10. Javítókulcs MateM atika. Országos kompetenciamérés. Tanulói példaválaszokkal bővített változat. évfolyam. Oktatási Hivatal

10. évfolyam Javítókulcs MateM atika Tanulói példaválaszokkal bővített változat Országos kompetenciamérés 2012 Oktatási Hivatal

ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK Ön a 2012-es Országos kompetenciamérés matematikafeladatainak Javítókulcsát tartja a kezében. A Javítókulcs a teszt kérdéseire adott tanulói válaszok egységes és objektív értékeléséhez nyújt segítséget. Kérjük, olvassa el figyelmesen, és ha a leírtakkal kapcsolatban kérdés merül fel Önben, keressen meg bennünket az okm.matematika@oh.gov.hu e-mail címen. Felhívjuk a figyelmét arra, hogy a kompetenciamérés tesztjeinek központi javítása után pontosításokkal, új próbaválaszokkal kiegészített javítókulcsot készítünk, amely előreláthatóan 2012 szeptemberében lesz elérhető a www.oh.gov.hu és a www.oktatas.hu honlapon. Feladattípusok A kompetenciamérés több feladattípust alkalmaz a tanulók matematikai eszköztudásának mérésére. Ezek egy része igényel javítást (kódolást), más része nem. Kódolást nem igénylő feladatok A füzetben szerepelnek feleletválasztós kérdések, ezek javítása nem kódolással történik, a tanulók válaszai közvetlenül összevethetők a javítókulcsban megadott jó megoldásokkal. Kétféle feleletválasztós feladat van. Az egyikben a tanulóknak négy vagy öt megadott lehetőség közül kell kiválasztaniuk az egyetlen jó választ. A másik típusban a tanulóknak az állítások (3-5 állítás) mellett szereplő szavak/kifejezések (pl. IGAZ/HAMIS) valamelyikét kell megjelölniük minden állítás esetében. Kódolást igénylő feladatok A kódolandó feladatok esetében a tanulóknak a kérdés instrukcióinak megfelelő részletességgel kell leírniuk a válaszukat. Van olyan kérdés, ahol a tanulóknak csupán egyetlen számot vagy kifejezést kell leírniuk. Vannak olyan bonyolultabb feladatok, amelyek nemcsak a végeredmény közlését, nemcsak egy következtetés vagy döntés megfogalmazását várják el a tanulóktól, hanem azt is kérik, hogy látszódjék, milyen számításokat végeztek a feladatok megoldása során. Erre a feladat szövege külön felhívja a figyelmüket. (Pl.: Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!) Vannak olyan feladatok, amelyek megoldása során a tanulóknak önállóan kell írásba foglalniuk, hogy milyen matematikai módszerrel oldanának meg egy adott problémát, milyen matematikai érvekkel cáfolnának meg vagy támasztanának alá egy állítást. Az ilyen kérdésekre többféle jó válasz adható. E válaszokat aszerint kell értékelnünk, hogy mennyiben tükrözik a probléma megértését, illetve helyes-e a bennük megmutatkozó gondolatmenet. A Javítókulcs elsősorban a válaszok értékeléséhez nyújt segítséget azáltal, hogy definiálja azokat a kódokat, amelyek az egyes megoldások értékelésekor adhatók.

A Javítókulcs szerkezete A Javítókulcsban minden egyes feladat egy fejléccel kezdődik, amely tartalmazza a feladat A, illetve B füzetbeli sorszámát, a feladat címét, valamint az azonosítóját. Ezután következik a kódleírás, amelyben megtalálhatók: az adható kódok; az egyes kódok meghatározása; végül a kódok meghatározása alatt pontokba szedve néhány lehetséges tanulói példaválasz. Esetenként szögletes zárójelben a példaválaszra vonatkozó megjegyzés olvasható. Kódok A helyes válaszok jelölése 1-es, 2-es és 3-as kód: A jó válaszokat 1-es, 2-es és 3-as kód jelölheti. Többpontos feladat esetén ezek a kódok többnyire a megoldottság fokai közötti rangsort is jelölik, de az is elképzelhető, hogy az egyforma értékű különböző megoldási módokat különböztetjük meg ezekkel a kódokkal. a Tipikus válaszok jelölése 7-es, 6-os és 5-ös kód: Ezekkel a kódokkal láttuk el azokat a tipikus (nem teljes értékű, általában rossz) válaszokat, amelyeket a teszt elemzése szempontjából fontosnak tartunk, és előfordulási arányuk információt nyújt számunkra. a Rossz válaszok jelölése 0-s kód: A 0-val kódolt válaszokat rossz válasznak nevezzük a Javítókulcsban, és akkor alkalmazzuk, ha a válasz rossz (de nem tipikusan rossz), olvashatatlan vagy nem a kérdésre vonatkozik. 0-s kódot kapnak például az olyan válaszok is, mint a nem tudom, ez túl nehéz, kérdőjel (?), kihúzás ( ), kiradírozott megoldás, illetve azok a válaszok, amelyekből az derül ki, hogy a tanuló nem vette komolyan a feladatot, és nem a kérdésre vonatkozó választ írt. speciális jelölések 9-es kód: Ez a kód jelöli azt, ha egyáltalán nincs válasz, azaz a tanuló nem foglalkozott a feladattal. Olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a válaszkísérletnek nincs látható nyoma, a tanuló üresen hagyta a válasz helyét. (Ha radírozás nyoma látható, a válasz 0-s kódot kap.) X: Minden mérés esetében előfordulhat, hogy akad egy-két olyan tesztfüzet, amely a fűzés, a nyomdai munkálatok vagy szállítás közben sérült. Az X a nyomdahiba következtében megoldhatatlan feladatokat jelöli. Figyelem! A válaszokhoz rendelt kódszámok nem mindig határozzák meg egyértelműen a válasz pontértékét. A jó válaszok esetében elképzelhető például, hogy egy 1-es és 2-es kód ugyanúgy 1 pontot ér, vagy az egyik 1-et, a másik 2-t, az ilyen eseteket a feladathoz tartozó javítókulcs alatt megjegyzésben jelezzük.

lehetséges kódok Minden kódolandó kérdés mellett a bal oldalon láthatók a válaszokra adható kódok (lásd az alábbi példát). Hét mx15001 Hány percből áll egy hét? 0 1 7 9 Válasz:...percből KÉRJÜK, HOGY A FÜZETEK KÓDJAIT HAGYJA SZABADON! A kódolás általános szabályai Döntéshozatal Bár a kódok leírásával és a példák felsorolásával igyekeztünk minimálisra csökkenteni a szubjektivitást, a javítást végzőknek mégis döntést kell hozniuk arról, hogy az egyes tanulói válaszok melyik kód meghatározásának felelnek meg leginkább. Ez bizonyos válaszoknál nagy körültekintést igényel. Ha olyan válasszal találkozik, amely nem szerepel a példaválaszok között, kérjük, a kódhoz tartozó meghatározások alapján értékelje azt. A döntéshozatal általános elve, hogy a válaszok értékelésekor legyünk jóhiszeműek! Ha a tanuló válasza nem tartalmazza explicit módon a meghatározásban leírtakat, de tartalma egyenértékű azzal, a válasz elfogadható. A helyesírási és nyelvtani hibákat ne vegyük figyelembe, kivéve azokat az eseteket, amikor ezek a hibák bizonytalanná teszik a válasz jelentését. Ez a teszt nem az írásbeli kifejezőkészséget méri! Ha a tanulói válasz tartalmaz olyan részt, amely kielégíti a Javítókulcs szerinti jó válasz feltételeit, de tartalmaz olyan elemeket is, amelyek helytelenek, akkor a helytelen részeket figyelmen kívül hagyhatjuk, hacsak nem mondanak ellent a helyes résznek. Részlegesen jó válasz Egyes esetekben a tanulóktól elvárt válasz több részből áll. Ha a tanuló válasza kielégíti a részlegesen jó válasz feltételeit, de a megoldás további része teljesen rossz, akkor adjuk meg a részlegesen jó válasz kódját, és a helytelen részt ne vegyük figyelembe, feltéve, hogy a helytelen rész nem mond ellent a helyes résznek. Az elvárttól eltérő formában megadott válasz Előfordulhat, hogy a tanuló nem a megfelelő helyre írta, vagy nem az elvárt formában adta meg a válaszát. Például, ha a tanuló egy grafikonról a helyesen leolvasott értéket nem a válasz számára kijelölt helyre, hanem a grafikont tartalmazó ábrába írja, azt jó válasznak kell tekintenünk. Hiányzó megoldási menet Azokban az esetekben, amikor a tanuló válasza jó, de a megoldás menete nem látható, bár a feladat szövegében konkrétan szerepelt ez a követelmény, a kódolás feladatonként más és más. Ilyen esetekben a Javítókulcs utasításai szerint járjunk el a válaszok kódolásakor.

