Váczi Dániel retikuláris zene
Ta r t a l o m Bevezetés... 3 A retikulum... 4 Kiindulás... 4 Kánonszerkesztés... 4 A retikuláris sor... 6 MAD... 7 Tükör (inversus), rák (retrograde), rák-tükör (retrograde inversus)... 8 A szinguláris retikulum... 9 A négy szinguláris retikuláris sor... 9 A kromatikus sorok... 9 A tér-idő kontinuum... 10 A szinguláris retiluláris sorok viszonyai a térben... 10 Tükör (inversus), tekercs (circumversus) és tükör-tekercs (in-circumversus)... 11 Poliritmikus következmények... 14 A szinguláris retiluláris sorok viszonyai az időben... 14 Bolha (mixograde)... 16 A 16 féle fordítás... 17 A nemszinguláris retiluláris sorok viszonyai az időben... 17 Augmentáció, diminúció... 17 A retikuláris mátrix... 22 A legkomplexebb szinguláris mátrix... 22 A 12 sor egymáshoz való viszonyai... 23 Pár, testvér, sógor(nő), ellenlábas... 24 A különböző léptékű mátrixok... 26 A kiterjesztett retikuláris mátrix... 27 A retikuláris zene gyakorlata... 31 A komponista szabadsága... 31 A szabadsági fok fogalma... 31 A retikuláris zene jellege... 32 Kitekintés... 33 Összefoglalás... 34 Függelék... 35 I. függelék... 35 II. függelék... 36 IV. függelék... 38 V. függelék... 40 VI. függelék... 41
Be ve ze t é s A retikuláris zenéről szóló írásomban egy újfajta kompozíciós technikát próbálok bemutatni, melyet az elmúlt években dolgoztam ki. Nem volt vele sem célom, sem előregyártott tervem, az egyik lépés hozta a másikat. Próbáltam követni a már meglévő elemek belső logikáját, kerülni az önkényes megoldásokat, levonni a levonható konzekvenciákat. Munkámat sokkal inkább felfedezések, mint találmányok láncolatának tekintem, melyek mintegy maguktól álltak össze azzá a rendszerré, amlynek leírása a következőkben olvasható. A retikuláris szó jelentése: hálózatos, rácsszerű. A retikuláris zene elmélete a hangok 12 fokú rendjén alapul. A 12 hangot kizárólag mint hangminőségeket tekinti, hangmennyiségükkel, azaz valamely konkrét oktávban történő megszólalásukkal nem foglalkozik. A kottapéldákban az egyszerűség kedvéért az enharmonikusok közül mindvégig a c c d eb e f f g ab a b h formákat használom, az f e oktávba írva: 1. ábra Két hang távolságát is egy oktávon belül, kromatikusan értelmezem, tehát 0 = prím (= 12 = oktáv), 1 = kisszekund, 2 = nagyszekund, 3 = kisterc, ( ), 10 = kis szeptim, 11 = nagy szeptim. Mindez természetesen csupán az elméletre vonatkozik, a zeneszerzői gyakorlatban, tehát a retikuláris elven komponált zeneművekben és az ezekből idézett kottapéldákban már konkrét hangmagasságok szerepelnek, melyeket a szerző határozott meg a komponálás során. Ha sorszámozom az ütem tizenkét hangját, azt 0 11-ig teszem, de a 0 helyett írhatunk 12-t is az analóg óraszámlap mintájára. Ütemmutatónak (ahol van) általában 3/4-et használok, 4+4+4-es tizenhatodos felosztással, mely tagolás kizárólag a könnyebb olvashatóság kedvéért történik. Jelen összefoglalóm felépítése egyrészt a különböző ötletek és felfedezések kronológiája, másrészt az elmélet logikai struktúrája által megkövetelt sorrendet követi. 3
A r e t i k u l u m Kiindulás Tekintsünk egy 12 fokú sort (Reihét): 2. ábra A dodekafón zene legfőbb szabálya, hogy a darabon belül a hangok elhangzási sorrendjét a predeterminált dodekafón sor, a Reihe határozza meg, megengedve azonban, hogy két vagy több egymásutáni hang is megszólaljon egyidőben, röviden az adott hang megszólalása nem előzheti meg a sorban azt megelőző elhangzását. Ha a hangok elhangzási sorrendjére vonatkozó dodekafón szabályt szigorúbban vesszük, mint azt maga Schönberg és a második bécsi iskola tette, és két vagy több hang egyidejű megszólalását sem engedjük meg, akkor az adott hang szigorúan csak a sorban azt megelőző megszólalása után hangozhat el. Ez azt eredményezi, hogy megszűnik a vertikális dimenzió: a hangok a horizontális síkon követik egymást, ismételgetvén a dodekafón sort. Ez azonban nem jelenti azt, hogy ne alkothatnának több szólamot: 3. ábra Kánonszerkesztés Ha most ezt a három szólamot egy háromütemes kánon egy ütemeként értelmezzük, a következőt kapjuk: 4. ábra Mint láthatjuk, ez tulajdonképpen egy új Reihét eredményez a szólamokon belül. 4
A következő lépés az, hogy egyenletes ritmust rendelünk a sorhoz (12 tizenhatodot a Reihe 12 hangjához), tehát az adott hang ütemen belüli helyét is meghatározzuk, közeledve ezáltal a szerializmushoz is: % & ' % ' ( & % ) & ' * ( ' & ( ' ) ( & ' ' & & ' * ( ' & ( ' ) ( & ' ' & % & ' % ' ( & % ) ( ' ) ( & ' ' & % & ' % ' ( & % ) & ' * ( ' & 5. ábra Amennyiben megengedjük, hogy az adott hang egy szólamon belül a következő hang megszólalásáig tartson, a három szólam hangjai egymásbalóghatnak, és ismét megjelenhet a vertikális dimenzió: % % & & ' & ' & & ( & & ' & & % % & ' ) & ' & % % & & ' & 6. ábra Mivel nem kötöttük ki, hogy egy adott hang egyszerre csak egy szólamban szerepelhet, a különböző szólamok azonos pontjain tiszta prímek (vagy tetszőleges oktávok) szólalhatnak meg: % & &' ( & ( % & % ) ( & ( % & % & & & * + % & % & & & % & &' + & & & % & &' ( & ( % % & & ( & ( & & ) & & ( & & % % & ( + & ( & % % & & ( & 7. ábra Az I. Függelék a Retikuláris Kánonvariációk - Opus 0 c. darab első tételét tartalmazza, mely az imént bemutatott háromszólamú kánonon alapszik. 5
