1. témakör: HALMAZELMÉLET A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Halmazok: 8-9. oldal 1. Sorold fel az a b x y halmaz összes részhalmazát!. AdottU alaphalmaz, és annak két részhalmaza: U { 01345678910}, A 3456, B 04689. Ábrázold a halmazokat Venn-diagrammon és add meg az AB, AB, A\B, B\A, A és B halmazokat! 3. AdottU alaphalmaz, és annak három részhalmaza: U {0134567891011113}, A 01467101, B 013451013, C 13478. Ábrázold a halmazokat Venn-diagrammon és add meg az alábbi halmazműveletek eredményét: a. A B C b. A B c. A C d. B C e. A B C f. A B g. B C h. A C i. A\B j. C\A k. B l. A BC m. A CB C n. A B C o. A B 1
p. ( A \ B ) C q. ( B \ C ) A r. A B C. 4. Három halmazról a következőket tudjuk: A B C a b c, d e f A B b A B C { e f } A \ C b c d C \ B a e. Határozd meg a halmazokat! 5. Adott két intervallum: A 7 és B 39. Ábrázold az intervallumokat közös számegyenesen! Add meg intervallum jelöléssel az AB, AB, A\B, B\A halmazokat! 6. Tudjuk, hogy egy 8 fős osztályban nincs jelese 3 tanulónak fizikából és 1 tanulónak matematikából. Hány tanulónak van matematikából és fizikából is jeles osztályzata, ha tudjuk, hogy matematikából vagy fizikából 10-en kaptak jelest? 7. Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az első feladatot az indulók 70%-a, a másodikat pedig az indulók 60%-a oldotta meg. Minden induló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen? 8. Egy osztályban a tanév során három kirándulást szerveztek. Az első kiránduláson az osztály 70%-a, a másodikon 80%-a, a harmadikon a 90%-a vett részt. 1 tanuló mindhárom kiránduláson ott volt, a többiek pedig kétszer kirándultak. Hányan járnak az osztályba? 9. Egy iskola 450 tanulója közül 41 szakkörökre, 8 sportkörökre jár, 186 énekkari tag. Szakkörös és sportkörös 115, szakkörös és énekkaros 10, sportkörös és énekkaros 93 tanuló. 54-en szakkörösök, sportkörösök és énekkarosok. Hányan vannak, akik e foglalkozások egyikén sem vesznek részt? 10. Egy 35 fős osztály három feladatból álló dolgozatot írt matematikából. A javítás után a következőket állapította meg a tanár: az elős és a harmadik feladatot 0-an, a második és harmadik feladatot 8-an tudták megoldani csak az első, illetve csak a második feladat két-két tanulónak lett jó
az első vagy második példát 9-en oldották meg jól, és ugyanennyien voltak, akiknek sikerült a harmadik feladat megoldása hibátlan dolgozat mindössze három darab volt. a. Hány tanuló van, aki pontosan két feladatot oldott meg jól? b. Hányan nem tudtak egyetlen feladatot sem megoldani? c. A diákok hány százaléka oldott meg legfeljebb egy példát jól? 11. Hány olyan 50-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely nem osztható sem kettővel, sem öttel, sem héttel? 1. Rajzold fel a tanult számhalmazok egymáshoz való viszonyát (N, Z, Q, Q*, R) Igaz-e? a. R Q* b. Q* R c. R\Q=Z d. N Z e. N Z=Q. Vegyes, több témakört érintő feladatok: 13. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! x 1 x a. 1 3 5 b. x x 0 c. Legyen A az a) pontbeli, B pedig a b) pontbeli egyenlőtlenség megoldásainak halmaza. Add meg az A B, A B és B \ A halmazokat! 14. Egy osztályban a következő háromféle sportkört hirdették meg: kosárlabda, foci és röplabda. Az osztály 30 tanulója közül kosárlabdára 14, focira 19, röplabdára 14 tanuló jelentkezett. Ketten egyik sportra sem jelentkeztek. Három gyerek kosárlabdázik és focizik, de nem röplabdázik, hatan fociznak és röplabdáznak, de nem kosaraznak, ketten pedig kosárlabdáznak és röplabdáznak, de nem fociznak. Négyen mind a háromféle sportot űzik. a. Írd be a megadott halmazábrába a szövegnek megfelelő számokat! 3