Feladatszám A füzet B füzet Azonosító Kérdés Helyes válasz 68 96 MI26901 Építőkocka - Az alábbi alakzatok közül melyik az, amelyiket BIZTOSAN NEM tud megépíteni (a kockákat nem D ragaszthatja össze)? 69 97 MI29001 Tévéadás - Ha a fenti képet látjuk az információs oldalon, hány perc van még hátra a filmből? B 70 98 MI09801 Rendezvény - Döntsd el, megállapíthatók-e a diagram alapján a következők! N,I,N,I 71 99 MI23001 Póló - Melyik alábbi táblázat tartalmazza helyesen a csapat számára megrendelendő pólók darabszámát? D 73 101 MI27501 Matekverseny - 1. Hány pontot szerezett Dalma? D 74 102 MI27502 Matekverseny - 2. Hány HELYES választ adott Kristóf? B 77 105 MI99801 Kockakészítés - A fenti ábrán látható kockának melyik lehet a testhálója? D 80 108 MI34001 Verseny - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! H,H,I,I 82 110 MI23501 Kártyavár - 1. Legfeljebb hány szintes kártyavárat tud felépíteni Valér egy 52 lapos kártyacsomagból? D 84 112 MI00602 Ivóvízfogyasztás - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül I,I,H 86 114 MI04901 Különleges matematikai alakzat - Melyik összefüggés írja le helyesen, hogy az n-edik lépés után hány szabadon álló C végpontot tudunk megszámolni az alakzat szélén? 88 116 MI10601 Túraútvonal - 1. A táblázat adatai alapján döntsd el, hogy melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások I,I,H,I közül! 89 117 MI10603 Túraútvonal - 2. A táblázat és a diagram adatai alapján állapítsd meg, hogy az ábrán vastag vonallal kiemelt A útszakasz a túra hányadik szakaszát jelöli! 90 118 MI01901 Homokóra - Melyik műveletsorral számítható ki, hogy összesen hány gramm homokkal kell feltölteni a B homokórát? 92 120 MI29401 Pénzbeváltás - 1. Maximum hány forintot tud beváltani a postán, ha ott csak 50-es csomagokban veszik át az A egyforma pénzérméket? 94 122 MI04601 Cooper teszt - A táblázat adatai alapján milyen a 15 éves Anna kondíciója, ha 3 iskolakört és még 300 métert futott? B 95 123 MI30401 Autópálya I. - Hány autós lépte túl ennél a mérési pontnál a legnagyobb megengedett sebességet a vizsgált időszakban? D 96 68 MI17801 Buszjegy - Melyik ábra mutatja helyesen a vonaljegy elülső oldalát? B 6 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

Feladatszám A füzet B füzet Azonosító Kérdés Helyes válasz 97 69 MI35101 Buszhálózat - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! I,I,H,I 98 70 MI22901 Malacpersely II. - Melyik összefüggés segítségével határozható meg a perselyben levő pénz összege, ha? A 100 72 MI18301 Indulás - Legkésőbb hánykor kell elindulnia otthonról, ha pontosan szeretne érkezni a találkozóra? C 102 74 MI11001 Utasszám - 1. A diagram alapján döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! I,H,I,H 103 75 MI11002 Utasszám - 2. A a következő grafikonok közül melyik mutatja helyesen a SZABAD férőhelyek számának óránkénti C alakulását! 104 76 MI27301 Gyártósor - 1. Hány perc alatt tölt meg a gép 100 palackot? B 105 77 MI27302 Gyártósor - 2. A palackozó géppel 1 óra alatt hány hatos csomagot tudnak előállítani? C 108 80 MI15801 Kerékpár - 1. Hányszor fordul körbe a hátsó fogaskerék? C 109 81 MI15802 Kerékpár - 2. Melyikkel halad a leggyorsabban a bicikli, ha ugyanolyan sebesen tekerjük a pedált? C 111 83 MI25201 Focilabda - Mennyi a hatszögek száma, ha labdán 12 fekete ötszög található? B 112 84 MI34801 Névjegykártya - Maximum hány névjegykártyát tud nyomtatni Péter 10 db A4-es méretű lapra? C 117 89 MI07901 Emeletes torta I. - Döntsd el, hogy a következő méretű dobozok közül melyikben fér el a torta és melyikben nem! N,N,N,E,E 119 91 MI25501 Rendszám - A visszapillantó tükörben látva ezt a rendszámot melyik képet látjuk? A 121 93 MI23901 Szobabeosztás - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! H,I,I,H,H 122 94 MI15601 Hajózási sebesség - Hány km/óra sebességgel halad az a hajó, amelynek hajózási sebessége 18 csomó? B 123 95 MI20701 Curling - Hány pontot kapott a győztes csapat? B Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 7

a füzet MateMatika 1. rész/ B füzet MateMatika 2. rész/ Újság 72/100 mi26501 Ha elveszítjük a 4. oldalt tartalmazó lapot, mely oldalak fognak még hiányozni? 2-es kód: A tanuló mind a három oldalt felsorolta és csak ezeket adta meg: 3, 70, 69. Az oldalak sorrendjének megadása tetszőleges. A 3, 4, 69, 70 oldal nem lesz meg. [A 4. oldal megadása természetesen nem számít hibának.] 1-es kód: A tanuló a 69-es oldalszámot helyesen adta meg, a másik két oldalszámból (3, 70) legfeljebb az egyik szerepel és rossz oldalszám nincs megadva. 69. és 70. 3, 69 69 4,69 [A 4. oldal megadása természetesen nem számít hibának.] 0-s kód: Rossz válasz. 3-4-5-6-1 3, 70 Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 1 pontot ér, az 1-es kód 0 pontot ér. 8 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. 3, 69, 70 2 2. 3, 4, 69 1 3. 69, 70 1 4. 4, 5, 69, 68 0 5. 3, 68, 69 0 6. 4, 5, 67, 68 0 7. 7, 8, 66, 67 0 8. 71, 70, 69 0 9. 72 4 = 68 Az újság 68 lapja fog hiányozni. 0 10. 18, 36, 54, 72 0 11. 7, 8, 65, 66 0 12. Az újság oldalszáma: 72, elveszünk 4 oldalt 72 4 = 68 3, 4, 68 és 69 oldal fog hiányozni. 0 13. 3, (4), 69, 70 2 14. 3, 67, 68 0 15. 72 : 2 = 36 Eltűnik: 3, 71, 69. oldal [Rossz is szerepel.] 0 16. A 69 oldal fog még hiányozni. 1 17. 3-4 és 70-69 Indoklás: egy oldallapra vannak nyomtatva, hátulról és elölről is ugyanazt kell elvennem. 2 18. 3, 70, 69 lap fog hiányozni [Oldal helyett lap szerepel.] 2 19. 3, 4, 68, 69 [Rossz is szerepel.] 0 20. 4, 69 1 21. 68, 69 0 22. 1 72 2 71 3 70 4 69 ezek nem lesznek meg. [Nem derül ki, hogy pontosan melyekre gondolt.] 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 9

