Műhelyanulányo Vállalagazaságan Inéze 93 Buaes, Fővá ér 8., 88 Buaes, Pf. 489 (36 ) 48-544, fa: 48-5567, www.uni-orvinus.hu/vallgaz A Neuann-oell, in vállalai oell obos Ire 9. sz. Műhelyanulány HU ISSN 786-33 8. február Buaesi orvinus Egyee Vállalagazaságan Inéze Fővá ér 8. H-93 Buaes Hungary
A Neuann-oell, in vállalai oell obos Ire Logiszia és Elláási Lán Menezsen anszé Vállalagazaságan Inéze H-93 Buaesi orvinus Egyee Fővá ér 8. Hungary Absra. he aer invesigaes he lassial growh oel of John von Neuann. here are only ehnologies in oel of von Neuann. he ai of he aer is o renae ehnologies as firs an i is analyze wheer here are equlibriu ries an quaniies for firs o aiize he oal rofi. he aer rees he lassial assuion abou he ualiy of ries, i.e. i is allowe a nonnegaive rofi of firs. Keywors: Moel of von Neuann, Growh oel, Oiizaion, Maheaial rograing. Absza. A olgoza a lassziusna einheő Neuann-féle növeeési oell vizsgála. Az ereei Neuann-oellben eliien vállalao ne szereelne, sa ehnológiá, vagy eláráso. A olgoza az a él űze i, hogy az egyes ehnológiána vállalaoa feleessen eg, és az vizsgála, hogy az ilyen gazaságban léezne-e olyan egoláso, aelye elle a vállalao aializálá a nyereségüe. Enne vizsgálaa özben el ell veni a Neuann álal feléeleze neoziív nyeresége, ai a lasszius özgazaságan ualiáson alauló alafeléelezése. Kulsszava: Neuann-oell, Növeeési oell, Oializálás, Maeaiai rograozás.
. Bevezeés A Neann-oell eini a növeeési és egyensúlyelélee egyi előfuárána. Ugyanaor ez a oell felfoghaó úgy is, in a Kooans (95) álal ifelesze lineáris evéenységelezés inaius válozaa. A oell széles örben uao ne sa az angolszász világban, hane agyar aeaiai özgazaságanban is, sa néhány olgozao elíve: Mevegyev (984), Mózár (995), Mózár (997), Zalai (999), Zalai (4). A lasszius Neuann-oellben n eré állíana elő elárás, vagy ehnológia segíségével. A oell Neuann János álal ao inerreáióában ne eríheő i, hogy az elárásohoz vállalaoa, vagy iari ágazaoa lehe-e renelni, neán öbb elárás esesíi eg a vállalaoa. Ain az a oellből is iűni, az eláráso sa negaív nyereség elle űöhene. Ez a vállalai gyaorlaal ellenéesne űni. A olgoza éla az, hogy a Neuann-oellne egy ú érelezésé aa. Az ú érelezésben éelezzü, fel, hogy a ehnológiá vállalaoa esesíene eg. Arra éíü az oell ezen érelezésé, hogy egy eláráshoz egy vállala renelheő. Eor a vállalao iereréee állíana elő. Az a oellválozao, aior sa egy eré állíhaó elő az ao ehnológiával, Leonief-Neuann-oellne nevezi. A olgoza a öveező részeből fog állni. A öveező részben a Neuann-oell egy inaius válozaá uau be, aine a saionárius eseéne egyensúlyi helyzeé vizsgála Neuann (945), a Keény, Morgensern és hoson (956) gazaságilag raionális feléeleel bővíee az i. Ezen az ereei oellen uau eg, hogy ha azzal a feléelezéssel élün, hogy egy elárás egy vállalana feleleheő eg, aor a negaív nyereség feléelezése eseén a vállalao nyereségüe sa aor aializálhaná, ha ne erelnéne sei. Ezér a neoziív nyereség feléelezésé el ell veni, aennyiben az elárásoa vállalana (ágazana) einü. A harai feezeben az áfogalazo oell vizsgálu. Aennyiben az eláráso vállalaona felelne eg, aor is az érezheü, hogy ilyen erelési szine és ára elle lesz a gazaság egyensúlyban. Enne a érésne a egválaszolásához egy áéelélei oell vázolun, és rövien érinü a oell egolhaóságá. Végül összegezzü az ereényee.. A Neuann-oell inaius válozaa A oell inaius válozaá Asanov (984) unáa alaán isereü. A oell alaáriai a Hegeűs és Zalai (978) önyvében alálhaó ários elölésseel isereü, a Neuann álal használ hagyoányosabb elöléssel szeben. A oell alafeléelezései özö szereel, hogy a -i ehnológia egységnyi szinű alalazásához nagyságú inulóészlere van szüség a eréeből, íg a erelési erióus végén egységnyi szinű alalazás eseén észle áll renelezésre a iai serére. A -i ehnológia inu-ouu összefüggései ehá a (, ) veorárral szeléleheü. A veoro n ienziósa, vagyis a gazaságban n száú eré van, íg az eláráso száa. Ha a -i ehnológia alalazási szine a -i erióusban, aor az elárás ezei észlee és a erióus záróészlee. Az elárással előállío, és iara viheő erée ennyisége ehá. A -i erelési erióus végén egy illana ala zali le a 3
