TÉMAKÖRÖK: 1. Kombinatorika 2. Valószínűség számítás 3. Gráfelmélet és Logika. Egyenletek 5. Egyenlőtlenségek 6. Algebrai azonosságok 7. Függvények 8. Halmazok 9. Trigonometria 10. Síkgeometria 11. Térgeometria (Felszín, térfogat) 12. Koordinátageometria, vektorok 13. Statisztika 1. Hatvány, Gyök 15. Logaritmus, eponenciális 16. Sorozatok 17. Oszthatóság I. Kombinatorika feladatok 1. Mit értünk n faktoriális alatt? (Milyen feladatban lehetne alkalmazni például a 3 faktoriálist? ) 2. Hányféle 5 jegyű szám készíthető a 0, 3, 5, 6,7 számjegyekből? 3. Számítsa ki értékét!. Hányféleképp választhatunk ki 8 féle fagyiból 3 félét? 5. Egy ötfős társaságban hány kézfogás történik, ha mindenki mindenkivel kezet fog egyszer? 6. Egy ötfős család tagjai hányféleképp ülhetnek le egy étteremben egy kerek asztal köré? 7. Egy 5 házból álló házsort szeretnének kifesteni? Hányféle kifestés létezik, ha 7 féle színből lehet választani, és különböző színű házakat szeretnének? Hányféle kifestés lehetséges, ha a házak egyforma színűek is lehetnek? 8. Hányféle lyukasztás lehetséges az alábbi buszjegyen, ha tudjuk, hogy a lyukasztó 2 vagy 3 számot lyukaszt ki a 9 közül? 1 2 3 5 6 7 8 9 II. Valószínűség számítási feladatok 9. Mit jelöl a következő kifejezés: P(A) = 2 Lehetséges ez? 10. Szabályos dobókockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy 1-est vagy 6-ost dobunk? 11. Szabályos dobókockával dobunk. Határozza meg mi a biztos, illetve a lehetetlen esemény ebben az esetben? 12. Egy ládában 100 alkatrész van, közöttük 5 selejt. Véletlenszerűen kiválasztunk a ládából egy alkatrészt. Mekkora valószínűséggel lesz a kiválasztott darab hibátlan? 13. Két szabályos dobókockával dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz a dobott számok összege 3?
1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy háromgyermekes családban csak egynemű gyermekek születnek, ha a lányok és fiúk születésének valószínűsége egyenlő? III. Gráfelmélet, Logika 15. Határozza meg a következő kijelentés logikai értékét! Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik befogó nagyobb, mint az átfogó. A 20 osztható 5-tel és a 20 osztható 6-tal. A Gellért hegy magas. 80 százaléknál kevesebbet értem el a matematika írásbeli érettségi vizsgán. 16. Határozza meg az alábbi gráf csúcsainak fokszámának összegét: 17. Négyen találkoznak. Senki nem fog kezet, akivel aznap már találkozott, de mindenki mással igen. Összesen kézfogás történt. Hány kézfogásra nem került sor? Lehetséges-e, hogy valaki senkivel sem fogott kezet? IV. Egyenletek, egyenletrendszerek 2 18. Határozza meg a következő másodfokú egyenlet diszkriminánsának értékét! 5 + 3 = 0 2 19. Hány valós gyöke van a következő egyenletnek? 6 + 9 = 0 20. Egy állampolgár bruttó 120000Ft-t keres havonta, amelyből 18% személyi jövedelemadót fizet. Mennyi pénze marad a személyi jövedelemadó levonása után? 21. Egy bankba 100000Ft megtakarítást helyeztünk el évi 7%-os kamatos kamatra. Mekkora lesz ezen a számlán az összeg 3 év elteltével? 