OKTV 7/8 A öntő felaatainak megolása. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz a fenti feltételeknek? Megolás: Nyilvánvaló hogy a K kifejezés nem értelmezhető ha x 9 = ezért Alakítsuk át a K kifejezést: x ±3. ( pont) ( x 9) ( x 9) x + 8 K = x 9 8 K = x +. ( pont) x 9 8 K akkor és csak akkor lesz egész szám ha egész ami x 9 ekvivalens azzal hogy az x 9 kifejezés értékei a 8 szám pozitív és negatív osztói. ( pont) Mivel 8 prímtényezős felbontása: 3 5 ( pont) ezért x 9 -nek csak a következő táblázat első oszlopában lévő értékei ahatnak K -ra egész értéket. A táblázat tartalmazza az ezekből számított x illetve x számokat.
OKTV 7/8 x 9 x x nem egész szám - 8 nem egész szám nem egész szám - 7 nem egész szám 4 3 nem egész szám -4 5 nem egész szám 8 7 nem egész szám -8 x = és x = 5 6 nem egész szám -5-4 nem valós szám 5 5 nem egész szám -5-493 nem valós szám 4 3 nem egész szám -4-995 nem valós szám 8 7 nem egész szám -8-999 nem valós szám A fenti táblázatból látható hogy csak x 9 = 8 esetben kapunk x -re egész számot. Ez azt jelenti hogy a felaat szempontjából csak ( pont) x = + és x = felel meg tehát a kevező esetek száma: Az összes esetek számát megkapjuk ha a [ 8;8] k =. ( pont) intervallumbeli egészek számából levonjuk az x + 3 és x 3 feltétel miatt kieső két számot. Így az összes esetek száma: A keresett valószínűség tehát: n = 45. ( pont) k P = n P =. ( pont) 45 Összesen: pont 3
OKTV 7/8. Felaat Az ABC erékszögű háromszög AB átfogójára és az AC befogójára kifelé megrajzoltuk az ABDE és ACFG négyzeteket. Jelölje M az EC és BG szakaszok metszéspontját! Mekkora szögben látszanak az M pontból az ABC háromszög olalai? Megolás I. : Jelöléseink az alábbi ábrán láthatók.. ábra Az AGB háromszög negatív irányú 9 -os elforgatottja az ACE háromszög. Ezért a GB és CE szakaszok merőlegesek egymásra tehát az ABC háromszög BC olala az M pontból erékszögben látszik. Mivel GB és CE szakaszok merőlegesek egymásra ezért az M pont rajta van a BE szakasz mint átmérő fölé rajzolt Thalész-körön is. Ebben a körben az tartozik. ABE olyan kerületi szög amely az AE ívhez ( pont) ( pont) ( pont) 4
OKTV 7/8 Másrészt ABE = 45 mivel az ABDE négyzet olalának és átlójának szöge. ( pont) De ugyanehhez az ívhez tartozik az szögek tétele alapján Így az AB átfogó M pontból mért látószöge: A harmaik olal látószöge: Megjegyzés: AME is ezért a kerületi AME = ABE. ( pont) AMB = 9 + 45 AMB = 35. ( pont) ( 35 9 ) AMC = 36 + AMC = 35. ( pont) A másoik látószöget a kerületi szögtétel nélkül pélául az alábbiak szerint kaphatjuk meg. ' Megszerkesztjük az M pont ( GB -n lévő) + 9 -os elforgatottját M -t. Az amiből Ekkor ' AMM egyenlőszárú erékszögű háromszögből leolvashatjuk hogy ' AMM = AMG = 45 AMC = AMG + GMC AMC = 45 + 9 Összesen: pont AMC = 35. (5 pont) AMB -t számoljuk kivonással. ( pont) 5
OKTV 7/8 Megolás II. : Ebben a megolásban a GB és CE szakaszok merőlegességét vektorok segítségével bizonyítjuk.. ábra A felaat feltételei miatt a. ábrán megjelölt b és b illetve c és c vektorokra nyilvánvalóan teljesül hogy () b = b = AC = b illetve c = c = AB = c. Mivel a b és a b illetve a c és a c vektorok által bezárt szög 9 -os ezért a két-két vektor skaláris szorzata nulla azaz () b b = és c c =. ( pont) Az ábra alapján b GB = c és CE = c b. Írjuk fel a GB és CE vektorok skaláris szorzatát: (3) GB CE = ( c b ) ( c b). Tujuk hogy a skaláris szorzás isztributív ezért (3) átalakítva: (4) GB CE = c c c b b c + b b ()-t (4)-be helyettesítve:. (5) GB CE = c b b c ( pont) 6