iai sere a iaon ialauló áron, aelye a nenegaív n eleű veorral elölün Az anyagáralás a ehnológiá szeonából az. ábra szelélei. - Pia erelés Pia. ábra. A Neuann-oell inaiáa a -i elárásra Forrás: Lanaser (968) Az egyes eláráso eseén a eréee feloszhau aszerin, hogy nyersanyagról, alaanyagról van-e szó, vagy végeréről. Ez az öveező óon szeléleheü a -i ehnológiára. Az i- eré végeré, azaz a iaon éréesíheő eré, ha i > i. Ugyanaor egy ási i-i eré nyersanyag, ha i i. Így a -i elárással előállío erée ennyisége a -i erióusban, ahol i végerée elöl ( i i ), íg a felhasználás ( i i ) az i nyersanyag eseén. A iaon az eláráshoz a felhasznál erée ell beszerezni, l. a -i iőonban az i-i eré eseén i i nagyságban. Ugyanezen iőonban az éréesíés ennyisége i i. Ezzel az elárással é evéenyégre bonou a Neuann-oellben egao folyaaoa: erelésre és iai serére. A vizsgál elárással elér iai bevéel a -i iőonban a ( - ) ifeezéssel írhau le, ahol (,,, n ) veor az ára n ienziós veora a -i iőonban. Ez sa a iai árbevéel, e ne a nyereség. A nyeresége a erióusora érelezheü, ai a -i erióusra ( ). Ez azér írhau ebben a forában, er a nyereség az ao iőonban elao erée árbevéele söenve az előző iőonban beszerze, és ú eréé áalaío ószágo ölségével. Az ereei Neuann-oellben az eláráso nyeresége neoziív, ehá. Eze uán foglalu össze az egész gazaságra a feléelee. A naurális egyensúly feléele a -i iőonban, hogy a iara vi erée észlee a sere uán ne lehe nagyobb, in a sere elő, vagyis -, ahol (,,, ) és (,,, ) a ehnológiá egységnyi inu és ouu észleéne ária. Az (,,, ) veor a erelési szine ienziós veorá elöli a -i erióusban. A neoziív nyereségre eig a összefüggés írhaó fel. Ha felesszü, hogy a gazaság ervezési iőhorizona, aor az inuló észlee álloánya, íg a erinális árbevéel összérée ell, hogy legyen. Ezen ívül A Keény, Morgensern és hoson (956) álal avasol feléelee a oellhez saolu, ai az eleni, hogy inen eré 4
szüséges legalább egy ási eré előállíásához: >, valain inen eré előállíhaó legalább egy elárással: >, ahol az az összegző veor elöli. A öveezőben az uau eg, hogy az előzőeben inuiívan ao egyensúlyi feléele egy lineáris rograozási felaa riális és uális áraina fele eg. A rograozási felaa riális olala a öveező ()-(4) felaa:, (,,,), (), () -, (,3,,), (3) a. (4) Ez a felaa ésőbb a urnie elélee iinulóona vol, aelye orfann, Sauelson és Solow (958) unáában alálhaó eg. Eze szerin, ha elég nagy, aor az oiális álya a Neuann-sugárhoz esi elég özel. (A Neuann-sugara a öveező beezéseben efiniálu.) A feni felaa (5)-(8) uálisá az alábbi óon írhau fel:, (,,,), (5), (,,,), (6), (7) in. (8) A é lineáris rograozási felaa egolhaó, ivel a és áriora e feléele bizosíá egyrész a riális felaa leheséges egolásaina halaza orláosságá, ásrész a uális felaa leheséges egolásaina halaza alulról orláos. Az oiális (, ) veorárona i ell elégíeniü a öveező egyenlőségee: ( - ), (9) ( ). () Vegyü os a saionárius egolásá a robléána, vagyis legyen α, valain β, aor a saionárius ályá i ell elégíenie a α, () α, () β, (3) β, (4) > (5) összefüggésrenszerne, ai a Neuann-oell egyensúlyi helyzeei foglala össze. Az és veoro nenegaíva. A ()-(5) egyensúlyi ályá a (α,, β, ) négyessel írhau le, ai Neuann-sugárna nevezne. Ezeből a ályából eressü a legnagyobb α növeeési ályáúaa. Mos áérün anna a vizsgálaára, hogy i örénhe aor, ha az elárás iserélheü a vállala szavaal, és ezzel folyau elezésüne. Eor a Neuann-oellben fellelheő 5
