III.B. Halmazok Megoldások

III.B. Halmazok Megoldások (OV PHJROGiV 3UyEiOMXN PHJ D] HJ\HV KDOPD]RN számosságát Venn-diagramon szemléltetni. Legyen A halmaz a légyfogást tanulók, B halmaz a pókhálószövést tanulók halmaza. A két halmaz metszetébe 4-est kell írni, de akkor az A és B halmaz fennmaradó részeibe 7 4 = 3-at és 9 4 = 5 -öt kell írni: 3 4 5 Az ábráról könnyen leolvasható, hogy összesen 12 kispók jár valamilyen órára. Második megoldás: A kétféle órára járók számát összeadva 16-ot kapunk. Ez több, mint az iskolába járók száma, hiszen a 16-ban a mindkét órára járók kétszeresen is szerepelnek, ezért vonjuk ki az V]iPXNDW 16 4 = 12. Ennyien járnak legalább az egyik órára. Vegyük észre, hogy az A B = A + B A B képletet alkalmaztuk. (OV PHJROGiV $] HO] IHODGDW HOV PHJROGiViEDQ OHtUWDNDW alkalmazzuk módszeres próbálgatással. Tegyük fel, hogy 5-en tanulják mindkét nyelvet. Ekkor a Venn-diagramban üresen álló UpV]HNHWNLW OWYHDN YHWNH]iEUiWNDSMXN 13 5 11 (Az angolul tanulók halmazát A-val, a németül tanulókét B-vel jelöltük.) Látható, hogy most összesen 29 tanuló szerepel a N O QE ]KDOPD]UpV]HNEHQSHGLJDIHODGDWV]HULQW26 tanulónak kell lenni. Ez alapján a tippünk, mely szerint 5 tanuló van a két halmaz metszetében, helytelen. További találgatással megkaphatjuk a megoldást: 8 tanuló tanulja mindkét nyelvet. A helyesen kitöltött Venn-diagram alább látható: 55

10 8 8 Második megoldás: Alkalmazzuk az képletet: A B = A + B A B 26 = 18 + 16 A B. Innen megkapjuk a megoldást: 8. (OVPHJROGiV$]HOVIHODGDWPHJROGisához hasonlóan járunk el. Ábrázoljuk Venn-diagramon az egyes halmazrészek számosságát! Legyen az A halmaz a tyúkszámlálásból, B a libalopásból és C a rókalyukásásból csirkecombot kapottak halmaza. A három halmaz metszetében a feladat szövege szerint 1 elem van. Az A és B halmaz metszetében összesen 3GHHEEO már egyet beírtunk, tehát még két elemet kell bejelölni a két halmaz metszetében. Ezt az okoskodást folytatva kapjuk a N YHWNH]iEUiW 6 2 3 1 3 1 Az ábráról a számok összeadásával leolvasható a válasz: 21 kisróka jár az iskolába. Második megoldás: Alkalmazzuk az A B C = A + B + C A B B C A C + A B C 5 képletet: A B C = 12 + 10 + 7 3 2 4 + 1. Összesen 21 kisróka jár az iskolába. (OVPHJROGiV.pV]tWV QN9HQQ-diagramot a korábbi tapasztalataink alapján. Jelölje A D] HOV B a második és C a harmadik túrán részt vettek halmazát. Az ábrán föltüntetjük az egyes halmazrészek számosságát. 56

4 3 7 4 4 1 6 A három túrának legalább az egyikén 29 tanuló vett részt. Második megoldás: Alkalmazzuk az A B C = A + B + C A B B C A C + A B C formulát. A B C = 15 + 15 + 15 7 8 5 + 4 = 45 20 + 4 = 29 tanuló volt legalább egy túrán. (OV PHJROGiV$IHODGDWPDWHPDWLNDL PRGHOOMHKDVRQOtWD feladatéra, csak itt két halmaz helyett három halmaz van. Az HJ\HVQ\HOYHNHWEHV]pONKDOPD]iWMHO OM NDN YHWNH]PyGRQA orosz; B francia; C angol. Módszeres próbálgatással itt is célhoz érünk. Tegyük fel hát, hogy mindhárom nyelvet 2 fordító beszéli. Ezt a számot beírjuk a Venn-diagram megfeleoupv]peh Mivel oroszul és franciául hét fordító beszél, így az A és B halmaz metszetében 7 HOHP YDQ GH PiU NHWWW EHtUWXQN tj\ D] A és B halmaz metszetének C-hez nem tartozó részében még 5 elem YDQ(]WD]RNRVNRGiVWIRO\WDWYDDN YHWNH]iEUiWNDSMXN: 4 5 5 2 9 7 16 $]ieuiuyoohroydvkdwykrj\kddkiurpq\hoyhwehv]poirugtwyn V]iPD NHWW DNNRU D] VV]HV IRUGtWy V]iPD 48 a megadott 52 helyett, így másik számmal kell próbálkoznunk. További találgatással azt kapjuk, hogy 5-en beszélik mindhárom nyelvet. Az ábráról az is leolvasható lesz, hogy 7-en csak oroszul beszélnek. 57

