VI.6. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek területének) átismétlésére, átgondolására, a fogalom elmélyítése. feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + lkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet Együttműködés + Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató feladatsor feldolgozása kétféleképpen történhet: hagyományos módon, a feladatokat egymás után megoldva órai munkában, vagy társasjáték formájában. társasjáték szabályai és minden egyéb tudnivaló a feladatsor végén levő tájékoztatóban található. társasjáték pályája az iskolai táblára rajzolható, kivetíthető, vagy kinyomtatva minden csapat kezébe adható, ez a tanári döntés függvénye. Ha társasjáték során dolgozzuk fel a feladatokat, akkor minden csapatnál szükséges eszköz a négyzethálós papír, írószerszámok, színes ceruza, dobókocka, csapatonként 1 db 4-es sima papír és olló. z 1., 2. és 6. feladatokat önálló munkára ajánljuk. z 5. és 6. feladat ábráit készítsük el előre, majd az óra végén vessük össze a tanulók megoldásaival! z 1. feladatban a terület számítása feltehetőleg úgy történik, hogy az alakzatokat kisnégyzetre darabolják a diákok, és megszámolják, hány ilyen egység fért bele az egyes sokszögekbe. kik a területszámítás képleteire emlékeznek, és értették az összefüggéseket, lehet, hogy egyes elemek, egyes részek területeinek kiszámolásához felhasználják azokat. 2. feladat megoldásához tanári segítség nyújtható. Érdemes hangsúlyozni, hogy erre a feladatra végtelen sok megoldás adható aszerint, hogy a párhuzamos egyenes melyik pontját kötik össze az alappal. végtelennel való ismerkedést is segíti ez a feladat. 3. és a 4. feladat egymásra épül, ezért aki az elsőt nem tudja megoldani, a másodiknál sem lesz sikeres. VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 1.oldal/18
Ezért fontos a 3. feladat megbeszélése. ki érti a háromszög területképletét, az a 2 4. feladatokat várhatóan egyedül és gyorsan megoldja. z 1. feladatnál át lehet betűzni a sokszögeket úgy, hogy az azonos területű sokszögek betűjelei sorban egy-egy értelmes magyar szót adjanak ki. Például: Mi volt a betűjele: G F J N P R H K M E L O Mit írjunk rá: z e sz k i m ó pi n g v in t á r u l á sz pi az n g e k v r u in t i L ó m z 1. feladat várhatóan senkinek nem jelent majd nehézséget. 2. feladat lehet nehéz, ha még valaki nem találkozott ilyen problémával, vagy általában is nehezebben boldogul a matematikával. Ha a tanuló a 2. a) megoldását már ismeri, akkor a b) feladatot remélhetőleg már meg tudja oldani. Ha ez mégsem történik meg, akkor kérjük meg, hogy foglalja össze az a) megoldását. Talán a szóbeli megfogalmazásban (számára is) kiderül, hogy hol nem érti a feladat megoldását valójában. 3. és a 4. feladat egymásra épül. Itt már a terület képletét kell érteni. z 5. feladat a begyakorlást teszi lehetővé, a 6. feladat a jobb képességűeknek ad munkát. VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 2.oldal/18
