ELEKTROTECHNIKAI PÉLDATÁR

Budapesti Műszaki Főiskola Bánki Donát Gépészmérnöki Főiskolai Kar Nagy stván, f. adj. ELEKTOTECHNKA PÉLDATÁ BDAPEST 001 1. KADÁS

ELŐSZÓ Az elektrotechnikai példagyűjtemény a Budapesti Műszaki Főiskola, Bánki Donát Gépészmérnöki Kar keretén belül, kiegészítésképpen használatos az Elektronika Alapjai, illetve a Mechatronikai Alapismeretek, című tantárgyakkal kapcsolatban, mint példagyűjtemény. Mivel gépészmérnöki karról van szó, a példák nagy része is inkább az ezzel kapcsolatos témakörökhöz kötődik, követve azt a tendenciát, hogy manapság a gépészetben is egyre nagyobb mértékben használatosak az elektronikai alkatrészek. A példákban az elméleti levezetések helyett, inkább a gyakorlati dolgokra összpontosítottam, és az egyes alkatrészek (kapcsolások) tulajdonságait a felhasználásukon keresztül próbáltam közelebb hozni a diákokhoz. A megoldott példák mintapéldaként szolgálnak, és nagyon fontosak a hozzájuk tartozó megjegyzések, magyarázatok. Az egyes példák három csillaggal (***) vannak elválasztva egymástól, míg az egyes egymáshoz közel álló témakörök csak egy csillaggal (*). Maga a példatár két fő részre van osztva. Az első részben () az elektronika alapjait ismétli át, a második rész (), félvezetőkkel és a műveleti erősítőkkel foglalkozik. A fejezetek végén a függelék található, mely néhány gyakorlati kapcsolást tekint át. Természetesen a gyakorlatot, egy bizonyos fokú elméleti felkészülés nélkül nem lehet elképzelni, ezért az egyes fejezeteknél a bevezetésben megtaláljuk, hogy milyen irodalomból tudunk felkészülni az adott részhez tartozó elméletre. A jegyzet nem egy egészét képezi az elektronikával és az elektrotechnikával kapcsolatos témaköröknek, hanem egy, az intézetünkben használatos ún. testreszabása a megadott témának. A szerző.

TATALOM TELŐSZÓT... TTATALOMT... 3 T. ELEKTONKA ALAPJAT... 6 T1. ALAPFOGALMAKT... 6 TElektromos töltés:t... 6 TA villamos áramt... 9 TAz elektromos feszültségt... 10 TElektromos potenciált... 10 TEllenállás, fajlagos ellenállást... 10 TVillamos áramkört... 11 TÁramköri elemekt... 11 TA galvánelem működésének elvet... 1 TFogyasztókT... 1 TOhm törvényt... 15 TKirchoff törvényekt... 16 TKirchoff. törvényet... 16 TKirchoff. törvényet... 16 TEllenállások kapcsolásat... 17 TEllenállások soros kapcsolásat... 18 TEllenállások párhuzamos kapcsolásat... 18 TEllenállások vegyes kapcsolásat... 0 TEllenállások hídkapcsolásat... 0 TVillamos energiaforrások kapcsolásat... 4 TTerhelésT... 4 TEnergiaforrások soros kapcsolásat... 5 TEnergiaforrások párhuzamos kapcsolásat... 6 TMérőműszerek kapcsolásat... 7 TMutatott értékt... 7 TMNTAPÉLDÁK SZÁMOLÁSA AZ EGYENÁAMÚ ÉSZHEZT... 30 TA villamos töltéssel kapcsolatos példákt... 30 TOhm törvénnyel kapcsolatos példákt... 30 TPéldák az eredőellenállás kiszámolásárat... 33 TEredőellenállások számolása híd-kapcsolású áramköröknélt... 37 TTovábbi példák az eredőellenállás kiszámolásának gyakorlásárat... 41 TNÉHÁNY ALAPMETÓDS AZ EGYENÁAMÚ PÉLDÁK MEGOLDÁSÁVAL KAPCSOLATBANT43 TEredőellenállás segítségével való számolást... 43 TKirchoff törvények alkalmazásat... 44 TMaxwell ciklusok segítségével való számolást... 47 TA szuperpozíció elvt... 49 TEgyéb gyakorlásra szolgáló példákt... 51 TMéréstechnikával kapcsolatos példákt... 64 T. VÁLTAKOZÓ MENNYSÉGEKT... 67 TAlapfogalmakT... 67 TA váltakozó áram / feszültség ábrázolásat... 67 3

TPÉLDÁK A VÁLTAKOZÓ MENNYSÉGEK KÖZÉPÉTÉKENEK SZÁMOLÁSÁAT... 68 TVáltakozó áramú körök passzív áramköri elemeit... 73 Ta.)T TVáltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás (impedancia)t... 73 Tb.)T TVáltakozó áramra kapcsolt önindukciós tekercst... 73 Tc.)T TVáltakozó feszültségre kapcsolt kondenzátort... 74 TEllenállás, induktív és kapacitív reaktancia kapcsolásait... 76 T. FÉLVEZETŐKT... 86 T1. ELMÉLET ALAPOKT... 86 TBevezetésT... 86 TA FÉLVEZETŐ ANYAGOK FELOSZTÁSAT... 86 T1. Struktúrájuk alapjánt... 86 T. Szennyezettségük alapjánt... 86 TFélvezető anyagok energia-sávdiagramjat... 87 TAZ ANYAGOK FELOSZTÁSA AZ ELEKTONKA SZEMPONTJÁBÓLT... 88 TA P ÉS N ÉTEGEK KALAKÍTÁSAT... 88 TP-N átmenett... 89 TFÉLVEZETŐ (BPOLÁS) DÓDÁKT... 90 TEgyenirányítás, simítás, szűrést... 95 TA kapacitás fogalmat... 98 TA kondenzátor kisütéset... 98 TA kisütőáram erősséget... 99 TA kondenzátor töltési, és kisütési feszültségei, áramait... 99 TBPOLÁS TANZSZTOOKT... 105 TA tranzisztor működési elvet... 105 TTab./1.1. Erősítési tényezőkt... 107 TTab. /1.. Az általános tranzisztor feszültségei aktí és szaturációs (telítettségi) állapotban.t... 108 TTAB./1.3. Megközelítőleges értékhatárok: TB(Si)TB... 109 TTAB./1.4 A tranzisztor működési tartományai (npn tranzisztor):t... 115 TTúlvezérlési tényezőt... 15 TAz erősítők osztályozása a nyugalmi munkapont és a kivezérlés ismeretébent... 18 TErősítők osztályozásat... 18 TDifferenciálerősítőkT... 13 T. MŰVELET EŐSÍTŐKT... 135 TLegáltalánosabb felhasználási területeit... 135 TMűködési elve, tulajdonságai, paramétereit... 135 TVSSZACSATOLT EŐSÍTŐKT... 137 T(ÁTVTEL TÉNYEZŐK)T... 137 TPozitív visszacsatolást... 138 TNegatív visszacsatolást... 139 Tnvertáló (negatívan visszacsatolt) MET... 139 TNem invertáló (poz. visszacsatolt) MET... 14 TMŰVELET EŐSÍTŐKBŐL ÖSSZEÁLLÍTOTT ANALÓG MŰVELET ÁAMKÖÖKT... 143 TÖsszeadó áramkört... 143 TKivonó áramkört... 144 TntegrátorT... 145 TDerivátorT... 147 Töviden néhány szó a logaritmikus-frekvencia diagrammokról.t... 149 THárom alapesetet különböztetünk megt... 150 4

T*T...168 T1. FÜGGELÉKT... 158 TNÉHÁNY PÉLDA A SZÁMÍTÁSTECHNKÁBAN HASZNÁLATOS ALAPELEMEKET... 158 TLogikai áramkörcsaládokt... 158 TDL dióda-ellenállás logikat... 158 TDCTL egyenesen-csatolt tranzisztoros logikat... 160 TDTL dióda-tranzisztoros logikat... 161 TTTL tranzisztor-tranzisztoros logikat... 161 TSchmitt triggert... 164 TNÉHÁNY ADATÁTVTELE SZOLGÁLÓ ÁAMKÖT... 166 TPárhuzamos adatátvitelt... 166 TSoros adatátvitelt... 166 TzochrónT... 166 TAnizochrónT... 166 TSzinkronT... 166 TAszinkronT... 166 TTTL és V.4 szintű adatokt... 168 TOPTOCSATOLÓVAL MEGVALÓSÍTOTT ADATÁTVTELT... 169 TDFFEENCÁL EŐSÍTŐVEL TÖTÉNŐ ADATÁTVTELT... 17 TNÉHÁNY MEMÓA ALAPKAPCSOLÁST... 173 TNéhány alapfelosztást... 173 TTechnológia alapján:t... 173 THozzáférés alapján:t... 173 TFelhasználás alapján:t... 174 TTÁGYMTATÓT... 177 TFELHASZNÁLT ODALOMT... 181 5