A retikuláris sor Innen egy merész lépéssel az egyik oldalon szorosabbra húzott dodekafón szabályt a másik oldalon lazábbra engedhetjük azáltal, hogy nem követeljük meg a Reihe tényleges elhangzását, csak azt, hogy egy adott hang az ütemen belül csak azon a helyen jelenhet meg, amelyet az - innentől már inkább retikuláris-nak nevezhető sor számára meghatároz. Ilyeténképp tehát nem szükséges, hogy a szólamok, minden ponton kiegészítve egymást, kiadják a teljes sort: &% % &% &% '% &% '% &% '% &% % )% '% % &% % % 8. ábra &( % )% % &% % )% &% % &% )% % &% &% Kaptunk tehát egy minden ütemben azonos hangstruktúrájú rácsozatot vagy hálót, a retikulumot, melyből a szólamok tetszőleges hangokat használhatnak fel, vagy a másik végéről közelítve a dolgot, mintegy kihagyják a felesleget, azokat a hangokat, melyekre nincs szükség. Az ütemvonalazás természetesen önkényes, a tagolás csak a jobb áttekinthetőséget szolgálja. A retikuláris sor helyett pedig logikusabb volna kört, hurkot vagy ciklust mondanunk, mivel valójában nincs kezdete, vége vagy bármilyen kitüntetett pontja, körbe-körbe jár. A hagyományos kottaírásban azonban mégis a sor elnevezés tűnik képszerűbbnek, így ha a továbbiakban ennél maradunk is, ne felejtsük el, hogy a sor bármely hangjáról kezdve ugyanaz a sor marad. Lényegében tehát arról van szó, hogy egy tetszőlegesen megválasztott 12 fokú sor minden egyes hangjának helye rögzítve van az ütemen belül (az összes ütemre ugyanúgy), és a zeneszerző dönti el, hogy a darab mely ütemében mely hangokat használ fel ezekből. A hangok hossza és oktávtranszpozíciója nincs az elmélet által előre meghatározva. Egy retikuláris darab, vagy akár azonos retikuláris sorra íródott különböző darabok bármely szólamának bármely üteme szabadon kombinálható egymással a szabályok sérülése nélkül. Ez azt vonja maga után, hogy egy adott pontról indulva egy adott ritmus meghatároz egy bizonyos dallamot (helyesebben hangsorrendet), illetve egy adott dallam (hangsorrend) meghatároz egy bizonyos ritmust. Példánkban az adott ritmus a 12 különböző hangról (és ezáltal az ütemen belül elfoglalt helyről) elkezdve 12 különböző dallamot ad, illetve az adott dallamstruktúra (hangsorrend-struktúra) a 12 különböző transzpozícióban 12 különböző ritmust eredményez (a hangok fölött-között olvasható számok hangközöket jelölnek): 6
% & ' & & & & ' % % & ' & & & & ' % % & ' & & & & ' % % & ' & ( ) * * * ) ) ) * * * ) ) * * * ) * * * * * ) * * * ) ) * * * * ) ) * * * % % & & ' & ' & & ( * ) * * * ) ) ) * * * ) ) * * * ) * * * * * ) * * * ) ) * * * * ) ) * * * * & % ' ( ' & & & * * * * ) * * * ) ) ) * * * ) ) * * * ) * * * * * ) * * * ) ) * * * * ) ) * * * + & & & ' ' & & & % & 9. ábra % % % & % % & % ' & % ' % % & % % % & % ' & % ' % % & % % % & % ' & % ' % % & % % % & % ' & % ' % % & % % % & % ' & & 11 11 11 % & % 11 9 & ' 1 % 1 7 1 % % % % ' 1 9 % 11 & 11 11 11 % & % 9 % 1 1 % ' 7 ' 1 % 1 & 9 % 11 11 % & % 11 ' ( 11 % 9 1 % & 1 % 7 % 1 1 % ' ( 9 & 10. ábra MAD A Madarász Ivánnak dedikált MAD című négytételes mű felépítése sokban rímel az eddig elhangzottakra (II - IV. függelék, hangzó anyag: Plastic Septet: Horror Vacui, BMC Records, 2008): I Szabad dodekafón kollektív improvizáció, a hat dallamhangszer egyenként ugyanazt a sort játssza körbe-körbe, tetszőleges ritmusban, oktávtranszpozícióban, dinamikával stb. II Szigorú dodekafón téma + basszusmenet, még szabad ritmuskezelés, de már jellemző rá az a szabály, hogy csak azonos hangok eshetnek egybe. A kísérő-szólamok retikuláris jellegűek, a témát és basszust játszó szólamok ritmusára illeszkedve szólalnak meg bizonyos két-, három- illetve négyszólamú, idő-torzított retikuláris kánonok. III A dodekafón sorból kihagyásos eljárással előállított basszusmenetre történő, alapvetően tonális kollektív improvizáció, a vé- gén dodekafón téma. IV Az első 12 ütem egy 4 szólamú retikuláris kánon, minden szólam oktávban megkettőzve, a második 12 ütem pedig egy olyan 6 szólamú retikuláris kánon, ahol az egyes szólamok a kromatikus skálán lépegetnek fölfelé a retikuláris sor által meghatározott ritmusban (mintegy előremutatva a szinguláris retikuláris sor felé). 7
Tükör (inversus), rák (retrograde), rák-tükör (retrograde inversus) A dodekafón zenében szokásos megfordítások a retikuláris zenében is használhatók. Ha elkészítjük egy tetszőleges retikuláris sor tükörfordítását, ez automatikusan létrehozza az adott sorra ráillesztett dallam hasonló fordítását (a képzeletbeli tengely most és a későbbi példákban is a c és a h hang között fekszik, később részletezett okból): síma (rectus) % & ' & & & & ' ' & ' & % % & ' & & & & ' % % & ' & & & & ' % & % % & & & ' & ' & & tükör (inversus) ' & & ' & % ' & & ' & % ' & & & % & ' & % & & 11. ábra % ' & % A sor rákfordítása a dallamot is megfordítja, ez azonban kicsit máshogy működik, mint megszoktuk. Ha minden hang csak egy tizenhatod értékű, nincs semmi probléma: síma (rectus) % & ' & & & & ' % % & ' & & & & ' % % & ' & & & & ' % ( ) ( % ' ( & * ) & ( ) & ' ) ( & & ( rák (retrograde) % ' & & & & ' & % % ' & & & & ' & % % ' & & & ( & & ( ) ' & ) ( & ) * & ( % ' ( ) ( % 12. ábra % & ' & % Ha azonban az utánuk jövő szüneteket is kitöltik a hangok, a rákfordításban más ritmus adódik: a hanghosszok eggyel eltolódnak, mivel az adott hang után jövő szünetek, meyeket az kitölthet, a következő hang utánra kerülnek visszafelé játszva (a kis számok ezúttal a hangok tizenhatodban értendő hosszát jelölik): % & ' & & & 4 1 1 4 % 1 5 ( & & & & & ' 1 4 ' % % & ' & A rák-tükör (vagy tükör-rák) fordítás hasonlóan működik. 8 % & ' & % % 1 4 ' & 6 & ' & & & 6 & & & & ' % % & ' & 4 1 5 & & & ' & % % 4 & 13. ábra 1 4 ' 1 4 ' & & & % ' 1 1 4 & & % & ' & & & ' & % % 4 % ' &