RÁSOÁLKOZÁS Feladat sor z alábbi ábrákon megfigyelheted, hogy a sokszögek csúcspontjai csak rácspontokon helyezkednek el. Most ilyen típusú sokszögekkel fogunk foglalkozni, ilyeneket rajzolunk. zt a területet, amelyet egy kisnégyzet lefed, azt 1 területegységnek nevezzük. FEI - FERI - TERI - TERÜ 1. a) z alábbi ábrán látható alakzatok közül -nak vagy O-nak nagyobb a területe? b) Igaz-e, hogy N területe nagyobb, mint J területe? c) Mely sokszögeknek azonos a területe? Mekkora területű sokszögeket találtál? 2. a) z 1. feladathoz tartozó ábrán a G háromszögnek van 1 egység hosszú oldala és a területe 0,5 egység. z háromszögnek is van 1 egység hosszú oldala és a területe 1 egység. Rajzolj egy olyan háromszöget, amelynek van 1 egység hosszú oldala és a területe 3 területegység (és természetesen a csúcsai rácspontokon helyezkednek el)! b) Rajzolj egy olyan háromszöget, amelynek van 2 egység hosszú oldala és a területe 4 területegység (és természetesen a csúcsai rácspontokon helyezkednek el)! c) Hogyan rajzolnál meg olyan háromszöget, amelynek a területe 8 területegység? Keress több megoldást! Rajzolj hasonló módon 10, illetve 2006 egység területű háromszögeket is! VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 3.oldal/18
MPER2 3. z ábrán két nagyobb rácsháromszöget láthatunk. a) Mekkora a kék háromszög területe? b) Melyik háromszög területe nagyobb, a felsőé vagy az alsóé? 4. pont valahol az oldalon helyezkedik el, nem feltétlenül rácsponton. a) Mikor a legnagyobb a háromszög területe? b) Hányad része a sötét rész területe a téglalapnak? 5. Mekkora a síkidomok területe? (1 területegység legyen a kis rácsnégyzet területe.) E F G H lakzat E F G H Terület VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 4.oldal/18
NE SK EGYÜNK, IGYUNK IS 6. Hat testvér egy hatalmas legelőt örökölt. Szeretnék egymás között igazságosan felosztani, azaz úgy, hogy mindenkinek ugyanakkora területű rész jusson. a) Milyen nagyságú terület jut egy testvérnek? Rajzolj egy olyan felosztást, amelyben az osztóvonalak a legelőre rajzolt rácsvonalakon haladnak, de a kapott területek nem mind egyforma alakúak! b) Rajzolj most olyan felosztást, melyben nem minden osztóvonal halad rácsvonalon! Rajzolhatsz a rácsvonalakkal párhuzamos vagy ferde osztóvonalakat is! c) Kiderült, hogy a legelőn itatókutak is vannak, ezeket a legelő rajzán levő pöttyök jelzik. testvérek most már úgy szeretnék felosztani a legelőt hat egyenlő területű, négyszög alakú részre, hogy mindenki részén legyen kút. ontsd fel te is megfelelő négyszögekre a kívánt módon! d) Később kiderült, hogy ezek a kutak nem olyan tiszta vizűek, mint a régi gémeskutak, ezért elhatározták, hogy inkább azokat használják. Ezek helyét a következő ábrán lehet látni. Elhatározták továbbá azt is, hogy most hat háromszög alakú részre osztják a területet igazságosan (azaz egyforma területű részekre úgy, hogy mindenkién legyen gémeskút). ontsd fel te is csak háromszögekre a kívánt módon! VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 5.oldal/18
MEGOLÁSOK 1. a) Mindkét háromszög területe 1 egység. b) Nem. Mindkét sokszög területe 1,5 egység. c) 0,5; 1; 1,5 és 2 területegység nagyságú sokszögeket láthatunk: 0,5 területegység: G. 1 területegység:, E, L, O. 1,5 területegység:, F, J, N, P, R. 2 területegység:,, H, K, M,. 