MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 00. február. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! cos x sin x 5sin x 0 ( pont) cos x sin a megoldandó egyenlet: sin x 5sin x 3 0 A sinx -re másodfokú egyenlet megoldásai és 3. ( pont) A sin x 3 egyenletnek nincs megoldása, hiszen sinx maximális értéke ( pont) A sin x egyenlet megoldásai: x k, ahol k ( pont) 7 vagy x n, ahol n ( pont) A kapott számok megoldásai az eredeti egyenletnek. Összesen: pont x felhasználásával ( pont) ) Az 59 számjegyeit leírjuk az összes lehetséges sorrendben. a) Az 59 számmal együtt hány ötjegyű számot kapunk? ( pont) b) Ezen számok közül hány osztható -vel? ( pont) c) Bizonyítsa be, hogy e számok egyik sem négyzetszám! ( pont) a) 5 3 0 darab ilyen ötjegyű számot képezhetünk ( pont) b) Egy egész szám pontosan akkor osztható -vel, ha osztható 3-mal és -gyel is. Az ötjegyű számok mindegyike osztható 3-mal, mert a számjegyek összege mindegyiknél, ami osztható 3-mal. -gyel ezen ötjegyű számok közül azok oszthatók, amelyek utolsó két számjegye a következő: ; 5; 9;. Az ötjegyű számban az első három számjegyből álló szám hatféle lehet, ha az utolsó kettőt rögzítettük. így az ötjegyű számok között db -vel osztható szám van c) Az ötjegyű számok mindegyében a számjegyek összege. Tehát a számok oszthatók 3-mal. Mivel 3-mal oszthatóak, ezért csak abban az esetben lehetne köztük négyzetszám, ha az 3 valamely páros kitevőjű hatványa lenne. Ehhez feltétlenül szükséges az is, hogy 9-cel osztható legyen, 9-cel viszont nem osztható egyik sem, így egyik szám sem lehet négyzetszám. ( pont) Összesen: pont
3) Egy automatából 00 Ft értékű ital kapható, s az automatába csak 00 Ft-os érme dobható be. Az italautomata gyakran hibásan működik. 0 kísérletet végezve azt tapasztaljuk, hogy - az esetek 8,75%-ában az automata elnyeli a pénzt és nem ad italt, - 90 esetben visszaadja a 00 forintost, anélkül, hogy italt adna - 30 esetben italt is ad és a 00 Ft-os érmét is visszaadja - és csak a fennmaradó esetekben működik rendeltetésszerűen a) Mekkora annak az esélye az adatok alapján, hogy egy százast bedobva az automata rendeltetésszerűen fog működni? ( pont) b) Minek nagyobb az esélye: annak, hogy ingyen ihatunk, vagy annak, hogy ráfizetünk? (5 pont) c) Várhatóan mennyi lesz a ráfizetése annak, aki 0-aszor próbál vásárolni ennél az automatánál? ( pont) a) Pénz visszaadja Pénzt elnyeli Italt nem ad Italt ad Italt nem ad Italt ad 30 90 0 0,875 30 0 A 8,75% kiszámítása 0 esetben működik jól, a pénzt elnyeli és ad italt Annak az esélye, hogy jól működik 0 0,05 0 ( pont) b) 0 esetből 30-ban az ital mellé visszakapjuk a pénzt is, tehát 30 0,875 0 valószínűséggel ingyen jutunk italhoz ( pont) Ráfizetünk, ha nem kapjuk vissza a pénzt és italt sem kapunk. Ennek valószínűsége: 30 0,875 0 ( pont) Tehát ugyanakkora a valószínűségük c) A 0 esetből 0 esetben visszaadja a pénzt ( pont) Mivel pontosan 0 esetben kapok italt, így a ráfizetés 0 Ft, azaz nincs ráfizetés ( pont) Összesen: 3 pont ) Állítsuk a pozitív egész számokat növekvő sorrendbe, majd bontsuk rendre -gyel növekvő elemszámú csoportokra, az alábbi módon kezdve:, ;3, ;5;, 7;8;9;0,... a) A 00-adik csoportnak melyik szám az első eleme? (5 pont) b) Az 85 hányadik csoport hányadik eleme? (9 pont) a) A csoportokban lévő számok számát megadó sorozat: ;;3;;...; n ;... A 99-edik csoportban lévő utolsó szám: 3... 99 ( pont) amely 99 99 950 ( pont) Tehát a 00. csoport első eleme 95
b) Ha az 85 az n -edik csoportban van, akkor n n n 85 n, ahol n pozitív egész (3 pont) Tehát azt a pozitív egész n-t keressük, amelyre n n 370 0 és n 3n 3700 0 Az első egyenlőtlenség pozitív egész megoldásai a 0-nál nem nagyobb pozitív egész számok A második egyenlőtlenség pozitív megoldásai a 0-nál nem kisebb pozitív egész számok Az egyenletrendszernek egyetlen egész megoldása van, a 0 A 0-adik csoport utolsó eleme 0 0 830 A. csoport első eleme 83. Mivel ennek a csoportnak eleme van, így ennek eleme az 85 is, mégpedig a -edik eleme. Tehát az 85 a. csoport. eleme. Összesen: pont