22. Egy szállodában 2 szoba van, összesen 6 férőhellyel. A szobák két-, illetve háromágyasak. Hány kétágyas szoba van? 23. Egy bank 8 %-os kamatot ad évente. Mennyi pénzt tegyünk be fi kamatozású, tartós betétre, hogy 10 év eltelte után 2 millió forintunk legyen? 2. Egy cipő árából engedtek 10%-ot, majd egy újabb leárazásnál még 10%-t engedtek a már kedvezőbb árból. Mennyibe kerülhetett eredetileg a cipő, ha második leárazás után 9720Ft-ért lehetett elhozni. 25. Két ládában együtt 90kg alma van. Azt is tudjuk, hogy az első ládában lévő almák 25%-a ugyanannyi, mint a második ládában lévő almák 20%-a. Mennyi alma van a ládákban? 26. Egy iskola tanulóinak 8%-a jelest, 2%-a jót, 23%-a elégségest, és 5%-a elégtelent kapott matematikából a félévi osztályozás során. Hányan járnak ebbe az iskolába, ha 20-en közepes matematika jegyet kaptak? V. Egyenlőtlenségek 27. Mely valós számokra értelmezhető a következő kifejezés? 3 15 28. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! 3 0 2 3 VI. Algebrai azonosságok 29. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést? 2 9
30. Algebrai azonosságok felhasználásával végezze el a zárójelfelbontást: ( 3 ) 2 = 31. Egyszerűsítse a következő törtet! VII. Függvények + 3 2 36 32. Adja meg az f ( ) = függvény értelmezési tartományát és értékkészletét! 33. Határozza meg az f ( ) = 2 függvény zérushelyét. 3. A f ( ) = függvény [-2;3] intervallumon értelmezett. Határozza meg a szélsőértékeit! 35. Ábrázolja az ) ( 2) 1 f ( = + 2 függvényt. Határozza meg szélsőértékét és zérushelyét! 36. Egy függvény hozzárendelési szabálya f ( ) = 3 + 1 Milyen értéket vesz fel ez a függvény a (-2) helyen? Hol veszi fel ez a függvény a 2 értéket? VIII. Halmazok 37. Ábrázolja az A={2,5,7,8} és a B={3,5,6,8} halmazokat Venn-diagramon és határozza meg az A B A B és az A B halmazt. 38. Sorolja fel a {2,,5,6,8} halmaz kételemű részhalmazait! 39. Egy25 fős osztályból 12-en egyetemre, 15-en főiskolára adták be a jelentkezésüket. 5 diák egyetemre és főiskolára is jelentkezett Hányan nem akarnak tovább tanulni? IX. Trigonometria 0. Egy derékszögű háromszög befogója 5cm. Ezzel a befogóval szemközti szög 30. Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát! 1. Egy kör középpontjától 12cm-re lévő pontból érintőt húzunk a körhöz. Az érintő szakasz hossza 9cm. Mekkora a kör sugara? 2. Egy 2 méter hosszú emelkedő emelkedési szöge 10 -os. Mennyi a szintkülönbség az emelkedő alja és teteje között? 3. Egy derékszögű háromszög két befogója 15cm és 22cm hosszú. Mekkora a háromszög köré írt kör sugara? Határozza meg a háromszög szögeit, kerületét, és területét.. Egy háromszög három oldala 16cm, 18cm, és 21cm hosszú. Határozza meg a szögeink nagyságát! 5. Egy háromszög 20 cm-es oldalán 2 -os és 6 -os szög található. Határozza meg a hiányzó szöget és az oldalak hosszát. Mekkora a háromszög területe? X. Síkgeometria 6. Mekkorák a szabályos nyolcszög belső szögei? 7. Egy rombusz átlói 6 és cm hosszúak. Határozza meg a területét és kerületét! 8. Egy téglalap alakú telek oldalainak hossza 10 m és 2 m. A tulajdonos a telek egyik sarkában el szeretne keríteni egy négyzet alakú részt konyhakertnek. Az ábrán a tulajdonos vázlatrajza látható. Mekkorák a tervezett négyzet oldalai?
