Devoir de vacances Février-Mars 2015

Átírás

1 Lycée Jean Bart PCSI Année 04-0 Devoir de vacances Février-Mars 0 Consignes et indications Vous trouverez ci-dessous quelques exercices 49 quand même! de révision pour ces vacances, et plus si anités. Rassurez-vous peut-être, le but n'est pas que vous les fassiez tous en jours. Le premier objectif est plutôt de balayer susamment de thèmes pour que chacun d'entre vous puisse réviser son ou ses thèmes de prédilection. Le second objectif est de vous fournir des questions qui vous occuperont durant vos moments d'oisiveté le soir à l'internat je sais, il y en a peu!. En tout état de cause, les exercices proposés dans ces pages sont tous en rapport avec le programme de Sup, et vous devez donc tous être capables de les traiter sans coup férir... Ces exercices sont regroupés par thèmes voir détail ci-dessous : les thèmes prioritaires sont le calcul matriciel chapitre que l'on vient d'achever, les probabilités chapitre que nous ferons à la rentrée, les DL et équivalents omniprésents en Analyse jusqu'aux Concours. Dans cette optique, et s'il faut vous donner un objectif minimal pour ce DM, il serait bon que vous fassiez les exercices,,, 6, 7, 8, 9, 4, 6, 7 et 47. Par ailleurs, la date limite pour me rendre votre travail serait le vendredi 3 mars n de la première semaine après les vacances ; cela vous laisserait un peu de temps après la rentrée pour me poser des questions en live si nécessaire. L'utilisation du conditionnel dans la phrase précédente est justiée par le fait que je ne vous oblige à rien. Mais je vous recommande fortement de faire au moins les exos cités plus haut dans le cadre de l'objectif minimal ; et je corrigerai et tiendrai compte de votre travail dans les futures évaluations. Les thèmes développés dans les exercices sont les suivants : Calcul matriciel Fonctions : étude, inégalités entre fonctions, continuité notamment TBA, TVI, dérivabilité notamment Rolle, TAF, dérivées successives notamment Leibniz 3 Suites et sommes 4 Calcul intégral : primitives et intégrales, suites dénies par des intégrales Equations diérentielles 6 Analyse asymptotique : DL, équivalents, applications aux limites de fonctions ou de suites 7 Probabilités : exercices de révision des connaissances de Lycée sur ce chapitre, que nous entamerons la semaine de la rentrée. 8 Python : un peu d'algorithmique appliquée aux matrices

2 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Pour chacun de ces thèmes excepté l'informatique, vous trouverez deux déclinaisons. Les exercices faciles ou de diculté moyenne catégorie A, et ceux demandant un peu ou beaucoup plus d'astuce et d'intuition catégorie B. Pour conclure, vous trouverez à la n de ces pages quelques consignes et indications pour les diérents énoncés. Bonne lecture et bon courage et n'hésitez pas à m'envoyer vos questions par mail! Thème : Calcul matriciel A. Exercice Indications Calculer l'inverse lorsque c'est possible de la matrice A dans chacun des cas suivants : cht sht A = avec t réel sht cht A = 3 3 A = 4 A = Exercice Indications On pose : A = A = 3 6 A = Montrer que A est inversible, et déterminer A. Calculer A n pour tout n N. 3 Calculer A n pour tout n Z.On remarquera pour cela que si n est négatif, alors on pose : A n = A n. On ne peut donc élever A à une puissance strictement négative que si A est inversible. Exercice 3 Indications On considère la matrice de M 4 R suivante : A = Montrer que A est inversible et calculer A en utilisant la méthode AX=B. Une autre méthode pour le calcul de A a Calculer A, et vérier que A = I 4. b A l'aide de la question précédente, trouver un entier n non nul tel que A n = I 4. c En déduire que A est inversible, et exprimer A en fonction de A. 3 Comparer les résultats obtenus dans les questions et.

3 Exercice 4 Indications On pose : A = PCSI Devoir de vacances Février - Mars Calculer An pour tout n N. Exercice Indications Dans chacun des cas suivants, écrire M sous la forme S + A avec S symétrique et A antisymétrique. M = 3 4 cht cht M = sht sht 3 M = Exercice 6 Indications Matrices symétriques et antisymétriques Dans M R, toute matrice symétrique S a b peut s'écrire sous la forme générale : S = avec a, b et d réels. b d On introduit la notation suivante : E ij désigne la matrice dont le coecient e ij situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne vaut, et tous les autres sont nuls. On a ainsi, dans M R : E = 0 0 0, E = 0 0 0, E = et E = Avec cette notation, toute matrice symétrique S peut alors s'écrire comme combinaison linéaire de trois matrices : S = a + b + d c-à-d : S = ae b E + E + de. Ecrire la forme générale d'une matrice antisymétrique dans M R. Matrices symétriques et antisymétriques de M 3 R. a Ecrire la forme générale d'une matrice symétrique dans M 3 R. b Ecrire la forme générale d'une matrice antisymétrique dans M 3 R. c Déduire de ce qui précède que toute matrice symétrique peut s'écrire comme combinaison linéaire de 6 matrices que l'on explicitera, et que toute matrice antisymétrique peut s'écrire comme combinaison linéaire de 3 matrices que l'on explicitera aussi. 3 Matrices symétriques et antisymétriques de M 4 R. a Ecrire la forme générale d'une matrice symétrique dans M 4 R, et celle d'une matrice antisymétrique dans M 4 R.. Que l'on obtient en exploitant l'égalité T A = A.. Cette notation est relative à l'espace ambiant. Explicitement, dans M 3R la matrice E désigne

