MATEMATIKA FRANCIA NYELVEN

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA FRANCIA NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika francia nyelven emelt szint írásbeli vizsga 1213

írásbeli vizsga 1213 2 / 24 2015. május 5.

Instructions importantes 1. Vous disposez de 240 minutes pour exécuter les exercices. A l issue du temps imparti, vous devez arrêter le travail. 2. L ordre d exécution des exercices est laissé libre. 3. Dans la II e partie, il ne faut résoudre que quatre exercices sur les cinq. A la fin du travail, écrivez le numéro de l exercice non-choisi dans la case ci-dessous. Si ce numéro d exercice n est pas clairement indiqué alors, dans l ordre proposé par l énoncé, c est le dernier exercice qui ne sera pas évalué. (Recevra zéro point.) 4. Lors de l exécution des exercices vous pouvez utiliser une calculatrice qui n est pas capable de stocker ni d afficher des données texte. L emploi de n importe quel formulaire négyjegyű függvénytáblázat est permis. L usage de tout autre outil électronique ou document écrit est interdit. 5. Décrivez à chaque fois le raisonnement des résolutions, car une grande part des points de l exercice seront attribués pour cela. 6. Veillez à ce que les plus importants calculs partiels soient également clairement rédigés. 7. Au cours de la résolution des problèmes, il n est pas nécessaire d énoncer, en tant que tels, les théorèmes désignés par un nom et étudiés à l école (p. ex.: théorème de Pythagore, théorème de hauteur). Il suffit de les nommer. Par contre, il faut justifier brièvement leur applicabilité. La mention d autres théorèmes est acceptable aux deux conditions suivantes : que l affirmation soit énoncée précisément avec toutes les conditions (sans la démonstration), et que son applicabilité soit justifiée dans le problème en question. 8. Rédigez le résultat final des exercices (la réponse à la question posée) sous forme d une phrase. 9. Ecrivez au stylo, les schémas peuvent être tracés au crayon. A l exception des schémas, le correcteur ne pourra pas accepter les parties écrites au crayon. Si vous barrez une résolution ou bien une partie de résolution, alors elle ne sera pas évaluée. 10. A chaque exercice, une seule variante de résolution sera évaluée. Au cas où le candidat proposerait plusieurs solutions il doit signaler sans équivoque laquelle prendre en considération. 11. Prière de ne rien écrire dans les rectangles gris. írásbeli vizsga 1213 3 / 24 2015. május 5.

I. 1. Etant donnés le cercle k d équation 4 x 2 + 4y 2 = 90 et la droite g d équation x + 3 y = 0. Ecrire l équation des tangentes au cercle k parallèles à g. T.: 12 points írásbeli vizsga 1213 4 / 24 2015. május 5.

2. Dans une urne il y a 40 perles de verre blanches parmi lesquels 8 sont défectueuses. Considérons l expérience suivante : on tire au hasard un échantillon de 10 perles parmi les 40 sans remise et on compte le nombre des perles défectueuses parmi elles. a) Un groupe d élèves a effectué l expérience décrite ci-dessus 500 fois au total. A la fin, ils ont rassemblé les résultats obtenus : sur un diagramme en bâton, ils ont représenté la fréquence des échantillons de 10 éléments obtenus en fonction du nombre de perles défectueuses qu ils contiennent. A l aide du diagramme, répondre aux questions suivantes : I. Quel est le nombre maximal de perles défectueuses par échantillon? II. Quel est le nombre de perles défectueuses le plus fréquent par échantillon? III. Combien d échantillons de 10 éléments ne comportent aucune perle défectueuse? fréquence nombre de perles défectueuses dans l échantillon b) Calculer la probabilité qu en effectuant une fois l expérience décrite au début de l énoncé, l échantillon obtenu comporte exactement deux perles défectueuses. Exprimer sous forme de pourcentage le rapport de la fréquence de cet événement observée au cours des 500 expériences sur la probabilité calculée. c) Lors d une autre expérience, parmi les mêmes 40 perles, on en tire 10 au hasard mais cette fois-ci avec remise. Calculer alors la probabilité que l échantillon comporte exactement deux perles défectueuses. a) 4 points b) 5 points c) 4 points T.: 13 points írásbeli vizsga 1213 6 / 24 2015. május 5.

3. On souhaite déterminer la hauteur d une colline et celle de la tour se situant à son sommet. Soit A le point le plus haut de la tour, et soit B le pied de cette tour. Au pied de la colline s etend un champ plat et horizontal dans lequel on considère les points P et Q distants de 30 mètres, se situant dans la même direction en partant de la tour. Ainsi, les points A, B, P et Q sont dans un plan commun (vertical). A partir du point P, le pied (le point B) de la tour est vu sous un angle d élévation égal à 29, son sommet (le point A) est vu sous un angle d élévation égal à 33, et à partir du point Q, le pied de la tour est vu sous un angle d élévation égal à 27. a) De combien de mètres la colline (au sommet de laquelle se situe la tour) s élève t elle au-dessus du champ? b) Quelle est la hauteur de la tour? Donner vos réponses arrondies à l unité près en mètre. a) 8 points b) 5 points T.: 13 points írásbeli vizsga 1213 8 / 24 2015. május 5.