6 neoziív nyereség feléelezésé fel all ani, er a gazáloásanban a neoziív nyereség a vállala egszűnéséhez vezehe, ain az a öveező éla uaa. Eze uán éelezzü fel, hogy az így egaloo vállala éla a nyereség aializálása. Felesszü az is, hogy az ára egy ao iőhorizonon belül aoa, és az egyensúlyi árrenszerrel egyezne eg. Ne foglalozun azzal, hogy ilyen ehanizus alaía i az áraa, ai -vel elölün,,,,. A vállala uulál nyereségfüggvénye a vizsgál ervezési horizonon a öveező alao öli: ( ) ( ). (6) A vállala éla ehá olyan erelési szine iválaszása, aely elle a nyereség aiális lesz, erészeesen ao ára elle. együn ég egy feléelezés, ai az egyensúly naurális feléeléből öveezi: ( ) ),,.., (,, (7) ai az eleni, hogy a iai sere orláozza a vállala álal beszerze és elao áru ennyiségé. Minez az is eleni, hogy a vállala aiális nyeresége függ a öbbi vállala álal éréesíe és beszerze erée ennyiségéől. I felesszü, hogy a vállala száára isere a ás vállalao álal iaon realizál egyensúlyi ennyisége. A (6) és (7) feléelezése felhasználásával a (8)-() lineáris rograozási felaao efiniálun, aely a öveező forában írhaó fel: ),,, (, (8) ( ) (9) ( ) ),3,.., (, () ( ) a. () A robléa egolása önnyen egahaó, ugyanis ha neoziív a nyereség, aor az oiális erelési szin inen erióusban zérus, azaz, (,,,). Ez szeveniálisan láhau be. Vizsgálu először az oiális éréé. Mivel ( ) nenegaív, ezér a balolalon a árral örénő szorzás érée oziív, ai az eleni, hogy a ifeezés erelési szinben onoon növevő. Ugyanaor, ivel az ereei oell egyensúlyi árával száolun. Ebből eig inuióval öveezi az állíás, vagyis ha az elárás nyereségaializáló vállalana einü, aor a lasszius Neuann-oell egolása az egyensúlyi ár isereében a
nulla evéenységi szin. Minez azzal a öveezénnyel ár, hogy el ell veni a neoziív nyereség feléelezésé a oellne, ha az elárásoa vállalana, ágazana einü. A ovábbiaban feléezzü, hogy nenegaív nyereség forulha elő:, (,,, ),(,,, ). Ez a feléelezés az ona i, hogy egységnyi szinű űöés eseén a -i erióusra a erelési iősza végi észle érééne nagyobbna ell lennie, in az inuén szerelő észlee érée. Ha ez a feléel ne ennén eg, aor a neoziiviás ia az oiális szine érée lenne, ai érelezni ne unán. A feléelezés ellenonásban van a lasszius Neuann-oell azon feléelezésével, hogy neoziív nyeresége érelezün. Azonban vállalai oellén einve Neuann növeeési oellé az ereei feléelezés ne lenne -, ain láu - arhaó. 3. A Neuann-oell áfogalazása A oell a fenie isereében a öveező óon írhau fel, in a ()-(7) oializálási felaao:, (,,,), (), (3) -, (,3,,), (4), (,,,), (5), (6) ( ) ( ) ( ) o, (7) ahol az iser észleálloány a ervezési erióus eleén, valain egységnyi ibosáás érée a ervezési erióus legvégén. A felaa így anna a { } erelési szerezene és { } árrenszerne a feluaása, aelle a vállalao aializálá a nyereségüe. A vázol robléa ehá egy áéelélei felaa egolásá igényli. Maeaiailag vizsgálva a robléá egy varaius öbbélfüggvényes aeaiai rograozási felaao nyerün. (Lás l. Kreó (97) űvé.) Az ilyen felaao visszavezeheü egy egy élfüggvényes aeaiai rograozási felaaá, aennyiben a élveor egy λ (λ, λ,, λ ) nenegaív veorral szorozzu eg, aelye az összegző veorral szorozva éen egye aun, azaz λ. A öbbélfüggvényes rograozás éaöréből iser, hogy a egoláso halaza neonve, ugyanis az összes leheséges λ veorra eg ellene olanun a robléá. A ovábbiaban ás ua válaszun. 7