4 4 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 b Déduire de ce qui précède que toute matrice symétrique peut s'écrire comme combinaison linéaire de matrices que l'on explicitera, et qu'il en va de même pour toute matrice antisymétrique. Thème : Fonctions A. Exercice 7 Indications Dans chacun des cas suivants, écrire la fonction f comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. f : x R e x g : x R cos x + π 4 3 h : x ] ; [ ln x + x Exercice 8 Indications On considère les fonctions f et g les fonctions dénies sur R en posant : x R, + e x fx = ln et gx = fx x si x 0 si x = 0 Justier brièvement que g est continue sur R. Montrer que f est strictement croissante sur R. 3 A l'aide du théorème des accroissements nis, démontrer que : x R, x fx xex + e x. 4 En déduire que g est continue en 0. Conclure. Exercice 9 Indications Soit l un nombre réel. On dénit une fonction f : R + R en posant fx = sinx x si x > 0 et f0 = l sinon. Par ailleurs, on note I n l'intervalle [nπ; n + π] pour tout entier naturel n. Quelle valeur faut-il donner à l pour que f soit continue en 0? Montrer que f est de classe C sur R + et expliciter la dérivée de f sur R + on prendra bien soin de séparer les cas x > 0 et x = 0. 3 Soit n. Montrer que dans l'intervalle I n, l'équation x cosx = sinx admet une unique solution, que l'on notera x n. 4 Montrer que x n + nπ. Exercice 0 Indications Variations sur un même thème - Théorème du point xe. Soit f : [0; ] [0; ] une fonction continue. Montrer que l'équation fx = x admet une solution dans [0; ]. 3 Soit f : [0; ] [0; ] une fonction continue et k-lipschtzienne 4 avec 0 k <. Montrer que l'équation fx = x admet une unique solution dans [0; ]. 3. Question déjà vue en cours cette année. 4. Comme ça se prononce...

5 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 3 Soit f : [0; ] R une fonction continue, et soient p et q deux réels strictement positifs. Montrer qu'il existe un réel x 0 dans [0; ] tel que : pf0 + qf = p + q f x 0 Thème 3 : Suites et sommes A. Exercice Indications Pour tout entier naturel n non nul, on pose : S n = n k 3 3k + k. k= Calculer S n en fonction de n. Exprimer le résultat sous la forme λ 4 n 4 + λ 3 n 3 + λ n + λ n + λ 0 où les λ i sont des réels à préciser. Soit α un réel quelconque. Calculer la limite : lim n + nα S n distinguer des cas suivant la valeur de α. Exercice Indications Pour tout n N, calculer : S n = n n k k + puis S n = k=0 k= n n k k +. Thème 4 : Calcul intégral A. Exercice 3 Indications Calculer les intégrales suivantes : I = I = π 3π/4 e tan x dx. ln x dx. 3 I 3 = 4 I 4 = x α xdx avec α réel. 0 0 e x sin π x dx I = 6 I 6 = 0 cos 3 π x dx sin 3 π x dx Thème : Equations différentielles A. Exercice 4 Indications Résoudre dans R l'edl : y + xy = e x x Exercice Indications Résoudre dans R l'edl : + x y xy = x + x Exercice 6 Indications Résoudre dans R l'edl : y y 3y = sh 3x Thème 6 : DL et équivalents A. Exercice 7 Indications A l'aide de limites de référence, de propriétés usuelles sur les limites, de développements limités et/ou d'équivalents, calculer les limites suivantes. ln + x + x lim x 0 x lim x + x3 th x 3 lim x x + sin x + 4 lim x + x3 th x π x

6 6 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Exercice 8 Indications Donner trois exemples de fonctions f, f, f 3 admettant comme développement limité à l'ordre en 0 : + x + o x Puis donner un équivalent simple au voisinage de 0 de f f, f f 3 et f f 3. Exercice 9 Indications Donner trois exemples de fonctions g, g, g 3 admettant comme développement limité à l'ordre en 0 : + x + x + o x Puis donner un équivalent simple au voisinage de 0 de g g, g g 3 et g g 3. Exercice 0 Indications Donner un équivalent simple, puis la limite en + de u n = 3 n + n + n + 3 n 4 n n + Exercice Indications Donner un équivalent simple, puis la limite en + de u n = Exercice Indications Donner un équivalent simple, puis la limite en + de u n = n lnn + ln n lnn + ln n ln + n + Exercice 3 Indications Par le moyen de votre choix, calculer les limites suivantes lorsque elles existent et justier dans le cas contraire. l = lim x sh x 0 x l = lim x + x sh x + sin x + 3 l 3 = lim x + x 4 l 4 = lim x sinx x + l = lim cos x cos x 0 6 l 6 = lim x 0 7 l 7 = lim x 0 8 l 8 = lim x 0 9 l 9 = lim x 0 x sin x sin x + x x ln x arctanx tanx tanx sin x sin 3 x tanx 0 l 0 = lim sinx/ x 0 sin tanx l = lim x 0 x l = lim x 3 l 3 = lim x + ln + x x x x x + x x + e x 4 l 4 = lim x + xα 3 x 3 + x où α R. [ ] 3x cos3x l = lim tan x π 6 sin x sin a 6 l 6 = lim x a sin x a 7 l 7 = lim x a 8 l 8 = lim x 9 l 9 = lim x x a a x sin x a x 3x + tan π x x x ln x 0 l 0 = lim x x 3 x 3 l = lim x x>0 l = lim x x>0 0 [cos x] lnx 0 e tanx 3 l 3 = lim x x> π x π π x + 3 x 4 l 4 = lim x + [ ] x x x x cos + x +. Tous les coups sont permis, en évitant d'avoir trop vite recours à un logiciel de calcul formel pour avoir la solution... x

