A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak Középiskolai tanulmányaink fontos része volt az elemi síkgeometriai tananyag. Ennek egyik nevezetes tétele így szól [ 1 ] : Az ugyanazon köríven nyugvó kerületi szög fele a megfelelő középponti szögnek. Ennek közismert igazolása megtalálható pl. [ 1 ] - ben is. Ez nem igazán nehéz, bárki megértheti és sikerrel alkalmazhatja napi munkájában. Annak apropóját, hogy ezt most elővettük, az adja, hogy egy szakmai feladatban ennek alkalmazásával egysze - rűbb, elegánsabb eredményhez juthatunk. Erről majd később. Most először a tételről és annak igazolásáról beszélgessünk inkább! Szóval, emlékszem, amikor a szakközépiskolában ezt tanultuk, megtörtént, ami már sokszor azelőtt is: lemaradtam, így aztán már nem is értettem a magyarázatot, hogy az erre épülő látókörív - szerkesztésről már ne is beszéljünk. Nem hagyható figyelmen kívül, hogy ez ma is megtörténhet, csak fordított szereposztásban Az ellenszer: az öntevékeny, szorgalmas újratanulás. Ennek azonban nem kell feltét - lenül követnie a régi mintát. Mi lenne, ha kitalálnánk valami mást? Most ezt kíséreljük meg. Minthogy nem vagyunk matematikusok csak tanárok, nem árt, ha először körülnézünk, hogy eredményünket nem láttuk - e már valamely ismert szakirodalmi munkában. Nos, úgy tűnik, a nagyok ezt másképp csinálják. Ettől persze a saját megoldás még jó lehet. A szakirodalom szerint [ 1 ] négy esetet kell vizsgálnunk 1. ábra. 1. ábra 1. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárai között fekszik.. eset: A kör középpontja a kerületi szög egyik szárán fekszik. 3. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárain kívül fekszik. 4. eset: A kerületi szög egyik szára érintő. Mielőtt nekifognánk, lássunk be egy segédtételt, csak úgy gyalog! Ehhez tekintsük a. ábrát is!
. ábra Segédtétel: A valamely befogójára mint t tengelyre tükrözött derékszögű háromszög: egyenlő szárú háromszög, melyre az előállításból fakadóan igazak az alábbi tulajdonságok: ~ az m c = a 1 = a magasság felezi a c alapot; ~ az m c magasság merőleges a c alapra; ~ az m c magasság felezi a c - vel szemközti γ szöget. Most már nekiláthatunk a címbeli tétel saját, házi használatra szánt igazolásának. 1. eset: ehhez tekintsük a 3. ábrát! Az AB) ívhez tartozó λ kerületi és γ középponti szögek összefüggését vizsgáljuk. A teljes körre: ο α + β + γ = 360, α β γ ο + + = 180, ebből:
3 γ ο α β = 180. ( 1 ) 3. ábra Most a 3. ábra szerint: ο α ο β ο α β λ = 90 + 90 = 180 ; ( ) majd ( 1 ) és ( ) - vel: λ = γ. ( 3 ) A ( 3 ) képlet a tétel állítását adja az 1. esetre. Természetesen hasonló eredményre jutunk a BC), ill. a CA) ívek használatával is, a megfelelő szögekkel.
4. eset: ehhez tekintsük a 4. ábrát! 4. ábra A B pontnál lévő ~ λ 1 szög egyenlő λ - val, mert az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlőek v.ö.:. ábra; ~ λ szög egyenlő λ - val, mert váltószögek; ezzel ismét a 4. ábra szerint: γ = λ 1 + λ = λ + λ = λ, λ = γ. ( 4 ) A ( 4 ) képlet a tétel állítását adja a. esetre. Megjegyezzük, hogy a. eset igazolása nem tér el jelentősen az [ 1 ] - belitől.
5 3. eset: ehhez tekintsük az 5. ábrát! Eszerint: ο α ο β β α λ = 90 90 =, tehát: 5. ábra β α λ =. ( 5 ) Most ismét az 5. ábráról: β = α + γ,
6 γ = β α, ebből pedig: γ β α = ; ( 6 ) majd ( 5 ) és ( 6 ) összehasonlításából: λ = γ. ( 7 ) A ( 7 ) képlet a tétel állítását adja a 3. esetre. 4. eset: ehhez tekintsük a 6. ábrát! 6. ábra Eszerint, merőleges szárú szögek miatt: γ λ =. ( 8 )
7 A ( 8) képlet a tétel állítását adja a 4. esetre. Megjegyezzük, hogy a 4. eset igazolása nem tér el az [ 1 ] - belitől. Ezzel a tételt bebizonyítottuk, kicsit másként. Nyilván adja magát a kérdés, hogy miért térjünk el a pl. [ 1 ] - ben is megtalálható igazolástól. Erre több válasz is adható: ~ mert részben más, mint a szokásos; ~ mert a levezetés viszonylag egyszerű: alig kíván többet, mint ami az órán közvet - lenül elmagyarázható, és hiányos előismeretekkel is követhető; ~ mert egyszerűen példázza, hogy egy ilyen levezetés egy idő után szinte bárki számára megvalósítható, stb. Most nézzük, hogy mi vezetett a fenti tételen való elmélkedéshez! A kiváltó szakmai feladat: boltöv számítása [ ]. Mint már említettük, szerettünk volna egy egyszerű és elegáns megoldást mutatni az alábbi feladatra. Feladat: Adott az alábbi ábra szerinti szegmens - ív, a jellemző adataival. Jelölések: ~ d: húrhossz / falköz; ~ h: ívmagasság; ~ r: ívsugár; ~ α: középponti szög. Határozza meg a jellemző adatok közti összefüggéseket, képlet formájában! Részletezve: ~ fejezze ki r - et d és h függvényében; ~ fejezze ki α - t d és h függvényében! Útmutatás: alkalmazza a Pitagorász - tételt és valamely szögfüggvényt!
8 Megoldás: A sugár képlete Pitagorász tételével: d r = + ( r h ) ; folytatva: d r = + r r h + h, d r h = + h, d h r = +. 8 h ( a ) Ehhez tekintsük az alábbi ábrát is! A középponti szög képlete
9 Leolvasható róla, hogy az AC) íven nyugvó középponti szög: α /, a megfelelő kerületi szög pedig β. A fenti tétel szerint: 1 α α β = =. ( b ) 4 Most az utóbbi ábra alapján: h h tg β = =. ( c ) d / d Majd ( b ) és ( c ) szerint: α h tg =, 4 d α h = arctg, 4 d ebből pedig: h α = 4 arctg. d ( d ) Az ( a ) és ( d ) képletek a kitűzött feladat egy szép megoldását adják. Irodalom: [ 1 ] Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [ ] Szerényi István ~ Gazsó Anikó: Építőipari szakmai számítások Szerényi és Gazsó Bt., Pécs, 000. Sződliget, 01. május 5. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár