Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező ifejezéseet úgy alaítsd át, hogy ne tartalmazzana gyöjelet! b) a c) a d) e) f) a a 7 9,. Az alábbi ifejezéseet úgy alaítsd át, hogy sem negatív, sem törtitevőt ne tartalmazzana! b) a c) b d) a e) a f) c. A logaritmus fogalma. A övetező ifejezéseet írd fel egyszerűbb alaban! log b) log 7 9 7 c) log d) lg 0 e) log 6 f) lg7 0. A logaritmus fogalma segítségével írd át más alaba a övetező egyenlőségeet! b) 9 c) 6 d) e) 6 f) 6 6 g) h) i) 7 0 j) 6 ) 7. Határozd meg az alábbi logaritmuso értéét! log 6 b) log 9 c) log 7 7 d) log e) log f) log g) log h) log i) log 9 j) log 9
Gyaorló feladato. Számítsd i a övetező ifejezése pontos értéét! log b) log c) log d) log e) log log f) 6 log6 7 log6. A logaritmus azonosságai. Írd fel rövidebb alaban a övetező ifejezéseet! log log y log z b) 7 log a log log y log z c) log a log b log log y d) lg lg a lg c lg lg lg y lg z. Határozd meg az alábbi ifejezése értéét! log lg 000 7log7 log7 0 b) 7 lg 0 log. Eponenciális egyenlete. Oldd meg a övetező egyenleteet! 7 6 7 7 b) 7 6 7 7 c) d). Oldd meg a övetező egyenleteet! 7 b) c) 6 9
Gyaorló feladato d). Oldd meg a övetező egyenleteet! 0 b) 0 c) 9 6 7 d) 0 6. Logaritmusos egyenlete. Oldd meg a övetező egyenleteet! lg lg 6 b) lg lg lg c) lg lg lg 6 d) lg lg e) lg lg 6. Az eponenciális-, és a logaritmusfüggvény 6. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeet! b) c) log d) log
Gyaorló feladato Koordinátageometria. Művelete vetoroal. Egy téglalap csúcsai legyene A, B, C, D. Rajzold meg a övetező vetoroat! AB BC b) AB CB c) AB DC d) AB CD e) AC BD f) BC CD DA g) CB DC AC h) AC BD i) CD AD. Rajzolj tetszőleges (nullvetortól ülönböző) a és b vetort! Szereszd meg az alábbi vetoroat! a b) a c),a d) a e) a a b f) a b g) a b h) 0,a b i). Egy C pont helyvetora c, egy tetszőleges P ponté p. Határozd meg a P pont C-re vonatozó tüörépéne helyvetorát!. Rajzold meg az alábbi helyvetoroat a derészögű oordináta-rendszerben, majd számítsd i a hosszúságuat! (; ) b) ( ; ) c) ( 6; ) d) (; ) e) (0; 0) f) ; 0. Egyenlő szárú háromszög alapja 0, magassága 6 hosszúságegység. Határozd meg a háromszög csúcsaina helyvetorait, ha úgy helyezzü el a oordináta-rendszerben, hogy a ezdőpont az alap egyi végpontjába van, és az alap az tengelyre illeszedi. Hány megoldás van?.6 Rajzold meg azona a pontona a mértani helyét, amelyene az abszcisszája 0. b) az ordinátája 0. c) az abszcisszája. d) az ordinátája. e) az abszcisszája. f) az ordinátája. g) az abszcisszája és az ordinátája egyenlő..7 Az a ;, b ; és c ; vetoroat 90 -al elforgatju. Határozd meg az elforgatott helyvetoro oordinátáit! Írd fej azoat a vetoroat is, amelye az eredeti vetoroból 90 -os elforgatással adódna!. Legyen az a ;, b ; és c ; oordinátáit!. Számítsd i a övetező vetoro