2. a) háromszög 1 egység hosszú oldalára 6 egység hosszú magasságot állítunk, és a magasság végpontján át párhuzamost húzunk az 1 egység hosszú szakasszal. Ennek az egyenesnek minden pontja megoldás, hiszen az 1 egység hosszú oldaltól 6 egység távol van. végtelen sok megoldásra fel is hívhatjuk a gyerekek figyelmét. b) háromszög 2 egység hosszú oldalára 4 egység hosszú magasságot állítunk, és a magasság végpontján át párhuzamost húzunk a 2 egység hosszú szakasszal. Ennek az egyenesnek minden pontja megoldás, hiszen az 2 egység hosszú oldaltól 4 egység távol van. c) Terület 8 10 2006 Oldal (b) 1 2 4 8 1 2 4 5 10 20 1 2 17 34 59 118 1003 2006 Magasság (m b ) 16 8 4 2 20 10 5 4 2 1 4012 2006 118 59 34 17 2 1 a m 6 2 3. a) T 6 2 2 b) két háromszög területe ugyanakkora:. 4. a) terület független a pont helyzetétől, mert csak az alaptól és a hozzá tartozó magasságtól függ, ami jelen esetben állandó. ( vízszintes oldalt nevezzük alapnak.) b) besatírozott rész a téglalap fele. Ez a téglalap és a háromszög területének számításával vagy átdarabolással könnyen adódik. VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 6.oldal/18
5. megfelelő területeket a bennfoglaló téglalap területének segítségével számoljuk ki. z jelű (derékszögű) háromszög területe: 3 4 T 6 területegység. 2 jelű (egyenlőszárú) háromszög területe: 4 4 T 8 területegység. 2 4 4 jelű háromszög területe: T 8 2 területegység. jelű paralelogramma területe: 2 4 T 6 4 2 16 területegység (vagy a 2 megfelelő területképlettel számolva: T 4 4 =16 területegység). 5 4 z E jelű paralelogramma területe: T 9 4 2 16területegység (vagy a megfelelő területképlettel számolva: T 4 4 =16 területegység). 2 4 4 z F jelű négyszög (négyzet) területe: T = 8 területegység (vagy a megfelelő 2 4 4 átlós területképlettel számolva: T = 8 területegység). 2 1 4 1 5 1 6 G jelű négyszög területe: T 5 6 22, 5 területegység. 2 2 2 1 3 1 7 2 4 2 4 H jelű négyszög területe: T 5 7 2 1 20 területegység. 2 2 2 2 6. z alábbiakban egy-egy megoldást láthatunk az egyes részfeladatokra. (Érdemes utánagondolni, hogy van több megoldás is.) a) b) c) d) VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 7.oldal/18
TÁRSSJÁTÉK JÁTÉKTÁL SZÁLYOK Előkészületek Minden csapat választ egy sort és a nevüket (pl. rozmárok) eléírják az első mezőbe. Eldöntik, hogy ki írja a csapat pontszámát, illetve a válaszokat. csapatok (2 3 fő) a csapatnév mezőről indulnak. melyik csapat a legnagyobbat dobja három kockával, az kezd. Indul a játék csapatok dobnak egymás után. Minden mezőn egy-egy feladat, villámkérdés, jutalompont vagy egyéb akció van. Sima mezőre lépve (az 5-tel nem osztható sorszámúak) csak az a csapat játszik, amelyik rálépett (pl. a villámkérdésre csak ők válaszolhatnak). Feladatmezőre lépve (5., 10., 15.,..., 35. mező) minden csapatnak jön az aktuális feladat. feladatmezők melletti sárga négyzetben álló szám jelzi, hány segítség van az aktuális kérdéshez. mennyiben egy csapat átlép egy feladatmezőn (pl. a 4.-ről a 7.-re lép), előbb a mezőn lévő kérdést, akció-utasítást kapja meg, majd az átlépett feladatmezőn lévő feladatot az összes csapat. VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 8.oldal/18
