100% 14 96% 100% 15 és több 100% 100%

58 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 1. Reserve risk feltételek: - legalább 5 egymást követő év adatai rendelkezésre állnak; - vb-vel korrigálni kell az adatokat; - a kár adatok tartalmazzák a kárrendezési költségeket; - az adott szegmens vonatkozásában a kárkifizetési év kezdetén még függő kárigények kárkifizetési év végi értékére vonatkozóan képzett tartalék legjobb becslésének és az adott szegmens vonatkozásában a kárkifizetési év kezdetén még függő kárigények kapcsán teljesített kifizetéseknek az összege egyenesen arányos a kárkifizetési év végén vett legjobb becsléssel;

59 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 1. Reserve risk feltételek: - az adott szegmens vonatkozásában a kárkifizetési év kezdetén még függő kárigények kárkifizetési év végi értékére vonatkozóan képzett tartalék legjobb becslésének és az adott szegmens vonatkozásában a kárkifizetési év kezdetén még függő kárigények kapcsán teljesített kifizetéseknek az összegének szórásnégyzete négyzetesen arányos a kárkifizetési év végén vett tartalékkal; - az adott szegmens vonatkozásában a kárkifizetési év kezdetén még függő kárigények kárkifizetési év végi értékére vonatkozóan képzett tartalék legjobb becslésének és az adott szegmens vonatkozásában a kárkifizetési év kezdetén még függő kárigények kapcsán teljesített kifizetéseknek az összegei lognormális eloszlásúak; - a paraméterek becslésére a maximum-likelihood módszer alkalmazható.

60 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 1. Reserve risk számítás: σ res,s,usp = c σ δ, γ T + 1 T 1 + (1 c) σ res,s ahol σ δ, γ = ex p( γ T + T t=1 π t δ, γ ln y t T t=1 π t δ, γ x t π t δ, γ = 1 l n( 1 + ((1 δ) x + δ) e2 γ x t

61 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 1. Reserve risk számítás: δ és γ pár minimalizálja az alábbi kétváltozós függvényt T t=1 π t δ, γ (ln y t x t π t δ, γ + γ ln (σ δ, γ) ) 2 T - t=1 ln(π t δ, γ ) ahol t=1,2,,t jelöli a kárbekövetkezési éveket, y t a t-ik évbeli kumulált kárt, x t a t-ik évbeli megszolgált díjat c a credibility faktor, ami T-től és LoB-tól függ az alábbi táblázat szerint

62 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 1. Reserve risk számítás: c credibility faktor Időtartam években 1.,5., 6. LoB Többi LoB 5 34% 34% 6 43% 51% 7 51% 67% 8 59% 81% 9 67% 92% 10 74% 100% 11 81% 100% 12 87% 100% 13 92% 100% 14 96% 100% 15 és több 100% 100%

63 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 2. Reserve risk feltételek: - legalább 5 egymást követő év adatai rendelkezésre állnak; - az első kárév tekintetében legalább 5 egymást követő év kifutási adatai rendelkezésre állnak; - az első kárév kifutása lényegében teljes; - a kárbekövetkezési évek száma legalább a kifutási évek számával egyenlő; - vb-vel korrigálni kell az adatokat; - a kár adatok tartalmazzák a kárrendezési költségeket;

64 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 2. Reserve risk feltételek: - a különböző kárbekövetkezési évek kumulált káradatai sztochasztikusan függetlennek tekinthetőek; - minden kárévnél az alkalmazott növekedési kárösszegek sztochasztikusan függetlenek; - minden kárévnél az adott kifutási év kumulált kifizetésre vonatkozó legjobb becslésének várható értéke arányos a megelőző kifutási év kumulált kárkifizetésével; - minden kárévnél az adott kifutási év kumulált kifizetésre vonatkozó legjobb becslésének szórásnégyzete arányos a megelőző kifutási év kumulált kárkifizetésével,

65 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 2. Reserve risk számítás: σ res,s,usp ahol = c MSEP + (1 c) σ I res,s i=0 C i,j C i,i i C i,j = C i,i i f I i f j 2 f j 1 f j = MSEP = I j 1 i=0 Ci,j+1 I j 1 i=0 C i,j I i=0 C 2 i,j Q I i + C i,i i I I i=1 k=1 C i,j C k,j Q I i S I i + J 1 j=i i+1 C I j,j S j Q j S j

66 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 2. Reserve risk számítás: σ j 2 = 1 I i 1 I j 1 i=0 C i,j C i,j+1 C i,j f j 2 ha j=0,1,,j-2 σ j 2 = mi n( σ J 2 2, σ J 3 2, σ J 2 4 σ J 3 2 ha j=j-1 Q j = σ j 2 f j 2 S j = I j 1 i=0 C i,j S j = I j i=0 C i,j

67 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 2. Reserve risk számítás: ahol 0-val jelöljük az első kárbekövetkezési évet; I-vel az utolsó kárbekövetkezési évet; J-vel az első kárbekövetkezési év utolsó kifutási évét; C i,j -vel az i-ik kárbekövetkezési év j-ik kifutási évének kumulált kárösszegét. c a credibility faktor, ami T-től és LoB-tól függ az alábbi táblázat szerint

68 Biztosítóspecifikus paraméterek számítása 2. Reserve risk számítás: c credibility faktor Időtartam években 1.,5., 6. LoB Többi LoB 5 34% 34% 6 43% 51% 7 51% 67% 8 59% 81% 9 67% 92% 10 74% 100% 11 81% 100% 12 87% 100% 13 92% 100% 14 96% 100% 15 és több 100% 100%

69 Irodalom A-Report_JWG_on_NL_and_Health_non- SLT_Calibration.pdf _Underlying_Assumptions.pdf onpapers.pdf _Wuetrich.pdf

70 Irodalom A részletes eredmények: C- Annex_6_2_Report_JWG_on_NL_and_Health_non- SLT_Calibration.pdf

71

72 Kérdések, megjegyzések