Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező van, p 1, + p 2, + p 3, + p n = n, akkor ezeket az elemeket rendezni. n! p! p!... p! 1 2 k különböző módon lehet sorba Példa: az (a, a, a, b, b) betűkészletből hány ötbetűs szót alkotható? Ha az azonos betűket különféleképpen írjuk, akkor öt különböző jelnek keressük az összes lehetséges sorrendjét, amit 5 4 3 2 1 = 5! Mivel a háromféle a betű a szóban ugyanolyan betűnek számít, azok az esetek, amelyek a különböző a betűk sorrendjében térnek el, nem számítanak különböző esetnek. Az a betűket egymás között 3 2 1 = 3! féleképpen lehet cserélgetni. Az a betűk elhelyezkedése szempontjából, ez a hat eset egynek számít, ha az a betűk egyformák. Így az eddig számolt eseteknek csak az 1/6 része jelent különböző esetet az a betűk szempontjából. Ugyan így a b betűk sorrendjében eltérő esetek sem különbözők. Tehát az (a, a, a, b, b) betűkből alkotható ötbetűs szavak száma: 5! 3! 2! = 10 Ismétléses variáció: Ha n-féle elemből a sorrend figyelembe vételévek kiválasztunk k elemet úgy, hogy egy elemet többször is kiválasztunk, az n-féle elemnek k-tagú ismétléses variációját kapjuk. Tétel: n féle elem k-tagú ismétléses variációiának száma: Példa: Van három színem egy kék, egy piros és egy zöld. Egy kétsávos zászlót hányféleképpen színezhetek ki úgy, hogy egy színt többször is felhasználhatok? kk, kp, kz, pk, pp, pz, zk, zp, zz 9-féleképpen
Szögfelező tétel. Tétel: A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszának arányában osztja két részre! A mellékelt ABC háromszögben az A csúcsnál lévő a szög felezője a szemközti oldalt a D csúcsban metszi. A bizonyítandó állítás: CD:DB=AC:AB Bizonyítás: Hosszabbítsuk meg az AB=c oldal egyenesét Acsúcson túl. Forgassuk le erre az AC=b oldalt az A pont körül. Így kapjuk a C' pontot. Kössük össze a kapott C' pontot a háromszög C csúcsával. Vizsgáljuk meg az AC'C háromszöget. AZ AC'C háromszög egyenlőszárú, hiszen AC'=AC, Ezért AC'C szög =C'CA szög. Mivel BAC szög külső szöge az AC'C háromszögnek, ezért AC'C szög =C'CA szög = b /2. Emiatt AC'C szög =BAD szög =b /2. Mivel ez a két szög egyenlő és C'A és AB egy egyenesbe esik, ezért a két szög egyállású. Tehát AD párhuzamos C'C-vel. A párhuzamos szelők tétel szerint C'A:AB=CD:DB. Mivel C'A=AC, így az arány: CA:AB=CD:DB.
Viéte formulák: Ha az ax 2 +bx+c=0 (a,b,c,x R és a 0) egyismeretlenes másodfokú egyenlet valós gyökei x 1 és x 2, akkor Ezeket szokás Viète-formuláknak nevezni.(françoisviète matematikusról kapták a nevüket) Bizonyítás: A két gyök összege: A két gyök szorzata:
Húrnégyszögek tétele: Definíció: Azokat a konvex négyszögeket. amelynek oldalai egy körnek húrjai, húrnégyszögnek nevezzük. A húrnégyszögek köré kört szerkeszthetünk, oldalfelező merőlegesei egy pontban, a köréírt kör középpontjában metszik egymást. Tétel: Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege egyenlő. A tétel két állítást tartalmaz: 1. Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180. 2. Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180, akkor az a négyszög húrnégyszög. 1. Most az első állítást bizonyítjuk. Kössük össze a négyszög két szemközti csúcsát a kör középpontjával. A jobboldali ábrán a B és D csúcsokat. A kerületi és középponti szögek tétele értelmében a BAD kerületi szöghöz (α) tartozó BOD középponti szög ennek kétszerese (2α). Ugyanígy, a BCD kerületi szöghöz (γ) tartozó BOD középponti szög ennek kétszerese (2γ) Mivel 2α +2γ =360, ezért α+γ =180 2. Ezután azt fogjuk bizonyítani, hogyha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180, akkor az a négyszög húrnégyszög, tehát van csúcsain átmenő kör. Tekintsük az ABCD négyszöget, amelynek szemközti szögeinek összege 180. Vegyük a mellékelt ábrát,α+γ=180 Kössük össze az B és D csúcsokat, azα és a γ szögekkel szemközti átlót. Húzzuk meg az ABD háromszög köréírt körét. Ilyen mindig van. Azt még nem bizonyítottuk, hogy ez átmegy-e a negyedik C csúcson. Jelöljük ki ennek a körívnek tetszőleges C' pontját a B és D pontok között. (A BD átló azon oldalán, ahol a C pont van) Az ABC'D négyszög húrnégyszög, ezért a C' csúcsnál lévő szög az α szög kiegészítő szöge, tehát a BC'D szög=γ. Mivel az összes olyan pont, amelyből a BD átló γ szög alatt látszik, a BD átlóhoz tartozó szimmetrikus látóköríveken van, ezért a C pontnak szintén ugyanezen körívek valamelyikén kell lenni. Csak az a körív jöhet szóba, amelyik a BD átlónak az A csúccsal ellentétes oldalán van. A másik látóköríven nem lehet, mert akkor az ABCD négyszög nem konvex, hanem konkáv lenne.