Gyaorló feladato a b b) a c c) a b d) a b e) a b c Ábrázold a apott helyvetoroat!.9 Egy csóna sebessége állóvízben a partra merőlegesen indul. m. A csóna h Szeressze meg a csóna eredő sebességét, ha cm-ne vesszü a hosszát! b) Számítsa i az eredő sebesség nagyságát! m sebességű folyóban h m sebességvetor h.0 Három utya egyenént 0 N erővel húz egy szánt. A szomszédos utyá ötelei 0º-os szöget zárna be. Szeressze meg az eredő erőt!. Adott az a (; ) és b (; ) vetor. Szeressze meg a v (7; 6) vetor a -val és b -vel párhuzamos összetevőit! b) Számítással határozza meg az összetevő oordinátáit!. Egy aticabogár az A (; ) pontból 7 másodpercen át egyenes vonalú egyenletes mozgást végzett, s múlva a B (; ) pontban volt. Írja fel a sebességvetorát! b) Meora utat tett meg összesen a bogár 7 másodperc alatt?. Vetoro saláris szorzata. Szánót húz egy ifjú apa 0 N egyenletes erővel, miözben a ötél 0º-os szöget zár be a vízszintessel. Meora munát végez, ha 0 métert húzza így gyermeét? (A végzett muna az erő- és az elmozdulás-vetor saláris szorzata.). Meora az egyenlő (de nem null hosszúságú a és b szöge, ha az a b és az a b egymásra merőleges vetoro?. Határozd meg az a és b egységvetoro által bezárt szöget, ha a b a b!. Két egymással 60º-os szöget bezáró vetor saláris szorzata. Ha az egyi vetor hossza a mási étszerese, aor
Gyaorló feladato milyen hosszúa a vetoro? b) meora a ét vetor összege? c) meora a ét vetor ülönbsége?. Adott ét vetor: a (; ), b ( ; ). Ábrázold a ét vetort oordinátarendszerben Mi az a b szorzat értée? b) Határozd meg a vetoro hosszát! c) Meora a ét vetor hajlásszöge?.6 Határozd meg az a (; ), b (; 6) vetoro hajlásszögét!.7 Egy háromszög csúcsai: A(; 0), B(; ), C(-; ). Meorá a háromszög szögei?. Felezőpont, harmadoló pont. Számítsd i az A 0;, 6 és B,; ponto által meghatározott szaasz felezőpontjána oordinátáit!. Legyen OA (; 7), OB (9; )! Határozza meg AB -t, valamint az AB szaasz felezőpontjához és harmadoló pontjaihoz az O-ból induló vetoro oordinátáit!. Háromszög súlypontja. Egy háromszög csúcsai: A(; 0), B(; ), C(-; ). Határozd meg a súlypontjána a oordinátáit!. Az egyenes egyenlete. Írd fel anna az egyenesne az egyenletét, amely áthalad az origón és illeszedi az ; oordinátájú pontra!. Mi az egyenlete anna az egyenesne, amely áthalad az (; ) ponton és normálvetora (; )? b) áthalad a (; ) ponton és irányvetora ( ; )? c) áthalad a ; és ; pontoon? Ábrázold a fenti egyeneseet! 6
Gyaorló feladato. Állapítsd meg, hogy rajta van-e a y egyenesen az ; pont!. Mely pontoban metszi a oordináta-rendszer tengelyeit az y 0 egyenletű egyenes? Ábrázold az egyenest!. Adj meg pontot, amelye illeszedne a y egyenesre! 6. Egyenese metszéspontja 6. Ábrázold az egyeneseet, és számítsd i a ét egyenes metszéspontjána oordinátáit! a: y 0 b: y 7 0 6. Egy háromszög oldalegyeneseine egyenlete: a: 9 6y 0 b: y 0 c: y 6 0. Számítsd i a erületét! 6. Számítsd i a P(-; ) pont és az e: y 0 egyenes távolságát! 6. Írd fel a P( ; ) és Q(6; 7) ponto által meghatározott szaasz felező merőlegeséne egyenletét! 6. Számítsd i a P( ; ) pont és a y egyenletű egyenes távolságát! 6.6 Egy háromszög csúcspontjaina oordinátái A( ; 0), B(; ) és C( ; ). Hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a oordináta tengelyeet? 6.7 Egy háromszög csúcspontjaina oordinátái A( ; ), B( ; ) és C(; ). Meora daraboat vág le a C csúcsból induló súlyvonal a oordinátatengelyeből? 6. Egy háromszög csúcspontjaina oordinátái A( ; ), B(; ) és C(; ). Írja fel a súlyvonala egyenletét, és határozza meg a súlyvonala özös pontját! 6.9 Egy háromszög csúcspontjaina oordinátái (; 0), ( ; ) és ( ; 6). Írd fel az oldalfelező merőlegese egyenletét, és határozd meg a merőlegese özös pontját! 7. A ör egyenlete 7. Egy ör özéppontja C (; ), sugara egység. Írd fel a ör egyenletét! 7. Egy ör egyi átmérőjéne ét végpontja: A ( ; ) és B (7; ). Írd fel a ör egyenletét! 7