Ha egy mezőn villámkérdés vagy feladat volt és valaki már rálépett, akkor az a mező kiürül, és későbbi rálépés esetén itt nem történik semmi. z akciómező nem ürül ki rálépés után. (kciómezők: 3., 4., 9., 13., 21., 23., 26., 29., 31., 32.) villámkérdések 3 pontot érnek, és 30 másodperc van a válaszadásra. Minden feladat 10 pontot ér, a segítségek felhasználása 1-1 pont levonását jelentik a szerzett pontszámból. feladatok segítség nélküli megoldására szánható idő 2 perc. válaszokat le kell írni, majd megmutatni a játékvezetőnek (tanárnak), aki pontot ad rá. segítségek kis lapokra vannak felírva és megszámozva. Ha egy csapat 2 perc alatt nem boldogul, feladhatja, vagy kérhet segítő kérdést. Ekkor további 1 perce van a segítő kérdés és az eredeti feladat megválaszolására. segítő kérdések megválaszolásáért nem jár pont. Ha nem elegendő a segítség, kérhet másik segítő kérdést (ha még van) további 1 percre a válaszokkal együtt. Így egy feladat teljes megoldására akár 6 percet is szánni kell, ha valamelyik csapat kikéri az összes segítséget, és minden időt kihasznál. z első három célba érkező csapat plusz 5, 4, illetve 3 pontot kap. játékot az a csapat nyeri, amelyik a legtöbb pontot gyűjti. pontok adminisztrálása pontokat írhatja minden csapat saját magának a lapjára, vagy vezetheti a tanár egy nagy összesítő táblázatban. Kellékek Nagy méretű játéktábla egy nagy asztalon, a falon vagy a táblán, rajta bábuk. (Ha a falon vagy a táblán van, akkor mágnessel vagy ragaccsal blutek lehet rögzíteni a bábukat, vagy filccel, illetve krétával + szivaccsal is lehet követni a lépéseket.) Írásvetítővel a falra is vetíthető a fóliára nyomtatott tábla, ebben az esetben a bábukat árnyékuk jelzi. sapatonként 1 db 4-es sima papír + olló. Minden csapatnál négyzethálós papír, írószerszámok, színesceruza. Minden csapatnak 1-1 dobókocka. VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 9.oldal/18
Z EGYES JÁTÉKMEZŐK TRTLM STRT 1. Mennyi az egyjegyű pozitív egész számok összege? 2. Hány átlója van egy hatszögnek? 3. objatok a kockával kétszer! Ha a dobott számok összege páros, 3 pontot kaptok. 4. Menjetek vissza a Start mezőre! 5. z alábbi ábrán mely sokszögeknek azonos a területe? Mekkora területű sokszögeket találtál? Segítségek S5-1. Melyik szám a nagyobb: két fél és egy egész összege vagy három egészből két fél? S5-2. Melyik az a szám, amely kétszeresének a fele éppen a 138? 6. Mekkora egy 6 cm-es befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszög területe? 7. Egy négyzet kerülete 32 cm. Mekkora a területe? 8. Rajzoljatok egy konvex 12-szöget! 9. objatok négyszer a kockával! Ha nincs a dobások között egyes, akkor 3 pontot kaptok. 10. Rajzolj egy olyan rácsháromszöget, amelynek van 1 egység hosszú oldala és a területe 4 területegység! Segítségek S10-1. Rajzolj egy olyan téglalapot, amelynek van 4 cm hosszú oldala és a területe 8 cm 2! S10-2. Rajzolj egy olyan rombuszt, amelynek van 4 cm hosszú oldala és a területe 8 cm 2! 11. Két prímszám szorzata 4006. Mennyi az összegük? 12. Mennyi 99 101? 13. Menj vissza két mezőt! 14. Két egész szám szorzata 2009. Lehet-e az egyik szám a 15? VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 10.oldal/18