9. Karácsonyra egy nagy piros gömböt vásároltunk ajándékba, melyet a közepén egy aranyszalaggal szeretnénk átkötni. Mennyi szalagot vásároljunk, ha a gömb sugara 18cm és a masni elkészítéséhez 80cm szalagra van szükségünk. 50. Egy tízszintes ház egyik oldalán levő ablakok 2m magasak és 1,5m szélesek. Hány négyzetméter az ablakmentes falfelület, ha minden szinten 10 ablak található, továbbá a ház 35m magas és 20m széles? XI. Térgeometria (Felszín, térfogat) 51. Egy kocka éle 10cm. Határozza meg a testátló hosszát! 52. Egy lakás belmagassága 2,65m. A legnagyobb helység 53m 3 térfogatú. Hány m 2 parkettát kell vennünk ebbe a helységbe, ha parkettázni szeretnénk? 53. Mennyi üdítőitalt öntünk abba a henger alakú pohárba, amelynek átmérője 8cm, magassága 12cm, ha a pohár magasságának háromnegyedéig töltjük az italt? 5. Hány négyzetméter csempét kell vásárolnunk egy szabályos négyszög alapú, függőleges falú medence kicsempézéséhez, ha a medence oldala 3m hosszú és mélysége 1,5m? (A burkoláshoz a tényleges méretnél 10%-kal többet kell vásárolnunk; a medence alját és oldalát csempézzük.) 55. Egy egyenes forgáskúp alapjának sugara 3cm, a kúp nyílásszöge 60. Mekkora a kúp magassága és alkotója. Számítsa ki a térfogatát és felszínét. XII. Koordinátageometria, vektorok 56. Egy egyenes irányvektorának koordinátái (-3;2)? Határozza meg ezen egyenes normálvektorát. 57. A és B pont koordinátái A(5;-2) és B(;7) Számítsa ki az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit. 58. Egy kör egyenlete (+1) 2 +(y-7) 2 =6 Határozza meg a kör sugarát és középpontjának koordinátáit. 59. Metszik-e egymást az alábbi egyenletekkel megadott egyenesek? Adja meg a metszéspont(ok) koordinátáit = y 2 3 y = 2 + 5 60. Írjuk fel a A(; 8) ponton átmenő és a 3 10y = 2; egyenletű egyenessel párhuzamos, illetve rá merőleges egyenes egyenletét. XIII. Statisztika 61. Gábor a következő jegyeke szerezte meg az érettségin: Magyar nyelv és irodalom: jeles, történelem: jó, Angol nyelv: jó, Matematika elégséges, Földrajz:közepes. Mennyi Gábor érettségi jegyeinek mediánja és átlaga? 62. Egy osztály matematika dolgozatának eredményei a következők: 2,5,,,3,1,5,5,,3,2,2,,3,3,3,,1,,5,5,5,,,5,5,2, Határozza meg az egyes osztályzatok relatív gyakoriságát! Készítsen kördiagramot! 63. Az alábbi táblázat egy téli hónap két hetének napi átlaghőmérsékletét tartalmazza. Készítsen az adatokból diagramot és határozza meg az móduszt, mediánt, átlagot, és szórást!
H K Sze Cs P Szo V 2 0-1 -2-1 -1 0 0 0 1 2 3 0-1 6. Egy gimnáziumban 125 tanuló nyelvi érettségire való jelentkezését mutatja az alábbi ábra. Készítsen adattáblázatot, ha tudjuk, hogy minden tanuló pontosan egy nyelvből jelentkezett az érettségire. 16% 12% 28% 0% angol német Francia Orosz Latin XIV. Hatvány, Gyök, logaritmus, eponenciális 65. Határozza meg a következő hatványok értékét: 5-1 ; (-3) 3 ; ; 7 1 ; 0 36? 1 66. Határozza meg értékét az alábbi feladatokban: log 3 = ; log 32 = 5 ; lg = 100 67. Határozza meg értékét, ha log 3 log 8 = log 3 5 3 5 68. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: = 2 2 69. 100000Ft-t elhelyeztünk egy bankszámlán évi 6%-os kamatos kamatra. Hány év múlva lesz a számlán200000ft-t meghaladó összeg? 70. Oldjuk meg az lg2+lg(5-15)=2 egyenletet. XV. Sorozatok 71. Adjon példát olyan mértani sorozatra, amelynek első tagja 1! 72. Adjon példát olyan számtani sorozatra, amelynek első tagja 1! 73. Egy színházi nézőtér első sorában 20 ülőhely van. Minden további sorban kettővel többen tudnak helyet foglalni, mint az előzőben. Hányan ülhetnek a kilencedik sorban? 7. Egy könyves szekrényben hét polc van. A legalsó polcon 51 könyv van, és minden polcon hárommal kevesebb, mint az alatta levőn. Hány könyv van ebben a könyvszekrényben? XVI. Oszthatóság 75. Osztható-e 2-vel, 3-mal, -gyel, és 6-tal a 83262? 76. Adja meg 500 prímtényezős alakját. 77. Határozza meg a két tört közös nevezőjét: 1 1 ; 20 315 78. Milyen számjegyeket írjunk és y helyére, hogy a 123y szám osztható legyen 15-tel.