P [m/s]).. ELEKTONKA ALAPJA 1. Alapfogalmak Elektromos töltés: Mindig valamilyen "anyag" kíséretében van jelen. Az anyag szó alatt ebben az esetben elementáris részecskék (atomok, molekulák) halmazát értjük, melyeknek nyugalmi tömege mb0b. Az elektromos töltés körül mindig található elektrosztatikus tér, ez az elektromos tér egy speciális formája, mégpedig az, amelyik időben állandó. Ha a részecskénk - amelyik az elektromos töltést is hordozza-, a térben mozog, akkor az elektromos tér mellett a részecske körül mágneses teret is észlelhetünk. Megj.: Az elektromos és mágneses terek tehát az anyaghoz kötődnek, így relatív változásoknak is alávetődnek hasonlóan, mint ahogy a mozgó részecske tömege is változik a Lorenz törvény értelmében: m m 0 ; v 1 c Ahol: mb0b a részecske tömege nyugalmi állapotban, v a részecske 8 sebessége, c- fénysebesség a vákuumban (,998.10P Ha a részecskénk mozgása gyorsuló/lassuló vagy a mozgás pályája valamilyen görbét ír le, akkor egy önálló tér figyelhető meg, amit elektromágneses térnek nevezünk, és ez már nincs az anyaghoz kötve, elektromágneses hullámzás formájában terjed a feltételezett töltésünktől a tér minden irányában. 6

Megj.: Az elektromágneses hullám vákuumban is terjed, ún. "csomagok" formájában. Bizonyos értelemben mondhatjuk, hogy az elektromágneses hullám fotonokkal reprezentált. Ha az elektromágneses tér, időben f-frekvenciával változik, akkor egy foton energiája a Planck konstans segítségével kiszámítható: W h. f ; Ahol : -34 h 6,66.10P P [WsP P]; a Planck konstans. Az elektrotechnika szempontjából egyik legjelentősebb töltéshordozó részecske az elektron. Megtalálható az atommag körül, ahol egy meghatározott pályán kering. Az elektron töltése negatív, és egy bizonyos szempontból felfoghatjuk mint a legkisebb elektromos mennyiséget is: -19 e - 1,60.10P P[C]; Megj.: C-Coulomb, az S-rendszerben megegyezik C A. s ; Az atommag apróbb részecskékből, protonokból és neutronokból áll. Míg a neutronok külsőleg elektromosan semlegesnek tekinthetők, a protonok a pozitív töltésűek. Töltésük nagyjából megegyezik az elektron töltésének nagyságával. Mivel az atom külsőleg villamosan semleges ezért a töltések, - protonok és neutronok- száma meg kell, hogy egyezzen. Megj.: Szabad protonok előfordulnak a természetben, pl. a kozmikus sugárzásokban. Az általános elektrotechnikában szabad protonokkal nem foglalkoznak, mivel a protonokat az atommagból nagyon körülményes felszabadítani az ott fellépő kohéziós erők miatt. Az elektron antirészecskéje a pozitron, aminek nyugalmi tömege ugyanakkora, mint az elektroné, töltése is ugyanakkora csak ellentétes. A pozitron is csak vákuumban fordulhat elő szabadon. Az anyagokban csak nagyon rövid ideig "él", mivel egyesül a legközelebbi elektronnal, és semlegesítik egymást, miközben gamma-sugárzást észlelhetünk. Mivel ez is nagyon gyors 7

P a folyamat, az elektrotechnikában vele sem nagyon számolunk. (Egyéb felhasználásoknál viszont kihasználásra kerül.) A további kérdés tehát az lehet, hogy mi az amit a villamosságtanban használunk? A válasz a következő: - azokat az atomokat melyeknek a külső elektronhéjukon keringő elektronjaik közül külső behatásra néhány elektron felszabadul, és így túlsúlyba kerülnek a pozitív töltésű protonok, külsőleg pozitív töltésűek, és pozitív ionoknak hívjuk őket. - az eredetileg külsőleg "semleges" atomokhoz viszont "hozzáragadhatnak" szabad elektronok, így túlsúlyban lesznek az elektronok és így keletkeznek a negatív ionok. Ezek általában a nem teljesen betöltött külső héjjal rendelkező atomok. Ha ezeket a folyamatokat mesterségesen idézzük elő, akkor azt ionizációnak nevezzük. /1.1. ábra Az elektronok megoszlása az elektronhéjakon Többlet Hiány - + + + H Na Cl Megj.: A két ellentétes töltésű ion vonzza egymást, így keletkezik a + - molekula, pl. NAP PClP konyhasó. A fémek mindig elektront adnak át, tehát pozitív iont alkotnak. A nemesgázok külső elektronhéja telített, tehát elektront se leadni, se felvenni nem tudnak (nem alkotnak vegyületeket). Az atommagnak, elektronnak és az ionnak, tehát villamos töltése van. A szabad elektronok és az ionok vándorlása a töltésvándorlás. Ezt nevezzük villamos áramnak. Az elektronok az anyagban általában hőmozgást végeznek, ennek hatására a lazán kötött elektronok a külső héjakról leszakadnak, és ezekből lesznek a szabad elektronok. Ha ezekre a szabad elektronokra valamilyen irányú külső erő hat (általában elektromos tér formájában), akkor az erő irányában megindul a szabad elektronok rendezett (egyirányú) 8

vándorlása villamos áram formájában. Fémeknél gyakorlatilag az egész anyagban egyszerre indul meg az elektronok mozgása. A szigetelő anyagokban a töltött részecskék nem képesek vándorolni. A félvezető anyagok bizonyos energiaszint alatt nem tartalmaznak szabad részecskéket. /1.. ábra A szabad elektron mozgása _ hő mozgás _ egyirányú mozgás _ eredő mozgás A villamos áram Eltekintve a bonyolultabb megfogalmazásoktól, az előzőekből kiindulva mondhatjuk, hogy a villamos áram egységnyi felületen, bizonyos időegység alatt áthaladt töltésmennyiség. [ C] Q / t ; [ A]; [ s] ahol Q - a vill. Töltés [C] - egyenáram jelölése [A] t idő [s]. 9

energiát, energia energiát Az elektromos feszültség A tér adott két pontja között lévő potenciálkülönbség. Jele, egysége [V] (egyenfeszültség). Elektromos potenciál Az elektrosztatikus térben, ha egy töltést akarunk áthelyezni a 0 pontból az 1 pontba, akkor valamilyen WB1B kell kifejtenünk. Ha ugyanezt a töltést akarjuk a 0 pontból a pontba áthelyezni, akkor WBB WB1B energiát kell kifejtenünk. W i i F külső. ds Q. i 0 0 E. ds, A képletből látható, hogy a WBiB nagysága csak az i pont térbeli helyzetétől függ az örvénymentes elektromos térben. Vagyis mondhatjuk, hogy a tér minden egyes pontjához hozzárendelhetünk bizonyos WBiB amit potenciális energiának (a hely elektromos potenciálja - ϕ) nevezünk. ϕ Ellenállás, fajlagos ellenállás W i i i lim Q 0 Q 0 E. ds, A fajlagos ellenállás (ρ), a fajlagos vezetőképesség (γ) reciproka, tehát mindkettő az anyag tulajdonsága. Ebből az ellenállás: l ρ. [ Ω ]; A Megj.: A vezetők fajlagos ellenállása a hőmérséklet csökkenésével csökken. Némely fémeknél ez a csökkenés monoton, egészen a legkisebb hőmérsékletig, majd az abszolút nulla közelében hirtelen megszűnik a fajlagos ellenállás és az anyagok ideális vezetővé válnak. Ezt az állapotot nevezik szupravezetésnek. A további kutatások arra irányulnak, hogy az anyagok kristályszerkezetét, úgy 10

kell megváltoztatni, hogy tulajdonságaik csak kis mértékben változzanak, ellenben a szupravezetéshez szükséges hőmérséklet, ne legyen olyan alacsony (abszolút nulla felett, - végcél a szobahőmérsékleten lévő szupravezetés lenne). Villamos áramkör A legegyszerűbb villamos áramkör energiaforrásból, fogyasztóból és az őket összekötő vezetékből áll. Áramköri elemek Villamos energiaforrások: -azok a készülékek, melyeknek elektromos erejük van és villamos energia előállítására alkalmasak: vegyi energiát villamos energiára (galvánelem, szárazelem, akkumulátor,...) fényenergiát villamos energiára (napelem,...) mech. energiát villamos energiára (generátorok,...) Jelölések (lásd /1.3 ábra): /1.3. ábra Egyenáramú táp (általánaos) deális áramforrás Digitális jelgenerátor 11

