(8/1) Sorozatok 1) Egy számtani sorozat első tagja -3, differenciája -17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! 2) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája eleme? 2 3.Mekkora a sorozat negyedik 3) Mennyi annak a számtani sorozatnak a hatodik eleme, amelyiknek a második eleme 13, a differenciája pedig 2 3? 4) Egy számtani sorozat ötödik tagja 8. nyolcadik tagja 14.Mekkora a sorozat első tagja? 5) Egy számtani sorozat első és ötödik tagjának összege 60. Mennyi a sorozat első öt tagjának összege? Válaszát indokolja! 6) Derékszögű háromszög oldalai egy olyan számtani sorozat egymást követő elemei, amelynél a differencia 1 egység. Mekkorák a háromszög oldalai? 7) Szabolcs azt állítja. hogy ha egy háromszög szögei egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkora háromszögnek van a 60 o -os szöge. Igaza van-e? 8) Egy számtani sorozat második és hatodik elemének összege 15. Lehet-e a sorozat minden eleme egész szám? 9) Egy mozi nézőterének húsz sora közül a legelsőn 15 férőhely van és minden következő sorban eggyel több, mint az előtte lévőn. Hányan lehetnek a moziban szombat este a teltházas előadás alatt? 10) Egy számtani sorozat első eleme 5. differenciája 12. Hány kétjegyű eleme van a sorozatnak? 11) Egy vetélkedőn az első öt helyezettet jutalmazták, a helyezések sorrendjében a növekvő jutalmak egy számtani sorozat egymást, követő elemeit alkotják. Az első helyezett nyolcezer, a harmadik helyezett ötezer forintot kapott. Mekkora összeget osztottak ki összesen? 12) A nap április 1-jén 5 óra 24 perckor kel fel. A hónap folyamán naponta kb. 2 perccel korábban van napkelte. Hány órakor kel fel a nap április I 5-én? 13) Tekintsük az a n = (-1) n+1 (2n+1) sorozatot! Mennyi a sorozat első 8 elemének összege? 14) Egy kft. 15 millió Ft (=15mft)-os beszerzési áron gépet vásárol 2001. január elején. Melyik évtől kezdve esik a gép értéke a beszerzési érték háromötöde alá, ha a) évente 300 ezer Ft(=300eFt) vagy; (5pont) b) évente 25%-os értékcsökkenést könyvelnek el? (7pont)
(8/2) Sorozatok 15) 12000 eurót örököltünk, s úgy gondoltuk, hogy szerencsejátékkal megpróbáljuk megnövelni örökségünket, ezért Monte-Carlóba utaztunk. Csakhogy már az első napon 23 eurót vesztettünk, s minden ezt követő napon 6 euróval többet, mint az előzőn. a) Legfeljebb hány napig játszhattunk, ha 225 eurót félre kell tenni a vissza út útiköltségére? (9pont) b) Mennyit veszthetünk a 15., a 25,. Illetve az utolsó napon? 16) Egy számtani sorozat nyolcadik eleme 45, a tizenegyedik eleme pedig a második elemének hétszerese. a) Melyik ez a számtani sorozat? (6pont) b) Hány prímszám van ebben a sorozatban? c) Adja meg a sorozatnak három olyan elemét, melyek egy mértani sorozat egymást követő elemei! 17) Összeadtunk ötvenöt egymást követő pozitív páratlan számot, az összeg értéke 3905. a) Melyik volt az összegben az első, ill. az ötvenötödik páratlan szám? (8pont) b) Melyik az összeadottak között a legkisebb olyan szám, amelynek a prímtényezős felbontásában két különböző prímszám szerepel, és a négyzete ötre végződik? 18) Egy kultúrpalota színháztermének a nézőtere szimmetrikus trapéz alaprajzú, a széksorok a színpadtól távolodva rövidülnek. A leghátsó sorban 20 szék van, és minden megelőző sorban 2-vel több, mint a mögötte lévőben. 500 diák és 10 kísérő tanár pont megtöltik a nézőteret. Hány széksor van a nézőtéren? (12pont) 19) Egy számtani sorozat első eleme 11, differenciája 9. a) Tagja-e a sorozatnak az 569? b) Milyen n-re teljesül, hogy a sorozat első n elemének összege négyjegyű? (7pont) 20) Egy számtani sorozat első eleme 4, differenciája 7. a) Tagja-e a sorozatnak a 2005? b) Hány db háromjegyű tagja van a sorozatnak? (8pont) 21) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5pont) b) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét; 25 863 Igaz-e, hogy 25 863 számjegyeit tetszőleges sorrendben felírva mindig hárommal osztható számot kapunk?(válaszát indokolja!) c) Gábor olyan sorrendben írja fel 25 863 számjegyeit, hogy a kapott szám néggyel osztható legyen. Milyen számjegy állhat a tízes helyiértéken?(válaszát indokolja!)