A szinguláris r e t i k u l u m A négy szinguláris retikuláris sor Keressük meg a legegyszerűbb sorokat, és használjuk ezeket retikulumunk alapjául, még egy szabad paramétert rögzítve abból a kevésből, ami megmaradt Ennek a radikális lépésnek döntő következményi lesznek a továbbiakra, mint azt hamarosan látni fogjuk. Rövid fejtörés után mindenki rájöhet, hogy négy olyan sor létezik, mely mind a 12 hangot egyszer tartalmazza és tökéletesen homogén, azaz strukturálisan minden pontján önhasonló: a kromatikus skála felfelé és lefelé, valamint a csupa tiszta kvartból álló felfelé és lefelé, ami tulajdonképpen a kvintkör két irányának felel meg. Ezekkel megegyeznek, csak az előzőkkel éppen ellentétes irányban a csupa nagyszeptimből és a csupa tiszta kvintből álló sorok. Jelöljük ezeket mostantól a következőképpen: kisszekund-skála felfelé = (1) retikuláris sor kisszekund-skála lefelé = (11) retikuláris sor kvart-skála lefelé = (7) retikuláris sor kvart-skála felfelé = (5) retikuláris sor (1) (11) (7) (5) 14. ábra A kromatikus sorok Az emelkedő kromatikus retikuláris sor használatával bármely dallamstruktúra szabadon transzponálhatóvá válik, ami időbeli eltolással jár együtt: % & % ' % % % % ' % ' ( ' % & % ' % ' % % & % ' % % & % ' % ' % % & % ' % ' % & % ' ' & % & % % % 15. ábra % & % ' % ' % % & % & % % % % Előáll továbbá egy érdekes jelenség a zenei tér (a hangmagasság) és az idő viszonyában: egyértelmű, kölcsönös függésbe kerülnek egymással 9
A tér-idő kontinuum Mielőtt rátérnék erre, bevezetek itt egy új jelölést, hogy bármilyen hosszú hangot lehessen két hang átkötése nélkül ábrázolni: a szokásos vízszintes pontozás mellett, mely rendre a hangérték felével, negyedével, nyolcadával stb. toldja meg a hang hosszát, függőlegesen elhelyezett pontokat is definiálok: ezek hasonló módon működnek, csak hozzáadás helyett levonnak (az első pont természetesen mindig hozzáad). Ha tehát két pont van egymás alatt, az első hozzáadja a hang felét, a második levonja a negyedét, ez egy 4/16 hosszú negyedből 5/16 hoszú hangot csinál. A negyed utáni két pont egymás mellett szokásosan 7/16-ot (4 + 2 + 1) ad. A félkotta utáni három pont egymás alatt 9/16 értékű (8 + 4 2 1), kettő egymás alatt 10/16 (8 + 4 2), kettő egymás alatt, az alsó mellett egy 11/16 (8 + 4 2 + 1), kettő egymás mellett, a második alatt egy 13/16 (8 + 4 + 2 1), két vízszintes 14/16 (8 + 4 + 2) stb. Visszatérve a tér-idő kontinuumra, ez röviden azt jelenti, hogy két hang távolsága a térben (a hangköz) és az időben (a két hang megszólalása között eltelt idő) kölcsönösen megfelel egymásnak (bármely 12 hangot tartalmazó szakaszon belül). 1 2 3 4 % ' & & 5 ' 6 ' 16. ábra 7 8 ( 9 ( 10 ( 11 ( 12 %( A 12 hangnál többet tartalmazó szakaszokra (azaz ha két hang távolsága nagyobb, mint 12) ez olymódon lesz érvényes, hogy ennek a 12-nél nagyobb számnak 12-vel történő osztása utáni maradékát vesszük figyelembe: 17 = 1 x 12 + 5, tehát tiszta kvart, 37 = 3 x 12 + 1, tehát kisszekund, 132 = 11 x 12 + 0, tehát prím stb. A szinguláris retiluláris sorok viszonyai a térben Ha közelebbről megvizsgáljuk a kromatikus és a kvint sort, feltűnhet, hogy mindkettő felbontható két egészhangú sorra, melyek fésűfogak módján illeszkednek egymásba. Csupán annyi a különbség, hogy a kvintkörnél az egyik egészhangú sor egy tritonussal (6 hanggal) el van tolva a kromatikushoz skálához képest és vice versa (mindegy, hogy térben vagy időben tekintjük ezt az eltolást): & & 17. ábra Mivel pillanatnyilag úgyis csak a hangstruktúrákat nézzük, függetlenül a transzpozícióktól, definiálhtajuk úgy is ezt a viszonyt, hogy a két egészhangú skála egyike egy kis terccel (3 hanggal) felfelé, a másika pedig ugyan- 10
ennyivel lefelé transzponálódik (a későbbiekben látni fogjuk, hogy a dolog logikáját tekintve ez a jobban használható megközelítés): & & 18. ábra Tükör (inversus), tekercs (circumversus) és tükör-tekercs (in-circumversus) A kromatikus skála emelkedő és ereszkedő sora egymásnak tükör- és egyben rákfordítása, hasonlóan a kvintkör két irányához (a továbbiakban az egyszerűség kedvéért csak a tükörfordítás kifejezést használom, annál is inkább, mivel itt nem találkozunk a rákfordításnál felbukkanó bonyodalmakkal). A tükörtengely bármely hangon vagy bármely két hang között feküdhet, de mivel jelen esetben a kromatikus emelkedő sort c-től h-ig ábrázoljuk, tegyük a tengelyt h és c közé, hogy a tükör- és rákfordítás az ereszkedő sorral szemléletesen egybeessen. A tükörrák vagy rák-tükör fordítás visszaállítja a kiindulási sort. Ez látszólag újabb elszegényedést jelent: négy helyett csak két megfordításunk (a síma (rectus) és a tükör (inversus)) maradt. Amit azonban elvesztettünk a vámon, megnyerjük most a réven, ha a kromatikus és a kvint sor az előbbiekben tárgyalt viszonyát egy új transzformációnak tekintjük. Tehetjük ezt azért, mert ez is egy olyan alapvető eljárás, melyet, ha kétszer egymás után elvégzünk, visszakapjuk a kiindulási állapotot, másrészt szabadon kombinálható az eddig használatos tükörfordítással (valamint a rákkal is, csak ez most egybeesik a tükörrel). Jobb híján nevezzük ezt a fordítást tekercs-nek vagy circumversus-nak, mivel, egy óra számlapján ábrázolva a hangokat, a két egészhangú kört széttekeri egymástól. 19. ábra 11
A hagyományos tükrözéssel (inversus) kombinált verzió neve eszerint tükör-tekercs (in-circumversus) vagy tekercs-tükör (circum-inversus), melyek ugyanúgy megegyeznek, mint a rák-tükör és a tükör-rák: síma (rectus) tükör (inversus) tekercs (circumversus) tükör-tekercs (in-circumversus) 20. ábra Mint már láttuk, a sor tükrözése létrehozza a dallam tükörképét is egyben. A tükrözött dallam hangközei úgy módosulnak, hogy a síma és a tükrözött hangköz oktávra egészíti ki egymást (valójában prímet kellene mondanunk, de így talán közérthetőbb), azaz összegük 12 (vagyis 0): % % síma (rectus) % % 5 2 7 10 ' % & 3 9 ' % & 4 1 8 11 % & & % 5 1 7 11 & % ' 4 3 8 9 & % ' 2 10 % % % 5 7 % tükör (inversus) 21. ábra Az széttekerés hatását a hangköz-struktúrára kicsit bonyolultabban lehet megfogalmazni: a különböző egészhangú skálán levő hangok hangközei, röviden a páratlan számúak (1, 3, 5, 7, 9, 11) esetén a síma és az eltekert hangköz különbsége tritonust ad, míg az egyazon egészhangú skálán levőké, tehát a párosoké (0, 2, 4, 6, 8, 10) prímet (a hangközök változatlanok maradnak): % % síma (rectus) % % 5 2 11 2 & & tekercs (circumversus) & 3 9 % % & 4 1 4 7 % ' 22. ábra & % 5 1 11 7 % % ' 4 3 4 9 % % ' 2 2 ' & % 5 11 % Az tükör széttekerése vagy a tekercs tükrözése az előbbi két eset kombinációjából jön létre, de erre is találhatunk egy, még az előzőnél is körmönfontabb, de direkt definíciót: ha az oktávot három szűkített négyesre, azaz kisterc-skálára bontjuk, a különböző szűkítetten, de egyazon egészhangú skálán levő hangok hangközei (2, 4, 8, 10) matematikai megfogalmazásban a kettővel igen, de hárommal nem osztható számú hangközök egymást oktávra egészítik ki (összegük 12), a különböző szűkítetten és különböző egészhangú skálán levőké (1, 5, 12