Szemétégető 75/103 mi28201 1-es kód: 6-os kód: Döntsd el a rendelkezésedre álló adatok alapján, hogy megépülhet-e a szemétégető vagy sem! Válaszodat matematikai érvekkel támaszd alá! A tanuló a Nem, nem épülhet meg a szemétégető válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában (1) az igennel szavazók száma (1920) mellett az összes szavazó száma (4050) vagy az összes helyesen kiszámított érték látszódik, VAGY (2) az igen szavazatok százalékos arányára (47,4%) hivatkozik. A válasz elfogadásához a tanuló gondolatmenetének helyesnek kell lennie és döntését a számolásai alapján kell meghoznia. Indoklás: (1250 0,64 + 2800 0,40) : (1250 + 2800) = (800 + 1120) : 4050 = 1920 : 4050 = 0,474 47,4% < 50% Nem, mert a lakosoknak csak 47,4%-a szavazott a megépítés mellett. Nem, mert 47,4 < 50. Nem, mert az ott lakók 52,6%-a a szemétégető ellen szavazott. 1250 0,64 = 800 2800 0,4 = 1120 800 + 1120 = 1920 1250 + 2800 = 4050 4050 0,5 = 2025 1920 < 2025 Nem Nem, mert (800 + 1120) : 4050 Nem, mert több mint 105 igen kellett volna még. Nem, mert 1920 < 290 + 1840 = 2130 [A Mindegy neki szavazókat is a nem támogatókkal együtt számolta.] Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az Igen, megépülhet a szemétégető válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában a százaléklábak összegét vagy átlagát hasonlította össze, és nem vette figyelembe, hogy a százalékalapok különbözőek. Igen, mert (64 + 40) : 2 = 52%-a a lakosságnak a szemétégető mellett szavazott. Igen, 52% Igen, mert 200% > 104% Igen, mert 104 > 96 0-s kód: Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a Nem, nem épülhet meg a szemétégető választ jelölte meg, de indoklása nem megfelelő vagy hiányzik. Nem épülhet meg, mert a szavazás eredményei nem azt mutatták. Nem, mert 50%-nál kevesebb az igen. Igen, mert 104% [Nem látszódik, milyen adattal hasonlította össze.] Igen, mert 1920 támogatja és 1840 nem támogatja. [A Mindegy neki szavazókat egyáltalán nem nézte.] Igen, mert 1920 + 290 = 2210 > 1840 nem támogatja [A Mindegy neki szavazókat nem ellenzőnek veszi.] Igen, mert 1920 < 4050 [A tanuló döntése rossz.] Lásd még: X és 9-es kód. 10 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. Igen = 104%, összes 200% IGEN megépülhet 6 2. Nem. teljes: (1250 100) + (2800 100) = 405 000 támogató (1250 64) + (2800 40) = 192 000 [Az arányok jók.] 1 3. Nem. 800 + 1120 = 1920 1250 + 2800 = 4050 [Ld. 8.] 1 4. Igen. A B Igen 800 1120 Nem 300 1540 Mindegy 150 140 Össz igen = 1920 Össz nem = 1840 Több mint 50% igennel szavazott. 0 5. Igen. 40 = 50 10 64 = 50 + 14 0 6. Nem. 1250 36% 450 fő [ Nem támogatja + Mindegy szavazók száma.] 2800 60% 1680 fő [ Nem támogatja + Mindegy szavazók száma.] 2130 több mint a 4050 fele 1 7. Igen. 800 + 1540 = 2340 fő [Az A-nál a támogatók + B-nél nem támogatók] 0 8. Nem. 1920 támogat 290 mindegy 1840 nem támogat [Ld. 3.] 1 9. Igen. 64 + 40 = 104 [A támogatók százalékosan összegezve.] 0 10. Igen. Mert az A falu 64% támogatja A B falu abba pedig csak 40% 0 11. Nem. Támogat: 47,4% Mindegy neki: 7,2% Nem támogatja: 45,4% [Ld. 8.] 1 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 11

12 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

12. Igen. Mert a feladat szövegében ott van, hogy Akkor építik meg a szemétégetőt, ha azt a két falu szavazóinak EGYÜTTESEN több mint 50%-a támogatja. A falu 64% B falu 40% 104% 0 13. Igen. 104% támogatja 17% mindegy neki 79% nem támogatja 0 14. Nem. Összesen 200%-ot veszünk, tehát 79% gondolja úgy, hogy megépülhet, tehát nem éri el a 200% felét. [Nem támogatók százalékosan 24%+55%] 0 15. Igen. T = 64% 64 + 6 = 70% T 1 = 40% NT = 24% 24 + 6 = 30% N 1 = 30% NM = 12 % 12 : 2 = 6% T 1 + T 2 = 112,5% NT = 87,5% T = 40% = 42,5% T 2 = 42,5% NT = 55% = 57,5% N 2 = 57,5% NM = 5 % = 5 : 2 = 2,5% [A Mindegy neki szavazókat felezi.] 0 16. 104% több mint a fele 4%-kal 200%-hoz képest. Igen 6 17. Igen. Támogat - A falu Támogat - B falu M 1250 : 100 = 12,5 2800 100 = 28 150 + 140 = 290 12,5 64 = 800 28 40 = 1120 1290 + 290 = 1580 2025 fő kellene, 1920 fő támogatja. [A szöveges válasza alapján felülírja döntését, 1920 helyett 1290-et írt.] 1 18. 2 falu összlakosa: 4050 fő ennek a fele: 2025 fő 1250 fő 64% 2800 fő 40% 0 19. Nem. 1250 : 164 = 7,6% 1800 : 140 = 20% 27,6% 0 20. Nem A 2 falu összesen 4050 lakos, ha ezt elosztjuk 100-zal, az csak 40,5% 0 21. A = 1250 4250 200% 100% B = 2800 104% T 52% 79% NT 39,5% 17% M 8,5% Igen 6 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 13

22. Igen. Mert a százalékos arány mindenképpen többet mutat azoknál, akik támogatják. 0 23. Igen. A: 1250 : 100 = 12,5 B: 2800 : 100 = 28 12,5 64 = 800 fő támogatja 28 55 = 1540 fő tám. A + B 1250 + 2800 = 4050 800 + 1540 = 2340 4050 : 100 = 40,5 2340 : 40,5 = 57,7% [B falunál a nem támogatókat vette.] 0 24. Nem. A falu 800 fő Igen B falu 1120 fő Igen 1920 fő össz: 4050 fő 1 25. Nem. 1250 + 2800 = 4850 / 2 = 2025 1250 0,64 = 880 fő 2800 0,4 = 960 fő 1840 [Jó műveletsorok, számolási hiba 3 helyen is.] 1 26. Nem. T: 800 T: 1120 A falu: N: 300 B falu: N: 1540 M: 150 M: 140 1920 összesen: 4050 T: 47% 1 27. Nem. 47% 1 28. Igen. Támogatók több, mint 50% összesen (104/200) 6 29. Igen. Mert összesen aki támogatja 104% [Nem látszik, mivel hasonlította össze.] 0 30. Nem. Mert a B faluban többen laknak és ők nem egyeznek bele. 0 31. Igen. 52% támogatja 6 32. 1920 4050 [Nincs döntés.] 0 33. Igen. Támogat: 64% + 40% = 104% ez a többség, aki támogatja Nem támogat: 24% + 55% = 79% [A Mindegy neki szavazókat nem nézte.] 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 15