(8/3) Sorozatok 22) Egy iskola végzősei évfolyam-kirándulásra készülnek, amire előre szeretnék beszedni pénzt. Ha mindenki 750 forintot fizetne, akkor a költségek Fedezéséhez még más forrásból 4400 forintot kellene szerezni, ha azonban mindenki 800 forintot fizetne be, akkor megmaradna 4400 forint felesleg. a) Hányan vannak az évfolyamban? (5pont) b) A kiránduláson estére színházlátogatást szerveznek, a diákokat 10 tanár is elkíséri,.akik a nézőtér első néhány sorát szeretnék elfoglalni. 10 szék van az első sorban és hátrafelé haladva minden sorban eggyel több ülőhely található, mint az előző sorban. Hány sort kell lefoglalnia a társaságnak? (6pont) c) Az évfolyam matematikaátlaga 3,5. Tudjuk, hogy 50-en kaptak jelest, 40-en négyest és 16-an buktak meg. Hányan kaptak hármast és hányan kettest? 23) Angéla a pihenőkertjük egy részére járólapokat fektetett le. Az első sorba 8 járólap került, minden további sorba kettővel több, mint az azt megelőzőbe. Összesen 858 járólapot használt fel. (6pont) a) Hány sort rakott le Angéla? (6pont) A járólapokat 225-ös csomagolásban árusítják. Minden csomagban bordó színű a járólapok 16 %-a, a többi szürke. Angéla 4 csomag járólapot vásárolt. Csak bordó színű lapokat rakott le az első és az utolsó sorba. Ezen kívül a többi sor két szélén levő 1 1 járólap is bordó, az összes többi lerakott járólap szürke. b) Adja meg, hogy hány szürke és hány bordó járólap maradt ki a lerakás után! (6pont) 24) Határozza meg azt a háromjegyű számot, amelyről a következőt tudjuk: a) Számjegyei a felírás sorrendjében egy számtani sorozat egymást követő tagjai; A szám értéke 53,5-szerese a számjegyei összegének; Ha kivonjuk belőle az első és az utolsó jegy felcserélésével kapott háromjegyű számot, akkor 594 az eredmény. (10pont) b) Sorolja fel azokat a 200-nál nagyobb háromjegyű számokat, amelyeknek számjegyei a felírás sorrendjében növekvő számtani sorozat tagjai! c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a b) kérdésben szereplő számok közül véletlenszerűen egyet kiválasztva, a kiválasztott szám osztható 9-cel! 25) Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 220 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon 230 métert, az azutánin 240 métert és így tovább; a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon. a) Hány méter utat aszfaltoz le a 11-edik munkanapon? b) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? (8pont) c) Hány méter utat aszfaltoztak le az utolsó munkanapon? d) A 21-adik napon kétszer annyian dolgoztak, mint az első napon. Igaz-e ez a feltételezés, hogy naponta elkészült út hossza egyenesen arányos a munkások létszámával? (Válaszát indokolja!)