2 7 8 6 5 4 20 Második megoldás: Az A B C = A + B + C A B B C A C + NpSOHWEON QQ\HQDGyGLNDPHJRldás: 52 = 20 + 19 + 35 11 7 9 + A B C. A B C Mindhárom nyelvet 5 fordító beszéli. A feladat másik kérdésére egy alkalmas ábra megrajzolása után válaszolhatunk: 7-en beszélnek oroszul. (OV PHJROGiV.pV]tWV QN D IHODGDWKR] 9HQQ-diagramot a korábban látottak szerint. Most is a legtöbb halmazhoz tartozó UpV]EO A B C ) induljunk ki. A jelölje a tévét választók, B a rádiót választók, C pedig az újságot választók halmazát. 31 14 15 14 6 3 16 Látható, hogy a halmazokban összesen 99 elem van, így a maradék 1 az, aki egyik hírforrásból sem tájékozódik. Ugyanígy az is látszik, hogy csak egy hírforrásra támaszkodik 31 + 15 + 16 = 62 megkérdezett. Második megoldás: A feladat az A B C = A + B + C A B B C A C + A B C képlettel is megoldható: A B C = 65 + 38 + 39 20 20 9 + 6 = 99. 58

Tehát 1 személy nem a felsoroltak közül szerzi a híreket. A PiVRGLN NpUGpVUH DGDQGy YiODV]KR] FpOV]HU& 9HQQ-diagramot rajzolni. (Esetleg számolhatunk az A + B + C 2 A B 2 A C 2 B C + 3 A B C képlettel.) (OV PHJROGiV (]~WWDO NLKDJ\MXN D PyGV]HUHV SUyEiOJDWiV leírását, mindjárt rátérünk a képlettel való számolásra. Ha a három nyelvet tanulók halmazát összeadjuk ( 16 + 18 + 14 = 48 ), akkor az osztály tanulóinak számánál nagyobb számot kapunk, mert kétszer számoltuk azokat, akik pontosan két nyelvet tanulnak, és háromszor azokat, akik pontosan három nyelvet tanulnak. Ezért a 48-ból el kell venni a pontosan két nyelvet tanulók számát, és a három nyelvet tanulók számát (jelölje x) kétszer ki kell vonni. A N YHWNH]HJ\HQOHWHWNDSMXN30 = 48 16 2x. Innen x = 1 adódik. 0iVRGLN PHJROGiV+D D] HOEEL RNRVNRGiV W~OViJRVDQ Q\DNDWH- NHUWQHNW&QLNDNNRUNpSOHWWHOLVV]iPROKDWXQN A B C = A + B + C ( A B + A C + B C ) + A B C, N N N 30 16 18 14 59 16 x azaz a halmazokról áttérve azok számosságára: 30 = 16 + 18 + 14 ( 16 x ) + x, ahonnan x = 1 adódik. 8. A közepes tanulók 3-as tanulók. Legyen A halmaz az 1-es, 2-es és hármas tanulók halmaza, a B halmaz pedig a hármas, négyes 5 40 és ötös tanulók halmaza. Ekkor A = 30 = 25 és B = 30 = 6 100 = 12. A két szám összege a közepes tanulók számával több az osztálylétszámnál, így 7-en közepesek. 9. (OV PHJROGiV $] A B = A + B A B képlet itt hasznos lehet, mivel az angolul tanulók halmazát A-val, a németül tanulókét B-vel, az osztály létszámát x-szel jelölve a feladat 2 3 szövege alapján: A B = x, A = x, B = x, A B = 10. A 3 4 NpSOHWHWDONDOPD]YDDN YHWNH]HJ\HQOHWKH]MXWXQN 2 3 x = x + x 10. 3 4 x

Az egyenletet megoldva x = 24-et kapunk. Ennyi tanuló jár az osztályba. Második megoldás: Természetesen most is érdemes próbálgatással kezdeni a feladat jobb megértése végett. Hamar rájövünk, hogy csak 3-mal és 4-gyel osztható számokkal érdemes próbálkozni, mert más választás esetén az angolt vagy németet tanulók száma nem lesz egész szám. A próbálgatásokat táblázatba foglalhatjuk: az osztály létszáma (x) 12 48 36 24 2 az angolosok száma x 8 32 24 16 3 3 a németesek száma x 9 36 27 18 4 mindkét nyelvet tanulják 10 10 10 10 A legalább egy nyelvet tanulók száma 7 58 41 24 (angolosok+németesek PLQGNHWWWWDQXOyN $ OHJI OV pv D OHJDOVy RV]ORSEDQ OpY V]iPRNQDN PHJ NHOO egyezniük, hiszen mindenki tanulja legalább az egyik nyelvet. A 24 esetén valóban egyezést látunk. 10. Itt is többféleképpen lehet próbálkozni. Mi csak a képlettel való számolást mutatjuk meg. Az A B = A + B A B NpSOHWEO kiindulva x-szel az osztály létszámát jelölve az 70 80 x = x + x 13 100 100 egyenletet kapjuk, ahonnan az osztály létszámára 26-ot kapunk. 11. Ennek a feladatnak a megoldása teljesen hasonlóan történik, PLQWD]HO]pH]pUWFVDNDYpJHUHGPpQ\WN ] OM N30-an járnak az osztályba (12 németes és 20 franciás). (OV PHJROGiV.pV]tWV QN 9HQQ-diagramot! Legyen A a matematikából, B a magyarból ötöst kapottak halmaza. Az alábbi ábrán az egyes halmazrészek számosságát tüntettük föl: 11 4=7 4 17 4 7=6 60