34. Igen. A: mindegy + támogatja = 950 fő B: mindegy + támogatja = 1260 fő 4050 2210 54,57% szerint megépülhet 0 35. Nem. 2800 : 1250 = 2,24 1250 : 64 = 19,53 Támogat: 1953 : 2,24 = 43,75 0 36. Igen. A faluból 64% szavazott igennel, a B faluból csak 40%, de még így is megvan 50% 0 37. Nem, mert csak 1920 támogatta a 4050-ből. 1 38. Igen. 64 + 40 = 104 24 + 12 + 55 + 5 = 96 104 > 96 6 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 17

Angol autó 76/104 mi10702 2-es kód: 1-es kód: Váltsd át ezt az értéket a Magyarországon használatos mértékegységre (liter/100 km)! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 6,89 liter/100 km. A kerekítésekből adódó pontatlanságok miatt elfogadhatók a 6,8 és 6,9 közötti értékek is. A 7 helyes gondolatmenettel, illetve látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: 1 gallon üzemanyaggal 41,3 mérföldet tesz meg az autó. 1 4,55 liter üzemanyaggal 1,6 41,3 = 66,08 km-t tesz meg. 4,55 liter 66,08 km x liter 100 km 100 66,08 = x 4,55, amiből 455 = 66,08 x x = 6,89 lite r 1 gallon = 4,55 liter. 41,3 mérföld = 41,3 1,6 = 66,08 km. 455 = 66,08x x = 6,885 liter 455 : 66,08 1,6 41,3 = 66,08 66 km 100 : 66 = x : 4,55 1,5 = x : 4,55 x = 6,825 4,55 100 : 66,08 100 66,08 = x 4,55 A tanuló láthatóan helyes aránypárt írt fel, de annak rendezése rossz vagy hiányzik. 4,55 liter 66,08 km x liter 100 km 100 : x = 66,08 : 4,55 [A helyes aránypár látható, a további számítások hiányoznak.] 100 : 66,08 = x : 4,5 66,08 : 100 = 4,5 : x 4,5 : 66,08 = x : 100 66,08 : 4,5 = 100 : x 0-s kód: Rossz válasz. 100 km 160 mf 1 liter 4,55 100 km-en 41,3 mf 66,08 km 4,55 liter 41,3 1,6 = 66,08 km x liter 100 km. [A tanuló csak a mértékátváltásokat végezte el.] 41,3 1,6 = 66,08 km 66,08 : 4,55 = 14,5 liter 41,3 gallon/mérföld 41,3 4,55 liter/mérföld 41,3 4,55 = 117,4 1,6 Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 1 pontot ér, az 1-es kód 0 pontot ér. 18 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. 41,3 mérföld : 1,6 km = 25,8 km 0 2. 41,3 1,6 = 66,08 km 0 3. átlagfogyasztás: 41,3 m/g 41,3 : 4,55 = 9,07 l 41,3 1,6 = 6,89 km 9,07 6,88 = 62,40 0 4. 66,08 : 4,55 = 14,5 liter 0 5. 41,3 1,6 = 66,08 4,55 l 66,08 : 66,08 / 4,55 : 66,08 1 / 0,068 1 100 / 0,068 100 100 km 6,8 l 2 6. 100 : 1,6 = 62,5 62 4,55 = 284,375 0 7. 1 mérföld 1,6 km 1 gallon 4,55 l 41,3 mérföld 66,08 km / 1,6 41,3 gallon 187,9151 0 8. 1 g 4,55 l 122 : 10 = 12,2 l/100 km 1 m 1,6 km 41,3 4,55 = 187,9 l 41,3 1,6 = 66,1 km 187,9-66,1 = 121,8 122 0 9. 41,3 : 1,6 = 2,58 25,8 4,55 = 112,44 117,44 : 100 = 1,17 0 10. 1,6 41,3 = 66,08 4,55 liter / 66,08 km 0 11. 6,8 2 12. 41,3 mérföld = 66,08 km 0 13. 41,3 1,6 : 4,55 = 14,52 0 14. (41,3-4,55) 100 = 3675 0 15. 4,55 : 66,08 = 0,068 liter/100 km [Valójában 1 km-en ennyi a fogyasztás.] 0 16. 1,6 41,3 = 66,08 66,08 + 33,92 = 100 66,08 : 2 = 33,9 4,55 : 2 = 2,275 4,55 + 2,275 = 6,825 2 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 19

Hatos lottó 78/106 mi01702 2-es kód: Mekkora a valószínűsége, hogy Lőrinc 100 000 Ft-nál többet visz haza? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 34 45 vagy ezzel egyenértékű kifejezés. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Elfogadjuk a százalékos alakban megadott értéket is (75,5%), illetve ennek kerekítését 75% vagy 76%-ra. 100 000 30 000 = 70 000, 70 000 : 6000 = 11,6 legalább a 12-es számot kell kihúznia Lőrincnek, 12-től 45-ig 34 darab szám van, ezért 34 45 a valószínűsége. 0,755 75,5% 30 000 + x 6000 > 100 000 x > 11,6 34 szám 34 45 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló jó gondolatmenettel számolt, de roszszul összegezte a 12-től 45-ig lévő számok darabszámát (33), ezért válasza 33 45 vagy ezzel egyenértékű kifejezés. Elfogadjuk a százalékos alakban megadott értéket is (73,3%), illetve ennek kerekítését 73% vagy 74%-ra. 0,733 73,3% 12 100 = 26,66 73,33% esély van, hogy meg tudja venni 45 11 15 6-os kód: A tanuló nem vette figyelembe a 30 000 Ft-os alapnyereményt, ezért válasza 29 45 vagy ezzel egyenértékű kifejezés. Elfogadjuk a százalékos alakban megadott értéket is (64,4%), illetve ennek kerekítését 64% vagy 65%-ra. 100 000 : 6000 = 16,7 ebből következik, hogy legalább a 17-es számot kell kihúznia Lőrincnek, 17-től 45-ig 29 darab szám van, ezért 29 45 a valószínűsége. 64% 20 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. Ha 1 számot is kihúz, ami két számjegyből áll 12 felett, akkor is már 102 000 Ft-ot nyer. 11 45 az esélye annak, hogy 100 000-nél többet visz haza. 0 2. 33 : 45 -höz az esélye 1 3. 17-et vagy annál nagyobbat kell húznia, ez összesen 29 szám. 29 : 45 6 4. 12-től felfelé kell húznia. 45 12 = 33 1 : 33 esélye van. 0 5. 30 000 biztos 70 000 6000 = 11,66 12 12 : 45 az esélye, hogy több pénzt visz haza 0 6. alap: 30 000 Ft már csak 70 000 Ft kell neki 70 000 : 6000 = 11,6 Tehát 11-nél nagyobb számot kell húznia ahhoz, hogy megvegye a kerékpárt. 12-45-ig kell húznia, ami 34 szám. Tehát 34 : 45 az esélye. 2 7. 70 000 6000 = 12 1 : 12 a valószínűsége 0 8. 64,4% 6 9. Ha Lőrinc 12 feletti számot húz 0 10. Legrosszabb eset: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -ost húz nyereménye: 6000, 12 000, 18 000... + számhúzásért 30 000 Ft Végösszeg 156 000 100% a valószínűsége [Mindet számot Lőrinc húz.] 0 11. Min. 70 000 : 6000 12-t kell húznia 34 szám 1 : 34 az esélye 0 12. 100 000 30 000 = 70 000 70 000 : 6 = 11 666,6 0 13. Amit mindenképp megkap: 30 000 Ft hazaviheti: 6000 100 000 30 000 = 70 000 Ft 60 000 12 = 72 000 Ft 12-nél nagyobb számnak kell lennie 45 12 = 33 1 : 33-hoz az esélye, hogy 100 000 Ft-nál több pénzt visz haza. 0 14. 12-nél kisebb számot nem húzhat, mert 12 6000 = 72 000 + 30 000 az alappénz és ez 102 000 0 15. 12 6000 = 72 000 72 000 + 30 000 = 102 000 12-t vagy annál nagyobb számot kell húznia 45 100% 11 x x = 24,4% hogy nem nyer annyit, hogy kerékpárt vehessen. 45 100% 45 11 = 34 x x = 75,56%, hogy nyer elég pénzt. 2 16. 11-nél nagyobb szám kell neki. 0 17. 45 11 = 34 1 : 34-hez Lőrinc többet visz haza 100 000-nél. 34 : 45 2 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 21