A galvánelem működésének elve Vízzel hígított kénsavban (HBBSOB4B + HBBO) helyezzünk el egy réz (Cu) és egy horganylemezt (Zn). A rézlemezből -vegyi hatás következtében- elektronok lépnek ki a kénsavba, így a rézlemez pozitív töltésűvé válik. A horganylemezen ennek a folyamatnak a fordítottja játszódik le. Ott az elektronok a kénsavból lépnek át a horganyba, vagyis a horganylemez negatív töltésű lesz. Így a két lemez ellentétes töltésű lesz. A két töltés között fellépő erőt elektromos erőnek nevezzük (E). A galvánelem kapcsain (+, -) megjelenő különnemű töltések vonzzák egymást, de az elektromos erő szétválasztó hatása miatt kiegyenlítődni nem tudnak. Ha azonban a kapcsokat vezetővel kötjük össze, akkor ezen a vezetőn keresztül megindulhat a kiegyenlítődés villamos áram formájában. /1.4. ábra Cu + _ E Zn H SO 4 +H O Fogyasztók Azok a készüléke, amelyekben az áramló villamos töltések hatására a villamos energia más: -hő, -fény, -vegyi, -mechanikai energiává alakul át. A fogyasztókat az áramkörökben általában szimbolikusan ellenállással jelöljük (kiv. villamos motorok,...). Ezek után definiálhatjuk a legegyszerűbb áramkört, ami energiaforrásból, fogyasztóból és az őket összekötő vezetékből áll. (A példák számolásánál a vezetékek ellenállását elhanyagoljuk, ill. ha figyelembe kell venni, ellenállással jelöljük.) Általános jelölések és szimbólumok: 1

- Nyomtatott nagybetűk: -Egyen-mennyiségek. (Pl.: -egyenáram, -egyenfesz.) - Írott nagybetűk: - Váltakozó-mennyiségek. (Pl.: -vált. fesz.) - Kisbetűk: - Pillanatnyi értékek. (Pl.: i-pillanatnyi áram,) Általános megegyezés alapján az áramirányt a poz. elektródából kiindulva a fogyasztón keresztül a neg. elektróda, ill. föld, felé fogjuk jelölni. Természetesen az elágazások után csak feltételezett áramirányokat fogunk majd bejelölni. A feszültséget szintén a pozitívból a negatív pólus felé fogjuk jelölni. Lásd /1.5 ábra, a legegyszerűbb áramkör. /1.5. ábra Áramirány () Energiaforrás Feszültség () Fogyasztó () Földelés A leggyakrabban használatos méretegységek (lásd Tab. /1.1): 13

P P P P P P Tab./1.1 Egység : Példa : -1 p piko 10P P -9 n nano 10P -6 µ mikro 10P -3 m milli 10P 3 k kilo 10P 6 M mega 10P 9 G giga 10P pf (pikofarad) nf (nanofarad) µf (mikrofarad) mv (millivolt) kv (kilovolt) MΩ (megaohm) GΩ (gigaohm) A példákban használatos további áramköri elemek és jelöléseik, lásd /1.6. ábra: /1.6. ábra Földelés deális kapcsoló Egyenáramú táp deális ellenállás deális kondenzátor deális tekercs deális transzformátor Általános dióda Zener (fesz. stabilizáló) dióda Bipoláris (NPN) tranzisztos Mű veleti erő sítő Az ideális ellenállás olyan fogyasztó, amely a villamos energiát hőenergiára alakítja át. Egyetlen paramétere van (). Az ideális kondenzátort, a villamos tér energiájának tárolójaként foghatjuk fel. Villamos energiát vehet fel (töltések formájában), majd ezt az energiát (egy részét) vissza is adhatja az áramkörbe. Egyetlen paramétere a kapacitása (C). 14

Az ideális tekercset, a mágneses tér energiájának tárolójaként foghatjuk fel, amit felvehet és egy részét vissza is tudja szolgáltatni az áramkörbe. Egyetlen paramétere az induktivitása (L). A példák megoldása során felhasznált törvények: Ohm törvény G.S. Ohm megfigyelte, hogy konstans hőmérsékleten fém vezetőknél a feszültség és az áramerősség között lineáris összefüggés van.: vagyis felírhatjuk, hogy: konst.. G. ; ahol, G - a villamos vezetőképesség : G 1/ Tehát mondhatjuk, hogy: Ha egy ellenálláson áram folyik keresztül, akkor az ellenállás kapcsain mérhető feszültség Ohm törvénye értelmében:. [V]; Megj.: Az áram iránya megegyezik a feszültség irányával. /1.7 ábra 15

B1B + - - - Kirchoff törvények A villamos hálózatokra vonatkoznak. A villamos hálózatok egy vagy több energiaforrásból és ellenállásokból tevődnek össze. Ennek a speciális esete lehet az egyszerű áramkör is (lásd: /5 ábra), de általában ennél bonyolultabb áramkörökkel találkozunk. Csomópont - három, vagy több vezető találkozási pontja. Hurok - azoknak az ágaknak az összessége, amelyeken végighaladva a kiindulási pontba érünk vissza úgy, hogy közben egy ágon sem haladtunk kétszer végig. Kirchoff. törvénye (csomóponti) A csomópontba befolyó és a csomópontból kifolyó áramok aritmetikai összege egyenlő nullával. Aritmetikai alatt azt értjük, hogy az egyes áramirányok értelmezve vannak. Általános megegyezés lehetne (természetesen ez lehet egyéni is), hogy a csomópontba befolyó áramokat +, a csomópontból kifolyó áramokat - előjellel látjuk el. /1.8 ábra 1 3 5 4 Ezek alapján felírhatjuk, hogy: vagyis általánosan: BB B3B B4B B5B 0 ; n 0 n 1 ; Kirchoff. törvénye (huroktörvény) 16

Zárt hurokban a feszültségek aritmetikai összege egyenlő nullával. tt az értelmezést (+,-) az óramutató járásával adhatjuk meg. /1.9 ábra 1 táp + vagyis felírhatjuk, hogy: általánosan: -BtápB + B1B + BB 0 ; n 1 0 ; n Ellenállások kapcsolása Az áramköröket nagyon gyakran egyszerűsíthetjük azzal, ha kiszámítjuk az áramkör egy bizonyos szegmensének ún. eredőellenállását, így a szegmensben szereplő ellenállásokat ezzel az eredőellenállással tudjuk helyettesíteni, ami áttekinthetőbbé, egyszerűbbé teszi a további számolást (lásd: Norton-Thevenin féle helyettesítés, 3.10 példa). Természetesen ez feladattól függ, hiszen lehet, hogy csak egy bizonyos ágban vagyunk kíváncsiak az áramerősségre ekkor csak a feladat egy részén tudunk könnyíteni. 17

BeB Ellenállások soros kapcsolása Az ellenállás végét összekötjük a második elejével a második végét a harmadik elejével,...etc., végül az első elejét és az utolsó végét rákapcsoljuk a tápfeszültségre. Sorba kapcsolt ellenállásoknál ugyanaz az áram folyik át az összes ellenálláson, viszont az egyes különböző nagyságú ellenállásokon különböző nagyságú feszültség esik. Csak olyan ellenállások köthetők sorba, amelyeken az adott áramerősség az ellenállások megrongálása nélkül átfolyhat. Az eredőellenállás az egyes ellenállások összegével egyenlő. Megj.: Sorosan kapcsolt ellenállásokon, az összes ellenálláson ugyanaz az áram folyik keresztül. B1B+BB+B3B+...+BnB Bn B; /1.10 ábra 1 1 3 3 n n Ellenállások párhuzamos kapcsolása Az ellenállások kezdeteit, majd azok végeit egyesítjük egymással és az így összekötött kezdeteket, ill. végeket kötjük a tápfeszültségre. Az így kialakított csomópontok között csak egy feszültség mérhető, viszont az egyes ágakban a különböző nagyságú ellenállásokon különböző nagyságú áramok folynak. Az eredő ellenállás reciproka egyenlő az egyes ellenállások reciprokának összegével. (Vagy az 18

eredő vezetőképesség (G), egyenlő az egyes ágakban lévő vezetőképességek összegével.) 1 1 1 1 1 + +... + ; e 1 n n G G + G +... + G G ; 1 Megj.: Párhuzamosan kapcsolt ellenállásoknál, az összes ellenálláson ugyanaz a feszültség mérhető. A párhuzamosan kapcsolt ellenállásoknál használatos még az eredőellenállások kiszámolására az ún. repluszos (x) felírás: BeB B1B x BB n x B3B Bn B, Gyakorlati felhasználását lásd a további példákban. /1.11. ábra n 1 1 3 3 n n 19

