Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. (: 27-317 - 077 (/fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu Levelező Matematika Szakkör e-mail: boronkay@vac.hu 2016/2017.2. feladatsor 5.-6. évfolyam Számjegyek és számok KITALÁLÁSA A matematikában, feladatok megoldása kapcsán a kitalálás nem tekinthető megoldási módszernek. Ugyanis a kívánt eredmény elérését számítások, illetve logikai gondolatmenet útján kell elérni. Egy eredmény elérésének módját akkor szoktuk kitalálásnak nevezni, ha nem tudjuk megmondani hogyan jutottunk hozzá. Azért került a címbe mégis ez a kifejezés, mert matematika ide vagy oda némelyik feladat megoldásában szerepet játszik a kitalálás. Ezt, aki velünk tart, észlelni is fogja. Érdekes feladatok jönnek, érdemes itt maradni. Jó szórakozást, sok sikert! Mintapéldák 1. Az ábrán látható összeadásban azonos betűk azonos, különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek. Melyik betű melyik számjegyet jelölheti? Ha egy négyjegyű számot egy háromjegyűvel összeadva ötjegyű számot kapunk, akkor a négyjegyű szám 9000 fölött kell legyen, az ötjegyű pedig valamivel 10000 fölött lesz. Tehát A = 9, E = 1. Következik F = 0. Továbbá C és D összege 10, valamint G = 2 B + 1, azaz páratlan. Mivel B nem lehet 0 vagy 1, mert olyan számjegyek már vannak, ezért G csak 5 vagy 7 lehet (9 nem). G = 5 esetén B = 2, ekkor viszont a százasok oszlopában C = 1-et kapunk, ami lehetetlen, mert 1-es már van. Marad G = 7, amiből B = 3, majd C = 2, végül az egyesek oszlopában D = 8 következik. Az összeadás tehát: 2. A 472537148 kilencjegyű számból törölj három számjegyet úgy, hogy a megmaradt hatjegyű szám a lehető legnagyobb legyen! Az a cél, hogy a megmaradt szám elején, azaz a legnagyobb helyiértékeken, minél nagyobb számjegyek legyenek. Az elején álló 4-est mindenképpen törölni kell, mert utána 7-es következik, tehát nagyobb számot kapunk, mint ha a 4-es maradna. A 7-est nem törölhetjük, mert csak a 8-as nagyobb nála, de az messze van tőle, annyi törlési lehetőség nincs, hogy addig eljussunk. A 2-est töröljük, hiszen utána 5-ös következik. Már csak egy törlési lehetőségünk maradt. Az 5-ös marad, mert utána 3-as jön, a 3-ast viszont töröljük az utána következő 7-es miatt. Készen vagyunk, a kapott szám 757148. Összeállította: Merényi Imre
3. Gondoltam egy négyjegyű számot. Az első két számjegy összege 3, az utolsó kettőé 7, a két középső számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Melyik számra gondoltam? Határozd meg az összes lehetőséget! Mivel az első két számjegy összege 3, ezért az 12, 21. illetve a 30-val kezdődő négyjegyű számokról van szó. Mivel a két középső számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel, a tizesek helyén csak páros számjegy állhat. Így az utolsó számjegypár csak a 07, 25, 43 vagy 61 lehet. A feladatnak 6 megoldása van: 1207, 3007, 2125, 1243, 3043 és 2161. 4. A táblázat hiányzó mezőibe írj számokat úgy, hogy bármely oszlopban és sorban három szomszédos szám összege 123 legyen: 29 13 Jelöljük az első oszlop hiányzó számait a, b és x-szel, az alsó sor második elemét y-nal a következő módon: 18 56 29 a 56 b 13 x y 18 Az első oszlopban (mint minden sorban és oszlopban) két szomszédos számhármas van és ezekben két szám közös (a és b). Mivel a számhármasokban az összeg ugyanannyi, a harmadik számoknak egyenlőknek kell lenni, azaz x = 29. Tehát a négy sarokban 29 lesz. Az y meghatározása egyértelmű: 123 (29 + 18) = 76. Hasonlóan folytatva a következő megoldáshoz jutunk: 29 76 18 29 56 34 33 56 38 13 72 38 29 76 18 29 Gyakorló feladatok 1. Az ábrán látható szorzásban azonos betűk azonos, különböző betűk különböző számjegyeket jelentenek. Melyik betű melyik számjegyet jelölheti? 2. A 4252382672 tízjegyű számból törölj négy számjegyet úgy, hogy a megmaradt hatjegyű szám a lehető legnagyobb legyen! 3. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek utolsó számjegye 6, és ha az utolsó helyről a 6-os számjegyet az első helyre tesszük, akkor a szám négyszeresét kapjuk. Összeállította: Merényi Imre