(8/4) Sorozatok 26) Számítógépünk az Internetről jó kapcsolat esetén 128 megabájt adatot tölt le másodpercenként. Egyik este sajnos a hálózat túlterheltsége miatt a letöltés sebessége másodpercről másodpercre csökkent. Elkezdtünk letölteni egy programot, melynek mérete 254 megabájt. A letöltés első másodpercében felére csökkent a letöltött adat mennyisége, majd minden egyes másodpercben megfeleződött. ( a megelőző másodpercekhez képest) ez az érték. a) Mennyi idő alatt töltődik le a program? (8pont) b) Hány másodperc múlva megy a letöltési sebesség a kritikus másodpercenkénti 100 kilobájt alá?(1 megabájt=1024 kilobájt) 27) Nyelvtudomásomat új szavak megtanulásával fejlesztem. Az első napon, hétfőn nyolc új szót tanulok, a hét további napjain, péntekig naponként hárommal többet, mint az előző napon. A szombat és a vasárnap az ellenőrzés, a felmérés napja,- akkor veszem észre, hogy sajnos a szavak ötödét elfelejtettem. a) Hány szót tudok egy hét elteltével? A következő hétfőn már kilenc szót tanulok, majd az azt követő hétfőn tíz szót, és így tovább. Egy héten belül naponként szintén hárommal növelem a megtanulandó szavak számát öt napig, majd hétvégén ugyanúgy elfelejtem a héten tanultak ötödét. Az eljárást negyedéven keresztül ismétlem. (Vegyük a negyedévet 13 hétnek.) b) A megtanult (és nem elfelejtett) szavak hetenként felírom. Milyen sorozatot alkot az így felírt 13 szám? c) Hány új szót jegyzek meg ez a 13. héten? d) Hány új szót jegyzek meg ez alatt a negyedév alatt? e) Valószínűségi próbát végzek az első héten tanult szavakból. Véletlenszerűen kiválasztok közülük kettőt. Mi annak a valószínűsége, hogy mindkettőt tudom? (6pont) 28) Egy számtani sorozatban minden n Є N esetén a n = 4n-2, és valamely k-ra: S k = 72 a) Mennyi a k értéke? b) Mennyi az első 10 tag összege? c) Hány négyzetszám van a sorozat tagjai között? 29) a) Egy szabadtéri színházban a nézőtéren a sorok száma a legnagyobb kétjegyű köbszám. Ha minden sor 30cm-rel van magasabban, mint az öt megelőző és az első sor színpad szintje alatt van 1 méterrel, akkor milyen magasról nézheti (a színpad szintjéhez képest) az előadást az utolsó sorban ülő néző? b) Az első sorban 50 nézőnek van hely, és minden sorban 4-gyel többen férnek el, mint a megelőző sorban. Hány férőhelyes a színház? c) Ha minden jegyet eladnak, akkor a jegyek eladásából a teljes n soron a színház bevétele (forintban) a következő összefüggéssel számolható ki: B(n) = 100000 [ 65 n ] ( ahol [ x ] az x szám egészrészét jelöli). Határozzuk meg a színházjegyekből származó bevételét, ha az előadás teltházas! (5pont)
(8/5) Sorozatok 29) Szabó nagymamának öt unokája van közülük egy lány és négy fiú. Nem szeret leveleket írni, de minden héten ír egy-egy unokájának, így öt hét alatt minden unokája kap levelet. a) Hányféle sorrendben kaphatják az unokák a leveleket az öt hét alatt? b) Ha a nagymama véletlenszerűen döntötte el, hogy melyik héten melyik unokájának írt levél következik, akkor mennyi a valószínűsége, hogy lányunokája levelét az ötödik héten írja meg? Szabó nagymama sálat kötött egyetlen lányunokájának. Az első napon 8cm készült el a sálból, és a nagymama elhatározta, hogy a további napokon minden nap 20%- kal többet köt, mint az előző napon. Ezt az elhatározást tartani tudta c) Hány nap alatt készült el a 2m hosszúra tervezett sál? (11pont) 30) Egy vállalat új termék gyártását kezdte el. Az első héten 200 darab termék készült el, a további hetekben pedig az előző hetinél mindig 3-mal több. a) Hány ilyen terméket gyártottak az indulástól számított 15.héten? b) Ebből a termékből összesen hány készül el egy év (52hét) alatt, ha a termelés végig így növekszik? c) A kezdetektől számítva legalább hány hétnek kell eltelnie, hogy a vállalat erről a termékről kijelenthesse: Az induláshoz képest megduplázódott a hetenkénti előállított termékek száma. (5pont) 31) Egy mértani sorozat első tagja -3, a hányadosa -2. Adja meg a sorozat 5. tagját! Írja le a megoldás menetét! 32) Írja föl az alábbi számsorozat következő két tagját: 2: 6; 18; 54 33) Egy mértani sorozat első tagja 5, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat tizenegyedik tagját! Indokolja a válaszát! 