b. A focira jelentkezett 19 tanulóból öten vehetnek részt egy edzőtáborban. Igazold, hogy több, mint 10 000-féleképpen lehet kiválasztani öt tanulót! 15. Egy 8 fős osztályban összeszámolták, kinek hány nyelvvizsgája van, és a következőket állapították meg. Angol és német 4 főnek, német és francia 3 főnek, csak angol 10 főnek van. A német nyelvvizsgával rendelkezők száma 11. Angolul vagy franciául 1 diák beszél. A csak francia nyelvvizsgával rendelkező diákok száma ugyanannyi, mint ahány diáknak angol és francia nyelvvizsgája is van. Nincs olyan tanuló, aki mindhárom nyelven beszél. a. Hányan vizsgáztak angolból illetve franciából sikeresen ebből az osztályból? b. Hány főnek nincs nyelvvizsgája az osztályból? c. Hány olyan tanuló van, akinek van angol, de nincs francia nyelvvizsgája? d. Azon a tanulók nevét, akiknek nincs nyelvvizsgája hányféle sorrendben sorolhatjuk fel? e. Az angol nyelvvizsgával rendelkező tanulók közül kiválasztunk hármat, egy testvériskolai pályázatban való részvételre. Hányféleképpen választhatjuk ki a három tanulót, ha tudjuk, hogy mindannyian különböző feladatot végeznek a projektben? 16. Három kirándulást szerveztünk egy évben az osztályunk 3 tanulójának. Mindenki volt legalább az egyiken. A pontosan két túrán részt vevők száma kétszer annyi, mint azoké, akik mindhárom túrán ott voltak. Pontosan egy kiránduláson 10-zel kevesebben voltak, mint azok, akik legalább kettőn vettek részt. a. Hányan voltak pontosan egy, kettő illetve mindhárom túrán? b. Az első túrán 1-gyel, a másodikon 5-tel kevesebben voltak, mint a harmadikon. Hányan voltak az egyes kirándulásokon? c. Az osztály fiú tanulói sakkbajnokságot szerveztek, amelyen minden résztvevő kétszer játszott a többiekkel. Hány fiú vett részt a bajnokságon, ha 18 parti zajlott le? 4
17. Adott az A {0468 } halmaz. a. Hány olyan részhalmaza van A -nak, amely tartalmazza a 0-t? b. Az A halmaz elemeiből ötjegyű számokat képzünk úgy, hogy minden elemet pontosan egyszer használunk fel. Kaphatunk-e 6-tal osztható ötjegyű számot? c. Az A halmaz elemeiből ötjegyű számokat képzünk úgy, hogy minden elemet többször is felhasználhatunk. Hány darab öttel osztható számot kaphatunk? d. Melyik a legnagyobb, illetve legkisebb 8-cal osztható ötjegyű szám, amelyet a b) rész módszerével kaphatunk? 18. Legyen az A halmaz az halmaz pedig az x 10 x 1 f ( x) függvény értelmezési tartománya, a B x x 35 egyenlőtlenség megoldáshalmaza. a. Ábrázold közös számegyenesen a két halmazt! b. Add meg az A B, A B és A \ B halmazokat! Felhasznált irodalom: Kosztolányi-Kovács-Pintér-Urbán-Vincze: Sokszínű matematika 9. [Mozaik Kiadó] Kosztolányi-Kovács-Pintér-Urbán-Vincze: Sokszínű matematika 1. [Mozaik Kiadó] Hajnal Imre: Matematika 9. [Nemzeti Tankönyvkiadó] Egységes érettségi feladatgyűjtemény [Konsept-H Könyvkiadó] Reiner Ferenc: Kisérettségi feladatsorok matematikából 9-10. évfolyam [Maxim Kiadó] Fröchlich-Ruff-Tóth: Plusz 15 próbaérettségi matematikából, középszint-írásbeli [Maxim Kiadó] Fuksz-Reiner: Színes érettségi feladatsorok matematikából, középszint-írásbeli [Maxim Kiadó] Korábbi évek érettségi feladatsorai Oktatási Hivatal honlapja [ www.oktatas.hu ] 5