MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 00. május. EMELT SZINT I. ) Adott f és g függvény. f : D f \ k ; k x tgx ctgx sin x a) Igazolja, hogy az így definiált f függvény konstans! ( pont) g : D 7;7 x x 6 x g b) Számítsa ki g függvény zérushelyeit! ( pont) c) Adja meg g függvény értékkészletét! (5 pont) a) Az értelmezési tartományon minden x esetén sin x cos x f x tgx ctgx sin x sin x cos x sin x sin x cos x sin xcos x sin x cos x x 6x x x 6 b) gx 7 x 0, ha x 6x x x 6 7 x 0 ezért a g függvénynek három zérushelye van: -6; 0; 6 g x kifejezést átalakíthatjuk: c) A x x x ( pont) 6 9 0 x 7 gx, ha x 6x x 9 7 x 0 innen következik, hogy g g 9 a legkisebb függvényérték a legnagyobb függvényérték g7 g 7 7 A g (folytonos) függvény értékkészlete: ) Kilenc számkártya fekszik az asztalon. R 9;7 ( pont) g Összesen: pont a) Rakja négy csoportba a kilenc számkártyát úgy, hogy egyikben se legyen együtt egy szám és egy nála kisebb osztója! Adjon meg egy lehetséges csoportosítást! ( pont) b) Berci körbe rakta a kilenc számkártyát egy nagy papírra, és ha két szám között legalább kettő volt a különbség, akkor a két kártyát összekötötte egy vonallal. Összesen hány vonalat rajzolt meg ily módon Berci? ( pont)
Csaba az első hat kártya felhasználásával (,,,, 5, 6) két háromjegyű számot készített. Hívjunk egy ilyen számpárt duónak. (Például egy lehetséges duó: 5; 6 ) A hat számból több ilyen duót lehet képezni Két duót egyenlőnek tekintünk, ha ugyanaz a két különböző háromjegyű szám alkotja. Például a 5; 6 és a 6; 5 duó egyenlők, de a 6; 5 már egy másik duó. c) Hány különböző duót lehet a hat számkártyából elkészíteni? (5 pont) a) Az, a, a és a 8 külön csoportba kell, hogy kerüljön Az -es mellett nem lehet más szám Egy lehetséges beosztás: (), (,), (,5,6,7), (8,9) egy másik: (), (,,5), (,6,7), (8,9) b) Berci minden számot összekötött minden számmal kivéve a szomszédos számokat: -, -, -, 8-9 (Egy 9 csúcsú teljes gráf éleiből hagyunk egy 8-at) 9 8 Ez éppen megegyezik egy 9 csúcsú teljes gráf éleire vonatkozó képletével n n ( ). 9 8 8 8 vonalat húzott Berci Szintén jó megközelítés, ha a feladatot egy kilencszögnek tekintjük, mely sokszög összes átlójára, plusz egy élére vagyunk kíváncsiak! c) 6 Az egyik hármast kiválaszthatjuk -féle módon, ezzel a második hármas meghatározott minden hármasból!-féle számot képezhetünk 6 Összesen!! 70 duót képezhetünk Így minden esetet kétszer számoltunk tehát 60-féle duó van Egy másik megközelítéssel tekinthetjük a két duót egy darab hatjegyű számnak is, melyet 6!-féleképpen tudunk sorba rendezni. Mivel ekkor minden duó kétszer szerepel, pusztán el kell osztanunk kettővel! Összesen: pont
) Egy mértani sorozat első három tagjának összege 9. A hatodik, hetedik és a nyolcadik tag összege 9. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? ( pont) Legyen a sorozat első tagja a, hányadosa q. a aq aq 9 5 6 7 aq aq aq 9 5 q a aq aq 9 q 9 Ebből q Visszahelyettesítve az első egyenletbe: 7a 9, ahonnan a, ezek szerint a mértani sorozat: a, q, a n n n A kérdés: hány n-re igaz, hogy 0 0 ( pont) Az lg x függvényszigorú monoton nő 5 9 lg n lg 7,6 n 0,8 Ennek egész megoldása a 8, a 9 és a 0. A sorozat tagja jegyű Összesen: pont