7, 11) sem kettővel, sem hárommal nem oszthatók egymást tritonusra egészítik ki (összegük 12-vel osztva 6 maradékot ad), míg az azonos szűkítetten levők (3, 6, 9, 12) a hárommal oszthatók különbsége prímet ad (a hangközök változatlanok maradnak): % % síma (rectus) % % 5 2 1 10 & ' & 3 3 % % & 4 1 8 5 % % & % 5 1 1 5 ' % ' 4 3 8 3 % % ' 2 10 & & % 5 1 % tükör-tekercs (in-circumversus) 23. ábra Egy nemszinguláris soron ugyanúgy elvégezhetők az új transzformációk: síma (rectus) % & ' & & & & ' ' % % & ' & & & & ' % % & ' & & & & ' % & % % & & & ' & ' & & tükör (inversus) ' & & ' & % ' & & ' & % ' & & & % & ' & % & & % ' & % tekercs (circumversus) ' % % & ' & & ' ' & & & & & ' % % & ' & & & & & ' % % & ' & & & & % % & % & & tükör-tekercs (in-circumversus) & & ' ' & % & % & & & ' ' & & % % & & & ' ' & & & & ' ' % & % % & & & & 24. ábra % % & 13
Poliritmikus következmények A szinguláris retiluláris sorok viszonyai az időben Nézzük meg, hogyan tudnánk megközelíteni e sorok egymáshoz való viszonyát az időben Az emelkedő és sülylyedő kromatikus sort (illeteve ugyanígy a kvintkör két irányát) legegyszerűbben úgy kapjuk meg egymásból, ha 12 ütemen keresztül csak minden 11-ik hangot vesszük figyelembe: 25. ábra A jelen esetben egybeeső tükör (inversus) és rák (retrograde) fordítások közül ez most a ráknak felel meg, mivel eljárásunk az időtengelyt érintette. Tovább haladva ezen a nyomon, hamar beláthatjuk, hogy még két olyan 12-nél kisebb szám van, melyeket hasonló módon alkalmazva szintén az összes hangot bejárjuk, mielőtt visszaérnénk a kiinduláshoz: az 5 és a 7. Ezek pedig éppen a kvart- illetve kvintlépéseket jelentik, megkaptuk tehát a kromatikus sorokból a kvint sorokat (és viszont): 26. ábra Ez azt engedi sejtetni, hogy az új tekercs (circumversus) térbeli fordítás mellett találtunk egy új időtranszformációt is (a bolha (mixograde) fordítást), csak ezek jelen esetben a tükör és rák fordításhoz hasonlóan - egybeesnek. Erre a következő fejezetben fogunk visszatérni. Ha megnézzük a 12-nél nagyobb számokat is, rögtön a 13-as esetén újra a kiindulási retikulumot kapjuk: 27. ábra A 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37 stb. számokkal (a kettővel és hárommal nem oszthatókkal) pedig rendre az 5, 7, 11 és 13 (1) eredményeihez jutunk, mivel a 12-vel való osztás utáni maradékuk rendre 5, 7, 11 és 1-nek adódnak. 14
A szinguláris retikulumok tehát különböző léptékben kölcsönösen tartalmazzák egymást: % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 28. ábra Egy retikulum két szomszédos hangja között is definiálhatunk hangokat, 5, 7, 11, 13 stb. egyenlő részre osztva a rést, az előző eljáráshoz hasonló módon, csak ezúttal visszafelé, a ritkábból a sűrűbb felé haladva. Így tehát egy szinguláris retikulum valójában egy nem folytonos, de tetszőlegesen sűrű hangrácsozatot alkot. Ílymódon rendkívül bonyolult poliritmiákat állíthatunk elő. Példának álljon itt az a dallam, mely többször is előfordult már az előzőkben. Ez valójában nem egy zeneszerzői önkény eredménye: a különböző léptékű szinguláris sorokból állítható elő, mégpedig úgy, hogy az (1) retikulumnak minden 5-ik és 7-ik hangját vesszük (a számok a különböző léptékű retikulumokat jelölik): 29. ábra 15
Mint láthatjuk, a közös c hangról indulva bejár minden hangot, és h-nál ér össze ismét, ahonnan újra indul egy kisszekunddal lejjebb, azaz 11 távolságra, 35 ütem után pedig előlről kezdődik. Itt tehát összeér az 1, 5, 7 és 11-es arány. A (11) retikuláris sor hangjai 35-önként, (2 x 12 + 11), az (1) soré pedig 385-önként (32 x 12 + 1, lásd a 33. ütem 2. tizenhatodját) követik egymást. Ennek megfelelő eredményre jutunk a másik három retikulumban is. Ez többek között azt is jelenti, hogy bármely retikulum rákfordítása előállítható 5:7 vagy 11:13 tempó-arányokkal (vagy ezek reciprokával: 7:5 vagy 13:11), ugyanígy a hamarosan részletezett bolhafordítás 5:11 vagy 7:13 valamint a bolharák 5:13 vagy 7:11 arányokkal, végül azonos dallamot kapunk 5:17, 7:19, 11:23 vagy 13:25 hányadosokkal (de valójában az összes, kettővel és hárommal nem osztható számokból képzett pár valamelyik csoportba sorolható). Rubik Ernő Zoltán hívta fel a figyelmemet először arra a tényre, hogy amennyiben 7 tizenhatod fölé 5 egyenletes hangot, 5 fölé pedig 7-et írunk, a létrejött két új tempó 49:25 arányban lesz egymással, vagyis az első kis híján a duplája a másodiknak: 5:7 5:7 5:7 5:7 5:7 7:57:5 7:5 7:5 30. ábra 7:5 7:5 7:5 Érdekesség, hogy két szomszédos hang között a rendszer természetéből fakadóan éppen kettővel, hárommal, vagy ezek többszörösével osztva nem tudunk hangot definiálni. Mivel rácsozatunk a végtelenségig sűríthető, e helyeket tetszőlegesen közelíthetnénk tulajdonképpen bármelyik kívánt hanggal. Ez persze oda vezetne, hogy tetszőlegesen jó közelítéssel bármely dallamot létrehozhatnánk a retikulumon belül, csak ezzel éppen a rendszer jellegzetességét veszítenénk el. Bolha (mixograde) Most térjünk vissza a megjósolt új fordításhoz Tekintsük egy tetszőleges (nemszinguláris) retikuláris sor minden 7-ik hangját: 31. ábra 16