7 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 7 Thème 7 : Probabilités A. Exercice 4 Indications Vous savez bien qu'un octet est une suite de huit chires pris dans l'ensemble {0; }. Par exemple 0000 et sont des octets. Combien peut-on former d'octets diérents? On écrit au hasard un octet. Calculer la probabilité des évènements A : L'octet contient aux deux premières places et B : l'octet se termine par 0. 3 Calculer la probabilité de l'évènement A B. Exercice Indications Au poker, une main est une combinaison de cartes parmi. Combien y a-t-il de mains diérentes? Quelle est la probabilité d'avoir une couleur cinq cartes de la même couleur? 3 Un carré? 4 Un brelan? Un full? Une quinte ush? Une paire? Deux paires? Exercice 6 Indications Dans une classe de 6 étudiants, on compte 6 lles et 0 garçons. On doit élire deux délégués. Quel est le nombre de choix possibles? Quel est le nombre de choix si l'on impose une lle et un garçon? 3 Quel est le nombre de choix si l'on impose garçons? Exercice 7 Indications Randonnée en montagne. Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de départ D, les randonneurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours. La course n'étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l'un des deux refuges se trouvant à la même altitude de 400 mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R et R. Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 00 mètres d'altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R 3, ou atteindre le sommet directement.

8 8 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R est égale à 3. La probabilité de monter directement au sommet en partant de R est égale à 3 4. La probabilité de monter directement au sommet en partant de R est égale à 3. Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu'au sommet S. On donne les distances suivantes, exprimées en kilomètres : dd, R = la distance entre le point D et le point R est kms dd, R = 4 dr, R 3 = 4 dr, R 3 = 4, dr 3, S = dr, S =, dr, S = 6 Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue exprimée en kilomètres par les randonneurs pour aller du départ D au sommet S. 3 Décrire la loi de probabilité de X. 4 Calculer l'espérance de X. Exercice 8 Indications Des études montrent que 0% des individus sourent d'une maladie donnée. Un test est utilisé pour diagnostiquer cette maladie. On a établi statistiquement que la probabilité pour qu'un malade soit positif au test est 9 et que la probabilité pour 0 qu'un individu sain soit négatif au test est 9 0. On pourra noter M l'évènement le patient est malade et P l'évènement le patient est positif au test. On choisit un patient au hasard. Déterminer les probabilités des évènements suivants : E : le patient est malade et positif au test ; E : le patient n'est pas malade et négatif au test ; E 3 : le patient bien que positif au test n'est pas malade ; E 4 : le patient est positif au test. Quelle est la probabilité pour qu'une personne positive au test soit malade? 3 Parmi un échantillon de 6 patients choisis au hasard et de façon indépendante, quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un patient malade?

9 Thème : Calcul matriciel B. PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 9 Exercice 9 Indications On pose : A = Calculer A n pour tout n N. Calculer A n pour tout n Z. Exercice 30 Indications Matrices symétriques et antisymétriques dans M n R. Dans cet exercice, n désigne un entier supérieur ou égal à. Ecrire la forme générale d'une matrice symétrique dans M n R, puis celle d'une matrice antisymétrique de M n R. A l'aide de ce qui précède, montrer que toute matrice symétrique resp. antisymétrique peut s'écrire comme combinaison linéaire de s n resp. a n matrices. Exprimer s n et a n en fonction de n. Exercice 3 Indications Résoudre dans M K l'équation M = 0 M K Exercice 3 Indications Résoudre dans M K l'équation M = I Exercice 33 Indications Diagonalisation. 6 Dans ce problème, on considère la matrice A = Partie A - Questions préliminaires 9 3 M R.. Etablir que la matrice A est inversible, et déterminer A Existe-t-il un entier naturel n tel que : A n =? Et tel que A n = ? 3. Un théorème du cours assure que toute matrice carrée peut s'écrire comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. C'est donc en particulier le cas pour la matrice A. Déterminer une matrice S M R symétrique et une matrice U M R antisymétrique telles que : Partie B - Matrices et équations polynomiales A = S + U 3. Pour tout réel x, on note M x = A xi, où I désigne la matrice identité de M R. Donner l'expression de M x pour tout réel x. 6. Extrait d'un DS donné en PCSI en mars 04.

10 0 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 4. Pour tout réel x, on note dx le déterminant de Mx. Calculer dx.. Etablir que l'équation dx = 0 possède deux racines réelles distinctes, de signes opposés. Partie C - Matrices et systèmes linéaires 6. Comme en cours, on note ici X = x x un élément de R. On considère le système linéaire : S : AX = X Montrer que le système S admet une innité de solutions dans R, dont on donnera la forme générale. En déduire qu'il existe un vecteur X α solution du système de la forme. Préciser la valeur de α. α 7. Comme dans la question précédente, montrer que le système linéaire : S : AX = X admet une innité de solutions dans R, dont on donnera la forme générale. En déduire qu'il existe un vecteur X β β solution du système de la forme. Préciser la valeur de β. β 8. On note M = M R la matrice carrée dans laquelle les réels α et β ont été déterminés au cours des α deux questions précédentes. Montrer que M est inversible et calculer son inverse. Partie D - Diagonalisation de la matrice A Dans cette partie, on considère la matrice P = M R. 9. Montrer que P est inversible et calculer son inverse. 0. Montrer que P AP est une matrice diagonale, que l'on notera D dans la suite du problème.. Etablir par récurrence sur n que : n N, A n = P D n P. En déduire l'expression de A n pour tout entier naturel n on explicitera les quatre coecients de la matrice A n en fonction de n. Partie E - Pour aller plus loin 3. Le procédé décrit dans les parties B et C a permis de déterminer une matrice inversible P telle que P AP soit une matrice diagonale. En vous inspirant de cette méthode, déterminer une matrice Q M R telle que 3 Q A Q soit diagonale, avec A = 4

