Permutáció (ismétlés nélküli) Mi az az ismétlés nélküli permutáció?... 1. Három tanuló, András, Gábor és Róbert együtt mennek az iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2. Egy irodalmi esten 6 vers hangzik el. Hányféleképpen követhetik a versek egymást? 3. Anna, Bea, Csilla és Dóra együtt megy moziba. Hányféleképpen helyezkedhetnek el egymás mellett lévő négy széken? Írjuk le a lehetséges elhelyezkedéseket! 4. Áginak 7 szoknyája van. Hányféle sorrendben veheti fel ezeket a hét folyamán, ha minden szoknyát csak egyszer vesz fel? 5. Öt könyv hányféle sorrendben rakható fel egy könyvespolcra? 6. Hány négyjegyű számot írhatunk fel az 1, 2, 3 és a 4 számokkal? Hány négyjegyű számot írhatunk fel az 0, 2, 3 és a 4 számokkal? Hány négyjegyű számot írhatunk fel az 1, 2, 3, 4 és az 5 számokkal? Hány négyjegyű számot írhatunk fel az 1, 2 és a 3 számokkal? Hány négyjegyű számot írhatunk fel az 1, 2, 3 és 4 számokkal, amelyekben a második szám 4-es? (Minden jegy csak egyszer szerepelhet.) 7. Írjuk fel a DIÁK szó betűit minden lehetséges sorrendben. Hány értelmes magyar szó keletkezett? 8. Tudjuk, hogy 2006 utolsó ötöslottó sorsolásán a kihúzott számok emelkedő sorrendben a következők voltak: 5, 21, 35, 62, 76. Hány különböző sorrendben történhetett meg ezeknek a számoknak a kihúzása? 9. Hányféleképpen rendezhető el az 1, 2, 3, 4, 5, 6 sorozat úgy, hogy az első és az utolsó szám 5 és 6 legyen? 10. Hány olyan 1-gyel kezdődő ötjegyű számot lehet felírni az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyek felhasználásával, amelyeknek az utolsó számjegye 5, ha a felírás során egy-egy számjegyet csak egyszer használhattunk? 11. A 2, 3, 4, 5, 7 számjegyek egyszeri felhasználásával képezzünk ötjegyű számokat! Hány számot képezhetünk? Hány páros van közöttük? Hány olyan van, amely osztható néggyel? Ha a kapott ötjegyű számokat egymás mellé írnánk, ezeket egyetlen számnak tekintve hány jegyű számot kapnánk? 12. Hány ötjegyű szám képezhető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha minden számjegy csak egyszer szerepelhet? Hány páratlan van közöttük? Hány olyan van közöttük, amely osztható öttel? Hány olyan van közöttük, amely osztható 4-gyel?
Kombináció (ismétlés nélküli) Mi az az ismétlés nélküli kombináció?... 13. Egyszer az öttagú társaság - András, Béla, Cili, Dénes és Edit - egy betelefonálós rádióműsorban nyert két állóhelyet egy koncertre. A jegyeket kisorsolták maguk között. Hányféle lehetett a sorsolás eredménye? Hány esetben lehetett az egyik nyertes Cili? 14. Mind az öten - András, Béla, Cili, Dénes és Edit - szerettek volna nyáron munkát vállalni, de sajnos csak két fő számára tudtak munkát szerezni. Most is sorsolással döntötték el, hogy kik nyerjék el a munkákat. Hányféle lehetett most a sorsolás eredménye? Hány esetben lehetett az egyik nyertes András? 15. Hány szelvényt kellene kitölteni ahhoz, hogy az ötös lottón biztosan legyen telitalálatunk? 16. Egy baráti társaság (5 fiú és 4 lány) Amerikából jöttünk játékot szeretne játszani. A játék kezdetekor egy lányt és két fiút kiválasztanak, akik kimennek a szobából. Hányféleképpen alakulhat a választás? 17. Egy vetélkedő 100 fős közönségéből véletlenszerűen kiválasztott 3 embert egyformán akarnak megjutalmazni. Hányféleképpen tehetik ezt meg? 18. Hányféleképpen lehet 8 tanuló között kiosztani öt egyforma csokit, ha egy tanuló csak egy csokit kaphat? 19. 12 személy hányféleképpen helyezkedhet el egy 5, egy 4 és egy 3 személyes sátorban, ha a sátoron belüli elhelyezkedés sorrendje már közömbös? 20. A 24 fős osztály tagjai közül 4 fős küldöttséget választunk. Hányféleképpen tehetjük meg, ha egy elnököt, és 3 egyenrangú küldöttet választunk? 21. Egyszer megálmodtam, hogy a következő ötös lottóhúzáson az első, a harmadik és az ötödik szám (nagyság szerinti sorrendben) ez lesz: 8, 46 és 75. Ha teljesül az álmom, hány szelvényt töltsek ki a biztos telitalálathoz?