15. Hogyan rajzolnál meg egy olyan háromszöget, amelynek a területe 23 területegység? Írd le röviden! Segítségek S15-1. Melyik állat a magasabb: egy 75 cm hosszú tacskó, vagy egy 50 cm magas őzgida? S15-1. Igaz-e, hogy a háromszög területe egy oldal és egy magasság szorzata? 16. Melyik szám a nagyobb: 12 50 8 vagy 24 8 25? 17. Igaz-e, hogy a Kékes alacsonyabban van, mint Magyarország legmagasabb pontja? 18. Ha 3 kockadobásból összesen legalább 12-t dobtok, akkor 3 pontot kaptok. 19. Vágjatok ki papírból két pontosan ugyanolyan háromszöget! (Kellék: sima papír + olló.) 20. z ábrán két nagyobb rácsháromszöget láthatunk. Melyik területe nagyobb, a felsőé vagy az alsóé? Mekkora a területük? Segítségek S20-1. Melyik szám a nagyobb: az 56 fele, vagy az a szám, aminek a fele a 14? S20-2. ontsd fel a 100-at két prímszám összegére! Szorozd meg a prímeket 3-mal! Mennyi az így kapott számok összege? S20-3. Igaz-e, hogy a háromszög területe egy oldal és egy magasság szorzatának a fele? 21. objatok négyszer a kockával! Ha a dobások között van hatos, kaptok 3 pontot. 22. Igaz-e, hogy egy paralelogramma átlója felezi a területét? 23. Menjetek vissza a 19. mezőre! 24. Egy háromszög oldala 12 cm hosszú, a területe 120 cm 2. Milyen messze van a csúcs az oldal egyenesétől? 25. Hányad része a sötét rész területe a téglalapnak? Segítségek S25-1. z téglalap területe 14 területegység. Mekkora az háromszög területe? S25-2. Ha a pont az oldal felezőpontja, akkor mennyi a háromszög területe? 26. objatok kétszer! Ha a dobott számok összege nem prím, akkor 3 pontot kaptok. VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 11.oldal/18
27. Legyen EFGH egy paralelogramma. Igaz-e, hogy T EFG TEFH? 28. Legyen EFGH egy trapéz, egyik alapja EF. z EFG vagy az EFH területe nagyobb? 29. Menjetek előre egy mezőt! 30. pont valahol a oldalon helyezkedik el, nem feltétlenül rácsponton! Mikor a legnagyobb a háromszög területe? Segítségek S30-1. Függ-e a háromszög területe a színétől? S30-2. Igaz-e, hogy a téglalap átlója két egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontja a téglalapot? S30-3. Igaz-e, hogy ha két háromszögnek ugyanakkora a magassága, akkor egyenlő a területük? 31. objatok kétszer! Ha a második dobás nagyobb az elsőnél, akkor 3 pontot kaptok. 32. Menjetek vissza 1 mezőt! 33. Hány mező van az 1. és a 35. mező között? 34. Mi a kedvenc színetek? 35. objatok a kockával, ha 1-et dobtok célba értetek, ha nem, maradtok ezen a mezőn, és újra dobtok a következő körben. ÉL VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 12.oldal/18
1. melléklet Ábrák a csapatoknak az 5. feladathoz VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 13.oldal/18
2. melléklet Ábrák a csapatoknak a 20. feladathoz VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 14.oldal/18
VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 15.oldal/18 3. melléklet Ábrák a csapatoknak a 25. és a 30. feladathoz
4. melléklet SEGÍTSÉGEK Ezt a lapot csíkokra lehet vágni, és kiosztani a csapatoknak, ha éppen kérik. Ennek megfelelően annyi példányban kell sokszorosítani, ahány csapat van. S5-1. Melyik szám a nagyobb: két fél és egy egész összege vagy három egészből két fél? S5-2. Melyik az a szám, amely kétszeresének a fele éppen a 138? S10-1. Rajzolj egy olyan téglalapot, amelynek van 4 cm hosszú oldala és a területe 8 cm 2! S10-2. Rajzolj egy olyan rombuszt, amelynek van 4 cm hosszú oldala és a területe 8 cm 2! S15-1. Melyik állat a magasabb: egy 75 cm hosszú tacskó, vagy egy 50 cm magas őzgida? S15-2. Igaz-e, hogy a háromszög területe egy oldal és egy magasság szorzata? S20-1. Melyik szám a nagyobb: az 56 fele, vagy az a szám, aminek a fele a 14? S20-2. ontsd fel a 100-at