0-s kód: Más rossz válasz. alapból kap: 30 000 Ft 70 000 úgy jön ki, ha minimum a 12-est húzza 70 000 : 6000 = 11,66 45-nek 12 a 26,66%-a Lásd még: 33 12 X és 9-es kód. megj.: A 2-es és 1-es kód 1 pontot ér. 22 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 23

Dobogó 79/107 mi25002 1-es kód: 7-es kód: 6-os kód: Hány m 2 területet kell lefesteni? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 3 m 2. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: Eleje és hátoldala: 2 (0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125) = 2 0,75 = 1,5 teteje: 3 0,25 = 0,75 oldalak: 0,125 + 0,25 + 0,125 + 0,25 = 0,75 Összesen: 3 m 2 3 0,5 0,5 + 3 0,5 0,5 + 2 0,5 0,75 + 1 0,5 0,25 + 1 0,5 0,5 + 3 0,5 0,25 12 0,25 = 3 A tanuló átdarabolással vagy más egyéb módszerrel oldotta meg a feladatot, és válasza 2,75 m 2. 8 egész kocka, 6 fél kocka: 8 0,25 + 6 0,125 = 2 + 0,75 = 2,75 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az egymáshoz illeszkedő függőleges oldallapok nem látható részeivel VAGY a dobogó aljával is számolt, ezért válasza 3,75 m 2. I: 4 oldallap: 4 0,25 = 1 fél kocka (3 oldallap): 0,75 Összesen: 1,75 II: 5 oldallap: 1,25 III: fél kocka: 0,75 Összesen: 3,75 3,5 0,25 + 6,5 0,25 + 5 0,25 = 0,875 + 1,625 + 1,25 = 3,75 [A dobogó aljával is számolt.] 0-s kód: Más rossz válasz. előlap: 2 + 2 1/2 = 3 0,25 = 0,75 a hátlap is ennyi oldalak: 3 + 3 1/2 = 4,5 0,25 = 1,125 Összesen: 1,125 + 0,75 + 0,75 = 2,625 m 2 [Nem számolt egy egész és egy fél (nem látható) oldallappal.] II: 5 oldallap: 5 0,25 = 1,25 I: 4,5 oldallap + 3 oldallap = 7,5 oldallap 1,875 III: 3 oldallap: 3 0,25 = 0,75 Összesen: 3,875 [Az egymással érintkező nem látható lapokat is beleszámolta, de az I-II között duplán számolta.] Lásd még: X és 9-es kód. megj.: Az 1-es kód 1 pontot ér, a 7-es kód 0 pontot ér. 24 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. 1 kocka 5 oldalát festi le. 1 oldal területe 0,25 m 2 1,25 m 2 terület 2 teljes kocka van, ezért 2,5 m 2 1 fél kocka 5 oldal, 4 oldal csak a fele az egészhez képest, ezért 1 0,25 + 4 0,125 = 0,75 m 2 0,75 2 = 1,5 m 2 1,5 m 2 + 2,5 m 2 = 4 m 2 [2 egész kocka + 2 fél kocka 5 oldalával számolt.] 0 2. 1 oldallap 0,25 m 2 11 oldallap 2,75 m 2 7 3. 8 egész 8 0,25 m 2 6 fél 6 0,125 m 2 Összesen: 2 m 2 + 0,75 m 2 = 2,75 m 2 7 4. 0,25 8 = 2 0,25 : 2 = 0,125 0,125 8 = 1 2 + 1 = 3 m 2 területet kell lefesteni 1 5. 0,25 8 = 2 m 2 - oldal 0,25 3 = 0,75 m 2 -teteje 2 + 0,75 = 2,75 m 2 7 6. 0,25 8 + 0,125 7 = 2,875 m 2 0 7. 0,25 7 + 0,25 2 7 = 2,75 m 2 [Rossz gondolatmenet és számolási hiba] 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 25

Menetlevél 81/109 mi14101 A fenti adatok alapján készíts grafikont a teherautó mozgásáról! 1-es kód: A tanuló helyesen készíti el a grafikont a következő ábrának megfelelően. A bejelölt pontok az 50-75, 200-225, 275-300 km-eket jelölő segédvonalak között, az alsó értékhez közelebb legyenek. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló 1 érték ábrázolását elrontotta vagy kihagyta, de a további értékek ábrázolása helyes, VAGY 1 érték ábrázolását elrontotta, de a további értékek ábrázolása ehhez viszonyítva helyes. Megtett út (km) 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) 13.00 Megtett út (km) 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) [A tanuló továbbrajzolta a grafikont.] 13.00 26 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 1. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [60, 150, 70-et próbálta ábrázolni, pontatlanul.] 0 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 2. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [1 hiba: a 11.30-nál lévő töréspont ábrázolása hiányzik.] 1 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 3. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [60, 210, 280 magas oszlopdiagramokat ábrázolt.] 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 27

300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) [A tanuló az állásidőnél nem jelölte az addig megtett utat.] 13.00 7-es kód: A tanuló 60 és 150 km-nek megfelelő magasságban jelölte a vízszintes szakaszokat a megfelelő időpontok között, és a grafikon a 12.30-as időponthoz tartozó 70 km-nek megfelelő helyen ér véget. Idetartoznak azok, amikor a tanuló válaszából egyértelműen kiderül, hogy ezt a gondolatmenetet követte, de 1 érték ábrázolását elrontotta (de nem a 150 km-nek megfelelő magasságban lévő vízszintes szakasz ábrázolását hibázta el) vagy kihagyta. 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) 13.00 0-s kód: Rossz válasz. 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) [A tanuló grafikonja több helyen is el van csúszva.] 13.00 28 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 4. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [1 hiba: a 2. állásidő magassága, ahhoz képest jó a 12.30-as pont.] 1 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 5. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [1 hiba: 12.30-nál lévő pont elcsúszott 13.00-ra.] 1 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 6. 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) 13.00 7 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 29

300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) 13.00 [Az egyes szakaszokat külön jelölte.] 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) Pécs Szekszárd Budapest Gödöllő 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) 13.00 Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 1-es kód 1 pontot ér, a 7-es kód 0 pontot ér. 30 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 7. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [1 hiba: a 2. állásidőt nem 210 magasan ábrázolta, de utána ahhoz jól adott 70-et.] 1 300 275 Gödöllő 250 225 200 Budapest Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 Szekszárd 8. 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) 13.00 1 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 9. 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) 13.00 1 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 31

300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 10. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [1 hiba: a 12.30-nél lévő pont magassága rossz.] 7 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 11. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [1 hiba: 12.30-nál nem megfelelő magasságban van a pont.] 1 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 12. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [1 hiba: az 1. állásidő 75 magasan van.] 1 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 33

300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 13. 100 75 50 25 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 Idő (óra, perc) 13.00 1 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 14. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [2 hiba: a 2. állásidő magassága, 12.30-nél lévő pont magassága rossz.] 0 300 275 250 225 200 Megtett út (km) 175 150 125 100 75 50 25 15. 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 Idő (óra, perc) [1 hiba: a 12.30-nál lévő pont magassága rossz.] 1 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 35

