IX.2. ÁTLAGOS FELADATOK I. Tárgy, téma Algebra, statisztika. Előzmények A feladatsor jellemzői Az aritmetikai átlag fogalma, oszthatósági alapismeretek, prímszám fogalma, a számtani sorozat elemeinek összegére alkalmazott Gauss-módszer, elsőfokú egyenletek megoldása. Cél Az aritmetikai átlag fogalmának mélyítése, stratégia kialakítása csoportmunkában. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatokat érdemes sorban megoldani, mert a feladatsorban fokozatosan nehezedő feladatok szerepelnek. Választhatunk a feladatokból otthoni munkát is. A feladatok többségében csak szám vagy egész szám szerepel, és a végén általában pozitív egész számokat kapunk eredményül. Érdemes a megbeszélések során arra is kitérni, hogy ha megengedünk a feladatban negatív számokat is szerepelni, akkor ez hogyan módosítja a probléma megoldását. A 6 7. feladatokban csoportmunkát javasoltunk (ötfős csoportokban), ami folytatódhat a 8., illetve a 9. feladatban is. Természetesen az osztály létszámához igazodva a csoportok létszáma változhat, ebben az esetben a számok 1-től a csoportlétszámig nőnek. Érdekes lehet az is, ha egy osztályon belül különböző létszámú csoportokat alakítunk ki, és megfigyeljük, hogy hogyan veszik észre a tanulók az azonos módszereket, melyek függetlenek a csoportok létszámától. Ha tematikusan osztályozzuk a feladatokat, a következő csoportokat kapjuk: 2., 4. szomszédos egészek átlaga. 1., 3., 4., 6., 7., 8., 9. a számok összege és darabszáma megadja az átlagot. 5., 9. átlag és oszthatóság. IX. Leíró statisztika IX.2. Átlagos feladatok I. 1.oldal/5
A szöveges feladatok a tanulók többségének nehézséget okoznak. Segítsük a diákokat az átlag fogalmának rugalmas használatában, azaz abban, hogy észrevegyék, nemcsak az adott számokból lehet kiszámolni az átlagukat, hanem az átlag és a darabszám alapján a számok összegét is meg tudjuk határozni. Ez a kulcsa sok feladatnak. Az eredményeket érdemes folyamatosan ellenőrizni, és az elakadó diákoknak azokhoz hasonló feladatokat adni, amely nehézséget okozott számukra, hogy folytathassák a felzárkózást a többiekhez. IX. Leíró statisztika IX.2. Átlagos feladatok I. 2.oldal/5
ÁTLAGOS FELADATOK I. Feladat sor 1. Mi a megadott számok átlaga? Többet ésszel, mint erővel! a) b) c) 19, 21, 29, 31, 39, 41. 2. Mi a megadott számok átlaga? Többet ésszel, mint erővel! a) 1, 2, 3. d) 1, 2, 3, 4,, 49. b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. e) 1, 2, 3, 4,, 100. c) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 3. Az alábbi táblázatra sajnos egy tintafolt került. Milyen szám áll a folt alatt? 1. szám 2. szám 3. szám 4. szám 5. szám 6. szám A hat szám átlaga 5 9 5 7 8 7 4. a) Öt szomszédos egész szám átlaga 11. Melyek ezek a számok? b) Húsz szomszédos egész szám átlaga 12,5. Mennyi a legkisebb és a legnagyobb szám összege? Melyik ez a húsz szám? Ábrázold számegyenesen! 5. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz-e vagy hamis! Hamis állítás esetén írj ellenpéldát! a) Bármely két egész szám átlaga egész szám. b) Bármely két páratlan szám átlaga egész szám. c) Bármely két páros szám átlaga páros szám. IX. Leíró statisztika IX.2. Átlagos feladatok I. 3.oldal/5