két prímszám összegére! Szorozd meg a prímeket 3-mal! Mennyi az így kapott számok összege? S20-3. Igaz-e, hogy a háromszög területe egy oldal és egy magasság szorzatának a fele? S25-1. z téglalap területe 14 területegység. Mekkora az háromszög területe? S25-2. Ha a pont az oldal felezőpontja, akkor mennyi a háromszög területe? S30-1. Függ-e a háromszög területe a színétől? S30-2. Igaz-e, hogy a téglalap átlója két egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontja a téglalapot? S30-3. Igaz-e, hogy ha két háromszögnek ugyanakkora egy magassága, akkor a egyenlő területük? VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 16.oldal/18
EREMÉNYEK, MEGOLÁSOK, VÁLSZOK 1. 45. 2. 9. 5. 0,5; 1; 1,5 és 2 területegység nagyságú sokszögeket láthatunk: 0,5 területegység: G; 1 területegység:, E, L, O; 1,5 területegység:, F, J, N, P, R; 2 területegység:,, H, K, M,. S5-1. Egyenlők. S5-2. 136. 6. 18. 7. 64. 10. háromszög 1 egység hosszú oldalára 8 egység hosszú magasságot állítunk, és a magasság végpontján át párhuzamost húzunk az 1 egység hosszú szakasszal. Ennek az egyenesnek minden pontja megoldás, hiszen az 1 egység hosszú oldaltól 20 egység távol van. végtelen sok megoldásra fel is hívhajuk a gyerekek figyelmét! S10-1. z oldalai 4 cm és 2 cm. S10-2. 4 cm-es oldalhoz tartozó magasság 2 cm. 11. z egyik prím biztosan a 2, a másik szám a 2003 (ami prím). z összegük 2005. 12. 9999. 14. Nem, mivel a 2006 nem osztható 15-tel, hiszen nem osztható 5-tel. 15. Hasonlóan a 10. feladathoz olyan háromszöget rajzolunk, melynek az egyik oldala 1 egység és a rá merőleges magasság 46 egység hosszú, vagy az oldal 46 egység hosszú és a rá merőleges magasság 1 cm, vagy 2 23, 23 2 elosztás is jó. (Elegendő egy jó válasz a négyből.) S15-1. z őzgida. (mit persze tapasztalatból tudunk, nem az adatokból. kérdés persze inkább költői, mint megválaszolandó, célja a keresett háromszög alakjára való rávezetés.) S15-1. Nem igaz. 16. Egyenlőek 17. Nem igaz, mert ez éppen a Kékes. 19. Jó megoldások (más megoldás is lehet jó): Ha az átló mentén elvágják a lapot. Ha egymásra raknak két papírt, vagy összehajtják a papírost, akkor könnyű kivágni két egybevágó háromszöget. a m 6 2 20. Mindkét háromszög területe ugyanakkora: T 6. 2 2 S20-1. Egyenlőek. S20-2. 300. (Valóban van két ilyen prím, pl. a 3 és a 97.) S20-3. Nem igaz, mert az oldalhoz tartozó magasságra van szükség. 22. Igen. 24. 20 cm-re. VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 17.oldal/18
25. Fele. Indokolni kell! Pl.: a -ból merőlegest állítva -re kapjuk W-t. W és W téglalapok területét a és átlók felezik, így a fehér és a kék rész területe egyenlő. Hasonló eredményre jutunk, ha kiszámítjuk a háromszög területét. S25-1. 7 területegység. S25-2. Fele. 27. Igen, mert közös az oldal, és az ehhez tartozó magasság mindkét háromszögben ugyanolyan hosszú. 28. Egyenlő nagyságú, mert közös az oldal, és az ehhez tartozó magasság mindkét háromszögben ugyanolyan hosszú. 30. terület független a pont helyzetétől, mert csak az alaptól és a hozzá tartozó magasságtól függ, ami jelen esetben állandó. ( vízszintes oldalt nevezem alapnak.) S30-1. Nem. S30-2 Nem. S30-3. Nem. 33. 33. 34. Minden olyan válasz, ami egy színt ad meg, pontot ér. VI. Síkgeometria VI.6. RÁSodálkozás 18.oldal/18