ugala egtáaztáú erev tet táazreakcióinak eghatározáa III réz Bevezeté Az előző két rézen olyan típuú feladatokkal foglalkoztunk, az aktív külő erők é a rugala egtáaztó eleek által a erev tetre kifetett reakcióerők a tet egy ellező egyeneére, ill íkára erőlegeen űködtek ot egy olyan tipiku feladatot vezünk elő, elyre az ellező, hogy a tetre ható erők a tet egy ellező íkáan, eetleg ezzel párhuzaoan űködnek A proléa vizgálatához felhaználuk az [ 1 ], [ ] zakirodali forráokat i Síkáan terhelt cavar-, ill zegeckép erőátéka A továiakan feltezük, hogy a pontzerűen űködő táaztó eleek rugóerevége rugónként eltérő lehet, azonan egy rugala táaztó ele a ík inden irányáan ugyanakkor rugóerevéget utat Ez azt elenti, hogy e odell ó közelíté lehet cavarozott, ill zegecelt fékötéek záítáára, azonan egy zegkép eetéen ár lényege hiák forráa lehet a zegeket egtáaztó faanyagok anizotrop vielkedée Ha ettől eltekintünk, akkor zegezett kötéek közelítő vizgálata i zóa öhet A tehervielő kapcolatot az 1 árán zeléltetük A kék zínű erev leezt egy alzatra erőítettük, capok egítégével A leezt az adott A pontan egy külő / aktív erő terheli Ez az erő lehet egy tetzőlege ( xy ) íkeli erőrendzer eredőe i A külő / aktív erőt a P pontokan űködő reakciók erőrendzere egyenúlyozza, = 1,, A feladat: az - k eghatározáa A cap - pontok egadáa az ( Oxy ) koordináta - rendzeren történik, elyet tetzőlegeen vettünk fel 1 ára A külő erő a kék leezt olyan erevtet - zerű ozgára kényzeríti, ailyet a rugala táaztó eleek egengednek Ez a ozgá özetehető egy íkeli eltolódáól é egy a íkra erőlege tengely körüli elforduláól
indkét ozgá - fatához tartozik egy - egy reakcióerő - rendzer, elyek özege ada a kereett végeredényt Tehát a feladat egoldáát a zuperpozíció elvére alapozzuk ot tekintük a árát! Itt evezettük azt az ( x y z ) ú koordináta - rendzert, elynek kezdőpontán átenő z tengelye körül történik a erev leez forgáa A árán zeléltettük az erő - ra redukáláát i Az ekkor fellépő erőpár nyoatéka: x x * y y*, y A x A ( 1 ) co, in ( ) x y ára A ot ár az pontan űködőnek képzelt erő a erev leezt az eredeti helyzetével párhuzao eltolódára, az forgatónyoaték pedig z körüli elfordulára kézteti Az forgápont ( x*, y* ) koordinátái egyelőre ég ieretlenek Előzör: az eltolódához tartozó réz - erőrendzert határozzuk eg Ehhez tekintük a 3 árát! 3 ára Az elő reakció - erőrendzer ellezée: U, ( 3 ) : a - edik rugó erevégi tényezőe; U: a párhuzao eltolódá vektora Az erők egyenúlyi egyenlete: 0 ; ( 4 ) 1 igyelee véve, hogy e, ( 5 ) U U e, ( 6 ) a ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) képletekkel:
3 e U e 0 1 Tová alakítva: e e 0 ad 1 U ; U 0, e e innen 1 ahonnan 1 U 0, U 1 ot a ( 3 ), ( 6 ), ( 8 ) képletekkel i: U Ue e e e, 1 1 1 Az x - tengely enti özetevő előele nagyága, ( ) é ( 9 ) felhaználáával: i e i ei,x co co x ;,x x 1 1 1 ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) Haonlóan:,y y 1 ( 11 )
4 áodzor: az elfordulához tartozó réz - erőrendzert határozzuk eg Ehhez tekintük a 4 árát! 4 ára A áodik reakció - erőrendzer ellezée: V, ( 1 ) V : a - edik cap elforduláól zárazó elozduláának vektora Kifeezée: V φ ρ ( 13 ), φ : a erev leez ki elforduláának vektora, elyre φ k, ( 14 ) továá ρ,x i,y, ( 15 ),x x x*,,y y y* ( 16 ) ot ( 13 (, ( 14 ), ( 15 ) - tel: V φ ρ k i k i k,x,y,x,y,x,y i,y i,x, V i ( 17 ),y,x ot ( 1 ) é ( 17 ) zerint:
5 V i i ( 18 ) inthogy,y,x,y,x ( 19 ),,x,y ezért ( 18 ), ( 19 ) - ől: i, vagyi,x,y, ( 0 ),x,y ad, vagyi,y,x,y,x ( 1 ) ot határozzuk eg a elfordulái zöget! A forgatónyoatékok egyenúlyi egyenlete: + = 0, ( ) k, ( 3 ) 1 ρ ( 4 ) ot a ( 15 ), ( 18 ) é ( 4 ) képletekkel:,x,y,y,x i i 1,x,y,y,x,x,y i i i i ; 1 rendezve:,y,x,x,y 1 1 1 k k k k, ot ( ), ( 3 ), ( 5 ) - tel: k, k 1 k 0 1 aiől k ( 5 ) 1
6 1 0, innen pedig 1 ot ( 16 ), ( 0 ) é ( 6 ) - tal: y y *,,x y y y 1 1 ( 6 ) y y*,x 1 ( 7 ) ad ( 16 ), ( 1 ) é ( 6 ) - tal:,y x x x x *, x x *,y 1 Alkalazva a zuperpozíció elvét: 1 1,x,x,y,y,x,x,y,y,x,y,x,y innen i,,x,x,x,y,y,y ( 8 ) ( 9 ), ( 30 ) ot a ( 10 ), ( 7 ), ( 30 ) képletekkel: y y* ;,x x 1 1 ( 31 )
7 ad a ( 11 ), ( 8 ), ( 30 ) képletekkel:,y y x x * 1 1 A reakcióerők nagyága, Pitagoráz tételével:,x,y ( 3 ) ( 33 ) Ezután ( 31 ), ( 3 ), ( 33 ) - al: x y y* y x x * ; átalakítva: 1 1 1 1 x y y y* x x * 1 1 1 1 ( 34 ) A reakcióerők irányzögére:,x,y co ; in (35 ) ad ( 34 ), ( 35 ) - tel: y y * x 1 1 co ; x y y y * x x * 1 1 1 1 átalakítva:
8 y y* x 1 1 co ; x y y y * x x * ezután 1 1 1 1 x x * y 1 1 in ; x y y y * x x * átalakítva: 1 1 1 1 x x * y 1 1 1 1 1 1 ( 36 ) in x y y y* x x * ( 37 ) Adóok vagyunk ég az x*, y* koordináták eghatározáával E célól íruk fel a vetületi egyenúlyi egyenleteket, ég egyzer! Az x tengelyre vett vetületekre: 0; ( 38 ) x,x ( 31 ) é ( 38 ) - cal:
9 x x y y * 0; 1 1 1 elvégezve a kielölt özegzét: 1 x x 1 1 1 y y * 0, 1 y y* 0 Kifetve: 1 y 1 y* ahonnan ( 39 ) Az y tengelyre vett vetületekre: y,y 0; ( 40 ) 1 ( 3 ) é ( 38 ) - cal: y y x x * 0; 1 1 1 elvégezve a kielölt özegzét: 1 y y 1 1 1 x x * 0, ahonnan
10 1 x x * 0 Kifetve: 1 x 1 x* ( 41 ) Vizgáluk eg eredényeink alakuláát a ( 4 ) peciáli eeten, vagyi aikor inden rugó erevége ugyanakkora! ~ A erevégi középpont koordinátái, ( 39 ) é ( 41 ) zerint: x x x 1 1 1 x *, 1 1 x * 1 1 Haonlóan: x y 1 y * ( 43 ) ( 44 ) ~ A reakcióerők koponenei: előzör ( 31 ) é ( 4 ) - vel: y y*,x x 1 1 x y y * y y *, x 1 1
11 x y y *,,x 1 y xa x * x ya y *, 1 1 ( 45 ) ( 46 ) x x * + y y * ( 47 ) áodzor: ( 3 ) é ( 4 ) - vel: x x * x x *, y,y y 1 1 1 y x x *,y 1 ( 48 ) Az 5 árán a fenti peciáli eetre utatuk eg a reakció rézerőrendzerek özegzéének ódát, ai az iert paralelograa - zaály zerinti Az áraeli zerkezté eredénye óval könnyeen áttekinthető, int a képletekkel adódó záítáoké egegyzéek: 1 Az itteni eeten rugóerevégeknek pl az egye capok nyíróerevégei válazthatók: G A 5 ára
1 Itt: G : a - edik cap anyagának cúztató rugalaági odulua; A : a - edik cap kereztetzeti területe A fentieken az reakcióerő a - edik táaztócap által a erev leezre kifetett erőt elentette A táaztócapra ennek ellentette űködik, ely a cap éretezééhez fonto adat 3 A rugala táazt egelenítő rugók vielkedéének tanulányozáához aánlható a [ 3 ] ű i, a zerző vizonylag rézleteen tárgyala a helyetteítő rugók eléletét Irodaloegyzék: [ 1 ] Heinz Neuer: Techniche echanik I Statik II Elatotatik und etigkeitlehre Springer Verlag, Berlin - Heidelerg - New York, 1971 [ ] N V Butenin ~ Ja L Lunc ~ D erkin: Kurz teoreticezko ehaniki To I: Sztatika i kineatika ozkva, Nauka, 1979 [ 3 ] Sigurd alk: űzaki echanika III kötet: A rugala tet echanikáa űzaki Könyvkiadó, Budapet, 197 Özeállította: Galgóczi Gyula érnöktanár Sződliget, 009 anuár 1