11 Thème : Fonctions B. Exercice 34 Indications Règle de de l'hôpital 7. PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Soient f et g deux fonctions vériant les hypothèses des accroissements nis sur [a; b]. On suppose de plus que g ne s'annule pas sur ] a; b [. Montrer qu'il existe un réel c dans ] a; b [ tel que : fb fa gb ga = f c g c Indication : on pourra utiliser une fonction auxilliaire h dénie par hx = fx fa Agx ga, où A sera choisi de telle sorte que ha = hb. ] Exercice 3 Indications A l'aide du théorème des accroissements nis, déterminer : lim [x + e x+ xe x x + Exercice 36 Indications Soit f : R R une fonction dérivable. On suppose que f ne s'annule pas sur R. Montrer que f n'est pas périodique. Exercice 37 Indications Soient x un réel et n un entier naturel non nul. nx Montrer que x. n nx Montrer que x. Conclure. n Note : on rappelle que la notation X désigne la partie entière du réel X. Elle est caractérisée par le fait que c'est l'unique entier relatif tel que : X X < X +. Thème 3 : Suites et sommes B. Exercice 38 Indications Soit u n n une suite complexe telle que les suites extraites u n n, u n+ n et u 3n n convergent. Montrer que u n n converge. Exercice 39 Indications Démontrer la formule de Vandermonde : soient n, m et q trois entiers naturels tels que q n + m, alors q k=0 n m = k q k Exercice 40 Indications Pour tout n N, on pose u n = Montrer que u converge, préciser sa limite, puis montrer que u n Thème 4 : Calcul intégral B. n + m q 0 x n sinx dx. sin n + n. Exercice 4 Indications Soit f : R R une fonction continue, et soit T un réel strictement positif. On suppose que la fonction x R x+t x ft dt est constante. Montrer que f est périodique. 7. Du nom du marquis de l'hôpital

12 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Exercice 4 Indications Pour p et q entiers naturels, on pose : I p,q = 0 t p t q. Etablir une relation entre I p,q et I p+,q. En déduire l'expression générale de I p,q. Thème : Equations différentielles B. Exercice 43 Indications Déterminer toutes les fonctions f de classe C sur R telles que : x R, f x + f x = xe x Thème 6 : DL et équivalents B. Exercice 44 Indications Calculer x xx ln x lim x 0 x>0 x x Thème 7 : Probabilités B. Exercice 4 Indications La tour Burj-Dubaï, située à Dubaï étonnant, non?, dont la construction a été achevée en janvier 009, est la tour la plus haute du monde avec ses 88 mètres et ses 6 étages. Le groom peut-il raisonnablement parier que si personnes montent au rez-de-chaussée dans son ascenseur, au moins personnes descendront au même étage? En d'autres termes, si personnes sont initialement dans l'ascenceur, quelle est la probabilité que personnes descendent au même étage de la tour? On suppose que les personnes descendent à un étage indépendamment les unes des autres. Exercice 46 Indications Soit n un entier naturel non nul, et soient X et Y deux variables aléatoires suivant toutes deux la loi binomiale B n, / de taille n et de paramètre p = /. Calculer la probabilité que X et Y soient égales. Thème 8 : PYTHON. Exercice 47 Indications Décomposition Symétrique + Antisymétrique. Ecrire un programme qui décompose une matrice carrée A de taille pour commencer en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. D'une façon pratique, le programme devra demander à l'utilisateur les coecients a, b, c et d de la matrice A, et acher les matrices symétrique S et antisymétrique U telles que S + U = A. Etendre le programme aux matrices 3 3. On pourrait aller plus loin, en commençant par les matrices 4 4, mais il est un peu pénible de rentrer 6,, coecients à la main. Remarque pratique : faute de mieux, une matrice en Python correspondra à une liste de listes la liste de ses a b lignes. Explicitement, la matrice A = sera écrite A = [[a, b], [c, d]]. c d

13 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 3 Exercice 48 Indications Résolution de systèmes. la résolution d'un système linéaire de la forme : { ax + bx = b cx + dx = b Ecrire un programme chargé de faire pour vous Concrètement, le programme devra demander à l'utilisateur les valeurs de a, b, c, d, b et b et renvoyer un message du genre Pas d'unicité de la solution lorsque c'est le cas, et renvoyer l'unique couple solution sinon. Exercice 49 Indications Construction de systèmes 3 3 sympas. Rappelons que d'après ce que nous avons vu en cours au dernier chapitre, on peut associer à un système d'équations linéaires une matrice. Explicitement, la matrice associée au système est A = ax + bx + cx 3 = b dx + ex + fx 3 = b gx + hx + zx 3 = b 3 a b c d e f g h i Si le principe de résolution est toujours le même pour tous les systèmes linéaires, les calculs peuvent être plus ou moins agréables font intervenir des dénominateurs plus ou moins simples suivant la valeur du déterminant de la matrice A. Jusqu'à présent, vous ne connaissez que les déterminants de matrice, mais nous verrons plus tard dans l'année que toute matrice carrée admet un déterminant. En particulier, la formule donnant le déterminant d'une matrice 3 3 comme ci-dessus est : deta = a ei fh b di fg + c dh eg Et comme pour les systèmes de équations à deux inconnues, le déterminant de A interviendra au dénominateur dans la solution. D'où l'intérêt de rechercher des matrices de déterminants simples par exemple égaux à ±. Construire une fonction DET, qui reçoit comme paramètres a, b, c, d, e, f, g, h et i, et qui retourne le déterminant de la matrice A donné par la formule énoncée plus haut. Construire un programme qui choisit de façon aléatoire 9 entiers a, b,..., i compris entre 3 et 3, jusqu'à ce que le déterminant de A soit égal à ou à. Explicitement, le programme doit choisir a,..., i ; puis calculer le déterminant correspondant. Si ce déterminant est égal à ±, le programme ache la matrice obtenue puis s'arrête ; sinon il choisit à nouveau des entiers etc... jusqu'à obtenir satisfaction. 3 Pour vous entraîner, et vérier que les calculs obtenus sont sympas, résoudre à la main un système correspondant à une matrice sympa obtenue grâce au programme précédent en prenant comme second membre ce que vous voulez, par exemple : b = ; b = ; b 3 = 3. Puis tenter d'écrire un programme eectuant cette résolution à votre place Attention : cette question est beaucoup plus compliquée que la précédente.