) Egy könyvkiadó minden negyedévben összesíti, hogy három üzletében melyik szépirodalmi kiadványból fogyott a legtöbb. A legutóbbi összesítéskor mindhárom üzletben ugyanaz a három szerző volt a legnépszerűbb: Arany János, Márai Sándor és József Attila. Az alábbi kördiagramok szemléltetik, hogy az üzletekben milyen arányban adták el ezeknek a szerzőknek a műveit. A kördiagramok az első üzletből 08, a másodikból, a harmadikból 6 eladott könyv eloszlását szemléltetik. a) A kördiagramok adatai alapján töltse ki az alábbi táblázatot! Melyik szerző műveiből adták el a vizsgált időszakban a legtöbb könyvet? (5 pont). üzlet. üzlet. üzlet Összesített forgalom Arany János Márai Sándor József Attila Összesen 08 6 b) Készítsen olyan oszlopdiagramot a táblázat alapján, amely a vizsgált időszakban a szerzők szerinti összesített forgalmat szemlélteti! ( pont) A könyvkiadó a három üzletében minden eladott könyvhöz ad egy sorsjegyet. Ezek a sorsjegyek egy közös sorsoláson vesznek részt negyedévenként. A vizsgált időszakban azok a sorsjegyek vesznek részt a sorsoláson, amelyeket a fenti három szerző műveinek vásárlói kaptak. Két darab 50 ezer forintos könyvutalványt sorsolnak ki köztük. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vizsgált időszak sorsolásán mind a két nyertes sorsjegyet Márai Sándor egy-egy könyvéhez adták, és mind a két könyvet a. üzletben vásárolták? Válaszát három tizedesjegy pontossággal adja meg! (5 pont)
a) A kördiagramok alapján:. üzlet. üzlet. üzlet Összesített forgalom Arany János 9 90 7 8 Márai Sándor 9 7 7 6 József Attila 70 6 7 Összesen 08 6 helyes oszloponként - pont A legtöbb példányt József Attila műveiből adták el. b) Eladott könyvek: ( pont) Jó adatokat tüntet fel Arányos a diagram. Célszerűen választ egységet Rendezett az ábra. c) A vizsgált időszakban a sorsoláson résztvevő sorsjegyek száma: 08 6 056 Ezek közül nyerő sorsjegyet összesen 056 -féleképpen lehet kisorsolni A. üzletben 6 Márai-könyvhöz adtak sorsjegyet, ezek közül 6 - féleképpen lehet nyerőt kisorolni 6 A keresett valószínűség: 056, 7875 ennek értéke p 0,0 55700 Összesen: pont
5) Egy áruházban egy mosóport négyféle kiszerelésben árusítanak. Az első kiszerelés 50%-kal drágább a harmadiknál, és 0%-kal kevesebb mosópor van benne, mint a másodikban. A második 50%-kal több mosóport tartalmaz, mint a harmadik, és 5%-kal többe kerül, mint az első. a) Az első három kiszerelés közül melyikben a legalacsonyabb a mosópor egységára? ( pont) A negyedik fajta kiszerelést úgy állították össze, hogy annak dobozán a feltüntetett egységár megegyezett az első három kiszerelés átlagos egységárával. b) Ha a legolcsóbb kiszerelésű dobozon 600 Ft egységárat tüntettek fel, akkor hány forint egységár szerepel a negyedik fajta dobozon? ( pont) a) II.... ár,5x,5,5 x,875 x x tömeg,5 0,8y, y,5y y,5 x,875 x egységár = = ár, y,5 y x x x y tömeg,5,5 y y ( pont) Tehát a harmadik kiszerelés egységára a legalacsonyabb b) Ha a legolcsóbb kiszerelés egységára 600 Ft, a másik kettőé ennek a 5%-a, azaz 750-750 Ft A három kiszerelés átlagos egységára: 600 750 750 700 A negyedik kiszerelésen 700 Ft egységár szerepel Összesen: 6 pont