6. Alkossatok ötfős csoportokat! Kiosztok minden csoportnak 5 darab papírt mindenkinek egyet-egyet, melynek egyik oldala üres, másik oldalán pedig az 1, 2, 3, 4, 5 számok szerepelnek. (Egy papíron csak egy szám.) A papírok üres oldalára nektek kell egy-egy számot írni úgy, hogy az öt új szám átlaga kettővel legyen nagyobb, mint az eredetileg felírt számok átlaga. Az egyes papírok két oldalán lévő számok ne egyezzenek meg egymással! A csoport tagjai a stratégiájukat (hogy ki-ki milyen számot írjon majd a papírjára) előre megbeszélhetik egymással. A papírok kiosztása után erre már nincs lehetőség, a csoport tagjai akkor már semmilyen módon nem kommunikálhatnak egymással, akkor már mindenkinek önállóan kell felírnia egy-egy számot a kapott papírra. 7. Alkossatok ötfős csoportokat! Kiosztok minden csoportnak 5 darab papírt mindenkinek egyet-egyet, melynek egyik oldala üres, másik oldalán pedig az 1, 2, 3, 4, 5 számok szerepelnek. (Egy papíron csak egy szám.) A papírok üres oldalára nektek kell egy-egy számot írni úgy, hogy az öt új szám átlaga ugyanannyi legyen, mint az eredetileg felírt számok átlaga. A csoport tagjai a stratégiájukat (hogy ki-ki milyen számot írjon majd a papírjára) előre megbeszélhetik egymással. A papírok kiosztása után erre már nincs lehetőség, a csoport tagjai akkor már semmilyen módon nem kommunikálhatnak egymással, akkor már mindenkinek önállóan kell felírnia egy-egy számot a kapott papírra. 8. a) Mennyi az átlaga a következő öt számnak: 2; 2; 2; 2; 2? b) Tíz korong mindegyikére egy-egy számot írtunk. Bármelyik hármat is húzzuk ki közülük, a rajtuk szereplő számok átlaga 6. Milyen számok vannak a korongokra írva? 9. Dolgozzatok csoportban! a) Adjatok meg két olyan számot, melyek átlaga 12! Keressetek minél több ilyen tulajdonságú számpárt! Keressetek szabályosságot! b) Adjatok meg két olyan páros számot, melyek átlaga 12! Keressetek minél több ilyen tulajdonságú számpárt! Keressetek szabályosságot! c) Adjatok meg két olyan néggyel osztható számot, melyek átlaga 12! Keressetek minél több ilyen tulajdonságú számpárt! Keressetek szabályosságot! d) Adjatok meg két olyan öttel osztható számot, melyek átlaga 12! IX. Leíró statisztika IX.2. Átlagos feladatok I. 4.oldal/5
1. a) 30. b) 30. c) 30. MEGOLDÁSOK 2. a) 2. b) 5. c) 6. d) 25. e) 50,5. Egymást követő egész számok átlaga ugyanannyi, mint az első és az utolsó szám átlaga. Páratlan sok szomszédos szám esetén az átlag éppen a középső tag, páros sok szám esetén a két középső szám átlaga. 3. Mivel a hat szám átlaga 7, így az összegük 42. 42 (5 + 9 + 5 + 7 + 8) = 8. A tintafolt alatt a 8 van. ( x 2) ( x 1) x ( x 1) ( x 2) 4. a) 11, innen x = 11. 5 Az öt szám: 9, 10, 11, 12, 13. b) Éppen az átlag duplája, azaz 25. (Gauss módszer!) Egymást követő egész számokról van szó, tehát a középső kettő átlaga az átlag. A középső két szám a 12 és a 13, így a két szélső szám a 3 és a 22. A keresett húsz szám: 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22. 5. a) Hamis. Például: az 1 és a 2 átlaga 1,5. b) Igaz. (Az összegük páros, így az összegük fele egész.) c) Hamis. Például: a 2 és a 4 átlaga a 3. 6. Például: minden számot kettővel növelünk: 3, 4, 5, 6, 7. Sok egyéb megoldás is van. 7. Például: ugyanazokat a számokat írjuk, mint eredetileg, csak nem ugyanarra a papírra, vagy mindenki eggyel nagyobbat ír, mint az előbb, a legnagyobb szám helyett pedig a legkisebbet kell írni stb. 8. a) 2. b) A tíz szám legyen: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. Ha bármely három szám átlaga 6, akkor bármely három szám összege 18. Belátjuk, hogy mind a tíz szám egyenlő. Például: a + b + c = a + b + d = 18, így c = d. Hasonlóan belátható a többi egyenlőség is. Így mind a tíz szám 6. 9. a) 12 és 12; 11 és 13; 10 és 14; általánosan 12 x és 12 + x. b) 12 és 12; 10 és 14; általánosan 12 2k és 12 + 2k, k N. c) 12 és 12; 8 és 16; általánosan 12 4k és 12 + 4k, k N. d) Nincs ilyen két szám, mert két öttel osztható szám összege nem lehet 24. IX. Leíró statisztika IX.2. Átlagos feladatok I. 5.oldal/5