14 4 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Indications et éléments de réponses Exercice Enoncé Pour toutes les questions, utiliser la méthode AX = B. Réponses : A = A = 6 A = ; 3 A = ; 4 A n'est pas inversible ; A = 3 cht sht sht cht Exercice Enoncé A =. Pour les questions et 3, on pourra choisir la stratégie conjecture + 0 récurrence facile et rapide ici, ou utiliser la formule du binôme de Newton. Si tout se passe bien, on obtient : n N, A n n n+ n n = 0 n ; et : n Z, A n n n = 0 n ce qui signie au passage que la même formule vaut aussi bien pour les entiers positifs que négatifs Exercice 3 Enoncé A = Exercice 4 Enoncé Ecrire A = B I 4, puis appliquer la formule du binôme de Newton. On observera que B 4 = 0 M4R pour restreindre la somme intervenant dans la formule à quatre termes. Explicitement : A n = un peu de soin 9 : n N, B n = n n n n n n + n n n + n n n n n n 3 n 0 0 n n n n k=0 ; ; 3 n k n B k, puis avec k Exercice Enoncé La démonstration de la propriété armant que toute matrice carrée A est somme d'une matrice symétrique S et d'une matrice antisymétrique U donne les formules explicites pour obtenir S et U à partir de A. Exercice 6 a b Enoncé On pose A =, puis on traduit coecient par coecient l'égalité : c d T A = A. 9. Et quelques factorisations, et en observant que n et n, c'est la même chose ; idem pour n et n+.

15 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 -a et -b : raisonner comme dans. Pour -c, s'inspirer des explications données en préambule dans le cas où n =. La question 3 repose sur les mêmes arguments. Exercice 7 Enoncé Un air de déjà lu : la démonstration de la propriété armant que toute fonction f dénie sur une partie de R symétrique par rapport à zéro est somme d'une fonction paire g et d'une fonction impaire h donne les formules explicites pour obtenir g et h à partir de f. Exercice 8 Enoncé Théorèmes généraux. Etudier le signe de f. 3 Appliquer le TAF à la fonction f entre 0 et x où x désigne un réel arbitraire. Exercice 9 Enoncé Il sut de calculer lim fx, puisque pour mémoire, une fonction f est continue en x 0 lorsque x 0 lim fx = f x 0. Sur R x x 0 +, aucun problème. En 0, il faut en premier lieu prouver que f 0 existe limite du taux d'accroissement, puis vérier que f est continue en 0, soit : lim f x = f 0. x 0 3 Observer que la fonction x x cosx sinx est continue sur I n car continue sur R, strictement monotone sur I n, et qu'elle prend aux extrémités de I n des valeurs de signes opposés. Exercice 0 Enoncé Une jolie application du TVI, déjà vue en cours vous en avez donc la preuve. Utiliser la question pour l'existence. Pour l'unicité, supposer qu'il existe deux solutions à l'équation, et utiliser la lipschitziennité 0 de f pour établir que ces solutions ne peuvent qu'être égales. 3 Introduire la fonction auxiliaire x pf0 + qf p + q f x. Exercice Enoncé Casser la somme S n en quatre sommes, et utiliser les formules du début de l'année donnant la somme des n premiers entiers, des carrés des n premiers entiers,... Utiliser les équivalents, le fait qu'un polynôme est équivalent en ± à son terme de plus haut degré, et enn le fait que lim n + nβ est égale à ou 0 ou + suivant que β est... Exercice Enoncé Poser : fx = + x n, et en calculer la primitive F qui s'annule en 0. Calculer F de deux façons diérentes. Exercice 3 Enoncé tan est presque de la forme u /u ; Intégration par parties ; 3 Se ramener à l'intégrale de x β ; 4 Deux IPP ou en observant que e x sin π x = Im e x+iπ. Exercice 4 Enoncé Résolution de l'équation homogène associée, puis méthode de variation de la constante. Solution générale de l'équation : yt = e t + C e t avec C R. Exercice Enoncé Résolution de l'équation homogène associée, puis méthode de variation de la constante remarque : ne cherchez pas d'expression explicite d'une primitive de u e u4 u, il n'en existe pas. Solution générale de l'équation : t yt = C + e u4 u du e t4 +t avec C R. 0 Exercice 6 Enoncé Résolution de l'équation homogène associée, puis principe de superposition pour déterminer séparément deux solutions particulières de deux équas dis : l'une avec e 3x au second membre, et l'autre avec e 3x. Le sel de l'aaire provenant du fait que 3 est solution de l'équation caractéristique. Solution générale de l'équation : yt = C e 3t + C e t e 3t + 4 te3t avec C i R. 0. Je ne suis pas persuadé que cela se dise...