Valóban egy új időtranszformációhoz jutottunk, melyet a rák (retrograde) elnevezés mintájára bolha (mixograde) fordításnak nevezünk, mivel ugrálva keveri össze a sor hangjait. Az eddigiekhez hasonlóan igaz rá, hogy kétszer elvégezve visszakapjuk a kiindulási sort, valamint más fordításokkal sorrendfüggetlenül kombinálható. A 16 féle fordítás Egy tetszőleges (nemszinguláris) retikuláris sornak (és így egy tetszőleges dodekafón sornak is) végső soron tehát nem négy, hanem tizenhat féle fordítása van. Ezek egy részét hallás alapján elég nehéz, ha nem lehetetlen felismerni (különösen a bolhákat, de a hagyományos tükör-rák sem triviális). Mivel ezek a sorok valójában körök vagy ciklusok, és bármelyik hangjukról indíthatók, a kezdőhangokat úgy határoztam meg, hogy a táblázat minél logikusabb legyen. Az adott sor bolha-fordítása például - 0 11-ig számozva a hangokat - mindig a 9. hangról kezdődik (mint ahogy a tekercs fordítás a 9. hangközről vertikálisan, vagyis egy kisterccel lejjebről), mert így esik egybe az ábrázolásban is a bolha-rák és a rák-bolha. síma (rectus) tükör (inversus) rák-tükör (retrograde inversus) rák (retrograde) % & ' & & & % & ' ' % & & & & ' & % % & ' & & % & & ' % ' & & & & ' & % tekercs (circumversus) tükör-tekercs (in-circumversus) rák-tükör-tekercs rák-tekercs (retrograde in-circumversus) (retrograde circumversus) & & & ' & & % % & & ' ' & ' & % % & & % % & & ' ' & & % ' % & ' & & & & bolha-tekercs (mixograde circumversus) rák-bolha-tükör-tekercs (retro-mixograde bolha-tükör-tekercs (mixograde in-circumversus) in-circumversus) rák-bolha-tekercs (retro-mixograde circumversus) % & ' % & & ' % & & & & ' & % ' & & & & & ' % % & & ' & & % & & ' & & % ' & % bolha (mixograde) bolha-tükör (mixograde inversus) rák-bolha-tükör (retro-mixograde inversus) rák-bolha (retro-mixograde) % & & & & & & ' % % & ' & & ' % & & % & ' & & % % & ' % & & & & & % & ' & ' % & % ' & & % & & & 32. ábra A nemszinguláris retiluláris sorok viszonyai az időben A szingulárishoz hasonlóan egy nemszinguláris retikulumban is megtaláljuk a különböző léptékű megfordításokat, 5-önként bolharák, 7-enként bolha, 11-enként rákfordítást stb. adva, így a komplex poliritmikus lehetőségek itt is adottak. Augmentáció, diminúció Közismert téma-átalakítási lehetőség a hangok értékeit duplájára, esetleg triplájára megnövelni (augmentáció), vagy felére, esetleg harmadára csökkenteni (diminúció), melyek kombinálhatók a többi fordítással is. Ez esetünkben, mint láttuk, éppen a kettővel és hárommal osztható arányokban nem működik, de más számok- 17
kal (5, 7, 11, 13 stb.) igen, tekinthetjük tehát ezeket a különböző léptékű verziókat augmentációknak illetve diminúcióknak. Ha mégis megpróbáljuk a retikulum hangértékeinek duplázását (felezését nem tudjuk definiálni), arra jutunk, hogy a négy szinguláris retikulum emelkedő ((1) és (7) esetén) illetve süllyedő ((5) és (11) esetén) egészhangú skálává szegényedik: 33. ábra 18
Triplázva pedig emelkedő ((1), (5) esetén) és süllyedő ((7) és (11) esetén) szűkített skálát kapunk: 34. ábra Egy dallam hangértékeinek duplázása vagy triplázása a dallam hangközeinek duplázását vagy triplázását vonja maga után (első esetben a páratlan számú, másodikban a hárommal nem osztható számú hangközök esnek ki) és akkor is hangismétlésekhez vezethet, ha az eredeti dallamban nem voltak ilyenek. Előnye viszont, hogy egy karakteres ritmus a hallás számára könnyebben befogadható arányban marad, másrészt a már föntebb említett eseben két vagy három szólamra osztva a dallamot a két egészhangú vagy a három szűkített skála szerint, ezen lassított ritmusú szólamok együtt az eredeti ritmust és dallamot adják ki: 19
% % % & % & & % ' % ' % % % ( ) * % % & ' ' & & ' % % % % ' % ' % % % & % & % % & % & & & ' ' % % 35. ábra % % % % & % & %( & ) * % + & ( ' %( ), - % & % ' % ' % % ' % & ( % % % ' % ' % % & % & ' % ( % & ( % & %( ' % ( & %( % & % & & % & % ' & ( % ' % % % % ( ' % % ' ( % % & ( % % ( 36. ábra %( 20
Egy harmadik augmentáció-szerű ritmustorzítási lehetőség, ha megőrizzük a dallam hangjait, de értéküket nem többszörözzük, hanem hozzáadunk 12-t vagy annak többszörösét. Így a dallamvonal megmarad, de a ritmus kezd kiegyenesedni, minél többször 12-t adunk a hangértékekhez, annál inkább közelednek egymáshoz a különböző hangértékek arányai: % %& & %& & & & %& & & '& & %& & '& '& & %& & (& & % & & 37. ábra (& & & %& Mindeme különféle térbeli- és időtranszformációk szabadon kombinálhatók egymással, a lehetőségek széles palettáját nyújtva ezzel a polifóniához vonzódó zeneszerzőnek. 21
A retikuláris m á t r i x A legkomplexebb szinguláris mátrix Eddig megtiltottuk két különböző hang egybeesését, nézzük meg, hogyan tudnánk ezen úgy változtatni, hogy ne rúgjuk fel az eddig felállított szabályokat. Folytassuk a szinguláris elmélet bővítését olyan irányban, hogy 12 retikulumból egy mátrixot hozunk létre (egy 12 x 12-es hang-táblázatot), melyben a háromnegyedes ütem minden tizenhatodján mind a 12 hang előfordul, csupán mindig más szólam-eloszlásban. A legegyszerűbb megoldás, ha az egyik szinguláris retikulumot 12 szólamban, egymástól egyhangnyi távolságokban eltoljuk (vagy, ami ugyanaz, egymáshoz képest egy kisszekunddal transzponáljuk): 38. ábra Ennél egy fokkal érdekesebb, ha kétféle retikulumot használunk, de a legkomplexebb és egyben legérdekesebb következményekkel járó megoldás, ha mind a négyféle retikulum megjelenik a mátrixban. Ennek legszimmetrikusabb módja, ha mind a négy retikulum háromszor szerepel, egymástól nagytercre. Kétféle ilyen mátrix szerkeszthető, melyek egymásból kisszekund-tranzpozícióval állíthatók elő (vagy bármely más páratlan számú hangköz-transzpozícióval). 22