6) Legyen x x x f x a, ahol a pozitív valós szám és x. a a a a) Igazolja, hogy a f x dx a a! (6 pont) 0 b) Mely pozitív a számokra teljesül, hogy f c) Az x mely pozitív valós értéke lesz a lokális (helyi) minimuma? a) Az f függvény integrálható. a a a x dx 0? ( pont) 0 g x x x függvények (6 pont) x x x x x x a dx ax a a a a a a 0 0 ( pont) a a a a a a a a a b) Megoldandó (az a feltétel mellett) a a a 0 egyenlőtlenség a a 0 0 Mivel a 0, így az első két tényező pozitív, ezért a 0 Az a lehetséges értékeinek figyelembe vételével: 0 a x g függvény differenciálható. c) A nyílt intervallumon értelmezett gx x A lehetséges szélsőértékhely keresése: x 0 A lehetséges szélsőértékhely: x (benne van az értelmezési tartományban) g x x 6 6 g 0 Tehát az x lokális minimumhely. Összesen: 6 pont
7) Az ABCD konvex négyszög oldalegyeneseinek egyenlete rendre: DA : x y 0 0 AB : x 5y 0 0 BC : x y 0 CD : 5x y 5 0 a) Igazolja, hogy a négyszög átlói az x és az y tengelyre illeszkednek, továbbá, hogy ennek a négyszögnek nincs derékszöge! (8 pont) b) Bizonyítsa be, hogy a négyszög húrnégyszög! (8 pont) a) az egyenes x tengelyen lévő pontja y tengelyen lévő pontja DA : x y 0 0 0 ;0 0; 5 AB : x 5y 0 0 0 ;0 0; BC : x y 0 ;0 0; ;0 0; 5 CD : 5x y 5 0 A DA és az AB egyenesek metszéspontja az x tengely A 0 ;0 pontja Az AB és a BC egyenesek metszéspontja az y tengely B 0; pontja A BC és a CD egyenesek metszéspontja az x tengely C ;0 pontja A CD és a DA egyenesek metszéspontja az y tengely D 0; 5 pontja A csúcspontok alapján beláttuk, hogy az ABCD négyszög AC átlója az x, a BD átlója pedig az y tengelyre illeszkedik Felírjuk az oldalegyeneseket és egy-egy normálvektorukat ( pont) az egyenes egy normálvektor DA : x y 0 0 ; ;5 ; 5; AB : x 5y 0 0 BC : x y 0 CD : 5x y 5 0 A normálvektorok között és ezért az egyenesek közt sincs két egymásra merőleges (skalárszorzatuk nem 0), ezért az ABCD négyszögnek nincs derékszöge
b) Legyen BCD és DAB Vektorok skalárszorzatával fogjuk kiszámítani két szemközti szög CB CD koszinuszát. cos CB CD ahol CB ; és ; 5 CD CB CD, CB 5 és CD cos 5 AB AD cos, ahol AB AD 0 AB ; és AD 0 ; 5 0 5 5 AB AD, AB és CD 9 cos 5 A é az szögek tehát kiegészítő szögek, az ABCD négyszög húrnégyszög Összesen: 6 pont
8) a) Peti levelet írt négy barátjának, Andrásnak, Bélának, Csabának és Daninak és mindenkinek egy-egy fényképet is akart küldeni a nyaralásról. A négy fénykép különböző volt, és Peti mindegyikük hátlapjára ráírta, kinek szánja. A fényképeket végül figyelmetlenül rakta a borítékba, bár mindenki kapott a levelében egy fényképet is. A. Hányféleképpen fordulhat elő, hogy csak Andris kapja azt a fényképet, amelyen a saját neve szerepel? ( pont) B. Melyik esemény bekövetkezésének nagyobb a valószínűsége: - senki sem kapja azt a fényképet, amelyet Peti neki szánt vagy - pontosan egyikük kap olyan fényképet, amelyen a saját neve szerepel? (8 pont) b) Egy szabályos érme egyik oldalán 6-os, a másikon pedig -es számjegy látható. Az érmét négyszer egymás után feldobjuk, és a dobott számokat összeadjuk. Milyen értékeket kaphatunk összeg gyanánt? Az egyes összegek dobásának mekkora a valószínűsége? (5 pont) a) Jelöljük a fényképekre írt neveket A,B,C,D-vel, a neveknek megfelelő borítékon lévő címzéseket a,b,c,d-vel. A. Andris kapott csak megfelelő fényképet. Ez csakis úgy lehetséges, ha az abcd