4. Írjuk be egy 3x3-as táblázat mezőibe az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat úgy, hogy az első sorban a számok összege 6, a másodikban 16, a harmadikban 23, az első oszlopban 14, a másodikban 12, a harmadikban 19 legyen! Kitűzött feladatok 1. Az ábrán látható összeadásban azonos betűk azonos, különböző betűk különböző számjegyeket jelentenek. Melyik betű melyik számjegyet jelölheti? 2. A 4252384672 tízjegyű számból törölj négy számjegyet úgy, hogy a megmaradt szám a lehető legnagyobb legyen és a számjegyeinek az összege 31 legyen! 3. Határozd meg azokat a 7-tel osztható négyjegyű számokat, amelyekre igaz, hogy: - az első két számjegyük összege 10; - a középső két számjegyük összege 10; - az utolsó két számjegyük összege 9. 4. Írd be egy 3x3-as táblázat mezőibe az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 és 9 számokat úgy, hogy az első sorban a számok szorzata 20, a másodikban 108, a harmadikban 168, az első oszlopban 42, a másodikban 80, a harmadikban 108 legyen! Beküldési határidő: 2017. 01. 06. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6. Összeállította: Merényi Imre
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. (: 27-317 - 077 (/fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Gondolkodjunk logikusan! 2016/2017.2. feladatsor 7.-8. évfolyam A matematikai logika a matematikának egy nagyon érdekes, ugyanakkor bizonyos esetekben indokolatlanul elhanyagolt területe. Ha valaki a matematikára gondol, akkor azonnal számok és képletek jelennek meg előtte. Figyelmen kívül marad az a tény, hogy a matematika valójában egy olyan tudomány, amely nem elsősorban a számolási készségeket, hanem a gondolkodást fejleszti. Érvényben van az a vélemény, hogy aki nem képes gyorsan fejben számolni lehet még nagy matematikus, viszont ha nem gondolkodik, akkor soha nem fogja megérteni ezt a tudományt. A matematikai logika elsősorban a gondolkodást fejleszti, mellesleg a logikai feladatok sokszor érdekesebbek tudnak lenni a képleteken és számolásokon alapuló feladatoknál. A következőkben egy kis ízelítőt nyújtunk a matematikának ebből a nagyszerű és érdekes fejezetéből. Mintapéldák 1. Négy házaspár teniszezni ment. A feleségek Anna, Bea, Cili és Dóri, a férjek András, Béla, Csaba és Dénes. Vegyes páros körmérkőzéses versenyt játszottak, amelyben a résztvevő párosok között nincs házastárs. Dénes feleségének párja András volt. Anna férje Béla feleségével alkotott egy csapatot. A bajnokságot Dóri nyerte partnerével, Csabával. Az utolsó helyen Cili férje végzett Dénes feleségével. Ki kinek a házastársa? Vizsgáljuk meg figyelmesen az összes állítást! Próbáljunk meg az állítások közül kettőt úgy összeilleszteni, hogy azokból beazonosíthassuk valamelyik házaspárt! A Dénes feleségének párja András volt, illetve a Az utolsó helyen Cili férje végzett Dénes feleségével. állításokból következik, hogy a Cili férje András. Keressünk olyan teniszpartnereket, amelyek nevét ismerjük, mert ők biztosan nem házastársak! Például a A bajnokságot Dóri nyerte partnerével, Csabával. állításból kitűnik, hogy a Dóri férje nem lehet Csaba. De Az utolsó helyen Cili férje végzett Dénes feleségével. állítás szerint viszont Dóri nem lehet a Dénes felesége, mivel Dóri nyerte a bajnokságot. Mivel a Cili férje András, ezért kizárásos alapon Dóri férje csak Béla lehet. Az előző megállapítás után az Anna férje Béla feleségével alkotott egy csapatot. és az A bajnokságot Dóri nyerte partnerével, Csabával. állításokból azonnal következik, hogy az Anna férje Csaba. Mivel három házaspár esetét tisztáztuk, ezért kizárásos alapon a Bea férje Dénes. 2. András hétfőn, szerdán és pénteken hazudik, a többi napon igazat mond. Béla kedden, szerdán és csütörtökön mond igazat, a hét többi napjain hazudik. Egyik nap találkoztak és András így dicsekedett: Tegnap igazat mondtam, erre Béla azt válaszolta: Én is. A hét melyik napján találkozhattak?