39. ábra 40. ábra A továbbiakban a 39. ábra mátrixát fogjuk használni. A 12 sor egymáshoz való viszonyai Egy retikulumon belül természetesen fennállnak az eddigi szabályok, a mátrix szólamai között azonban az öszszes hangköz megtalálható (kivéve éppen a prímet vagy oktávot). Vizsgáljuk meg, milyen viszonyokra lelünk a 12 szólam elemzése során 23
Pár, testvér, sógor(nő), ellenlábas Testvérek az azonos típusú, csak nagyterccel (4) transzponált szólamok. Minden szólamnak van egy nagyterccel fölötte álló nagytestvére és egy nagyterccel alatta álló kistestvére. Ezek a viszonyok kizárólag a vizsgált szólamhoz képest értelmezhetők, abszolút értelemben nincs nagy-, középső- és kistestvér: a nagytestvér nagytestvére egyben az adott szólam kistestvére. Más szóval az adott szólam mindig a középső testvér. 41. ábra A szólam párjának nevezem azt a másik szólamot, mely tekercs-fordítással állítható elő belőle. Mint korábban láttuk, ezek mindvégig kisterc (3) távolságban vannak egymástól, a két egészhangú skálán ellentétes irányban (+3, -3). A tizenkét szólam így hat párt alkot. 42. ábra A pár testvérét vagy a testvér párját nevezhetjük sógornak vagy sógornőnek is. +1, -5 vagy 1, +5 hangintervallumokat adnak ki. 43. ábra Jelöljük ki önkényesen a h - c között fekvő tengelyt főtengelynek, hogy egyszerűbben lehessen beszélni a tükrözésekről. Így minden szólamnak van egy ellenlábasa, mely a főtengelyre nézve tükörképe. A két másik tükörképe (a c - d illetve eb e tengelyre nézve) pedig az ellenlábas testvéreiként aposztrofálható. Az ellenlábas valamint az ellenlábas testvéreinek hangközei +1, +3, +5, -5, -3, -1 utat járnak be a vizsgált szólamhoz viszonyítva. 24
44. ábra A pár ellenlábasa és testvérei +2, -2, +6 (= -6) vagy 2, +2, +6 viszonyban mozognak az adott szólamhoz képest. 45. ábra Mint láthatjuk, itt is igaz a sorrend-függetlenség, csak az ellenlábas szólamoknál, mivel tükrözés történik, megfordulnak a testvéri viszonyok: a kicsiből nagy lesz, a nagyból kicsi (a nagytestvér párjának (nagy sógorának) ellenlábasa azonos a pár ellenlábasának kistestvérével, az ellenlábas párjának kistestvérével (az ellenlábas kis sógorával) vagy a nagytestvér ellenlábasának párjával). 25
A különböző léptékű mátrixok Ha megnézzük, mi történik mátrixunkkal, ha minden ötödik oszlopát vesszük, egy ugyanolyan mátrixot kapunk, mint a kiindulási, csak kicserélődnek a retikulumok: az (1)-ből (5) lesz, a (7)-ből (11), az (5)-ből (1) és a (11)-ből (7): 46. ábra Ezt eljátszahtjuk minden hetedikkel, tizenegyedikkel és a többi kettővel és hárommal nem osztható számmal, vagy két hang közé sűrítve ötöt, hetet stb.: mindig ugyanazt a mátrixot kapjuk, négyféle retikulum-eloszlással (minden szólam (1), (5), (7) vagy (11) lehet). A retikulumok közötti viszonyokat nem érintik a lépték-váltások, mindig azonosak maradnak. A V. függelékben található kottarészletben a 12 hangszer a teljes mátrixot játssza körbe-körbe, de az oktávtranszpozíciókban 5-ös, 7-es, 11-es és 13-as rendek jelennek meg. 26
A kiterjesztett retikuláris mátrix Elérkezettnek látszik az idő arra, hogy visszakanyarodjunk a nemszinguláris retikuláris sorokhoz, pontosabban fogalmazva tovább előrehaladva újra eljussunk hozzájuk. Egy tetszőleges 12 fokú sor előállítható a szinguláris retikuláris mátrix hangjaiból szólamcserékkel, azaz a szólamok közötti ugrálással. Ez négyféle módon tehető meg, attól függően, hogy a négyféle szinguláris retikulum közül melyikből indulunk ki (a három testvér-retikulum lényegileg azonos eredményt hoz): 47. ábra 48. ábra 27
49. ábra 50. ábra Ha most végignézzük a szólamcserék sorrendjét a szólamok egymáshoz fűződő viszonya tekintetében (a 47. ábrán az (5) retikulumból (8. sor) indulva: ellenlábas nagytestvére (6. sor), ellenlábas párja (10. sor), nagytestvér (11. sor), ellenlábas nagy sógora (6. sor) stb.), és ugyanezt a 12 ugrást elvégezzük a többi 11 hangra is, mely a mátrixban a kiindulási hangunk alatt és fölött volt, kapunk egy új mátrixot, mely tetszőleges retikulumokból áll, mégis hasonló szerkezetű, mint a szinguláris: a testvér-szólamok testvérek (nagyterc-transzpozíció), a párok párok (tekercs-fordítás), az ellenlábasak pedig ellenlábasak (tükör-fordítás) maradnak (stb.). A szólamcserékkel egy térbeli transzformációt végeztünk el; mi a helyzet az időbelivel? 28
Nos, mint azt már korábban láttuk, a nemszinguláris soroknál a térbeli és az időbeli szétválik: ha minden 5. hangot vesszük, megkapjuk a sor bolharák fordítását, minden 7.-nél a bolhát, 11-enként a rákot, 13-anként pedig újra az eredetit (és így tovább). Ezen a módon tudunk két szomszédos hang között is hangokat definiálni. Megkaptuk tehát egy tetszőleges (nemszinguláris) retikulum mátrixát, a kiterjesztett mátrixot, mely a szinguláristól eltérően nem négy, hanem 16-féle, egymásból előállítható retikulumból áll, négy különböző léptékű al-mátrixot alkotva. A kottabeli kezdőhangok a 33. ábra logikáját követik. 51. ábra 52. ábra 29
53. ábra 54. ábra 30