CBeB + + ; Megj.: Kondenzátorok kapcsolásánál az eredő kapacitás (CBeB) számolása: - Sorba kapcsolt kondenzátorok eredőkapacitása: 1 1 1 1 + +... + ; C C C C e 1 n - Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredőkapacitása: * Ellenállások vegyes kapcsolása CB1B CBB... + CBnB A vegyes kapcsolások valójában sorba és párhuzamosan kapcsolt ellenálláscsoportokból tevődnek össze. tt általában kiszámoljuk a sorba kapcsolt ellenállások eredőjét, majd a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét, és végül az egyes eredő ellenállásokat összegezzük ( BeB). /1.1 ábra 1 3 3 1 Ellenállások hídkapcsolása 0

Összetettebb hálózatoknál gyakran találkozhatunk olyan kapcsolásokkal, amelyek sem a soros, sem a párhuzamos kapcsolásokhoz nem hasonlítanak. Ezek általában a hídkapcsolások, ahol az ellenállások vagy háromszög (delta), vagy csillagkapcsolásban találhatók. Gyakran, hogy ezeket a kapcsolásokat egyszerűsíteni tudjuk, szükségünk van a delta kapcsolás helyettesítésére a neki egyenértékű csillagkapcsolással, vagy fordítva. Így a hálózatunkat egyszerűsíthetjük soros / párhuzamos / vegyes kapcsolássá, amit az előzőek alapján könnyen számolhatunk. Az átalakításnál egy alapszabályt be kell tartani, : a csillag-kapcsolásnál két pont között (1,) lévő ellenállások nagysága ugyanakkora kell, hogy legyen, mint a delta-kapcsolásban a megfelelő két pont között (1,) szereplő ellenállás nagysága. Az átalakító képletek levezetése: Tételezzük fel, hogy az ellenállás háromszög (delta) a hálózathoz az egyes (1) és a hármas (3) pontokon csatlakozik, vagyis az 1 ponton az áram befolyik a deltába, a 3 ponton pedig ki. Írjuk fel az B3B feszültséget az ' áram segítségével (' a delta egy ágában folyó áram., lásd /1.13. ábra). /1.13. ábra 1 1 1 31 3 1 03 0 0 0 3 3 ' 3 3 3 Az ' áramot az ágakban megoszló áramok és ellenállások fordított arányai segítségével írhatjuk fel. Lásd: /1.14. ábra. 1

és két /1.14. ábra 1 ' 31 1 3 3 3 ' 31 x( 1 1 + + 3 3 ) ; ' 1 + 31 3 + 31 ; Megj.: Az X az ún. replusz, amivel a párhuzamosan kapcsolt ellenállások számolásán tudjuk a felírást áttekinthetőbbé tenni. Gyakorlati jelentése: Ha B1B BB párhuzamosan kapcsolt ellenállás, akkor az eredő ellenállás nagyságát felírhatjuk a replusz segítségével a következőképpen: 1. e 1 x + 1 ; Ebből felírhatjuk az B3B ellenálláson eső B3 Bfeszültséget: *. ' 3 3. 3 31 + + 1 3 31. ; (1.) Ha az egyenértékű csillagban is kifejezzük az B3B feszültséget: 3 0 + 03 03 3. ; (.)

mivel, B0B 0. Továbbá, rendezve az (1.) és (.) egyenleteket, és B3 Bkifejezésével, megkapjuk a transzformációs képletet: 3. 3 31 + + 1 3 31 ; gyanígy, az indexek ciklikus cseréjével megkapjuk a csillagban szereplő többi ellenállás nagyságát is. (Természetesen akkor másik két pont között (pl.: 1, ) folytatjuk a levezetést).. 1 3 + + 1 3 31 ; 1. 31 1 + + 1 3 31 ; Tehát ezek a transzformációs képletek akkor érvényesek, ha ismerjük a deltába kapcsolt ellenállások értékeit és keressük a neki megfelelő csillag-kapcsolásban szereplő ellenállások nagyságát. Hasonló módszerrel levezethetjük a csillagból deltába történő számolás transzformációs képleteit. Tételezzük fel, hogy az 1 és 3 csomópontok között feszültségünk van (lásd: /1.13 ábra), és a és 3 csomópontok rövidre vannak kötve egy vezetékkel. Ebben az esetben a háromszögre (delta) egyenesen az Ohm törvényből felírhatjuk: 3 ; (3.) 1 továbbá, a csillagban az ellenállások vegyes kapcsolásából kiindulva felírhatjuk, hogy: 3. + + 1 1 3 3 3 ; (4.) A (3.) és (4.) egyenletekből megkapjuk az átalakító képletet: 3

+ + 1 1 majd hasonlóan a többi képletet is:. 1 3 ;. 3 + 3 + 1 3. 31 3 + 1 + 1 3 1 ; ; Villamos energiaforrások kapcsolása Minden villamos energiaforrásnak van belső ellenállása, (BbB) amit az ideális energiaforrásból kiemelve és azzal sorba kapcsolva tüntetünk fel. Terhelés Ha az energiaforrás kapcsait egy ellenálláson keresztül összekötjük, akkor az energiaforrást terheljük, mert az energiaforrásból a terhelő ellenálláson keresztül áram folyik át (lásd: /1.15a. ábra). 4

zárlati /1.15 ábra b b K b K táp a.) Z táp b.) b K 0 0 táp c.) /1.15b.) ábra, az energiaforrás üresjárása, vagyis az energiaforrás nincs terhelve, nem folyik semmilyen áram. /1.15c.) ábra az energiaforrás rövidrezárása, ha a kapcsait ellenállásmentesen összekötjük. lyenkor a tápból BzB áram folyik. Energiaforrások soros kapcsolása Energiaforrásokat akkor kell sorba kapcsolni, ha a szükséges feszültség nagyobb, mint egy energiaforrás feszültsége. Az egyes kapocsfeszültségek összeadódnak, így kapjuk az eredő feszültséget ( ). Valamennyi energiaforráson azonos áramerősség folyik keresztül. (Tehát csak olyan energiaforrások kapcsolhatók össze, melyeknek megengedett terhelhetősége nagyobb, mint a kapcsolást terhelő ellenállás nagysága.) 5

/1.16 ábra + _ t1 t tn Energiaforrások párhuzamos kapcsolása Energiaforrásokat akkor kell párhuzamosan kapcsolni, ha a szükséges áramerősség nagyobb, mint egy energiaforrás megengedett legnagyobb terhelhetősége. Az egyes áramerősségek összeadódnak, ebből kapjuk az eredő áramerősséget. ( ). /1.17. ábra t1 b1 t + b _ tn bn 6

Mérőműszerek kapcsolása Mutatott érték A régebbi, analóg kijelzésű, több méréstartományú (univerzális) műszereken valamennyi méréstartományra csak egyetlen skála van. Ebből adódik, hogy a mért érték (XBmB) a mutatott értékből (m) és a skálatényezőből (c) tevődik össze. X m c. m ; Továbbá, a mért mennyiség helyes értéke (XBhB), eltérhet a mért értéktől (XBmB). A mérési értéktől pozitív és negatív irányban megengedett eltérést hibahatárnak (h) nevezzük. A százalékos hibahatárok a mérőműszerek pontossági osztálya (k) alapján ismerhetők fel.(pl.: k1,5 esetén a százalékos pontosság ±1,5%). A skálatényezőt (c), a méréstartomány végértékének és a skála végértékének aránya adja meg: m c s v ; A hibahatár: a.) Analóg mérőműszerre: k. mv h 100 ; b.) Digitális mérőműszerre: k. X h 100 m + z ; Megj.: Analóg mérőműszerek esetén ez a százalékos érték mindig a méréstartomány végső értékére (mbvb,pl.: mbvb500[v]-ra), digitális mérőműszereknél pedig általában a mutatott értékre, tehát az XBmB, mért értékre vonatkozik. Digitális mérőműszerek esetén még az 7