Kártyavár 83/111 mi23502 1-es kód: 6-os kód: Milyen magas a Péter által épített kártyavár? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 57,24 cm vagy ennek kerekítése. Elfogadjuk az 57 és 58 közötti értékeket, beleértve a határokat is. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. A 60 cm csak akkor fogadható el, ha a tanuló láthatóan helyes módszerrel számolt. Számítás: Egy szint magasságára: x 2 + 3 2 = 10 2 x = 9,54 cm A kártyavár magassága: 9,54 6 = 57,24 cm 57,24 cm 58 9,5 6 = 57 3 2 + b 2 = 100 b 2 = 81 b = 9 9 6 = 54 cm magas lesz. [Számolási hiba] 10 2 3 2 = 91 6 91 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló láthatóan a kártyalap magasságát szorozta meg a kártyavár szintjeinek számával, ezért válasza 60. 6 10 = 60 2 30 0-s kód: Más rossz válasz. m 2 + 6 2 = 10 2 m 2 + 36 = 100 m 2 = 64 m = 8 6 8 = 48 cm magas. 60 [Számolás nem látható.] Lásd még: X és 9-es kód. 36 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. 3 2 + m 2 = 10 2 m = 9,53 9,53 6 = 57,18 cm 1 2. 60 cm magas mert egy kártya 10 cm magas 6 3. m = 9,544 6 9,544 57,264 cm 1 4. 1 szint = 10 cm 6 szint 6 10 cm = 60 cm magas 6 5. 3 2 10 2 = c 2 9 100 = 900 = 30 cm 180 cm 0 6. x 2 + 3 2 = 10 2 6 szint x 2 + 9 = 100 9 6 = 54 cm x 2 = 81 x = 9 [Számolási hiba.] 1 7. 9,5 6 = 57 cm [Ld. a kódkönyvben megadott példaválaszt.] 1 8. 60 [Számolás nem látható.] 0 9. 6 x 6 = 36 cm 0 10. 10 2 6,3 2 = 100 39,69 = 60,31 0 11. 10 x 6 = 60 cm 6 12. 1 kártya 10 cm 3 szint 30 cm 6 szint 60 cm 6 13. 6 10 = 60 60 : 2 = 30 0 14. 57,24 cm = 9,54 6 1 15. 1,2,3,4,5 V: 60 cm 0 16. 48 cm magas m 2 + 6 2 = 10 2 m 2 = 64 m = 8 0 17. 6,3 2 + b 2 = 10 2 b = 60,31 = 7,7 7,7 6 = 46,59 0 18. 2 30 = 60 6 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 37

6,3 : 2 = 3,15 10 x 10 x = 9,49 6 9,49 = 56,945 cm magas 19. 6,3 3,15 [A 6,3 helyett 6 cm-rel kellett volna számolni.] 0 10 10 10 10 60 2 2 2 a + b = c 2 2 2 a + 18 = 60 a = 57,2 10 10 6 6 6 20. 18 1 6 x 10 60 x 60 2 2 2 60-18,9 = b 3600-357,01 = x 2 3242,79 = x 2 56,9 = b 56,9 = x 21. 37,8 6,3 x 6 0 m 10 2 2 m = 3 + 10 = 10,44 6 = 62,64 22. 6 [Pitagorasz tétel rossz alkalmazása.] 0 m a a = 10 6 = 60 b = 6 6 = 36 : 2 =18 2 2 2 a 60-18 = m 3600-324 = 3276 = 57,3 23. b 1 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 39

Erdő 85/113 mi31501 Hány fából állt a faállomány 2 évvel ezelőtt? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 1-es kód: 10 250. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: (x 0,8 + 800) 0,8 + 800 = 8000 0,64x + 640 + 800 = 8000 x = 10 250 10 250 Jelenleg 8000 fa 20%/év + 800 fa 1 éve: (8000 800) 1,25 = 9000 2 éve: (9000 800) 1,25 = 10 250 8000 = 800 + 0,8x 0,8x = 7200 x az 1 évvel ezelőtti állomány x = 9000 9000 = 800 + 0,8 y 0,8y = 8200 y a 2 évvel ezelőtti állomány y = 10 250 fa 7-es kód: 6-os kód: 5-ös kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló nem a megfelelő értékeket vette százalékalapnak (a kivágás és ültetés sorrendjétől függetlenül). 8000 + 20% 800 = 1 éve 8800 + 20% 800 = 2 éve 9760 fa állt 2 éve. 8000 800 = 7200 7200 + (7200 0,2) = 8640 8640 800 = 7840 7840 + (7840 0,2) = 9408 fa volt Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az állomány két év múlva várható nagyságát számította ki, ezért válasza 6560. (8000 0,8 + 800) 0,8 + 800 = 6560 1 éve 1% = 80 fa 20% = 1600 fa 8000 1600 = 6400 fa 6400 + 800 = 7200 fa 100% 2 éve 72 fa 1% 1440 fa 20% 7200 1440 = 5760 5760 + 800 = 6560 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló mindig a 8000-nek a 20%-ával számolt, ezért válasza 9600. 8000 0,2 = 1600 1600 800 = 800 db fa. 2 évvel ezelőtt 8000 + 2 800 = 9600 fa. Idén: 8000 1600 + 800 = 7200 Tavaly: 8000 800 + 20% = 7200 + 1600 = 8800 2 éve: 8800 800 + 20% = 8000 + 1600 = 9600 fából állt a faállomány 2 éve. 0-s kód: Más rossz válasz. Lásd még: X és 9-es kód. 40 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. 8000 0,2 = 1600 8000 1600 = 6400 6400 + 800 = 7200 fa van most. [Csak 1 évre számolta ki, 5-ös kódnak megfelelő gondolatmenettel.] 0 2. Jelenleg 8000 fa kivágják: 1600 fa ültetik: 800 fa tehát 800 fa veszteség minden évben 2 évvel ezelőtt: 800 2 = 1600 8000 + 1600 = 9600 fa volt az erdőben. 5 3. 8000 100 9600 120 9600 800 = 8800 8800 100 10 560 120 10 560 800 = 9760 fa volt 2 éve 7 4. 8000 + 40% = 1600 8000 1%-a 80 8000 40%-a 3200 3200 1600 = 1600 8000 + 1600 = 9600 fa volt 2 évvel ezelőtt 5 5. 1 éve: 8000 800 = 7200 7200 1,2 = 8640 2 éve: 8640 800 = 7840 7840 1,2 = 9408 fából állt a fenyőerdő 7 6. 1 éve 8000 1,2 = 9600 9600 800 = 8800 2 éve 8800 1,2 = 10 560 10 560 800 = 9760 [20%-kal növel, majd kivon.] 7 7. 8000 1600 = 6400 fa 6400 100% 64 1% 2560 40% 8960 fa volt 2 évvel ezelőtt [6400-nak számolja százalékát.] 0 8. 8000 egy éve x 20% + 800 = 8000 x 20% = 7200 x = 9000 két éve x 20% + 800 = 9000 x 20% = 8200 x = 10 250 1 9. Tavaly: (8000 800) 1,2 = 8640 db fa 2 éve: (8640 800) 1,2 = 9408 db fa 2 éve 9408 fából állt a faállomány [Kivon, majd 20%-kal növel.] 7 10. 8000 20 : 100 = 1600 1600 2 = 3200 800 2 = 1600 8000 1600 = 6400 6400 + 3200 = 9600 db fa 5 11. 8000 fa az összes 8000 0,20 = 1600, de 800-at ültettek, így 8800 első évben 8800 0,20 = 1760 fát vágtak ki, 800-at ültettek 9760 fa volt 2 évvel ezelőtt 7 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 41