sorrendben elhelyezett borítékokba az ACDB vagy ADBC sorrendben kerültek a képek. ( pont) Tehát a kívánt elhelyezés kétféleképpen valósítható meg. B. Jelölte S azt az eseményt, hogy senki sem kapott nevével ellátott fényképet. Az S esemény pontosan akkor következik be, ha az abcd sorrendben elhelyezett borítékokba BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA sorrendben kerülhettek fényképek. Ez 9 kedvező eset ( pont) Jelölje E azt az eseményt, hogy pontosan egyikük kapott nevével ellátott fényképet. AZ E esemény pontosan akkor következik be, ha az abcd sorrendben elhelyezett borítékokba ACDB, ADBC, BCAD, BDCA, CABD, CBDA, DACB, DBAC sorrendben kerülhettek a fényképek. Ez 8 kedvező eset ( pont) A fényképeket Peti -féleképpen helyezhette volna el a borítékokba, ezen elhelyezéseknek azonos a valószínűsége. 9 8 ps pe b) A négy dobáshoz tartozó összegek lehetnek: 6 6 6 6 B 6 6 6 6 6 0 6 8 6 B B B B 0
Bármelyik dobásnál a 6-os és -es is valószínűséggel következik be A B k események valószínűségét a írja le Ezért: p B p B p B p B p B 0 6 6 6 6 6 0 6 p ; n paraméterű binomiális eloszlás ( pont) Összesen: 6 pont
9) Egy 90 m területű trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalainak aránya AB : DC :. Az ágyást tavasszal és ősszel is évszaknak megfelelő virágokkal ültetik be. Mindkét alkalommal mindegyik fajta virágból átlagosan 50 virágtövet ültetnek négyzetméterenként. Tavasszal az átlókkal kijelölt négy háromszögre bontották a virágágyást. Az ABM háromszögbe sárga virágokat, a DMC háromszögbe fehéret, a maradék két részbe piros virágokat ültettek. a) A tavaszi párosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? (9 pont) Ősszel a másik ábra szerint tervezték meg a virágok elhelyezését. (Az E,F,G, és H pontok a trapéz oldalainak felezőpontjai.) Ekkor is fehér (f), piros (p) és sárga (s) virágokat ültettek a tervrajz alapján. b) Az őszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? (7 pont) Válaszait az alábbi táblázatban tüntesse fel! fehér piros sárga tavasszal ősszel a) A teljes beültetéshez 5 90 500 db virágra van szükség. A különböző színű virágok darabszáma a megfelelő területek arányából számolható. Kiszámoljuk a megfelelő területeket. Jelölje az MCD háromszög területét t, az MBA háromszög területét T, az MBC háromszögét t és az MAD háromszögét t. Az MBA és az MCD háromszögek hasonlóak, hiszen szögeik páronként egyenlők. A hasonlóság aránya alapján: AM BM MC MD Az MBA háromszög területe T t Az ADC háromszög területét a DM szakasz MA : MC : arányban osztja, ezért t t Ugyanígy t t A trapéz területe: 90 t t T t t,5t 6,5t t, m A fehér virágok száma, 50 70 a pirosaké 70 60 a sárgáké pedig 60
b) Az EFGH négyszög paralelogramma, mert két szemközti oldala pl. EF és HG párhuzamosak az AC átlóval, és egyenlők az AC felével Az EFGH paralelogramma területe fele az ABCD trapéz területének, T 5m ( pont) EFGH AB DC m TABCD m HF m HF Egy paralelogrammát két átlója négy egyenlő területű háromszögre bontja, ezért a piros és sárga virágokból egyaránt 50 5 tövet ültettek A fehér virágokkal beültetett terület a trapéz területének a fele, tehát fehér virágból 5 50 50 tövet ültettek fehér piros sárga tavasszal 70 60 60 ősszel 50 5 5 Összesen: 6 pont