16 6 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Exercice 7 Enoncé 3 ; + ; 3 π ; 4 Pardon pour la répétition! Exercice 8 et 9 Enoncés Il sut de jouer avec les DL usuels. Par exemple + x + o x est le DL à l'ordre de + sinx, ou de cosx + tanx, ou de + x + 3x 7x 3 ou de + x tout court d'ailleurs... Charge à vous de trouver de nombreux autres exemples!... Exercice 0 Enoncé u n Exercice Enoncé u n Exercice Enoncé u n n + 3 n, donc u n + 3 d'où lim n + u n = 3 lnn + lnn, donc u n d'où lim u n = + n + n + n, donc u n d'où lim u n = + n + Exercice 3 Enoncé Pour une grande majorité de ces calculs de limites, la solution provient d'une bonne utilisation des équivalents. Et dans tous les cas où cela est nécessaire, ces équivalents s'obtiennent par le biais d'un développement limité à l'ordre de la fonction considérée inutile d'écrire à un ordre supérieur par conséquent, sauf dans les questions 9 et. Par ailleurs, ne pas oublier la formule a b = e b lna, utile dans de nobreuses questions de cet exercice. Enn, j'ai indiqué ci-dessous les valeurs des diérentes limites, ainsi que les points essentiels pour parvenir au résultat. Remarques : les méthodes suggérées ne sont pas forcément les seules pour parvenir aux solutions ; et lorsque j'écris Utiliser un équivalent, cela signie qu'il faut trouver un équivalent de la fonction considérée, ce qui peut impliquer de déterminer successivement plusieurs équivalents. Pour nir, toutes les questions nécessitant un changement de variable questions à 0 par exemple demandent également d'utiliser les équivalents. Utiliser un équivalent ; l = + ; Utiliser un équivalent ; l = ; 3 Utiliser le théorème d'encadrement ; l 3 = 0 ; 4 Pas de limite utiliser la propriété de limite séquentielle PLS, par ex avec les suites x n = nπ et y n = n + /π ; Pas de limite PLS ; 6 Utiliser le théorème d'encadrement ; l 6 = 0 ; 7 Utiliser un équivalent ; l 7 = ; 8 Utiliser un équivalent ; l 8 = ; 9 Utiliser un équivalent via un DL à l'ordre 3 ; l 9 = ; 0 Utiliser un équivalent ; l 0 = e ; Utiliser un équivalent ; l = ; On peut eectuer le changement de variable X = x soit x = X + pour se ramener au calcul d'une limite en 0. Ce faisant, on obtient : l = 3 ; 3 Utiliser un équivalent ; l 3 = + ; 4 La parenthèse a pour équivalent au voisinage de + ; on conclut alors aisément ; Changement de variable X = x π 6 soit x = X+ π, et formule de trigo tan A + π 6 = sont deux ingrédients tan A pour obtenir l = e ; 6 Changement de variable X = x a soit x = X + a ; l 6 = cos a ; 7 Changement de variable X = x a ; l 7 = a a lna ; 8 Changement de variable X = x et de nouveau tan A + π = tan A pour obtenir l 8 = π ; 9 Changement de variable X = x ; l 9 = 0 ; 0 Changement de variable X = x ; l 0 = ; Utiliser un équivalent via un DL à l'ordre ; l = ; Utiliser un équivalent ; l = ; 3 Changement de variable X = x π et une dernière fois tan A + π =... + Croissances comparées pour obtenir l 3 = 0 ; 4 Factorisations judicieuses et utilisation des propriétés des fonctions expo et ln : l 4 = 3.

17 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 7 Exercice 4 Enoncé Pour chacune des 8 positions dans l'octet, on a choix possibles. Une fois les deux premières places occupées, combien reste-t-il de choix possibles? 3 Utiliser la célèbre formule donnant la probabilité d'une union d'évènements que vous avez vue en Seconde. Exercice Enoncé C'est un exercice de dénombremement. Une main au poker est une combinaison de éléments parmi. Il y en a donc. Il y a quatre couleurs dans un jeu de cartes Pique, Coeur, Carreau et Trèe. 3 Un carré est une main contenant quatre cartes de même hauteur. Il y a donc 3 48 façons diérentes d'obtenir un carré car il y a 3 choix de hauteur, et la dernière carte de la main doit être choisie dans le jeu privé des quatre cartes qui constituent le carré. La probabilité d'avoir un carré est donc : 3 48 / c'est-à-dire /46. 4 Je vous propose pour cette dernière question une séance de TP! PS : je sais que c'est une version plus à la mode, mais je me refuse à calculer les probabilités des diérentes mains au Texas Hold'em et je vous conseille de refuser également ; les règles du jeu rendant sensiblement plus pénibles ces calculs, même dans le cas d'une main simple une couleur par exemple. Exercice 6 Enoncé C'est un nouvel exercice de dénombremement. Choisir deux délégués, c'est choisir une combi- 6 naison de éléments parmi 6. Il y en a donc. Les deux autres questions ne devraient pas vous poser trop de problèmes mais si c'est le cas, n'hésitez pas à me poser des questions. Exercice 7 Enoncé Je pense que vous avez déjà vu au Lycée le principe des arbres pondérés pour décrire une expérience aléatoire ; Pas de question! ; 3 La loi de probabilité de X est ici un tableau à double entrée, une première ligne contenant les valeurs possibles de X traditionnellement notées x i, et une deuxième contenant les probabilités correspondantes traditionnellement notées p i. 4 L'espérance ou valeur moyenne de X est la somme des x i p i. Exercice 8 Enoncé Exercice 9 Enoncé Ecrire A = B I 3 puis appliquer la formule du binôme de Newton, en observant que B 3 = 0 M3R et en faisant attention au signe moins. Pour n N, la question donne la solution. Pour les valeurs négatives de n, il faut en premier lieu inverser A puis appliquer 0 la même méthode que dans la question. Pour information : A = Exercice 30 Enoncé Le principe est le même que dans l'exercice 6, à ceci près qu'il faut travailler avec des a ij et des sigma au lieu de travailler avec des sommes que l'on peut écrire en extension. Exercice 3 a b et 3Enoncé Ecrire M =, calculer M b d puis écrire le système de quatre équations aux inconnues a, b, c et d obtenues en exploitant l'égalité M = 0 exo 3 ou M = I exo 3. Petit problème : le système ainsi obtenu n'est pas linéaire, et doit donc être résolu avec les moyens du bord de l'astuce surtout et de la patience pour traiter les diérents cas et sous-cas.