8 A felaa egolásá egyszerűsísü arra az esere, aior a gazaságban ézőő összes nyeresége aializálu, azaz az előbbi felaa élfüggvénye a öveező alao veszi fel: ( ) a. Eor i λ. A felaao ég egyszerűbb forában is felírhau, ha az ár veoroa és a evéenységi szine veorá, valain a árioa összevonu:,,. Enne segíségével a ()-(7) robléa úabb, összevonabb alaa:,, (8), a (9), b (3) a b a (3) ahol a, b. A vesszővel a ranszonála elölü. Mivel az így felvee robléa egy varaius rograozási felaa, ezér ég ez uóbbi felaao is ovább egyszerűsíheü a (3)-(34) alara:, y (3), y E (33) a y y E y (34) ahol
a y, E,. b Enne a felaana a egolása Lagrange-függvénnyel ne a olyan szierius egolás, in a lineáris rograozás ualiási ereényei, ezér eleinün anna vizsgálaáól. A egolás léezéséne elezéséől is eleinün, er a áriora e Keény, Morgensern és hoson (956) feléelezése garanálá a (3)-(34) rograozási felaa egolásá. Foglalozzun inább e felaa saionárius egolásaival. A saionárius egolás legyen úra α, valain β. Eor α, (35) β. (36) > (37) A árveor és az erelési szine veora ebben az eseben is nenegaív. Ez a oellváloza ehá háro onon ülönbözi a lasszius ()-(5) Neuann-oellől. Hiányozna belőle a () és (4) ualiási ulaonságo, valain a (3) összefüggésben az egyenlőlenség előele egforul. A oell egolása így azon (α,, β, ) egyensúlyi ályá feluaása, aelyere α aiális, és β iniális. (Ha β iniális, aor β -na aiálisna ell lennie.) Az egyensúly léezésé Hegeűs és Zalai (978) bizonyíoá. Ebben az eseben azonban a uális olalról is hasonlóan bizonyíhaó az egyensúly léezése. 4. Összegzés A olgoza abból a feléelezésből inul i, hogy a Neuann-oell elárásaina egy-egy vállala (iarág) feleleheő eg. Feléelezve, hogy az így efiniál vállalao éla a nyereség aializálása, az érezü, hogy ilyen feléelene ell elesülnie az egyensúly elesüléséhez. Arra az ereényre uoun, hogy a Neuann-oell ereei feléelei özül eő ovábbra is elesül, nevezeesen a naurális egyensúly, valain az iősza eleei észlee érééne oziiviása, e az áregyensúlyna eg ell forulnia, vagyis nenegaív nyeresége ellene, hogy legyene a oellben. Az ú forában a ualiási feléeleről is le ell, hogy onun. ovábbi uaás igényel, hogy α és β ilyen feléele elle lehene azonosa. Ezenívül az is érezheü, hogy hogyan alaul az egyensúly saionárius feléele, ha egy vállala öbb elárással (ehnológiával) renelezi. 9
Hivaozáso. Asanov, Sz. A. (984): Vvegyenyie v ayeayiseszuu eonoiu, Naua, Moszva. orfan, R., Sauelson, P.A., Sollow, R.M. (958): Linear rograing an eonoi analysis, MGraw-Hill Boo oany, In., New Yor, orono, Lonon 3. Hegeűs Miós, Zalai Ernő (978): Fion és egyensúly a gazasági oelleben, Közgazasági és Jogi Könyviaó, Buaes 4. Keeny, J.G., Morgensern, O., hoson, G.L. (956): A generalizaion of von Neuann s oel of an eaning eonoy, Eonoeria 4, 5-35 5. Kooans,.. (Es.) (95): Aiviy analysis of rouion an alloaion, John Wiley an Sons, New Yor 6. Kreó Béla (97): Oiuszáíás, Közgazasági és Jogi Könyviaó, Buaes 7. Lanaser, K. (968): Maheaial eonois, ollier-maillan Lie, Lonon 8. Mevegyev Péer (984): A general eisene heore for von Neuann eonoi growh oel, Eonoeria 5, 963-974 9. Mózár József (995): Reuible von Neuann oels an uniqueness, Meroeonoia 46, -5. Mózár József (997): Non-uniqueness hrough ualiy in he von Neuann growh oels, Meroeonoia 48, 8-99. Neuann, J. von: (945): A oel of general eonoi equlibriu, Review of Eonoi Suies 3, -9. Zalai Ernő (999): A özgazaságan eoológiááról és a aeaiai özgazaságanról a Neuann-oell ürügyén, Közgazasági Szele XLVI., 6-68 3. Zalai Ernő (4): he von Neuann oel an he early oels of general equlibriu, Aa Oeonoia 54, 3-38