Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak egyszerre két szivattyút, az egyik óránként 2, a másik óránként 3 m 3 vizet távolít el. Mennyi idı alatt szivattyúzzák ki az összes vizet, ha a víz továbbra is ugyanúgy ömlik be, mint kezdetben? 2. feladat Egy nem négyzet téglalap kerülete 2010 cm. A téglalapot egy egyenessel két egybevágó téglalapra bontjuk. A két darabból az eredeti téglalap területével megegyezı területő négyzetet állítottunk össze. Mekkora ez a terület? 3. feladat Hány olyan 10 2010 -nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2? 4. feladat Egy egyenlı szárú háromszög egyik oldala kétszer akkora, mint az oldalhoz tartozó magasság. Mekkorák a háromszög szögei? 5. feladat Öt versenyzı a verseny elıtt, amelyikben nincs holtverseny, nyilatkozik: A: az elsı három között leszek; B: megnyerem a versenyt; C: megelızöm A-t; D: nem elızöm meg B-t; E: C vagy D nyer. A verseny után kiderült, egyiknek sem lett igaza. Mi a versenyben elért sorrendjük. ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT Egy-egy feladat jó megoldása 10-10 pont. Székesfehérvár, 2010. november 16.
Varga Tamás Matematikaverseny megyei forduló 2011. I. kategória 1. feladat Egy könyvkiadó könyvsorozatot készít. A sorozat kötetei 7 évente jelennek meg. Amikor a 7. kötet megjelent, akkor a hét kötet megjelenési évszámainak összege 13930. Melyik évben jelent meg az elsı kötet? 2. feladat Az ABC szabályos háromszög BC oldalának C-n túli meghosszabbításán vegyük fel a D pontot úgy, hogy BC = 2 CD teljesüljön. D-bıl állítsunk merılegest az AB egyenesre, a merıleges talppontját T jelöli. A TD szakasz az AC oldalt E-ben metszi. Mekkora a BCET négyszög és az ABC háromszög területének az aránya? 3. feladat Három prímszám szorzata egyenlı e három prím összegének háromszorosával. Melyek ezek a prímek? 4. feladat Az ABC háromszög BC oldalának tetszıleges belsı pontjában párhuzamosokat húzunk az AB illetve az AC oldalakkal. Bizonyítsuk be, hogy ezen oldalakon levı P és R metszéspontoknak a BC egyenestıl való távolságösszege az A-ból induló magasság hosszával egyenlı! 5. feladat A az egyik év valamelyik hónapjának 15. napján kirándulni ment. Tudjuk, hogy e hónapban három vasárnap dátuma páros szám. A hét mely napján kirándult az osztály? Székesfehérvár, 2011. január 11.
Varga Tamás Matematikaverseny megyei forduló 2011. II. kategória 1. feladat Egy iskolai sakkversenyen mindenki mindenkivel egyszer játszik. Eddig 90 mérkızés zajlott le és még mindenkinek két mérkızése van hátra. Hányan játszanak a versenyen? 2. feladat Az O középpontú körnek O-tól különbözı belsı pontja a P. A körvonal mely K pontjára lesz az OKP szög a legnagyobb? 3. feladat Az elsı 500 pozitív egész szám közül melyek azok, amelyek mindegyikének pontosan 9 pozitív osztója van? 4. Húzzuk be az ABCD téglalap BD átlóját. Az ABD derékszögő háromszög beírt körének K középpontjából bocsássunk merılegest a BC és a CD oldalakra, e merılegesek talppontjai legyenek rendre az L és az M. Mekkora a KLCM és az ABCD téglalapok területének az aránya? 5. feladat Egy kerek asztal körül 4 férfi és 4 nı ül. Bizonyítsuk be, hogy van négy egymás mellett ülı úgy, hogy közöttük ugyanannyi a nı, mint a férfi! Székesfehérvár, 2011. január 11.
Varga Tamás Matematikaverseny országos döntı 2011. I. kategória 1. feladat Egy üres tartályba egy csapon át percenként 600 liter, 30%-os narancslé ömlik. Háromnegyed óra múlva egy másik csapot is megnyitnak, ezen percenként 800 liter, 40%-os narancslé folyik be. Az elsı csap megnyitásától számítva mennyi idı múlva lesz a tartályban a narancslé 35 %-os? 2. feladat Három egybevágó húrtrapézból az ABC szabályos háromszöget állítottuk elı az ábra szerint. C F Az ABC háromszög magassága a trapéz magasságának 6-szorosa. Mekkora a DEF háromszög területe, ha tudjuk, hogy a trapézok területe 1 cm 2? D E A B 3. feladat Hány pozitív köbszám osztója van az A = 3! 5! 7! számnak? (köbszám: egy pozitív egész szám harmadik hatványa; n! = 1 2 3... n, azaz az elsı n pozitív egész szám szorzata) 4. feladat Az ABC hegyesszögő háromszög A csúcsából induló belsı szögfelezıjére a B csúcsból állított merıleges talppontja D, a BC oldal felezıpontja pedig F. Mekkora a DF szakasz, ha AB = 28 cm és AC = 38 cm? 5. feladat Egy 2011 x 2011-es táblázat minden mezıjébe +1 -et vagy 1 -et írunk. Ezután minden sor mellé és minden oszlop alá leírjuk az adott sorban, illetve oszlopban szereplı számok szorzatát. Végül az így kapott 4022 darab számot összeadjuk. Kaphatunk-e összegként: a) 2011-et; b) 2010-et; c) nullát? Székesfehérvár, 2011. március. 29.
Varga Tamás Matematikaverseny országos döntı 2011. II. kategória 1. feladat Egy futóversenyen Andrást ugyanannyian elızték meg, mint ahány versenytársát ı megelızte. Ez utóbbi csoportban volt Béla is, aki a 10. lett. Csaba lett a 16. Hányadik lett András, ha holtverseny nem volt? 2. feladat Két egymást érintı, egyenlı sugarú kör érintési pontján át, rajzoljunk egy ugyanolyan sugarú kört tetszıleges középponttal. Bizonyítsuk be, hogy ez utóbbi kört az elızı két kör (eltekintve az érintési ponttól) egy átmérıjének két végpontjában metszi! 3. feladat Hány olyan hatjegyő szám képezhetı az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekbıl, amelyekben mindegyik számjegy pontosan egyszer szerepel, és bármely két szomszédos számjegy szorzata páros szám? 4. feladat b c a d Egy 3 cm sugarú kör két húrja merıleges egymásra. Egyikük a kör középpontjától 1 cm-re, a másik 2 cm-re van. A keletkezett 4 rész területét az ábra szerint rendre a, b, c, és d jelöli. Hány cm 2 az (a + c) (b + d) különbség? 5. feladat a) Megadható-e olyan 100 tagú számsorozat, amelyben bármely 3 szomszédos szám összege negatív, de a 100 szám összege pozitív? b) Megadható-e 100 szám az ábra szerint felírva egy körvonalra úgy, hogy bármely három szomszédos szám összege negatív, de a 100 szám összege pozitív? a 100 a 51 a 1 a 99 a 3 a 50 a 2 a 49 a 4 Székesfehérvár, 2011. március 29.