18 8 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Exercice 33 Enoncé Voir plus loin, à la suite des indications pour l'exercice 49. Exercice 34 Enoncé Indication déjà donnée dans l'énoncé. Exercice 3 Enoncé Pour un réel x > 0 arbitraire, appliquer le théorème des accroissements nis sur l'intervalle [x; x + ] à la fonction dérivable et même de classe C sur R + : t te /t. Exercice 36 Enoncé Si f était périodique de période T, elle prendrait la même valeur en 0 et en T. Théorème de Rolle. Exercice 37 Enoncé Indications déjà données dans l'énoncé. Exercice 38 Enoncé Une piste pour commencer : puisque les suites u n n et u 3n n convergent respectivement vers l et l, alors la suite u 6n n qui est elle-même extraite des ces deux suites converge ; ce qui implique l = l... Exercice 39 Enoncé En utilisant la formule donnant le nombre de combinaisons N n k m q k. P, écrire diéremment le terme Exercice 40 Enoncé La suite u n n N est positive, et inférieure ou égale à la suite de terme générale /n +. D'où la convergence, via le théorème d'encadrement. L'équivalent demandé s'obtient à l'aide d'une intégration par parties. Exercice 4 Enoncé Si F désigne la primitive de f qui s'annule en 0 justier l'existence de F, l'énoncé permet d'armer que la fonction x F x + T F x est constante. La conclusion en découle relativement directement. Exercice 4 Enoncé Intégration par parties. Emettre une conjecture à l'aide de la question précédente, puis tenter de la démontrer le principe est semblable au calcul des intégrales de Wallis, que nous avons vu un peu plus tôt cette année. Exercice 43 Enoncé Dériver la relation de l'énoncé, pour obtenir avec un peu d'astuce une EDL d'ordre classique. Exercice 44 Enoncé Sans que ce soit une obligation, on pourra observer que lnx = e lnlnx Exercice 4 Enoncé Il est un peu plus facile de calculer la probabilité de l'évènement contraire. Exercice 46 Enoncé Observer que : P X = Y = n P X = k P Y = k. k=0 Exercice 47 Enoncé Je vous suggère d'écrire deux fonctions : une pour eectuer le calcul de la transposée d'une matrice, et une autre permettant d'associer à un couple de matrices A, B et un couple de réels λ, µ la matrice λa + µb. Ce seront en eet les opérations de base pour calculer les matrices symétrique et entisymétrique répondant à la question. Prenez garde au fait que, comme indiqué dans l'énoncé, une matrice est une liste de liste. Pour reprendre l'indication de a b l'énoncé, la matrice A = sera écrite A = [[a, b], [c, d]]. c d Avec cette notation, on aura A[0] = [a, b] et A[] = [c, d] ; et A[0][0] = a, A[0][] = b etc...

19 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 9 Exercice 48 Enoncé Je vous recommande ici d'écrire une fonction Determinant qui calcule ad bc, puisque la nullité ou non de ce déterminant conditionne le résultat que doit produire le programme. Exercice 49 Enoncé Pas de diculté particulière dans la question. La question demande de produire des matrices sympas de déterminant ± dont tous les coecients sont entiers et compris entre 3 et 3. Faites attention au fait que s'il vous prend l'idée de modier cette plage de valeurs, par exemple de trouver des matrices sympas dont les coecients sont entre 00 et 00, la probabilité d'obtenir un déterminant égal à ± devient franchement petite. Votre programme risque donc de tourner longtemps avant de trouver une telle matrice ; je vous recommande donc de faire en sorte que votre programme ne fasse qu'un nombre maximal de tentatives par exemple 0 000, à l'aide d'un compteur. Exercice 33 Enoncé Partie A. Le déterminant de A est : det A = 9 3 soit : det A =. Comme il est non nul, A est inversible. Et son inverse est donnée par la formule vue en cours dans le cas des matrices carrées de taille : a b si ad bc 0, alors : c d = ad bc d b c a Conclusion : A est inversible et A = 3 9. Puisque A est inversible, elle n'est pas nilpotente cf cours. Donc il n'existe aucun entier naturel n tel que A n = 0. Pour 0 la seconde partie de la question, on observe que B = est nilpotente, car B = 0. S'il existait un n tel que A n = B, 0 0 on en déduirait par élévation au carré que A n = 0, ce qui impliquerait que A est nilpotente ; de nouveau, ceci est impossible puisque A est inversible. Conclusion : il n'existe aucun entier naturel n tel que A n = 0 0, ou tel que A n = Le théorème du cours auquel il est fait référence donne même la forme des matrices S et U recherchées. Explicitement : S = A + t A et U = Partie B. 3-bis 3 x R, M x = A t A d'où : S = 4 D'après ce qui précède : x R, d x = x 3 x 4 3. et U = 0 4 x 9 x + 3 +, soit : x R, d x = x 3 x Ce que je ferais si j'étais à votre place.. Si je ne vous demande pas de calculer cette proba, le phénomène est en revanche aisé à comprendre de loin. Si l'on augmente le nombre de valeurs que peuvent prendre les coecients a,..., i de la matrice, on augmente du même coup le nombre de valeurs que peut prendre le déterminant. La probabilité que ce déterminant prenne l'une des deux valeurs particulières ou en devient donc d'autant plus faible. 3. Une numérotation un peu coquine a voulu que deux questions 3 cohabitent dans ce problème. L'auteur tient à s'en excuser.