többletáramot utolsó helyi érték bizonytalanságát (z), is figyelembe kell venni (pl.: ± számjegy). A gyakorlati példákat lásd, a Méréstechnikával kapcsolatos példák c. fejezetben. Az áramerősséget kis ellenállású, sorosan kapcsolt ampermérővel mérik. A mérőműszer tehát része az áramkörnek, ezért fontos, hogy a mérőműszer kis fogyasztású legyen. A lengőtekercses árammérő műszer méréshatára az BpB a műszertől elvezető, párhuzamos (sönt-) ellenállással bővíthető. (lásd. /1.18 ábra). A műszer belső ellenállása, BmB1,[Ω]. /1.18 ábra m m A p1 p1 p p p3 p3 Ahol érvényesek a következő képletek: p p p ; m ; p p m ; m ; n 1 Ahol n a méréshatár-növelés tényezője. A feszültséget nagy ellenállású párhuzamosan kapcsolt voltmérővel mérik. A lengőtekercses műszerrel működő feszültségmérők méréshatára sorosan kapcsolt előtét ellenállásokkal bővíthető. Az univerzális műszerekben általában a beállított 8

műszerállandó, hányadost méréshatártól független, Ω/V egységben kifejezett rbmb (műszerállandó) használják, hogy ne kelljen mindegyik méréshatárhoz az ellenállást megadni. (A három méréstartományú feszültségmérő belső kapcsolási rajzát lásd a /1.19 ábrán.). A műszer belső ellenállása, BmB0[kΩ]. Be1B,.., BenB, a sorosan kapcsolt belső ellenállások, amin esnek az Be1B,.., BenB előtét feszültségek. /1.19 ábra m m m e1 e e3 Érvényesek a következő összefüggések: r e e m ( n 1). m m m ; m r ; m m ; n 1 m ; m ; Továbbá, a mérendő feszültségre igaz: en + n 1 Figyelem! Az rbmb nem összekeverendő az BmB, műszer belső ellenállásával. * * * m ; 9

P /m]. Mintapéldák számolása az egyenáramú részhez A villamos töltéssel kapcsolatos példák 1.1 Egy akkumulátortelep 160 [Ah] (amperóra) töltést tárol. Határozzuk meg, hogy mekkora ez a töltés As-okban kifejezve, és mennyi ideig tart a kisütés, ha 50[A]-rel megy végbe? Megoldás: Q 160 Ah 160.3600 576 000[As]; t Q / 11 50 [s] 3,[h] 3h 1' ; * * * 1. Hány [As] töltést tárol egy zseblámpaelem, ha 5 [h]-n keresztül 400 [ma]-rel lehet terhelni? (700[As]). * * * Ohm törvénnyel kapcsolatos példák 1.3 Határozzuk meg, hogy egy 1,5 [mm] átmérőjű és 1 [m] hosszú rézhuzalnak mekkora az ellenállása és vezetése, ha a réz fajlagos ellenállása 0,0175 [Ω mmp Megoldás: A (dp P.π) / 4 1,77 [mmp P] ; l ρ. 0, 119[ Ω ]; A G 1 / 8,4[S]; Határozzuk meg, hogy ezen az ellenálláson [V] feszültség mekkora áramerősséget eredményez. / 16,8 [A]; * * * 30

P / P / 1.4 Mekkora legyen az ellenállás értéke, hogy egy 0 [V]-os energiaforrás,5 [A] áramot hajtson át rajta? Milyen hosszú 0,8 [mm] átmérőjű kantál (ρ 1,45 [Ω mmp m]) huzalra van szükségünk az ellenállás elkészítéséhez? Megoldás: A szükséges ellenállás: A keresztmetszet: / 88 [Ω]; A (dp P.π) / 4 0,503 [mmp P]; A szükséges hossz: A. 88. 0, 503 l 30,[ 6 m]; ρ 145, * * * 1.5 Egy ellenálláson 110[V] feszültség 5 [A] áramerősséget hajt keresztül. Mekkora az ellenállás értéke, és milyen milyen nagy az ellenállás anyagának fajlagos ellenállása, vagyis miből van az ellenállás, ha a keresztmetszetének átmérője [mm] és hossza 510 [m]. ([Ω], 0,0175 [Ω mmp m], réz). * * * 31

B 5B A Kirchoff törvényekkel és az eredő ellenállásokkal kapcsolatos példák. 1.6 A /1.0 ábra jelölései szerint B1B 5[A], BB 4[A], B3B [A], B4B 1[A]. Mekkora az B5 Báramerősség? /1.0. ábra 1 5 4 3 Megoldás: A csomóponti törvény értelmében: 5 + 4 - - 1 - B5B 0 ; 6[A] ; * * * 1.7 A /1.1 ábra jelölései szerint B1B[V], BB8[V], B1B1[V], BB1,5[V], B3B[V]. Mekkora az B4 Bfeszültségesés? A körüljárási irány legyen az óramutató járásával megegyező. /1.1. ábra 1 1 1 3 4 3 4 Megoldás: 3

B1B - - - B1B + BB BB - B4B - B3B 0 ; - 1 + 8-1,5 - B4B - 0 ; B4B 5,5 [V]; Megj.: Az eredmény pozitív, tehát az ismeretlen feszültségre felvett feltételezett irány a tényleges iránnyal megegyező. * * * 1.8 Az 1.7 példában szereplő B1B[V]-os energiaforrás kapcsait cseréljük fel (/1.. ábra), és határozzuk meg így is az B4B feszültséget. /1. ábra 1 1 1 3 4 3 4 Megoldás: -B1B - B1B + BB BB - B4B - B3B 0 ; - - 1 + 8-1,5 - B4B - 0 ; B4B 1,5 [V]; Megj.: A felvett feltételezett feszültség iránya (B4B), itt is megegyezik a valós B4B feszültség irányával. * * * Példák az eredőellenállás kiszámolására 1.9 Számolja ki a /1.3 ábrán megadott kapcsolás A és B pontjai között lévő eredőellenállás nagyságát. Az egyes ellenállások értékei megegyeznek az ellenállások indexeivel, Pl.: B1B 1[Ω], BB [Ω],...etc. 33

+ + + x /1.3. ábra 5 A 1 3 4 6 B 7 Megj.: A példa számolásánál a fokozatos egyszerűsítésre törekszünk. Először kiszámoljuk a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét (B34B, B567B), majd pedig az így kapott eredőket összegezzük, lásd /1.4. ábra. Megoldás: Gyakorlottabbak számára mindjárt felírható az ábrából a végső eredőellenállás képlete: BABB B1B BB (B3B x B4B) + (B5B x B6B B7B) ; (5) Nézzük meg, hogy hogyan is jutottunk el ehhez a képlethez. Az ábrán az ellenállásokat feloszthatjuk sorosan és párhuzamosan kapcsolt ellenállások csoportjaira. Így kapjuk a részleges eredő ellenállásokat: B1B B1B BB 3[Ω]; 34 x 3 4. 3 3 4 + 4 1 [ Ω]; 7 567 x 5 6 x 7. 5 6. 5 + 5 6.. 7 7 + 6. 7 10 [ Ω]; 107 Ha berajzoljuk ezeket a részleges eredő ellenállásokat az eredeti ábránkba, kapjuk a sokkal egyszerűbb /1.4. ábrát, ahonnét az BABB eredőellenállás nagysága már a soros kapcsolás alapján nyilvánvaló: BABB B1B + B34B + B567B; 34

BABB 6,677[Ω]; ami megfelel az (5) egyenletnek is. /1.4. ábra A 1 34 567 * * * B 1.10 Számoljuk ki az A és B pontok között lévő eredőellenállás nagyságát az adott kapcsolási rajz (lásd /1.5. ábra), alapján. Az ellenállások értékei megegyeznek az ellenállások indexszeivel. /1.5.ábra 5 6 A 1 7 10 11 B 3 4 8 9 Megoldás: BABB B1B+ {(BB+B5B) x [B4B+ (B6BxB7BxB8B) + B10B] x (B3B+B9B)} + B11B [15,47 Ω] ; A fokozatos egyszerűsítéssel kapott képletek és ábrák: 35

/1.6.ábra 5 A 1 C 4 678 10 11 D B 39 AB 1 +[ 5 x( 4 + 678 + 10 )x 39 ]+ 11 ; 5 + 5 ; 678 6 x 7 x 8 ; 39 3 + 9 ; Az egyszerűsítésnél mindig a csomópontok közti ellenállásokat vonjuk össze. Tehát a C és D csomópontok között sorosan találjuk az B4,B B678B,, B10B ellenállásokat. Ezeket összeadva kapjuk a /1.7. ábrát. Majd a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének kiszámolásával a kapcsolásunk három sorosan kapcsolt ellenállásra csökken, aminek az eredője már egyértelműen adja az BABB ellenállást. Ahol BABB B1B+BCDB+B11B ; BCDB B5B x (B4B+B678B+B10B)xB39B ; 36