OKTV 7/8 következik. Mivel a c és b vektorok által bezárt szög a szokásos jelölések mellett BAC = α a b és c vektorok bezárt szöge viszont ezért (5)-ből és ()-ből Felhasználva hogy kapjuk hogy GAE = 8 α GB CE = b c cosα b c cos( 8 α ). ( pont) cos ( 8 α ) = cosα (6) GB CE =. A (6) összefüggés akkor és csakis akkor teljesül ha a GB és CE vektorok merőlegesek egymásra. Ez pontosan azt jelenti hogy a GB és CE szakaszok merőlegesek egymásra ezért az ABC háromszög BC befogója az M pontból erékszögben látható. Innen a felaat az első megolás menete alapján fejezhető be. ( pont) (6 pont) Összesen: pont 7
OKTV 7/8 3. Felaat Egy m sorból és n oszlopból álló téglalap alakú táblázat minen mezőjébe egy-egy számot írunk oly móon hogy az egyes sorokba írt számok egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjait képezik hasonlóképpen az egyes oszlopokba írt számok is egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Mennyi a táblázatba írt számok összege ha a téglalap négy sarkába (csúcsába) írt számok összege 8? Megolás: 3. ábra Legyen a sarkokba írt négy szám a 3. ábra szerint a ; b; c;! Először soronként összegezzük a számokat. A feltétel szerint az első sorban levő számok egy számtani sorozat tagjai. Ennek a számtani sorozatnak a különbségét jelöljük -gyel! Az első sorban levő számok a következők: összegük: ( n ) b a ; a ; a + ; a + 3 ;...; a + = + () S = a + ( a + ) + ( a + ) +... + a + ( n ). a + b () S = n. ( pont) Az egyes oszlopokban szereplő számok is egy-egy számtani sorozat 8
OKTV 7/8 tagjai. Az ezekhez a sorozatokhoz tartozó különbségek legyenek renre ; 3; 4 n + ;...;! Ezekkel a jelölésekkel kifejezhetők (balról jobbra halava) a másoik sorban levő számok: a ( n ) + + ; a + + 3; a + + 4; a + 3 + 5;...; a + amelyek összege: (3) a + ) + ( a + + ) +... + [ a + ( n ) + ] = ( 3 S. Ha (3)-ból kivonjuk ()-et akkor azt kapjuk hogy (4) S S = + 3 +... +. ( pont) Jelöljük ezt S -vel! A harmaik sorban levő számok ugyancsak kifejezhetők a fenti jelölésekkel: a ezek összege: ( n ) + + ; a + + 3; a + + 4; a + 3 + 5;...; a + (5) a + ) + ( a + + ) +... + [ a + ( n ) + ] (5) és (3) különbségeként aóik: ami (4) miatt (6) S S = S 3 = ( 3 S. S S = + + + 3 3... 3. Bizonyítható hogy bármelyik sor tagjainak összegéből kivonva a megelőző sor tagjainak összegét minig ugyanazt az S = + 3 +... + összeget kapjuk azaz átrenezve (4) (6) : (3* pont) 9
OKTV 7/8 = S S S + 3 = S S S +.. m = S m S + S Ezzel beláttuk hogy az m sorban elhelyezkeő m arab összeg szintén számtani sorozatot alkot. Ennek első tagja () szerint m -eik tagja peig S a + b = n ( pont) ( c + ) n S m =. ( pont) Mivel a soronkénti összegeket amik egy számtani sorozat tagjai kell összegeznünk ezért S S m S = + m a + b c + n + n m S = S m n ( a + b + c + ) =. ( pont) 4 A felaat feltétele alapján a + b + c + = 8 ezért m n 8 S = 4 S = 5 m n. ( pont) Összesen: pont
OKTV 7/8 Megjegyzés (): Természetesen úgy is eljuthatunk a megoláshoz hogy a sorok összegzése után oszloponként ajuk össze a számokat és a két összeg együttesen a táblázatba írt számok összegének a kétszeresét aja. Megjegyzés (): A leírt megolásban nem használtuk ki hogy 3... n + számtani sorozatot kell alkosson ha a felaat szövege szerint minen sorban számtani sorozat van. A versenyző erre is építheti megolását. Megjegyzés (3): Ha a versenyző nem bizonyítja korrektül az S S = S i i összefüggést akkor a 3* pontból vonjunk le pontot.