Gyaorló feladato 7. Rajzold le oordináta-rendszerbe azt a ört, melyne özéppontja a C ( ; ) pont és érinti az y tengelyt! Határozd meg a sugarát! Írd fel a ör egyenletét! 7. A övetező másodfoú étismeretlenes egyenlete özül válaszd i azoat, amelye ör egyenletei lehetne, határozd meg a ör özéppontját és sugarát! y 6 y 0 b) y y y 0 c) y 0 6y 0 d) y y 0 7. Határozd meg az y 6 0 y 0 egyenletű örrel oncentrius (azonos özéppontú) egység sugarú ör egyenletét! 7.6 Döntsd el, hogy rajta vanna-e az alábbi ponto az y 69 egyenletű örön! A (0; ) b) B (; 7) 7.7 Mi anna a örne az egyenlete, ami áthalad a P( ; ) és az R( ; - ) pontoon, és a özéppontja az y 9 egyenletű egyenesen van?. Kör és egyenes metszéspontja. Számítsd i az y 6 egyenletű ör és az y 7 egyenletű egyenes metszéspontjána oordinátáit!. Milyen hosszúságú húrt vág i az y egyenletű egyenesből az y?. Az y 69 egyenletű örhöz az P(0; ) pontjában érintőt húzun. Írja fel az érintő egyenletét!. Az y 6 egyenletű örne van-e olyan pontja, mely egyenlő távolságra van a ( ; ) és (; 0) oordinátájú pontotól?
Gyaorló feladato Trigonometria. Szögfüggvénye általános értelmezése, azonosságo. Válaszd i az alábbi állításo özül az igazaat! sin 0 sin 0 cos 0 sin 60 sin 0 cos0 sin 0 cos00 cos 0 cos 0 0 0 0. Mely valós számora teljesül, hogy sin?. Mely valós számora teljesül, hogy cos?. Mely valós számora teljesül, hogy tg?. Szinusz-, oszinusz- és tangensfüggvény ábrázolása és jellemzése. Ábrázold és jellemezd a tanult trigonometrius függvényeet!. Számoláso derészögű háromszögben. Egy hegy észai lejtője m hosszú és 0 -os szöget zár be az alapsíal. A déli lejtő hossza m. Milyen magas a hegy, és milyen merede a déli lejtő?. Egy méter hosszú, függőleges falhoz támasztott létra lába a faltól 0 cm-re van. Meora szöget zár be a létra a fallal? b) Milyen magasan van a falhoz támasztva? c) Legfeljebb milyen távol lehet a lába a faltól, ha tudju, hogy biztonsági ooból a létrána a talajjal legalább 70º-os szöget ell bezárnia?. Egy trapéz párhuzamos oldalaina hossza 6 cm és cm. A hosszabb alapon fevő szögei 0º és 60º Meorá a trapéz szárai? b) Meora a trapéz erülete és területe? 9
Gyaorló feladato. Szinusztétel, oszinusztétel. Egy háromszögben a 7, b 6 és 0. Meora lehet c,,?. Egy iötőből egymástól 09 -ban eltérő irányban indul el ét hajó. Az egyi m m sebessége 6, a másié 6. Milyen messze lesz egymástól a ét hajó h h óra 0 perc múlva?. Egy ismotoros repülőgép a felszállás óta 0 m-t tett meg déli irányban, majd -ot fordult nyugat felé, és megtett újabb m-t. Milyen messze van eor a iindulási helyétől?. Egy háromszög egyi szöge 6, enne a szögne a felezője cm, a szög csúcsából iinduló magasság hossza pedig 0 cm. Meorá a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?. Trigonometrius egyenlete. cos. cos. tg, 6 0