34) Egy mértani sorozat első tagja 8; hányadosa 2 1. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 35) Egy mértani sorozat második eleme 32, hatodik eleme 2. Mekkora a sorozat hányadosa? Írja le a megoldás menetét! 36) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? 37) Egy mértani sorozat első tagja a 1 =2, hányadosa pedig q= 3, akkor mekkora az n-edik tag és mennyi az első n tag összege? 38) Egy mértani sorozat 3. és 7. elemének szorzata 2006. Lehetséges-e, hogy a sorozat minden eleme egész szám? 39) Egy derékszögű háromszög oldalhosszúságai egy mértani sorozat három egymást követő elemei. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? Mekkora a körülírható kör sugara, ha a háromszög kerülete 40 cm? (12pont)
(8/6) Sorozatok 40) Egy szigeten élő rágcsáló populáció 3 havonként az aktuális létszám 20%-ával növekszik Hány évvel ezelőtt voltak 10-en, ha jelenleg a számítások és csapdázások alapján 5 024 000 egyed él a szigeten (12pont) 41) Egy szigeten egy rágcsáló-populáció 6561 egyedből áll Tudjuk, hogy ez a rágcsáló fajta évente 2 alkalommal szaporodik. Minden egyes szaporodási időszak végén az állomány létszáma 1,5 szeresére nő. Hány évvel ezelőtt telepedett meg a szigeten ez a kis rágcsáló, ha kezdetekben a populáció 256 egyedből állt? 42) Egy mértani sorozat első 8 tagját összeadtuk. Ez az összeg 4-szer akkora, mintha e 8 tagból csak a páratlan indexű tagokat adtuk volna össze. a) Mekkora e sorozat hányadosa? b) Adjon meg egy ilyen sorozatot, ahol a 1 = 2! c) Mennyi az első 8 tag összege a b) esetben? (12pont) 43) Egy délafrikai teknősfajta átlagos születési súlya 80 dkg. Ez a fajta teknős életének első 8 évben átlagosan évente 20%-kal növeli testsúlyát, majd a további években átlagosan évente 10%-kal gyarapodik a súlya. a) Mekkora lesz a súlya egy ilyen teknősnek 8 éves korában? (5pont) b) Hány éves korára éri el a 20kg-os testsúlyt? (5pont) c) Egy tenyésztőtelepről elszállítanak 16 db teknőst: 1, 2, 3 8 éves korúakat és minden életkorból 2-2-t. Mekkora az össz. Súlya az elszállítandó teknősöknek? (7pont) 44) Egy igen elterjedt molyfajta nőstényei egy alkalommal körülbelül 150 petét raknak. Egy év alatt 5 szaporodási ciklus van. A peték kétharmada elpusztul kikelés előtt, az életben maradtak fele nőstény. Mindegyik kikelt lepke kb.20 mg (milligramm) gyapjút eszik meg három hónapos élete során. a) Kövesse nyomon az első évben a molyok számának alakulását az első szülőpárt tekintse első generációnak! b) Mennyi gyapjút falnak föl egy év alatt az anyamoly utódai? c) Írjon fel olyan képletet, amely a generációk száma és a megevett gyapjú mennyisége közötti viszonyt fejezi ki! ( A folyamatot tartósnak véve.) 45) Egy mértani sorozat és egy számtani sorozat első tagja 2. A mértani sorozat 3, illetve 5, tagja a számtani sorozat 2., illetve 11.tagjával egyenlő. Mekkora a mértani sorozat 2004. tagja? 46) Egy nem állandó tagú számtani sorozat második eleme 15. Az első, a második és a negyedik tag egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Határozza meg e mértani sorozat hányadosát!
(8/7) Sorozatok 47) Egy mértani sorozat első tagja 5, a sorozat hányadosa q. a) Írja fel ezek felhasználásával ennek a mértani sorozatnak a harmadik és az ötödik tagját! Egy számtani sorozatnak is 5 az első tagja, a sorozat különbsége d. b) Írja fel ezek felhasználásával ennek a számtani sorozatnak a negyedik és a tizenhatodik tagját! c) Határozza meg d és q értékét, ha tudja, hogy a fenti mértani sorozat harmadik és ötödik ragja rendre megegyezik a fenti számtani sorozat negyedik és tizenhatodik tagjával! (13pont) 48) Sanyi a következő feladványt adta barátainak: Az asztalon áll két, téglatest alakú doboz. Az egyik doboz egy csúcsból induló éleinek hossza egy számtani sorozat három szomszédos tagja. A két doboz legrövidebb élének hossza egyenlő. A másik doboz második éle 1cm-rel, a harmadik 6cm-rel hosszabb az első doboz megfelelő élénél. Ez utóbbi doboz éleinek hossza ebben a sorrendben egy mértani sorozat három szomszédos tagja. Annyit még elárulhatok, hogy a kisebbik doboz tizenkét éleinek együttes hossza 84cm. Határozzátok meg mennyivel nagyobb a második doboz térfogata az elsőnél! Oldja meg Sanyi barátaival együtt a feladványt! 