II. 5) Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD és AB > CD. A trapéz átlóinak metszéspontja K. Az ABK háromszög AB oldalához tartozó magassága kétszerese a CDK háromszög CD oldalához tartozó magasságának. Jelölje T az ADK háromszög területét? Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek? ( pont) Jelöljük a CDK háromszög CD oldalához tartozó magasságát m-mel. Ekkor az ABK háromszög AB oldalához tartozó magassága m. TABD TABC, mert a két háromszög közös AB oldalához tartozó magasságuk egyenlő hosszú. Az ABC és az ABD háromszöglapoknak közös része az ABK háromszöglap. így TADK TBKC, azaz mindkettő T területű. A CDK háromszög hasonló az ABK háromszöghöz m és a hasonlóság aránya m Mivel a hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyezik meg, ezért t : t : ( pont) CDK ABK A CDK háromszög területét t-vel jelölve: t ACD t T és tabc t T Mivel az ABC és az ACD háromszög AB illetve CD oldalához tartozó magassága megegyezik, és AB CD, ezért t t ( pont) Így t T t T ABC T Ebből t adódik 3 Ezért tacd t T T és tabc 3T ( pont) Mivel t ABCD t ABC t ACD, ezért az ABCD trapéz területe,5-szerese T-nek Összesen: pont ACD
) A TOJÁS farmon átlagosan 0000 tyúkot tartanak. Ezek egy év alatt mintegy,0 millió tojást tojnak. A tenyésztők azt tapasztalták, hogy valószínűleg a zsúfoltság csökkenése miatt ha a tyúkok számát %-kal csökkentik, akkor az egy tojóra jutó átlagos tojástermelés 8%-kal nő. a) A tyúkok számának %-os csökkentése után, mennyi lett a tojásfarmon az évi termelés? (5 pont) Az a tapasztalat, hogy a tyúkok számának p %-kal történő csökkenése p %-kal növeli az egy tyúkra vonatkozó tojásmennyiséget, csak p 30 esetén érvényes. b) Hány százalékkal csökkentették tavaly a tyúkok számát, ha ezzel évi 8%-os termelésnövekedést értek elegy év alatt? ( pont) a) A tyúkok számát %-kal csökkentve 0000 0,9 900 tyúk lesz, 0,08 37, az tojóra jutó tojástermelés 0000 lett ( pont), 0 Tehát az évi termelés 0000 0,9,08 0000 azaz 8090,8 0. Tehát az évi termelés,8 millió tojás b) A keresett százalékot p-vel jelölve p 30, a tyúkok számát p%-kal p csökkentve adódik, hogy számuk 0000 00, 0 p Az tojóra jutó termelés lett 0000 00 ( pont) p, 0 p A szöveg szerint 0000, 0,08 00 0000 00 p p Azaz,08 00 00 00 p 00 p 0800 Az egyenlet mindkét oldalát 0000-el beszorozva A szorzás elvégzése után: 0000 00p p 0800 Rendezés után: p 50p 00 0 másodfokú egyenlethez jutunk Ennek megoldásai: 0 és 0 Mivel p 30, így csak 0 lehet a megoldás Ellenőrizve, ha a 9000-re csökkentett létszám esetén 0%-kal nő az egy tyúkra jutó tojásmennyiség, azaz, 0, lesz, ekkor az évi termelés 0000, 0,08. Tehát 0%-kal kell csökkenteni a tyúkok számát. Összesen: pont
7) A dominókészleten a dominókövek mindegyikén az egy-egy térfélen elhelyezett pöttyök száma 0-tól egy megengedett maximális értékig bármilyen természetes szám lehet. A dominókövek két felén e számok minden lehetséges pírosítása szerepel. Nincs két egyforma kő a készletben. a) Igazolja, hogy ha a pöttyök maximális száma 7, akkor a dominókészlet 3 kőből áll. (5 pont) b) A 3 kőből álló dominókészletből véletlenszerűen kiválasztottunk egy követ. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott kő két térfelén lévő pöttyök számának összege 8? (3 pont) c) A 3 kőből álló dominókészletből ezúttal két követ választottunk ki véletlenszerűen. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két dominókő a játék szabályai szerint egymáshoz illeszthető? (Két dominókő összeilleszthető, ha van olyan térfelük, amelyen a pöttyök száma ugyanannyi.) (8 pont) a) Nyolc olyan dominó van, amelynek mind a két térfelén ugyanannyi a pöttyök száma. ( pont) Az olyan dominók száma, amelyeknek a két térfelén különböző számú pötty áll, annyi van, ahányféleképpen kiválasztható két szám a 0; ; ; 3; ; 5; ; 7 8 7 számok közül, a sorrendet nem véve figyelembe, tehát, azaz 8- féleképpen. ( pont) tehát összesen 8 8 3 kőből álló a dominókészlet b) Egy kő két térfelén levő pöttyök számának összege 8 a következőképpen ;7, ;, 3;5, ; lehet: tehát négyféleképpen A keresett valószínűség P. 3 9 c) 8 olyan dominó van, amelynek egyik térfelén nincs tipp. Ezek közül db 8 - féleképpen választható ki. ( pont) 8 A 8 olyan dominó közül, amelyiknek egyik térfelén db pötty van - féleképpen választható ki db. Ezt a gondolatmenetet folytatva 8 - féleképpen választható ki db azon 8 dominó közül, amelyiknek az egyik térfelén 7 pötty van. ( pont) 8 A kedvező esetek száma 8 Az összes esetek száma 3