/1.7.ábra 5 A 1 C 467810 D 11 B 39 C és D pontok közti párhuzamos kapcsolás * * * Eredőellenállások számolása híd-kapcsolású áramköröknél Megj.: Figyeljük meg a következő két példa közti különbséget! 1.11 Számoljuk ki az A és B pontok között lévő eredőellenállás nagyságát az adott kapcsolási rajz (lásd: /1.8 ábra), alapján. Az ellenállások értékei megegyeznek az ellenállások indexszeivel. 37

B1B sorosan B4B sorosan B3B párhuzamosan C /1.8. ábra 1 A 3 B 4 5 D Megoldás: Az ábrából láthatjuk, hogy amennyiben az A és B pontok között lévő ellenállások eredőjének (BABB) nagyságát keressük, (takarjuk le a C és D vezetékeket) nincs nehéz feladatunk, ugyanis felismerhető, hogy az ellenállások vegyes kapcsolást alkotnak. Vagyis: BB B1B (B1BB1B+BB); B5B B45B (B45BB4B+B5B); B1B és B45B (BABBB3BxB1BxB45B); Ezekből már felírható az alapképlet, ami alapján az eredőellenállás könnyen kiszámolható. A jobb érthetőség kedvéért az ábra átrajzolható a következő alakba. (lásd /1.9.ábra) 38

/1.9.ábra C 1 A 3 4 5 B D Ezek után: B1BB1B+BB3[Ω]; B45BB4B+B5B9[Ω]; AB x x 1 3 45.. 1 3 45. +. +. 1 3 1 45 3 45 81 [ Ω ]; 63 * * * 1.1 Az 1.11 példában megadott /1.8. ábra alapján számoljuk ki a C és D pontok közötti ellenállások BCDB eredőjének nagyságát. Az ellenállások értékei megegyeznek az ellenállások indexszeivel. Megoldás: Ebben az esetben, a jobb érthetőség kedvéért, az A és B vezetékeket takarjuk le. Ekkor azonban látjuk, hogy az ellenállások a C és D pontok között úgy vannak kapcsolva, hogy ún. hidat alkotnak. Ezt kell nekünk valahogy úgy átalakítani, hogy valamilyen vegyes kapcsolású rendszert kapjunk. Ha figyelmesen megnézzük a /1.8 ábrát, két háromszöget (deltakapcsolás) fedezhetünk fel rajta, az ABC és az ABD háromszögeket. Ezekből, ha bármelyiket átalakítjuk csillaggá, egy vegyes kapcsolású rendszert kapunk. (Lásd /1.30, /1.31. ábra.) 39

/1.30.ábra C Az "ABC" háromszög. 1 A 3 4 5 B A /1.8.ábra értelmezése az 1.1 példára (ez az ábra csak vízszintes és függő leges vonalakat használ.) D /1.31 ábra C 1 13 3 A B 4 5 Az "ABC" háromszög csillaggá alakítva. D A vegyes kapcsolású rendszerben viszont a transzformációs képletek segítségével, (lásd - Ellenállások híd-kapcsolása: delta-csillag átalakítás) ki kell számolnunk az B1B, B3B, B13B ellenállások értékeit. Ezek után a feladatunk már triviálissá válik. BCDBB1B+[(B13B+B4B) x (B3B+B5B)]; 40

1 13 3 1. + + 1 3 1. 3 + + 1 3. 3 + + 1 3 0, 333[ Ω]; 6 3 05,[ Ω]; 6 6 1[ Ω]; 6 + ( 13 + 4 ).( 3 + 5 ) 1 CD 1 + ( + ) + ( + ) 3 13 4 3 5 456,. 45+ 6, 904[ Ω ];, * * * További példák az eredőellenállás kiszámolásának gyakorlására 1.13 Számolja ki a megadott ábrán (/1.3) lévő kapcsolások BABB eredő ellenállásait! Az ellenállások értékei megegyeznek az ellenállások indexszeivel. 41

B7B // B1B // és sorosan vagy sorosan háromszögeket háromszögeket /1.3. ábra b.) a.) 1 5 1 B A 3 4 B A 3 6 4 4 B c.) d.) 3 B 1 5 1 4 3 A A B 3 e.) 1 7 4 A 6 5 Útmutató a példák megoldásához: a.) BABB B1B+ (BBxB3BxB4B); b.) B1B, BB, B3B B4B, B5B, B6B csillaggá alakítani. c.) BABB [(B1B+BB) x (B3B+B4B)]; d.) B1B, BB, B3B B3B, B4B, B5B csillaggá alakítani. e.) B3B, B4B, B5B B345B, B345B B3457B, Megj.: // - párhuzamos kapcsolás jelölése, BB, B3457B, B6B B34567B, ami egyenértékű a x jelöléssel, lásd példa. B34567B BABB; 4

* * * Néhány alapmetódus az egyenáramú példák megoldásával kapcsolatban Eredőellenállás segítségével való számolás Általában akkor használatos, ha a rendszerben az ellenállás kapcsolásunk aránylag bonyolult és mi csak a rendszer egy bizonyos ágában folyó áramra vagyunk kíváncsiak. Ekkor az ellenállásokat egy, vagy két eredő ellenállásra redukálhatjuk. 1.14 A megadott /1.33. ábra alapján számolja ki az egyenáramú táp által kibocsátott áram nagyságát! Megadott adatok: 4[V], B1B1[Ω], BB13[Ω], B3B14[Ω], B4B16[Ω], B5B17[Ω], B6B18[Ω]. /1.33. ábra 1 A B 3 4 5 6 Megoldás: Az ellenállás hálózatot helyettesíthetjük egy eredő ellenállással (BeB), ezután a feladatunk is már triviálissá válik. Lásd /1.34. ábra. Az eredőellenállás számolásánál az egyszerűsítés útján az egyenáramú táptól legtávolabb eső ellenállással indulunk el, majd fokozatosan haladunk a táp felé. Mindig a csomópontok között lévő ellenállások egymáshoz való viszonyát figyelembe véve számolunk. B36B B3B+B6B3[Ω]; 43

áram 5. 36 17. 3 536 5 // 36 1110, [ Ω]; + 17 + 3 + 13 + 11, 10 4, 10[ Ω]; 356 356 4. 356 16. 4, 10 3456 4 // 356 9, 616[ Ω]; + 16 + 4, 10 + 1, 616[ Ω]; e 1 3456 5 36 4 356 /1.34. ábra e1,616[ω] 4 1110, [ A]; 1, 616 e * * * Kirchoff törvények alkalmazása 1.15 Az 1.14 példában megadott adatok és /1.33. ábra alapján számoljuk ki az BB nagyságát! Megoldás: Kiszámoljuk az B356B részleges eredő ellenállást, így az ábránk merőben leegyszerűsítődik, (lásd /1.35.ábra) majd alkalmazzuk a Kirchoff törvényeket. B36B B3B+B6B3[Ω]; 5. 36 17. 3 536 5 // 36 1110, [ Ω]; 5 + 36 17 + 3 + 13 + 11, 10 4, 10[ Ω]; 356 356 44

1 /1.35. ábra 1 A 4 4 + +.. 356 4,10[Ω 356 A /1.35. ábrán láthatunk két hurkot, amit római számokkal jelöltünk (.,.), a két huroknak megadtuk az értelmezését (+), továbbá megjelöltünk egy csomópontot is (A). Mindegyik hurokra és a csomópontra is fel tudunk írni egy-egy egyenletet, így a három egyenletből ki tudjuk számolni az összes szükséges adatunkat. 1.) (A) -BB-B4 B 0; (1.).) (.) -+B1B+B4 B 0; (.) 3.) (.) B356 B-B4 B 0; (3.) Az B1B, B4B, B356B a megfelelő ellenállásokon eső feszültségek, kifejezhetőek az Ohm törvény értelmében a rajtuk keresztül folyó áramok segítségével. B1B.B1B; (4.) B4B B4B.B4B; (5.) B356B BB.B356B; (6.) A 4, 5, 6 egyenleteket visszahelyettesítve az 1,, 3 -ba egy egyenletrendszert kapunk három ismeretlennel, aminek többféle matematikai megoldását is ismerjük. Ezeből: -BB-B4 B 0; -4+.B1B+B4B.B4 B 0; BB.B356 B- B4B.B4 B 0; 45