A retikuláris zene gyakorlata A komponista szabadsága Nézzük, milyen eszközök maradtak a zeneszerző kezében, a szigorú szabályok mellett mely paraméterek fölött rendelkezhet szabadon: a használandó retikulum(ok) a különböző retikulumok közötti átjárás a játszandó hangok (hangminőségek) hanghosszúságok a hangminőségek oktáv-elhelyezése (konkrét hangmennyiségek) hangszerelés dinamika, játékmód, tempó stb. A szabadsági fok fogalma Tovább általánosítva, meg kell különböztetnünk a retikuláris mátrix szólamait a zenekari szólamoktól, mivel ezeknek nem feltétlenül kell egybeesniük. Be kell hát vezetnünk a szabadsági fok (f) fogalmát. Ez egyrészt vonatkozhat egy zenekari szólamra (f ), másrészt az egész zenekarra (f ). szólam zenekar Egy zenekari szólam szabadsági foka azt mutatja meg, hogy az adott hangszer(csoport) szólama a mátrix hány retikulumából használhat hangokat. Az 1-es szabadsági fok azt jelenti, hogy egy retikulumon alapul, 2-es szabadsági fok esetén két retikulum hangjai közül lehet választani a komponálás során, és így tovább 12-ig. A zenekar szabadsági foka pedig azt jellemzi, hogy az adott darab egésze a mátrix hány retikulumát használja. Értéke legfeljebb a zenekari szólamok szabadsági fokainak összege lehet. Ha például az összes hangszer egyazon retikulumban mozog, a zenekar és szólamai szabadsági foka is 1. Ha 12 hangszer mindegyike a mátrix más-más retikulumát használja, a f zenekar = 12, a f szólam = 1 (minden szólamra). Egy vonósnégyes elképzelhető pl. úgy, hogy egy-egy szólam a négy szinguláris retikulum egyikének három transzpozíciójából válogathat, ezesetben f vln1 = f vln2 = f vla = f vcl = 3, f zenekar = 12, de lehet bárhogy máshogy is, pl.: f vln1 = 1, f vln2 = 3, f vla = 4, f vcl = 2, f zenekar = 6 (itt látható, hogy a hangszerek álal használt 10 retikulum összesen 6-féléből áll, azaz több szólam is használja ugyanazt a retikulumot. Ad absurdum, John Cage 4 33 c. darabja egy f zongora = 0 típusú retikuláris darabnak is tekinthető, másrészt bármely klasszikus, nemretikuláris kompozíció értelmezhető retikulárisan f szólam = 12 módon. A VI. függelékben szereplő kánonvariációra f szólam = 1, f zenekar = 12, de a szólamok 6 ütemes részenként váltogatják a retikulumokat. Egyidőben kizárólag párok szólalnak meg (mindig kistercben). Tulajdonképpen mind a 12 szólam ugyanazt játssza, csak más pontjáról kezdve a kánont. 31
A retikuláris zene jellege A retikuálris elven komponált zenék nagyon sokfélék lehetnek, szinte azt lehet mondani, a lehetőségek száma a nemretikuláris zenékhez hasonlóan végtelen. Mégis kiemelnék néhány olyan irányzatot, mely a retikuláris technika használatára különösen alkalmasnak tűnik: polifónikus szerkesztés komplex poliritmiák repetitív zene hangszín-kompozíciók aleatória 32
Ki t e k i n t é s Az eddig felvázolt rendszert számtalan irányban továbbfejleszthető, változtatható, bonyolítható vagy egyszerűsíthető, hogy csak néhány példát mondjak: az időskálát nyújtani-összenyomni a darab folyamán pentaton, diatonikus vagy egyéb hangkészletből kiindulni (ekkor természetesen megváltoznak a számarányok is) negyedhangos vagy más hangolási rendszerekre alkalmazni meghatározni egy oszthatatlan kiindulási- vagy alap-sort, mely 12 összefüggő hang-sávból áll, hogy minden- hol lehessen a 12 hang egyikét definiálni a diszkrét (lépcsőzetes) kromatikus skála helyett a folytonosan emelkedő hangra alapozni (a 2-vel és 3-mal való osztás negyed- illetve harmadhangokat eredményez) megengedni bizonyos közelítéseket az észlelhetőség határain kívül szabadon (nemretikulárisan) kezelni a 16-féle fordítás adta variációs készletet (pl. dodekafón módon) szabadon (nemretikulárisan) kezelni a megismert poliritmiákat (pl. akár konkrét hangmagasságok nélküli ritmus-zenében) improvizatív zenében használni összekapcsolni más művészeti ágakkal (kézenfekvő a Goethe-féle kromatikus színkörrel való megfeleltetés, ornamentika-szerű leképezés, térbeli, architekturális ábrázolás, animáció) levonni a matematikai konzekvenciákat 33
Ös s z e f o g l a l á s A retikuláris zene alapja a retikulum, amely egy olyan, minden ütemre vonatkozó tizenkét fokú sor, melynek hangjai időben is hozzá vannak rendelve a háromnegyedes ütem tizenkét tizenhatodjához. Ez a néma hangrácsozat írja elő a felhasználni kívánt hangok helyét az ütemen belül, így egy adott ritmus megfelel egy bizonyos hangsorrendnek és viszont. Több szólam esetén különböző hangok csak úgy szólhatnak egyidőben, ha egymásbalógnak, mivel egyszerre csak azonos hangok kezdődhetnek. A retikulum hagyományos transzformációi (tükör, rák) a dallamban is létrehozzák a megfelelő fordítást (a rák esetében a megszokottól némileg eltérően). A négy legegyszerűbb sort (az emelkedő és a süllyedő kromatikust valamint a kvintkört két irányban) szinguláris retikuláris sornak hívjuk. A szinguláris retikuláris soroknál a hanghosszok és hangközök kölcsönösen meghatározzák egymást, egy adott ritmus bármely hangról kezdve azonos hangstruktúrát hoz létre. A kromatikus kör és a kvintkör viszonya tekinthető egy újfajta vertikális fordításnak, melyet tekercsnek (circumversus) nevezünk, mivel két egészhangú skálára osztva a retikulumokat, e két skálát széttekeri egymástól. Szinguláris retikulumok esetén a tükör és rák fordítások egybeesnek, hasonló módon a tekercs is egybeesik egy új időtranszformációval, a bolhával (mixograde). Ezek a nemszinguláris retikulumoknál válnak ketté, a bolha minden hetedik hangra ugorva keveri össze a sort. Mindezek a transzformációk szabadon kombinálhatók, így végső soron tizenhatféle fordítást kapunk, melyekből szinguláris esetben csak négy marad. A retikulumok időtranszformált alakjai kölcsönösen tartalmazzák egymást és önmagukat különböző léptékekben: 5-önként (bolharák), 7-enként (bolha), 11-enként (rák), 13-anként (változatlan) stb. Ilyeténképp egy retikulum tetszőlegesen sűríthető-ritkítható, bonyolult poliritmiák lehetőségét teremtve meg ezzel. Tizenkét retikulumból készíthető egy retikuláris mátrix, melynek minden tizenhatodán az összes hang megtalálható, csak más-más szólamkiosztásban. Egy retikulumon belül változatlanul érvényesek az eddigi szabályok, a tizenkét retikulum között viszont az összes hangköz megtalálható. A legegyszerűbb és legérdekesebb szinguláris mátrix a négy szinguláris retikulum egyenként három transzpozíciójából áll, melyek a négy bővített hármashangzat hangjairól indulnak. Ebben a mátrixban a kettővel és hárommal nem osztható számú (5, 7, 11 stb.) léptékek mind az eredeti mátrixot eredményezik különböző szólamkiosztásban. Egy nemszinguláris retikuláris sorból ugyanezen elven képzett mátrix hasonló léptékei pedig a tizenhat fordítás egy-egy négyes csoportját adják. A retikuláris mátrix szólamaiból állíthatók elő a zenekari szólamok, melyek szabadsági fokát az határozza meg, hány retikulumból használnak hangokat. A zenekar szabadsági foka pedig a teljes mátrixból használt szólamok számát jelenti. A retikuláris elven komponált zene nagyon sokféle lehet, az elmélet nem határoz meg konkrét hangzást vagy stílust, inkább egyfajta új megközelítésre nyújt lehetőséget. 34