Vannak olyan feladatok, amikor gyorsabban célt érünk, ha táblázatot készítünk. Ez a feladat is ilyen. Elkészítünk egy táblázatot a fiúk igazmondós és hazudós napjairól: Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Vasárnap András h i h i h i i Béla h i i i h h h Ha valamelyikük állítása igaz, akkor az illető az előző napon is igazat mondott. Viszont, ha az állítása hamis, akkor az illető az előző napon is hazudott. Tehát a táblázatban olyan két oszlopot keressünk, ahol mindkét fiú sorában egyforma betűk szerepelnek. Ilyen oszlopok a Szombat és Vasárnap. Tehát vasárnap találkoztak, András aznap igazat mondott (ugyanakkor szombaton is), míg Béla aznap hazudott (és ezzel együtt szombaton is). 3. Egy versenyen öt fiú vett részt: András, Béla, Csaba, Dénes és Elemér. A verseny előtt így nyilatkoztak: András: Az első három között leszek. Béla: Én nyerek. Csaba: Legyőzöm Andrást. Dénes: Nem tudom Bélát legyőzni. Elemér: Csaba vagy Dénes fog nyerni. Mi lett a verseny eredménye, ha a végére kiderült, hogy egyiküknek sem lett igaza? Vannak olyan feladatok, amelyekben egy vagy több állítás nem igaz, ilyenkor célszerű lehet az illető állításokat úgy átfogalmazni, hogy az adott helyzetben igaz állításokat kapjunk. Jelen feladat esetében, mivel egyiküknek sem lett igaza, ezért a következők történtek: 1. András nem végzett az első három között. 2. Béla nem nyert. 3. Csaba nem győzte le Andrást. 4. Dénes legyőzte Bélát. 5. Sem Csaba, sem Dénes nem nyert. Vizsgáljuk meg figyelmesen a fenti állításokat! Könnyen rájövünk, hogy Elemér az első helyezett, mivel a többi fiú első helyezését a fenti állítások kizárják. Az András nem végzett az első három között és a Csaba nem győzte le Andrást állításokból következik, hogy András csak a negyedik, Csaba pedig az ötödik helyen végezhetett. Mivel Dénes legyőzte Bélát, ezért Dénes lett a második, Béla pedig a harmadik helyezett. Tehát a helyezések sorrendje: Elemér, Dénes, Béla, András, Csaba. 4. András, Béla és Csaba arra fogadtak, hogy egy labdarugó tornán, ahol a négy résztvevő csapat az FTC, MTK, Vasas és Honvéd, a következők fognak történni: András: A győztes vagy az FTC vagy az MTK lesz. Béla: Az FTC nem lesz első. Csaba: Sem az MTK, sem a Honvéd nem lesz első. A labdarugó torna végén kiderült, hogy pontosan az egyikük állítása igaz. Melyik csapat nyerte a tornát? Első módszer: Megvizsgáljuk külön-külön az állításokat:
1. feltételezés: Ha András állítása igaz, akkor a győztes az FTC vagy az MTK. Viszont ebben az esetben Béla állítása hamis, tehát az FTC az első. Mivel Csaba állítása is hamis, ezért az MTK vagy a Honvéd az első. Tehát Béla és Csaba állítása ellentmond egymásnak. 2. feltételezés: Ha Béla mond igazat, akkor az FTC nem lehet első. Mivel András állítása hamis, ezért sem az FTC, sem az MTK nem lehet a győztes. Ugyanakkor Csaba állítása is hamis, ezért az első helyezett az MTK vagy a Honvéd lesz. Mivel az előzőekben az MTK-t kizártuk, a győztes csak a Honvéd lehet. 