4. Soit A l ensemble des solutions réelles de l inéquation 4x 2 19x + 22 < 0, et soit B celui de l inéquation sin 2x < 0. Justifier que A B. T.: 13 points írásbeli vizsga 1213 10 / 24 2015. május 5.

II. Parmi les exercices de numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre au choix; le numéro de l exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 5. On découpe deux rectangles superposables (ils sont hachurés sur la figure) dans un carton dont les dimensions sont 40 cm 25 cm. En pliant le carton restant (le long des arrêtes tracées) on constitue un parallélépipède rectangle dont la hauteur est égale au côté le plus court des rectangles découpés. a) Quelle est l aire du parallélépipède rectangle obtenu si le côté le plus court des rectangles découpés est de 2 cm? b) Comment doit-on choisir la longueur du côté le plus court des rectangles découpés pour que le volume du parallélépipède rectangle à construire soit maximal? Quel est ce volume maximal? a) 4 points b) 12 points T.: 16 points írásbeli vizsga 1213 12 / 24 2015. május 5.

Parmi les exercices de numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre au choix; le numéro de l exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 6. a) On connaît les degrés de 8 sommets d un arbre (graphe) comportant 9 sommets au total : 1; 1; 1; 1; 2; 3; 3, 3. Déterminer le degré du neuvième sommet. b) Existe il un arbre simple de 9 sommets dont les 9 sommets sont de degrés distincts? c) Dans un groupe de neuf personnes, les gens se saluent en se serrant la main. Jusqu à maintenant, 4 poignées de mains ont été échangées. De combien de manières différentes cela a t il pu se réaliser sachant que personne n a échangé plus d une poignée de mains et sachant qu on ne tient pas compte de l ordre des poignées de mains? a) 5 points b) 5 points c) 6 points T.: 16 points írásbeli vizsga 1213 14 / 24 2015. május 5.

Parmi les exercices de numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre au choix; le numéro de l exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 7. Au cours de la finale d un championnat d échecs en individuel d une école, chaque joueur a joué une seule fois contre tous les autres joueurs qualifiés pour la finale. A la fin de la compétition, on a constaté que les points obtenus par les joueurs formaient les termes consécutifs d une suite arithmétique strictement croissante. Quel est le nombre de participants à la finale et combien de points le vainqueur a-t-il obtenu si le dernier a eu 1 point au total? (Il faut savoir qu à une compétition d échecs un match gagné rapporte 1 point, un match nul rapporte 0,5 point et un match perdu rapporte 0 point.) T.: 16 points írásbeli vizsga 1213 16 / 24 2015. május 5.

Parmi les exercices de numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre au choix; le numéro de l exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 8. On a représenté les arcs des courbes d équation et dans un repère orthogonal avec. (Ces deux arcs peuvent être vus sur la figure.) On sait que les points (0; 0) et (12; 0) sont les points communs des deux arcs. a) Donner la première coordonnée du point le plus éloigné de l axe des x de chacun des deux arcs. b) Quelle est l aire de la figure délimitée par les deux arcs? c) Considérons les fonctions f et g définies sur l intervalle par : 2 0,25x + 3x 25 f ( x) = et g ( x) =. 3 0,01x 1,44x x + 12 Prouver que f(x) = g(x) et montrer que la fonction g est strictement croissante. a) 5 points b) 5 points c) 6 points T.: 16 points írásbeli vizsga 1213 18 / 24 2015. május 5.

Parmi les exercices de numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre au choix; le numéro de l exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 9. Les élèves d une classe ont fait un contrôle en mathématiques. Il leur fallait résoudre trois exercices. Au total, 22 élèves ont résolu le premier exercice et parmi eux 16 ont résolu le deuxième exercice aussi. Le nombre d élèves qui ont résolu les trois exercices est le triple du nombre de ceux qui n ont résolu que le premier exercice. Le nombre de ceux qui n ont fait que les deux premiers exercices est égal à 2,5 fois le nombre de ceux qui n ont résolu que le premier et le troisième exercice. a) Combien d élèves ont résolu les trois exercices? Au total 30 élèves ont fait l interrogation. Le professeur évalue les copies avec des notes entières de 1 à 5. La moyenne, la médiane et le mode unique étaient respectivement 3,4 ; 3,5 et 4. Quand le professeur a rendu les copies, 6 élèves étaient absents parmi ceux qui avaient fait l interrogation. Parmi les 24 copies rendues, 7 ont obtenu la note cinq, 5 ont obtenu la note quatre, 6 ont obtenu la note trois, 4 ont obtenu la note deux et 2 ont obtenu la note 1. b) Quelles peuvent être les notes des copies des six élèves absents? a) 7 points b) 9 points T.: 16 points írásbeli vizsga 1213 20 / 24 2015. május 5.

partie I partie II le n d exercice le nombre maximal de points 1 12 2 13 3 13 4 13 16 le nombre de points obtenu le nombre maximal de points 16 64 16 16 l exercice non-choisi Le nombre de points de l épreuve écrite 115 51 le nombre de points obtenu date correcteur I. rész/ partie I II. rész/ partie II elért pontszám egész számra kerekítve/ le nombre de points obtenus arrondi à l unité programba beírt egész pontszám/ le nombre de points entier saisi dans le programme javító tanár/ correcteur jegyző/secrétaire du jury dátum/date dátum/date írásbeli vizsga 1213 24 / 24 2015. május 5.