12. 800 + (8000 20 80) = 7200 1 év 800 + (7200 20 72) = 6560 2 év 6 13. (8000 800) 1,2 = 8640 (8640 800) 1,2 = 9408 [1,25 helyett 1,20-dal számolt.] 7 14. 8000 fa 100% fa 20% 1600 2 év + 1600 fa 2 év fa 3200 8000 3200 + 1600 = 6400 [6-os és 5-ös kód keveréke.] 0 15. 8000 fa 20% = 1600 fa 2 20% = 3200 fa 10% = 800 fa 8000 + 3200 = 11 200 fa 0 16. 800 fának a 20%-a 16 fát vágnak ki évente 8000 + 32 = 8032 8032 + 1600 = 9632 0 17. 1. év: 8000 800 = 7200 20%-a 1440 7200 + 1440 = 8640 2. év: 8640 800 = 7840 20%-a 1568 8640 + 1568 = 10 208 [Elírás 7840 helyett 8640 szerepel, majdnem a 7-es kódnak megfelelő válasz.] 0 18. 8000 fa 20%-a 1600 8000 1600 = 6400 6400 + 800 = 7200 fa 8000 3200 = 4800 4800 + 1600 = 6400 fa 6400 fából áll az állomány [6-os és 5-ös kód keveréke.] 0 19. 8000 0,1 = 800 800 2 = 1600 8000 1600 = 6400 7400 10%-a: 740 740 2 = 1480 7400 1840 = 5560 5560 + 800 =6360 0 20. 8000 0,2 = 1600 8000 1600 = 6400 + 800 = 7400 az 1. év [Számolási hiba] 7400 0,2 = 1480 7400 1480 = 5920 + 800 = 6720 6 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 43

Japán gyertya diagram 87/115 mi12502 1-es kód: 6-os kód: A diagram adatai alapján számítsd ki, hány jent keresett az a kereskedő, aki CSÜTÖRTÖ- KÖN nyitóáron vásárolt 150 mázsa rizst és még aznap el is adta záróáron! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 2250 jent. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 150 (170 155) = 2250 Mázsánként 15 jent 150 15 25 500 23 250 = 2250 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló vagy csak az aznapi záróárral, vagy csak az aznapi nyitóárral számolt, ezért válasza 25 500 jen vagy 23 250 jen. 170 150 = 25 500 [A tanuló a záróárral számolt.] 155 150 = 23 250 [A tanuló a nyitóárral számolt.] 0-s kód: Más rossz válasz. 150 150 = 22 500 175 150 = 26 250 26 250 22 500 = 3750 jent keresett [A tanuló a maximum és a minimumárral számolt.] 155 + 170 = 325 jent keresett 170 150 = 20 20 150 = 3000 jen [A tanuló a záróárral és a minimumárral számolt.] Lásd még: X és 9-es kód. 44 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. 150 150 = 22 500 jen 0 2. 150 - min. 15 = 22 500 175 - max. 15 = 26 250 26 250 22 500 = 3750 jent keresett 0 3. 150 155 = 23 250 150 170 = 25 500 25 500 23 250 = 2250 1 4. 15 jen 1 mázsa x 150 mázsa 150 15 = 2250 jen 1 5. 170 150 155 150 = 2550 [Jó műveletsor, számolási hiba] 1 6. 150 150 = 22 500 vásárolt [155 helyett 150-nel számolt.] 150 170 = 25 500 eladott 25 500 22 500 = 3000 a haszon 0 7. 170 150 = 25 550 a nyitó 155 150 = 23 250 a záró 2250 jent fog bukni [Felcserélte a záró és nyitó árat, így negatívan zárja a napot.] 0 8. 170 155 = 15 0 9. 150 mázsa, 1 mázsa 175 jen 150 175 = 26 250 jen 0 10. 155 150 = 23 250 150 170 = 25 500 2250 jent keresett 1 11. 155 150 = 23 250 150 170 = 25 500 22 500 jent keresett [Nem utal a kivonásra semmi, vagy ld. [1] példaválaszt.] 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 45

Óvoda 91/119 mi99901 2-es kód: Ha Anna néni és Berta néni az X-szel jelölt helyeken állnak, belátják-e az egész udvart? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat az ábrán rajzzal indokold! A tanuló a Nem, nem látják be az egész udvart válaszlehetőséget jelölte meg, és helyesen jelölt az ábrán egy vagy több pontot, vagy azt a területet, amelyet nem látnak be az óvónők. Anna néni Berta néni 1-es kód: 7-es kód: A tanuló helyesen jelölte meg annak a területnek a határait, amelyet az óvónők nem látnak, de a területet nem emelte ki egyértelműen. A tanuló az indoklását szövegesen fogalmazta meg (rajz nélkül), amelyből egyértelműen kiderül, hogy a két épület közötti terület nem minden részét látják be az óvónők. 0-s kód: Rossz válasz. Idetartozik az is, ha a tanuló olyan ponto(ka)t is jelölt, amely(ek) jó(k), és oly(noka)t is, amely(ek) nem. Nem, a két négyzetet összekötő részt nem látja be. Nem, mert a látóterükben van az épület. Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es, 1-es és 7-es kód 1 pontot ér. 46 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

Anna néni Nem... Az x-szel jelölt részt nem látják. 1. Berta néni 2 Anna néni Nem... Nem, mert takarásban van egy rész. 2. Berta néni 0 Anna néni Nem... Nem látják, mert a két épület között marad beláthatatlan terület. 3. Berta néni 7 Ide egyik sem lát Anna néni Nem... 4. Berta néni 2 Anna néni Nem... 5. Berta néni 2 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 47

Anna néni Nem... 6. Berta néni 2 Anna néni Nem... 7. Berta néni 0 Ezt nem Anna néni Nem... 8. Berta néni 2? Anna néni Nem... 9. Berta néni 2 Anna néni Igen... 10. Berta néni 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 49

erre is lát Anna néni Igen... erre is lát erre is lát 11. Berta néni erre is lát 0 Anna néni Nem... Az x-et nem látja egyik sem. 12. Berta néni 2 Anna néni Nem... 13. Berta néni [A megjelölt pont alapján döntünk.] 2 Ide nem látnak Anna néni Nem... 14. Berta néni 2 Ezt a részt nem látják be Anna néni Nem... 15. Berta néni 2 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 51

Anna néni Nem... A kisebbik szürke épület mögé nem látnak be. 16. Berta néni 2 Anna néni Nem... 17. Berta néni 1 Anna néni Nem... 18. Berta néni 2 Nem látja semmelyik Anna néni Nem... 19. Berta néni 0 Anna néni Nem... 20. Berta néni 2 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 53

Anna néni Nem... Ide nem látnak be 21. Berta néni [A sablon segítségével dönthető el.] 2 Anna néni Nem... 22. Berta néni 0 Nem... Anna néni Emiatt nem lát ide 23. Berta néni Emiatt nem lát ide 0 Anna néni Nem... Mert a két négyzet között van egy kis rész, amit nem látnak be. 24. Berta néni 7 Anna néni Nem... 25. Berta néni 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 55

Anna néni Nem... A kettő között nem, az épületek kitakarnak. 26. Berta néni 2 Anna néni Nem... 27. Berta néni [A határ látszik, de nincs kiemelve, melyik területre gondol.] 1 Anna néni Nem... itt nem 28. Berta néni 2 Anna néni Nem... 29. Berta néni 0 Anna néni Nem... ezt nem 30. Berta néni 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 57

Anna néni Nem...? 31. Berta néni 2 Anna néni Nem...? 32. Berta néni 2 Anna néni Nem... Se Berta - se Anna néni nem lát be a kicsi és a nagy négyzet közé. 33. Berta néni [A tanuló szerint a teljes területet nem látja ott.] 0 Anna néni Nem... A négyzettől nem látnak, mert eltakarja velük szemben lévő oldalakat. 34. Berta néni 0 Anna néni Nem... 35. Berta néni 2 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 59

Anna néni Nem... 36. Berta néni 2 Anna néni Nem... A - jelölt részt nem látják be. 37. Berta néni 0 Anna néni Nem... 38. Berta néni 2 Anna néni Nem... Köztük van az épület. 39. Berta néni 0 Anna néni Nem... 40. Berta néni [Nem látszanak a pontos határok sem.] 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 61