8 8 A keresett valószínűség 3 5 ( pont) Összesen: pont 8) Kartonpapírból kivágunk egy,5 dm magasságú ABC szabályos háromszöglapot. A háromszöglapon párhuzamost húzunk a háromszög mindegyik oldalával, mindegyikből ugyanakkora 0,5 deciméternél kisebb x távolságra. Ezek az egyenesek az AB C szabályos háromszög oldalegyenesei. a) Írja fel az AB C háromszög területét x függvényében! ( pont) b) Szeretnénk egy AB C alapú x magasságú, felül nyitott egyenes hasáb alakú íróasztali tolltartót létrehozni a lapból, ezért levágjuk a fölösleget, majd az AB C háromszög élei mentén felhajtottuk a hasáb oldallapjait. Mekkora x estén lesz a keletkezett hasáb térfogata maximális? (0 pont) a) Az ABC szabályos háromszög oldalhossza a 3. Az ABC súlypontja 0,5 dm távolságra van a háromszög oldalegyeneseitől, s mivel x 0,5, így ez a súlypont az AB C háromszög az ABC háromszög belsejében van. ( pont) Az A; B; C pontok rendre az ABC háromszög A-ból, B-ből, C-ből induló belső szögfelezőjének egy-egy pontja. Jelöljük b-vel az AB C háromszög oldalának hosszát. Az ábra szerinti CCT derékszögű háromszögben legyen x CT és y TC y Ekkor ctg30, így y x 3 ( pont) x A tengelyes szimmetria figyelembevételével: b 3 x 3 T AB C b 3 3 3 - x dm
b) A hasáb alaplapja AB C háromszög, magassága x. 3 3 x 3 3 3 V x T x x x x x ahol 0 x A V függvény differenciálható az értelmezési tartományán és 3 3 V x x 8 x ( pont) 3 3 x 8 x 0 Megoldásai: illetve 0 x x x V x pozitív 0 negatív V x növő maximum csökkenő A hasáb térfogata maximális, ha az x távolságot 9) Az A pont helyvektora: lg ;lg (3 pont) dm hosszúnak választjuk. Összesen: pont OA a b ; a B pont helyvektora: OB lg ab; lg b, ahol a és b olyan valós számokat jelölnek, melyekre a 0 a, illetve b teljesül. a) Bizonyítsa be, hogy a B pont mindkét koordinátája nagyobb az A pont megfelelő koordinátáinál! (3 pont) b) Bizonyítsa be, hogy az OA OB vektor merőleges az OA vektorra! (3 pont) c) Mekkora az OA és OB vektorok hajlásszöge? ( pont) d) Legyen a, b pedig jelöljön tetszőleges -nél nagyobb valós 0 számot. Adja meg (egyenletével, vagy a derékszögű koordinátarendszerben ábrázolva) az A, illetve B pontok halmazát! ( pont) b a) Mivel lgab lga lgb, és lg lg b lg a a, így B lg a lg b ;lg b lg a Bizonyítandó tehát, hogy lga lga lgb és lgb lgb lga rendezés után kapjuk, hogy lgb 0 és lga 0. A feltételek szerint 0a, illetve b, és a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan növő a pozitív számok halmazán, valamint lg 0, tehát mindkét egyenlőtlenség igaz
b) OA OB BA lg b;lga Mivel az OA és az OA koordináták szorzatának összege, vagyis OB vektorok skaláris szorzata a megfelelő OA OA OB lga lgb lgb lga 0, tehát a két vektor merőleges egymásra ( pont) c) OA, OB és OA OB egyike sem nullvektor. Mivel OA lg a lg b OA OB ( pont) tehát az OAB háromszög egyenlő szárú és derékszögű így OA; OB 5 d) A ;lg b A tízes alapú logaritmus függvény szigorú növő, folytonos, felülről korlátos függvény, így lgb tetszőleges pozitív értéket felvehet. Ezért az A pontok halmaza azon nyílt kezdőpontú félegyenes, amelynek xy ; koordinátái kielégítik az x egyenletet és az 0 y egyenlőtlenséget. B lgb ;lg b A B pont második koordinátája -vel nagyobb az első koordinátájánál lgb lgb b tetszőleges, lg -nél nagyobb szám lehet, így lgb tetszőleges -nél nagyobb értéket vesz föl. Így a B pontok halmaza azon nyílt kezdőpontú félegyenes, amelynek xy ; koordinátái kielégítik az y x egyenletet és az x egyenlőtlenséget Összesen: pont