Magyarból 10 tanulónak volt ötöse. Második megoldás: Az A B = A + B A B képlet segítségével is megkapjuk a végeredményt: 17 = 11+ B 4. Innen a B halmaz számosságára 10-et kapunk. Ez a megoldás. (OV PHJROGiV -HO OM N D KHJHG OQL WDQXOyN V]iPiW x-szel. Ekkor a korábban már többször alkalmazott képlet szerint 22 = 2x + x 5. Ezek alapján 9-en hegedülnek és 18-an zongoráznak. Második megoldás: Nem feltétlenül szükséges az ismeretlen jelölésének bevezetése. Ha a két hangszeren tanulók számához, a 22-höz hozzáadom az 5-öt, akkor éppen a zongorázók vagy KHJHG ON V]iPiW NDSRP (] D V]iP 27. Ezt kell 2 : 1 arányban elosztani, és megkaptuk a két keresett számot. 14. Próbáljuk meg Venn-diagramon szemléltetni a feladat egyes feltételeit: A rajzon a PBB a piros baglyok barátainak halmazát, az RV a U YLGQDGUiJRW YLVHON KDOPD]iW D ZE pedig a zöld elefántok halmazát jelöli. A feladat feltételei szerint a satírozott részben nem lehet elem, a három halmaz metszetében pedig biztosan van (ezt jelenti az ábrán a fekete pötty). Most vegyük sorra az állításokat: 14.1. (]KDPLVD]iEUiQOpYIHNHWHS WW\FiIROMD 14.2. Átfogalmazva: Ha x RV x PBB. Ez nem feltétlenül következik. 14.3. x RV x ZE. Ez igaz, hiszen x a PBB-ben nem lehet. 14.4. x RV x PBB. Ez is igaz. (OVPHJROGiV0LYHO'RUNDPLQGHQOpSFVIRNUDUiOpStJ\D]W NHOOPHJiOODStWDQLPHO\HND]RNDOpSFVIRNRNDPHO\HNHWa másik 61

két lány közül pontosan az egyik használ. Számozzuk meg a OpSFVNHW 1-WO 102-LJ *DEL PLQGHQ PiVRGLNUDWHKiWDNHWWYHO RV]WKDWy V]iPRW YLVHO OpSFVNUH OpS Ui HEEO VV]HVHQ 51 OpSFVIRN YDQ =VX]VL D 3-PDO RV]WKDWyOpSFVIRNRNDWKDV]QiOMD ezeneo 102 : 3 = 34 OpSFVIRN YDQ $]W LV PHJILJ\HOKHWM N KRJ\ QpPHO\OpSFVIRNRNDW*DELLVpV=VX]VLLVKDV]QiOMD(]HNpSSHQ DKDWWDORV]WKDWyV]iPRWYLVHOOpSFVIRNRNV]iPXN 102 : 6 = 17. Ezeket nem szeretnénk beleszámolni a megoldásba, de az 51 és a 34 összege kétszer is tartalmazza. Így a megoldás: 51 + 34 2 17 = 51. Tehát 51OpSFVIRNRWKDV]QiOQDNSRQWRVDQNHWWHQ 0iVRGLNPHJROGiV$N YHWNH]V]iPVRUEDQD]DOiK~]RWWV]iPRN *DEL OpSFVIRNDLW MHOHQWLN =VX]VL OpSFVIRNDLQDk sorszámát áthúzással jelöltük: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Megfigyelhetjük, hogy az egyféleképpen jelölt számok (2, 3, 4, 8, 9, 10, 12, 13, 14, ) szabályosan helyezkednek el a számsorban. Ha hatos csoportosításban nézzük a számokat, akkor minden csoport 2., 3. és 4. tagja jöhet számításba, azaz hatból három. Mivel 102- ben a hat 17-szer van meg, így összesen 3 17 = 51 OpSFVIRNRW érint pontosan egy gyerek. Természetesen mindezt Venn-diagramon is lehet szemléltetni. 51 17=34 17 34-17=17 Az A halmaz jelöli a 102-nél nem nagyobb 2-vel osztható pozitív számok halmazát, a B pedig a 3-mal osztható, 102-nél nem nagyobb pozitív számok halmazát. Az ábráról leolvasható a megoldás: 34 + 17 = 51 (QQ\L OpSFVIRNUD OpSSRQWRVDQ NpWJ\Hrek. 62