Fü g g e l é k I. függelék Piccolo Piano Violin Retikuláris Kánonvariációk - Opus 0 I &'& && & (& &(& &&'& % (& & )& & & & (& &(&& & '&(& (& &(&&&'&( & &)&&&& & &'& & & '& & (& &)&& && & &'& & & '& & (& & )&& && '&(& & )& & & & & &'& & & & * + Picc. Ob. 7 ' & & % Cl. Pno. Vln. Vla. & & & ( ' % ' ( & & & ) % % * & & + % Ob. 13 % & ' ' ' Cl. Pno. Vla. Vc. Pno. Vc. ( ) ' ' * ( + ( ( ' ' ) ( ( ( 19 ) ( ( ) % & ' 35
II. függelék Sopranino Saxophone Alto Saxophone Guitar String Bass % & '& MAD II - részlet '& %& & )& ( ( * & ( + + % & '& '& %& %& &, '&& ( )& & '&, & & '& & & %& %& &, '&& ( )& & '&, & & & & - %& & * %& )& & & %& & & * %& )& & & & ( ( Sno. Sax. A. Sax. T. Sax. B. Cl. Gtr. S. Bass '& & (& % ' ) & ' + ( +, + '& & & * + - (& ' & ' (, ) & -. / - (& ' ) & ' ( ( + ' %, ' + & ' ( (& ' & & - ' ) & 0 ( * (, - * ' ( % (& ' ) & - * % Sno. Sax. A. Sax. B. Cl. Gtr. S. Bass '& '( ) + '& % '& ' % '& % % '( '& ' % * % '( ) % ' ' * '& '( 36
Sno. Sax. A. Sax. B. Cl. Gtr. S. Bass A. Sax. T. Sax. Gtr. S. Bass (' (% ) & (' ( & + (' (' % & % (% (' ( & * & (% ) & ( ( *% % & ' (' (% ) ) ) * & ( % ( * + ( % & ( & % ( * + ( % & &, - + & - + & * * (& & Sno. Sax. A. Sax. T. Sax. B. Cl. Gtr. S. Bass % & ' ) ' * +, + ' (' ' ' ' ' - (' ' - & + ' + + + %, +, + ' (' ' ) ' + + & & (' ' - ' *,+ * + &,' (' ' -,'' (' ).' ',' - ' ' + ',' (' ( + ' ',' ' ' ' + + ' & ',' * + / (' ' 0 ('.' ' & 0 ',' (' ) ( + ',' * + & (' & III. függelék Sopranino Saxophone String Bass % % ' ( 3 MAD III - részlet & % ) ( ) 3 % % 3 & & % & & % * 3 & 37
IV. függelék Sopranino Saxophone Alto Saxophone Tenor Saxophone Bass Clarinet Acoustic Guitar String Bass MAD IV % & & &'& & & & (& &(& & & (&(& & )& & & * % & '& & & & & & (& & (& & & (&(& & )& & & * (& & + &, '& &, & '& & & '& & & (& & & & & & - * & & '&)& & &'& & & '& & & & (& % (& (& & + &. '& & &. '& & & '& & & (& & & & & & / - * & &'&)& & &'& & &'& & & & (& (& % Sno. Sax. 5 % & % % ' ' ( ) A. Sax. T. Sax. B. Cl. A. Gtr. S. Bass % & % % ' ' ( ) ) ( % ' ' ' ' & ' * + + % % ' ) ( % ' ' ' ' &, ' * - % - % % ' Sno. Sax. 9 % & % & & A. Sax. T. Sax. B. Cl. A. Gtr. S. Bass ' ' & & & & ( ) & * & & +, - + & & ( ) & * & & + -. - + & * ) 38
Sno. Sax. 13 % % & A. Sax. T. Sax. B. Cl. A. Gtr. S. Bass % & '& ( % ' % % & '& ( % ' % % ' % ) * + % & '& ( % ' Sno. Sax. 17 % & & A. Sax. T. Sax. B. Cl. A. Gtr. S. Bass & & & % & & & % & % & ' & & Sno. Sax. A. Sax. T. Sax. B. Cl. A. Gtr. S. Bass 21 % & % & % & ' % & 39
V. függelék Retikuláris Zene - részlet Oboe 19 % & & % & ' % % & & & ' ' % % & & & ' ' Clarinetto % % & & & ' ' ' ' ' % % & & ' & ' ' ' ' % % & & & ' ' ' ' ' Fagotto ( & ' % & % & & ' % & % & & ' % & % & Tromba & % ' & % ' & ' & % ' & % ' & ' & % ' & % ' & ' Corno & & % ' & % & & % ' & % & & % ' & % Trombone ( & % ' & & % ' & % ' & & % ' & % & & % ' Celeste & & & % % & & & % % & & & % % Vibrafono & & % % ' ' ' ' & & & % % ' ' ' ' & & & % % ' ' ' ' & Marimba & & & % % ' ' ' & & & % % ' ' ' & & & % % ' ' ' Violino % & ' & % & ' % & ' & ' % & ' % & ' & ' % & ' Viola ) & ' % & ' % & & ' % & % & & ' % & ' % & Violoncello ( % & ' % & ' & ' ' % & ' % & ' & ' ' % & ' % & & ' ' 40
VI. függelék Flute Oboe Clarinet Marimba Piano Violin Viola Violoncello Retikuláris Kánonvariációk - Opus 0 VI - részlet % & ' (%& )%& % & * ' + % & % ' + % & &, *)% & ' + % % + % % %(% + % % )% % % % % %(% % % % ' * ' ' +% - +% + %- - % - %- )% - %-, * ' *( %- * ' % %- - % % % + % % + %(% % (% % % + % % % % % % % % % (% (% %. %- ' (%- % - + % * ' - )% % - - ' %, * - + %- ' * + %- % - * ' (% )%- - ' (% % + %)% % % + % / % ' % % % * ' % + % '. pizz %- (% - ' %, * % ' + %)% Fl. Ob. Cl. Mar. Pno. Vln. Vla. Vc. 5 % & ' ' ' ( % ' ' % ) &) ( ) ) % *) ) % ) + ( ) % ' ' ' % % & * ( ( ) () % &) & ) % )) % ) ) ( & ) ) ) & ( ( ) ) * ) ) ) ) * ) ( ( ) % ( % ) ( ( ( * & % ( + % & % *( %, ' ' ' % % & ( ' ' - ( % & (& % ' ' ', & ) % * ) ) () % ) % ) ) + & ) % ( ) * % ) ( ' ) ) % ( 41
Fl. Ob. Cl. Mar. Pno. Vln. Vla. Vc. 9 & ' ( ( ' ) ( ( ) & & & ) + ' ) ' ') ) & & * * * * * * ' ( ( ' ) ( ( ) & * ' ) * * * ' ) * * & ( ) ( ( ( ' ) ( ( ) ( + ' ( ) ( ( ' ( ' (, ) + ' * ) ' ') ) & & * * * * * & ( ) ( ( ( ' ) ( ( ) ( + ' ( ) ' ( ( ' ) ( ) ( - arco, & & ) ' ) ) + ' ) pizz & Fl. 13 % & % ' ' ( & & ) ( & Ob. Cl. Mar. Pno. Vln. Vla. Vc. * & * * * ( & % * * & ) ( * & ( * ' * % * (& ' % + % ' % * % * % * '* + * + * % * * % * ( % * ' * & + * & ( * (& * ' & * % * ' % * ( & % * + * * (& '* *, ' % ' + % % % * ' & *, ( ' ( & + % & pizz & (& ' - ' & + % ( & & ) (' & 42
Fl. Ob. Cl. Mar. Pno. Vln. Vla. Vc. 17 % ' % & & & & & ( ( & & & ' % ' ( ( % ' ' (' % ) ()( ') ' ( ' ) ' ' ( ( ) % ' * + * % * ( * % ) * ' * % & &, ' & % ' ' ) % % + % ( ( ) ' ( % ( ' + % ' % ' % & ') ' ' - ' ) % ' & & & %, ' ' ( ( ' & arco & Fl. Ob. Cl. Mar. Pno. Vln. Vla. Vc. 21 % & & ( ' % % ( %, ) ) ( * ( ) ) ) ' % * % * * % ) ) * ( * * ( ) * &* ( * * % + * * * % %( * ) ( ( & & (, * ' %& * %( * + % * ( ) * * & + % ( ( & ) ( + & - pizz arco ( + % & ( ' % % & % + ( ) ) ( ( ( % ( * * * + * * ' % * * 43