Variáció (ismétlés nélküli) Mi az az ismétlés nélküli variáció?... 22. A 24 fős osztály tagjai közül 3 fős küldöttséget választunk. a/ Hányféleképpen tehetjük meg? b/ Hányféleképpen tehetjük meg, ha egy elnököt, egy titkárt és egy szóvivőt választunk? 23. Hányféleképpen lehet 8 tanuló között kiosztani öt különböző fajta csokit, ha minden tanuló csak egy csokit kaphat? 24. Egy pályázat eredményhirdetésére az első 10 helyezettet hívták meg. Az első helyezett pénzjutalmat, a második utazást, a harmadik elektronikus berendezést, a többiek pedig oklevelet kaptak. A meghívottak közül hányféleképpen kerülhettek ki azok, akik tárgyjutalmat kaptak? 25. Egy kézilabdacsapatnak egyetlen kapusa van. A csapat 12 fővel utazik egy meccsre. Hányféleképpen tudja kiválasztani az edző a 6 kezdőjátékost? 26. A történelem érettségi kezdetén az első 3 vizsgázó még mind a 20 tétel közül húzhat. Hány különböző húzás lehetséges? 27. A szinkronugrást 9 pontozóbíró figyeli. 2-2 bíró az egyes versenyzők mozgását pontozza, 5 pedig a szinkronitásra ügyel. Ha előre ismert a pontozóbírák személye, hányféleképpen osztható ki nekik a feladat? 28. 29. Hány 5 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával? 30. Hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyek egyszeri felhasználásával? 31. Hány olyan 6 jegyű szám van, amelyben szerepel a 2-es számjegy?
Ismétléses permutáció Mi az az ismétléses permutáció?... 32. A 2, 2, 3, 5 számjegyek felhasználásával hány négyjegyű szám képezhető? Az 1, 1, 2, 3, 5 számjegyek felhasználásával hány ötjegyű szám képezhető? A 3, 3, 5, 5 számjegyek felhasználásával hány négyjegyű szám képezhető? 33. Hányféle sorrendben húzhatunk ki egy urnából 5 piros és 7 kék gyöngyöt, ha csak azokat a húzásokat tekintjük különbözőknek, amelyekben a színek más sorrendben következnek? 34. Hány hétjegyű számot tudunk készíteni a 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3 számjegyekből? (Az első számjegynek nullától különbözőnek kell lennie!) 35. Az 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4 számok permutációi közül hány kezdődik 33-mal, 212-vel, 1234- gyel? 36. Azonos átmérőjű, három piros és három kék vezetéket kell bekötnünk egy olyan kapcsolótáblába, amelyen egy sorban hat kapcsoló áll. Minden kapcsolóhoz egy vezetéket kapcsolunk. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? 37. Egy dobozban nyolc különböző színű golyó van. Hányféle sorrendben vehetjük ki egyesével az összes golyót? Hányféle sorrendben vehetjük ki egyesével az összes golyókat, nyolc golyóból három fehér és kettő színű? 38. 5 Malév, 3 KLM, 4 Lufthansa, 2 Air France, 5 British Airways, 2 AUA gép várakozik felszállásra a Ferihegy II. repülőtéren. Hány különböző sorrendben engedélyezhetik az indulásukat, a) ha minden járatot különbözőnek tekintünk? b) ha csak a gépek üzemeltetői szerint különböztetjük meg az egyes repülőket? 39. Írjuk fel a BAB szó betűit minden lehetséges sorrendben! Írjuk fel a TOLL szó betűit minden lehetséges sorrendben! Írjuk fel a BABA szó betűit minden lehetséges sorrendben! 40. Rakjunk sorba négy 1-től 4-ig megszámozott fehér, és három 5-től 7-ig megszámozott piros golyót úgy, hogy a színek sorrendje különböző legyen! Hányféleképpen tehetjük meg ezt? Hányféleképpen tehetjük meg ezt számozás nélkül?