49) Egy apa és két különböző korú kisgyermekének életkora ugyanazon prímszám pozitív egész hatványa. Tavaly mindhármuk életkora egy-egy prímszám volt. Hány évesek most? b) Illesszen a gyermekek és az apa idei életkorát jelző számok közé úgy további számo(ka)t, hogy egy számtani sorozat egymás utáni tagjait kapja! c) Mutassa meg, hogy a gyermekek és az apa idei életkorát jelző számok közé nem illeszthetők további számok úgy, hogy az eredeti és a beillesztett számok együtt egy mértani sorozat egymás utáni tagjai legyenek! 49) 10%-os éves lekötésű kamatos kamatra bevettünk a bankba 80 ezer forintot. Mennyire növekszik fel a betett pénzünk két év elteltével? 50) Egy közgazdász-kutató egy tanulmányában hosszú távra évi 5%-os GDP növekedést prognosztizált országának. Jelenleg évi 10 000 USD az egy főre jutó GDP az országban. Mekkora lenne 4 év múlva az egy főre jutó GDP változatlan növekedési ütem és népességszám esetén? 51) Melyik képlet írja le helyesen a bankba évi 7,5 %-os kamatos kamatra, elhelyezett 1 + x Ν euró értékét a betét elhelyezésétől számított x-edik év végén? ( ) a) é ( x) = ( 1 + 0,75) x x 1, 75 x b) é ( x) = 1 + 0,075 c) é ( x) = x d) ( x ) 1,075 x é ( x) = 1,075 é = e) 52) Betettem a bankba fix kamatozásra 50 000 forintot. (17pont) a) Mekkorára növekszik a pénzem a 2 évi 9,2 %-os kamatos kamat mellett? b) Ugyanezt az értéket egy év alatt hány %-os kamattal értük volna el? c) Mennyi lesz a pénzem 2 év elteltével, ha havi lekötést választok és félévente az éves kamatlábak a következők: 9,3% ; 9,1% ; 8,75% ; 8,5%.
(8/8) Sorozatok 53) Csilla és Csongor ikrek, és születésükkor mindkettőjüknek részére takarékkönyvet nyitottak a nagyszülők. 18 éves korukig egyikőjük számlájáról sem vettek fel pénzt. Csilla számlájára a születésekor 500 000 Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg évi 85-kal kamatozik. a) Legfeljebb mekkora összeget vehet fel Csilla a 18. születésnapján a számlájáról, ha a kamat mindvégig 8%? ( A pénzt forintra kerekített értékben Fizeti a bank.) (5pont) Csongor számlájára a születésekor 400 000 Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg félévente kamatozik, mindig azonos kamatlábbal. b) Mekkora ez a félévenkénti kamatláb, ha tudjuk, hogy Csongor a számlájáról a 18. születésnapján 2 millió forintot vehet fel? ( a kamatláb mindvégig állandó.) A kamatlábat két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (7pont) 54) A VAGYONOS Bank GAZDAG nevű betétjének a bruttó éves kamata 100 ezer és 1 millió forint közti összeg esetén: 30 naptól 60 naptól 90 naptól 180 naptól 7,00 % 7,25 % 7,50 % 6,75 % A kamat fix kamat; a lekötés időtartama alatt nem változik. Marci bácsi 400 ezer forintot akar betenni a bankba. A táblázat mutatja, hogy akkor járna a legjobban, ha pénzt 179 napra kötné le. (Ekkor lejáratkor A teljes időtartam a 7,05%-os évi kamatot kapná.) Marci bácsi tudja, hogy 2 hónap múlva szüksége lesz bizonyos összegre, ezért 100 ezer forintot 60 napra, 300 ezret 179 napra köt le. Összesen mennyi kamathoz jut, ha a tervezett futamidőknek megfelelően veszi ki a kamattal megemelt összegeket? 55) Két évre takarékba tettünk 400 ezer forintot, éves lekötésre. A második év végén 552 ezer forintot vehettünk fel. a) Hány %-os volt az átlagos éves pénzgyarapodás? b) A második évben a kamatláb 5 százalékponttal nagyobb volt, mint az elsőben. Hány % volt az első évben a kamatláb? c) Az infláció átlagosan évi 9% volt az eltelt két évben. Hány forintot ért az 552 ezer forint két évvel korábban? 56) a) 2004 januárjában egy bankba elhelyeztünk megtakarított pénzünket, 1 000 000 forintot 9%-os évi kamat mellett. Két év múlva a bank 7%-ra csökkentette a kamatot. Újabb 3 év elteltével bankunk 5%-ra akarta csökkenteni a befektetett pénzünkre vonatkozó kamatlábat, ezért még mielőtt életbe léptek volna az új kamatok, kivettük a számlánkon összegyűlt pénzt. Összesen hány %-al gyarapodott pénzünk az eltelt 5 év alatt? b) 2004 januárjában a dollár árfolyama 230 forint volt, öt év elteltével pedig 320 forint. 2004 januárjában vagy 2009-ben tudunk több dollárt vásárolni a pénzünkből?