BAB BB B4B ellenálláson 1,110 [A]; 0,443[A]; 0,667[A]; ( Megj.: mivel az áramok pozitív előjellel jöttek ki a számolás alapján, ez azt jelzi, hogy a feltételezett áramirányok megegyeznek a valós áramirányokkal.) * * * 1.16 A megadott adatok és a /1.36 ábra alapján számoljuk ki az A csomópontban lévő feszültség nagyságát a nulla (föld) feszültséghez képest. Az adatok: 4[V], B1B1[Ω], B4B16[Ω], B356B4,10[Ω]. 1 /1.36. ábra 1 A 4 4 + +.. 356 4,10[Ω 356 Megoldás: Kiszámoljuk az -áram nagyságát az előzőekben tanult módszerek valamelyikével (eredőellenállás, Kirchoff törvények), majd az Ohm törvény segítségével kiszámoljuk, hogy ez az áram () mekkora feszültségesést hoz létre az B1B (B1B). Végül az A pontban lévő feszültséget megkapjuk, ha a tápfeszültségből () kivonjuk a kapott B1B feszültséget. Az előző példa alapján 1,110[A]; B1B. B1B 13,3[V]; - B1B 10,677[V]; 46

* * * 1.17 Az 1.16 példához hasonlóan, az 1.14 példa adataival és a /1.33 ábra alapján számolja ki a B pontban lévő feszültséget ( BB?). * * * Maxwell ciklusok segítségével való számolás A módszert Maxwell (1831-1879) dolgozta ki, innét az elnevezés. tt ún. hurokáramokkal (BS1B, BS,... B) számolunk. Ezeket a hurokáramokat választjuk ismeretlennek, így az egyenletrendszerünk leredukálódik, vagyis kevesebb egyenlettel dolgozhatunk, mint a Kirchoff törvények egyenes alkalmazásánál. Ebből adódik, hogy általában bonyolultabb áramkörök számolásánál alkalmazzuk ezt a módszert. A módszer megértése érdekében figyeljük meg a következő példát, egyelőre adatok nélkül. 1.18 Fejezze ki az egyes ágakban folyó áramokat a Maxwellciklusos módszer segítségével! Lásd /1.37. ábra. Megj.: Az ábrán találunk három csomópontot: A, B, C. A hurokáramok pozitív értelmezése is adott. (+BS1B, +BSB, +BS3B). /1.37 ábra 3 1 A 3 B 5 1 3 5 + S1 + S + S3 4 1 4 5 C Megoldás: 47

B1B BB - - 0 - ; ; 1. Ha a feladatot a Kirchoff törvények egyenes alkalmazásával szeretnénk megoldani, akkor a három hurokra és a két csomópontra felírhatnánk összesen öt egyenletet. Vagyis öt egyenletből álló egyenletrendszert kellene megoldanunk.. A Maxwell ciklusok alkalmazásával a megoldás három egyenletből álló egyenletrendszerre redukálódik: (B1B+BB).BS1B - BB.BSB + BB B1B 0 ; (1) (BB+B3B+B4B).BSB - BB.BS1B - B4B.BS3B + B3B BB () (B4B+B5B).BS3B - B4B.BSB - B5B 0 ; (3) Láthatjuk, hogy a hurokáramokat a huroktörvény értelmében használjuk. Két hurokáram találkozásánál figyelembe vesszük egymáshoz képest lévő irányaikat, lásd (1): -BB.BSB, tag. endezve (mátrixos alakra előkészítve) az egyenletrendszert a következő alakot kapjuk: (B1B+BB).BS1B - BB.BSB B1 B- BB - BB.BS1B + (BB+B3B+B4B).BSB - B4B.BS3B BB B3B - B4B.BSB + (B4B+B5B).BS3B B5B; A feladat innét már matematikai feladattá redukálódik. Az ismeretlenjeink az BS1B, BSB, BS3B, amik valójában csak képzetes áramok. Ezekből a valódi áramokat - az ábra alapján- a következőképpen kapjuk: BS1B, B3B BSB, B5B BS1B -BSB, B4B BS3B, BS3B - BSB, Az egyenletrendszerek megoldásának egyik leggyakoribb matematikai módszere a rendszer mátrixba történő felírása, majd ennek megoldása. A mi esetünkben az egyenletek mátrixos alakja: 48

+ 0 + - B4B + BSB. BSB. BS3B ; P.BSB ; - - ; ; ; B1B+BB - BB B3B -BB BB 0 - B4B B4B B4B BS1B B1B BSB BB B5B B5B BB B3B Vagyis általánosan írható: BSB BSB Ahonnét az ismeretlenek: BSPB -1 * * * 1.19 Az 1.18 példát számolja ki a következő adatokkal, és ellenőrizze a feltételezett áramirányok helyességét! Adatok: B1B4[V], BB1[V], B3B9[V], B5B6[V]; B1B11[Ω],BB1[Ω],B3B13[Ω],B4B14[Ω],B5B15[Ω]; Feladat: B1B?, BB?, B3B?, B4B?, B5B? A szuperpozíció elv * * * Általában több tápfeszültséggel ellátott lineáris (egyenáramú) áramköröknél alkalmazzák. A számolás szóbeli definíciója a következőképpen hangozhatna: A több tápfeszültséggel táplált lineáris áramkör áramai adottak az egyes önálló tápok által adott részleges áramok összegeivel. Ezeket a részleges áramokat megkapjuk, ha az áramkört megoldjuk különkülön mindegyik tápra egyenként, míg a többi, "nem aktuális" tápokat rövidre zárjuk. (Kiválasztjuk az első tápot a többit egy sima vezetékkel helyettesítjük, és kiszámoljuk az áramkör áramait -vagy csak azt amelyik ágban folyó áramra kíváncsiak vagyunk-, megkapjuk az első részleges áramot. Ezek után ezt megismételjük a második, harmadik,..., tápokkal, így kapjuk a második, harmadik,..., részleges áramokat. Végül ezeket a részleges áramokat összeadjuk, ebből kapjuk az adott ágban folyó valós áramot.) Lásd 1.0 példa. 49

B3PB B3PB P az P az táppal táppal 1.0 Fejezzük ki a /1.38. ábrán megadott kapcsolás alapján a középső ágban folyó áramot (B3B?) a szuperpozíció elv alapján. /1.38 ábra 1 3 3 1 Megoldás: Az előzőekben megfogalmazott definíció alapján az ábrát a következőképpen is megrajzolhatjuk. Lásd /1.39. ábra. /1.39. ábra 1 3 3 1 3 3 3 1 3 1 1 B1B BB számított részleges áram: 3 1.. +. +. 1 1 3 3 számított részleges áram: 3. 1. +. +. 1 1 3 3 ; ; 50

áramot B3B P + P áramot Legyen: Ekkor a végleges B3B D B1B.BB+B1B.B3B+BB.B3B ; megkapjuk: B3PB B3PB D 1 1. + ; D * * * 1.1 Az 1.0 példa és a /38. ábra alapján számolja ki az B3B a szuperpozíció elv alapján a következő adatokkal: B1B9[V], BB6[V], B1B15[KΩ], BB0[ KΩ], B3B18[KΩ]. * * * Egyéb gyakorlásra szolgáló példák 1. Számoljuk ki a /1.40. ábrával megadott áramkörben folyó áramok nagyságát. Adatok: 10[V], B1B3[Ω],BB4[Ω],B3B5[Ω]. a.) Mekkora az áramkör teljesítménye? b.) Számoljuk ki a feladatot a Kirchoff törvények alkalmazásával. c.) Számoljuk ki a feladatot a Maxwell-ciklusok segítségével. /1.40. ábra 1 1 A 3 3 Megoldás: a.) Az ábrából látható, hogy az ellenállásaink egyszerű vegyes kapcsolást alkotnak. Ebből az egyes ágakban folyó áramokra levezethetőek a következő egyenlőségek: 51

P+BB.BPB P+B3B.B3PB P + 3 1. 1. + 1. 3 +. 3 3. 1. + 1. 3 +. 3 3.. +. +. 1 1 3 3 A teljesítményre érvényes: P.B1B B1B.B1PB 10.( 4 + 5), 98[ A]; 34. + 35. + 45. 10. 5 1, 77[ A]; 34. + 35. + 45. 10. 4 10, 1[ A] 34. + 35. + 45. 757,6 [W]; Megj.: a b.) és c.) esetekben a teljesítményekkel nem kell számolnunk. * * * 1.3 Számoljuk ki a /1.41a ábrán megadott kapcsolás BABB eredő ellenállását! /1.41. ábra a.) 1 [Ω] C 4 3[Ω] A 6[Ω] 3 [Ω] B D 5 5[Ω] b.) 1 C C A B B D D 5