Ismétléses variáció Mi az az ismétléses variáció?... 41. Hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom? 42. Hány különböző rendszám adható ki, amely három betűből és azt követő három számból áll (az angol ábécé 26 betűt tartalmaz) )? 43. Hány totószelvényt kell kitölteni a biztos 13-as találathoz? Hányféleképpen lehet 8 tanuló között kiosztani öt különböző csokit, ha egy tanuló több csokit is kaphat? 44. Hányféleképpen olvasható ki az alábbi ábrából a MATEK szó? 45. Hányféleképpen lehet az alábbi táblázatból kiolvasni a MATEMATIKA szót? M A T E M A T I A T E M A T I K T E M A T I K A 46. Ha tudjuk, hogy az érettségi első napján nem volt bukás, akkor a 12 felelő eredményei hányfélék lehetnek magyarból?
Ismétléses kombináció Mi az az ismétléses kombináció?... 47. Egy négytagú család telefonja kétszer szólalt meg egy estén. Hányféle változatban vehették fel a telefont, ha ugyanaz a személy kétszer is felvehette és a sorrendet nem vesszük figyelembe? 48. Hányféleképpen lehet 4 tanuló között kiosztani 2 csokit, a/ ha minden tanuló csak egy csokit kaphat és a csokik különbözőek? b/ ha egy tanuló több csokit is kaphat és a csokik különbözőek? c/ ha minden tanuló csak egy csokit kaphat és a csokik azonosak? d/ ha egy tanuló több csokit is kaphat és a csokik azonosak? 49. Hányféleképpen lehet 30 tanuló között kiosztani tíz egyforma csokit, ha egy tanuló több csokit is kaphat? 50. Hányféleképpen helyezhetünk el 5 levelet 16 rekeszbe, ha a) a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe egy levelet teszünk? b) a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe több levelet is levelet tehetünk? c) a levelek között különbséget teszünk és egy rekeszbe egy levelet teszünk? d) a levelek között különbséget teszünk és egy rekeszbe több levelet is levelet tehetünk? Ciklikus permutáció 1. Hányféleképpen ülhet le a. három, b. négy, c. öt ember egy kerek asztal köré? (Két elhelyezést akkor tekintünk különbözőnek, ha van olyan ember, akinek legalább az egyik szomszédja különbözik a két elhelyezésben.) 2. Hányféle sorrendben fűzhető fel 3; 4; ill. 6 különböző gyöngy egy nyakláncra? 3. A körtáncot tanuló lányok minden próbán más-más sorrendben állnak fel. 10 próbájuk volt. Legalább hányan táncolnak? 4. 5 házaspár foglal helyet egy kör alakú asztalnál. Hányféleképpen helyezkedhetnek el? Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a házastársak egymás mellett akarnak ülni? Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a házastársak egymás mellett akarnak ülni, de sem két nő, sem két férfi nem ülhet egymás mellé? (Két elhelyezést akkor tekintünk különbözőnek, ha van olyan ember, akinek legalább az egyik szomszédja különbözik a két elhelyezésben.) 5. Vendégségben András, Béla Cili és Edit egy hosszú asztalhoz ülnek le egymás mellé. (Dénes otthon maradt.) Hányféleképpen ülhetnek le? Hányféleképpen ülhetnek le, ha Cili András mellé és Edit Dénes mellé ül le? És ha egy kerek asztalhoz ülnek le? (Két elhelyezést akkor tekintünk különbözőnek, ha van olyan ember, akinek legalább az egyik szomszédja különbözik a két elhelyezésben.) 6. Hányféle nyakláncot fűzhetünk nyolc különböző színű gyöngyből? Hányféle nyakláncot fűzhetünk három fehér és két piros gyöngyből?