20 0 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Très aisément, on trouve que : d x = 0 a exactement deux solutions réelles : et. Partie C. 6 Avec les notations introduites dans l'énoncé : S : AX = X 9 x x = x x 3x = x Conclusion : l'ensemble des solutions de S est : { } x ; x x R. x x = 0 x x = 0 x = x En particulier X α = est solution, d'où α =. 7 Comme dans la question 6 : S : AX = X 9 x x = x x 3x = x Conclusion : l'ensemble des solutions de S est : { x x / x = x x = x x = x } { x ; x R, ou encore : x } ; x R. En particulier X β = est solution, d'où β =. 8 D'après 6 et 7, M =. Son déterminant est non nul égal à, donc M est inversible et M = Partie D. 9 Voir question précédente : P = M =. 0 P AP = 4 n N, A n = P D n P. 9 3 = = 0 0 = D D'après la question précédente : n N, A n = n N, A n = n n+ n n 0 n n 0 4. L'ordre dans lequel on fait les produits ici P A P ou P AP n'a pas beaucoup d'importance dans la présente situation, car les matrices P et P ont toutes deux des coecients simples.

21 n N, A n = PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Partie E - Pour aller plus loin... bien d'autres choses encore. n+ n n+ + n n n n + n que le programme de Sup, puisque la diagonalisation en général sera vue en Spé et En attendant, reprenons les étapes qui ont permis d'obtenir la matrice D dans ce qui précède. x 3 Résolution de l'équation det A xi = 0 : on a A xi = et par conséquent : det A xi = 4 x 0 x x = 0 x 3x 0 = 0 [x = ] [x = ] Résolution du système linéaire A X = X : avec les notations usuelles, on a x + 3x = x 3x = 3x S : A X = X x = x 4x + x = x 4x = 4x Conclusion : l'ensemble des solutions de S est : { x x Donc S admet comme solution particulière : X α =. } ; x R. Résolution du système linéaire A X = X : avec les mêmes notations que précédemment, on a x + 3x = x 3x = 4x S : A X = X x = 4 3 x 4x + x = x 4x = 3x Conclusion : l'ensemble des solutions de S est : Donc S' admet comme solution particulière : X β = { x 4x / } ; x R. Ecriture d'une matrice Q telle que Q A Q soit diagonale : d'après la partie D du problème, on peut conjecturer que la matrice Q est obtenue en mettant en colonnes les coordonnées des vecteurs X α et X β que l'on vient de trouver. Reste à vérier que cette méthode fonctionne eectivement. Pour cela, on pose donc : 3 Q = ; det Q = 7, donc Q est inversible et Q 4 = D'où : Q A Q = Q = 7 Conclusion : avec Q = , on a Q A Q = 0. = = = 0 0. Et non pas de la matrice Q. En eet, il n'y aura pas une unique solution au problème, ce dont vous pouvez vous doutez, au regard du choix que l'on a pour les vecteurs X α et X β.

22 PCSI Devoir de vacances Février - Mars 0 Epilogue Il n'y avait pas une unique matrice Q répondant au problème, comme nous l'avons précédemment observé. En revanche, quelle que soit la matrice Q choisie ayant pour colonnes un vecteur X α et un vecteur X β satisfaisant les conditions énoncées plus haut, la matrice diagonale Q AQ est la même. En outre, la méthode décrite ci-dessus sera vue plus en détails, et surtout généralisée l'an prochain. Voici le vocabulaire que vous utiliserez alors : le polynôme det A xi est appelé polynôme caractéristique de la matrice A. Ses racines / et dans la partie B de ce pb sont les valeurs propres de A. Les vecteurs X α et X β correspondant à ces valeurs sont appelés vecteurs propres de la matrice A. La matrice P obtenue en mettant en colonnes les coordonnées de ces vecteurs est appelée matrice de passage nous verrons cette notion en Sup. C'est elle qui permet de rendre diagonale ou diagonaliser la matrice A, dans le sens où P AP est diagonale. Enn, il est extrêmement important de remarquer que je ne vous ai fait étudier ici que des bons cas avec les matrices A et A. En eet, dans ces deux situations, le polynôme caractéristique possède deux racines réelles et distinctes. Lorsque les racines ne sont pas réelles, ou lorsque ce ne sont pas des racines simples, il peut arriver qu'aucune matrice P ne vérie P AP diagonale : dans ce cas, on dira que la matrice n'est pas diagonalisable. J'arrête ici les commentaires pour ne pas tuer le suspense de vos futurs cours, et surtout car le problème de la diagonalisibilité demande beaucoup de travail!