3. feltételezés: Ha Csaba mond igazat, akkor sem az MTK, sem a Honvéd nem lehet az első. Béla állítása hamis, ezért az első az FTC. Viszont András állítása is hamis, ezért sem az FTC, sem az MTK nem lehet az első. Második módszer: Könnyebben célt érhetünk, ha elkészítünk egy úgynevezett logikai táblázatot. Ebben a táblázatban + jellel látjuk el azokat a csapatokat, amelyek az adott kijelentés szerint megnyerhetik a tornát. FTC MTK Vasas Honvéd András + + Béla + + + Csaba + + Mivel csak az egyiküknek volt igaza, ezért a negyedik oszlopban szereplő egyetlen + jel arra utal, hogy egyedül Bélának volt igaza és a Honvéd nyerte a tornát. Gyakorló feladatok 1. A hét törpe házikójában a törpék közül valaki eltört egy tányért. Hófehérkének így számoltak be: Tudor: Nem Szundi volt. Én voltam. Morgó: Nem én voltam. Nem Hapci volt. Vidor: Tudor volt. Nem Morgó volt. Ki törte el a tányért, ha minden törpének egyik állítása igaz, a másik pedig hamis. 2. Öt gyermek egymás után mondott egy állítást a következő sorrendben: a) Minden utánam következő igazat mond. b) Egyik utánam következő sem mond igazat. c) Valamelyik utánam következő igazat mond. d) Minden előttem szóló igazat mondott. e) Egyik előttem szóló sem mondott igazat. Az elhangzottak közül pontosan egy igaz. Melyik az? 3. Három lány és három fiú együtt ment a bálba. A keringőnél mind a három fiú felkérte a három lány valamelyikét táncolni, a tangónál hölgyválasz volt. A két tánc során nem táncolt együtt kétszer ugyanaz a pár. A következőket tudjuk: a) Csabi azzal a lánnyal keringőzött, akivel Berci tangózott; b) Gizi azzal a fiúval tangózott, akivel Enikő keringőzött; c) Hédi nem tangózott Csabival; d) Gizi nem keringőzött Andrissal. Ki kivel keringőzött és ki kivel tangózott?
4. András csütörtökön és pénteken mindig igazat mond, kedden mindig hazudik, a többi napokon véletlenszerűen mondhat igazat vagy hazudhat. Hat egymás utáni napon megkérdezték tőle, hogy mi egyetlen testvérének a beceneve? A hat egymást követő napon a válasz: Pali, Peti, Pali, Peti, Bandi, Peti volt. Hogy hívják az András testvérét? Kitűzött feladatok 1. András, Béla és Csaba az utcán sétálnak. Egyikük vörös, a másik szőke, a harmadik fekete hajú, nem feltétlenül ebben a sorrendben. Összetalálkoznak Dénessel, aki csak látásból ismeri őket, illetve mindhárom nevet tudja, de nincs tisztában azzal, hogy melyik arc melyik névhez tartozik. Dénes kérdésére, hogy melyikük kicsoda, a következőket válaszolják: A vörös hajú: Én Csaba vagyok. A szőke hajú: A fekete hajú nem Csaba, én sem vagyok az. A fekete hajú: Én nem András vagyok. Kinek milyen színű a haja, ha tudjuk, hogy az egyik hazudott? 2. András, Béla, Csaba és Dénes egy sakkverseny után a következőket mesélték Bettinek: Béla: Nem én lettem az első. András: Nem Béla nyert. Csaba: András nyert. Dénes: Béla nyert. Ki nyerte a versenyt, ha a négy gyermek közül pontosan egy mondott igazat? 3. András, Béla és Csaba a Balatonnál táborozott. Három különböző városból érkeztek (Budapest, Miskolc, Pécs), más a kedvenc tantárgyuk (matematika, történelem, rajz), és mindegyikük másmás sportot űz (lovaglás, tenisz, úszás). A következő információk alapján állapítsuk meg, hogy ki melyik városból érkezett, mi a kedvenc tantárgya és mit sportol! a) András Pécsről érkezett. b) Béla kedvenc időtöltése az úszás és a matekot nem kedveli. c) Aki Budapestről érkezett szeret lovakat rajzolni, hiszen a lovaglás mellett a rajz a kedvence. d) Csaba nem teniszezik. 4. András, Béla és Csaba futásban egymással versenyeztek. A verseny után így számoltak be egy közös barátjuknak: Csaba: András nem lett első. András: Béla nem lett második. Béla: Csaba nem lett sem első, sem harmadik. Később elárulták, hogy csak egyikük mondott igazat, ketten füllentettek. Ki hányadik helyen végzett? Beküldési határidő: 2017. 01. 06. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.