Megoldás: A "BCD" háromszöget csillaggá alakítjuk, lásd /1.41b. ábra, majd a konverziós képletek segítségével kiszámoljuk az BB, BCB, BDB ellenállások értékeit. tána az eredőellenállás nagyságát szintén a 38-b. ábra alapján írjuk fel. C B D 3. 4 3. 06,[ Ω]; + + + 3 + 5 3 4 5 4. 5 35. + + + 3 + 5 15,[ Ω]; 3 4 5 3. 5 5. + + + 3 + 5 1 [ Ω]; 3 4 5 És az eredőellenállás: AB ( 1 + C).( + D) + B 3, 396[ Ω ]; + + + 1 C * * * D 1.4 Számoljuk ki a /1.4 ábrán megadott áramkör áramait a következő adatok segítségével : 10[V], B1B10[Ω],BB4[Ω],B3B6[Ω],B4B6[Ω],B5B40[Ω], B6B40[Ω], B7B0[Ω]. (B1B0,4098[A], BB0,459[A], B3BB4 B 0,1639[A], B5B0,0983[A], B6B0,0655[A]). (Megj.: Az áramok indexszei megegyeznek az egyes ellenállások indexszeivel.) 53

áramot és BCB BAB - - áramok /1.4. ábra 1 1 A 3 3 C 6 5 6 5 7 4 B 4 D * * * 1.5 Állapítsa meg az BCB az B1B, BB, B3B nagyságát az adott ellenállás háromszögben a következő adatokkal : BAB[A], BBB1[A], B1B350[Ω], BB175[Ω], B3B700[Ω]. Lásd /1.43. ábra. A /1.43. ábra A 1 B 1 3 C B 3 C Megoldás: Senkit ne tévesszen meg, hogy az ellenállások háromszögbe vannak kapcsolva. Most nem eredő ellenállást, hanem áramokat számolunk, és ezt a Kirchoff törvények alapján valósítjuk meg. Az BCB a csomóponti törvény alapján ki tudjuk számolni: BAB BB - BCB BB 0 ; 1[A] ; A továbbiakban az egyetlen hurokra felírjuk a huroktörvényt: 54

B3B áramokat. és áramokat BB B3B - B3B BB ellenállásokat, - áramok ; ; segítségével, B1B.B1B - B3B.B3B - BB.BB 0 ; Az BB B3B kifejezzük az BAB, BB, és B1B egyismeretlenes egyenletet kapunk. és így B1B.B1B - B3B.( BB - BB - BAB B1B B1B B1B) - BB.(BAB - B1B) 0 ; 1 3. B +. A 7001. + 175. 0, 8571[ A]; 1 + + 3 350 + 175 + 700 BAB B1B 1,149[A]; BB - B1B 0,149[A]; Megj.: Számolhatunk úgy is, hogy a háromszöget áttranszformáljuk csillaggá, (kapunk BAB, BBB, BCB amiknek az értékeit ki kell számolnunk). Kiszámoljuk az egyes végpontok közti feszültségeket (BACB, BCBB, BABB), majd ezekből kiszámoljuk az B1B, BB, Ez a módszer számolásigényesebb! b.) Ellenőrizzük le az B1B, BB, B3B módszerrel! helyességét csillag * * * 1.6 A /1.44. ábra és a megadott adatok alapján számoljuk ki az egyes ágakban folyó áramok nagyságát, a.) a Kirchoff törvények segítségével b.) a Maxwell-ciklusok segítségével c.) a szuperpozíció elv alapján. Adatok: BAB10[V], BB8[V], BCB4[V], B1B6[Ω], BB4[Ω], B3B[Ω]. (B1B0,6364[A], BB0,4545[A], B3B1,091[A]). 55

ellenállásokkal ellenállások /1.44. ábra 1 3 1 3 A B C * * * 1.7 A /1.45a. ábrán megadott kapcsolásban számolja ki az egyes tápok által kibocsátott áramok nagyságát! (B1B?, BB?, B3B?). Megadott adatok: BAB18[V], BB10[V], BCB30[V], B1B3[Ω], BBB4BB5B4[Ω], B3BB6B8[Ω]. Megoldás: Mivel az B4B, B5B, B6B alkotott háromszögben lévő áramok minket nem érdekelnek, - csak a tápok által kibocsátott áramokra vagyunk kíváncsiak-, ezért e három ellenállás által alkotott háromszög-kapcsolást átalakítjuk csillaggá.( Lásd: /1.45b. ábra). Továbbá a feladatunkat megoldjuk, a.) Maxwell-ciklusok segítségével b.) Kirchoff törvények segítségével. Mindezek előtt viszont ki kell számolnunk az BAB, BB, BCB értékeit. A B C 4. 6 48. [ Ω]; + + 4 + 4 + 8 4 5 6 4. 5 44. 1[ Ω]; + + 4 + 4 + 8 4 5 6 5. 6 48. [ Ω]; + + 4 + 4 + 8 4 5 6 56

- - /1.45. ábra a.) 6 A 4 B 5 C 1 3 1 3 A B C D b.) X A B C A + S1 B C + S 1 3 A 1 B C 3 D a.) Maxwell-ciklusok segítségével: A hurokáramok BS1B, BSB, egyenletei: (B1B+BAB+BBB+BB).BS1 B+ (BB+ BB).BSB BAB (BB+ BB).BS1B + (BB+ BB+BCB+B3B).BSB BCB behelyettesítve kapjuk: 10 BS1B + 5 BSB 8 ; 5 BS1B + 15 BSB 0 ; BS1B 0,16 [A]; BSB 1,8 [A]; BB ; BB ; 57

BB B1B B3B B1B + + Az egyes ágakban folyó áramok: BS1B 0,16[A]; -BS1B - BSB -1,44[A]; BSB 1,8[A]; * b.) A Kirchoff törvények segítségével: Ebben a példában megmutatunk a Kirchoff törvények alkalmazásának egy további lehetséges módszerét, az ún. szakaszfeszültséggel () való számolást. Maradunk továbbra is a /1.45b. ábránál. Jelöljük: BB B1B+BA B; B B BB+BBB; BB B3B+BCB; Kiszámoljuk az szakaszfeszültség nagyságát: (A jobb megértés érdekében lásd /1.46. ábra) /1.46. ábra X 1 3 Felírjuk az X csomópontra a csomóponti törvényt: BB B3B 0 ; 58

Behelyettesítve az áramok helyére: A B + 1 1 1 A B C ( + + ). + + ; 1 1 1 18 10 30 ( + + ). + + ; 5 5 10 5 5 10 17,[ V]; Az áramokra érvényes: C + 0; 1 3 A B C 18 17, 016, [ A]; 5 10 17, 144, [ A]; 5 30 17, 18, [ A]; 10 * * * 1.8 Oldjuk meg az 1.7 példa adataival a /1.45a. ábrával megadott példát a Maxwell ciklusok segítségével. Figyelem, három hurokáram lesz : BS1B, BSB, BS3B és ebből három egyenlet! ( B1 B BS1 B 0,16[A], B B BS B- BS1 B -1,44[A], B3 B -BS B 1,8[A], B4 B BS1 B- BS3 B 0,44[A], B5 B BSB - BS3 B -1[A], B6 B BS3 B -0,8[A] ). * * * 1.9 A /1.47. ábrán megadott áramkörbe tervezzük be úgy az ellenállás nagyságát, hogy az a maximális teljesítményt nyújtsa. Az BAB50[V], BB60[V]B Btápokat belső ellenállásukkal (B1B[Ω], BB3[Ω]) reprezentáljuk. Állapítsuk meg ezen teljesítmény nagyságát is. 59

BNB / + /1.47. ábra Táplálás A A B 1 B Megoldás: Az ábrából látjuk, hogy a tápunk két egymással párhuzamos forrásból áll. Ezt helyettesítjük, ezekkel ekvivalens egy feszültségforrással, aminek kiszámoljuk a zárlati áramát (BNB), és a belső ellenállását (BNB), majd ehhez méretezzük a terhelő ellenállást. Tudjuk azt, hogy a teljesítmény akkor a maximális, ha a belső ellenállás (BNB) megegyezik a terhelő ellenállással (). Az A és B pontok a terhelés kapcsolódási pontjai a tápra. Az egyes tápok által kibocsátott maximális (zárlati) áramok: BAB BAB BB BB / Az összesen kibocsátott zárlati áram: B1B BB 5[A]; 0[A]; BAB BB 45[A]; A belső ellenállás: 1. N + 1 6 1,[ Ω ]; 5 Belső feszültség: 60