Anna néni Nem... 41. Berta néni 2 Anna néni Nem... 42. Berta néni 2 Anna néni Nem... Mert ha valaki a kis négyzet mögé bújik, azt egyikőjük sem látja. 43. Berta néni 0 Anna néni Nem... 44. Berta néni 2 Anna néni Nem... 45. Berta néni [A határ látszik, de nincs kiemelve, melyik területre gondol.] 1 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 63

Anna néni Nem... 46. Berta néni 2 Anna néni Nem... 47. Berta néni [A határ látszik, de nincs kiemelve, melyik területre gondol.] 1 Anna néni Nem... 48. Berta néni 2 Anna néni Nem... Nem látják, mert a kis négyzet jobb oldalát nem látják. 49. Berta néni [A tanuló a szöveges megfogalmazással egyértelműen megjelölte a pontokat.] 2 Anna néni Nem... Berta néni 50. 1 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 65

Pénzbeváltás 93/121 mi29402 1-es kód: 6-os kód: Hány forintot kap ezért a postán István, ha minden címletből 50 darabot lehet beváltani ingyenesen, az azon felül beváltani kívánt érmék után a posta 6 százalék költséget számít fel? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 2925 Ft. A helyes válasz látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: A beváltani kívánt érmék összértéke: 200 5 + 100 10 + 50 20 = 3000 Ft. Az összeg, amely után költséget kell fizetni: (200 50) 5 + (100 50) 10 = 150 5 + 50 10 = 1250 Ft. A költség mértéke: 1250 0,06 = 75 Ft. Kifizetett összeg: 3000 75 Ft = 2925 Ft. 50 5 + 50 10 + 50 20 = 1750 Ft. (150 5 + 50 10) 0,94 = 1250 0,94 = 1175 1750 + 1175 = 2925 150 5 6% ( 45 Ft) 50 10 6% ( 30 Ft) 3000 Ft - 75 Ft Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a teljes beváltani kívánt összegre számította ki a költséget, ezért válasza 2820 Ft. 200 5 + 100 10 + 50 20 = 3000 3000 0,06 = 180 3000 180 = 2820 Ft. 0-s kód: Más rossz válasz. 200 5 = 1000 50 5 = 250 100 10 = 1000 50 10 = 500 50 20 = 1000 50 20 = 1000 250 + 500 + 1000 = 1750 [Az ingyen beváltható pénzért járó összeg.] Lásd még: X és 9-es kód. 66 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. 200 5 = 1000 50 5 = 250 100 10 = 1000 50 10 = 500 1750 Ft 6% 50 20 = 1000 50 20 = 1000 0 2. 3500 Ft 0,6 = 210 Ft 3500 210 = 3290 [Lehet, hogy az a) részből származik a 3500.] 0 3. 200 5 = 1000 Ft 50 5 = 250 100 10 = 1000 Ft 50 10 = 500 50 20 = 1000 Ft 20 20 = 500 1250 Ft : 6 0 4. 200 db 5 Ft-os 4 csomag, 1 ingyenes 45 Ft mínusz 100 db 10 Ft-os 2 csomag, 1 ingyenes 30 Ft mínusz 50 db 20 Ft-os 1 csomag ingyenes (45 3) + (30 1) = 165 Ft-ot von le 3000 165 = 2835 0 5. 75 Ft-ot kell fizetnie 200 db 5ös 150 5 6%-a 45 Ft 100 db 10: 50 10 6%-a 30 Ft [A költséget határozta meg.] 0 6. 200 50 = 150 x 5 = 750 100 50 = 50 x 10 = 500 1250 1250 x 0,94 = 1175 Ft 1175 + 150 x 5 + 1000 + 500 = 2675 + 150 x 5 = 3425 0 7. 150 db 5 0,94 705 Ft 50 db 10 0,94 470 Ft + 50 5 + 50 10 + 50 20 250 500 1000 2925 1 8. 50 5 + 50 10 + 5 20 = 1750 Ft 0 9. 200 5 = 1000 Ft 500 Ft nem ingyenes 150 db 100 10 = 1000 Ft 500 Ft nem ingyenes 50 db 200 db 50 20 = 1000 Ft ingyen 200 db pénz után kell 6% fizetni, az összesen 120 Ft 3000 120 = 2880 Ft-ot kap 0 10. 150 : 5 = 750 50 10 = 500 200 nem 200 0,06 = 12 0 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 67

a füzet MateMatika 2. rész/ B füzet MateMatika 1. rész/ Farönk 99/71 mi16401 1-es kód: Hány farönköt tegyenek az alsó sorba, hogy mind a 28-at el tudják így helyezni? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 7. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: n (n+1) 2 = 28 n 2 + 2n 56 = 0 n = 7. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 [A tanuló lerajzolta.] 7-es kód: A tanuló számításaiban látható a 28 : 4 = 7 rossz gondolatmenet és egy jó módszerre utaló lépéssor is. 28 : 4 = 7 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 0-s kód: Rossz válasz. Lásd még: X és 9-es kód. megj.: Az 1-es kód 1 pontot ér, a 7-es kód 0 pontot ér. 68 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam

1. A 28 farönköt 3 : 2 : 1 arányban kell elhelyezni. 28 : 6 = 4,6 Alsó sorba = 3 4,6 = 13,8 14 Középső: 2 4,6 = 9,2 9 Felső = 1 4,6 = 4,6 5 0 2. 15 0 3. 28 : 4 = 7 [Láthatóan rossz gondolatmenet.] 0 4. 7 1 5. O OO OOO OOOO OOOOO OOOOOO OOOOOOO 1 6. 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 1 7. 1 2 3 4 5 6 7 3 6 10 15 21 28 7 1 8. 28 1 = 27 27 2 = 25 25 3 = 22 22 4 = 18 18 5 = 13 13 6 = 7 7 7 7 = 0 1 9. 1 1 11 2 111 3 1111 4 11111 5 111111 6 1111111 7 7 1 10. 4 + 3 + 2 + 1 = 10 /+ 5 15 /+ 6 21 /+ 7 7 + 21 = 28 1 11. 28 1 2 3 4 5 6 7 = 0 tehát 7 fa kell 1 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 69

12. 1 11 3 111 6 1111 10 11111 15 111111 21 1111111 28 7 1 13. x + x 1 + x 2 = 28 3x 3 = 28 3x = 31 x = 31 3 farönköt kell 0 14. 28 : 4 = 7 és a tanuló lerajzolta a helyes ábrát. 7 Tanulói példaválaszok Matematika 10. évfolyam 71

Átlag 101/73 mi24901 1-es kód: 7-es kód: Megkaphatja-e az ötöst év végén? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold! A tanuló a Nem, nem kaphatja meg az ötöst év végén válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában látszódik a helyes átlagérték. Indoklás: 4,375 8 + 5 9 = 4,44 < 4,5 Nem, mert 4,4 < 4,5 Nem, mert (35 + x) : 9 = 4,5 x = 5,5 Nem, mert csak 4,44 lehet. Igen, mert ha 5-öst ír, akkor is csak 4,44 az átlaga. [A jelölést elrontotta, de a számított érték helyes, és a szöveges indoklás a Nem válaszlehetőséget támasztja alá.] Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az Igen, megkaphatja az ötöst év végén válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában láthatóan nem súlyozott átlagértéket számolt. 4,375 + 5 2 = 9,375 2 Igen, mert 4,68 lesz az átlaga. Igen, 4,69. = 4,6875 Igen, megkaphatja. 0-s kód: Más rossz válasz. Lásd még: X és 9-es kód. megj.: Az 1-es kód 1 pontot ér, a 7-es kód 0 pontot ér. 72 JavíTókulcs Matematika 10. évfolyam