5. osztály 1. Hány olyan téglalap van, amelynek minden oldala centiméterben kifejezve egész szám, és a területe 60 cm 2? 2. Adott a síkon egy ABC szabályos háromszög. Keresd meg a síkon az összes olyan P pontot, amelyre teljesül, hogy az ABP, ACP és BCP háromszögek mindegyike egyenlőszárú háromszög! 3. Anna és az édesapja mindketten ma ünneplik a születésnapjukat. Az édesapa most hatszor annyi idős, mint Anna. 20 év múlva már csak kétszer olyan idős lesz, mint Anna. Hány éves most Anna és az édesapja? 4. Az 5.a) osztály Mikulás-ünnepségén minden diák megajándékozza minden osztálytársát és az osztályfőnökét is. Az osztályfőnök is megajándékozza az összes tanítványát. Összesen 702 ajándék cserél gazdát. Hány fő az 5.a) osztály létszáma? 5. Egy háromjegyű szám számjegyeit összeszorozzuk, majd a kapott kétjegyű szám számjegyeit szorozzuk össze és egy másik kétjegyű számot kapunk. Végül az új kétjegyű szám jegyeit összeszorozva egy egyjegyű számot kapunk. A kiinduló számot és a következő három számot így is jelölhetjük: ABC; AD; EC; B (azonos betűk azonos számjegyet, különböző betűk különböző számjegyet jelölnek). Mi lehetett a kiinduló szám, ha tudjuk, hogy mind a négy szám páros. Indokold meg a válaszodat! 6. Egy kocka éleinek felezőpontjait megjelöltük, a szomszédosakat összekötöttük, majd ezek mentén a kocka minden sarkát levágtuk. Az így kapott testet szabályos háromszögek és négyzetek határolják. Hány csúcsa és éle van ennek a testnek? Hány háromszög és hány négyzet határoló lapja van? Próbáld meg a testet lerajzolni!
6. osztály 1. Balázs az alábbi emeletes törtet úgy írta fel, hogy minden törtvonal egyforma méretű lett, így nem látszik a műveletek sorrendje: 2 3 4 8 Mi lehet a tört értéke? Az összes lehetséges megoldást keresd meg! 2. A koordinátarendszerben adott az alábbi 9 9-es négyzet és annak belsejében az A(1;1) és a B(5;7) pontok. Készíts egy ábrát és jelöld be azokat a négyzet belsejébe eső pontokat, amelyek közelebb vannak az A ponthoz, mint a B ponthoz! A négyzet területének hányad része ez a bejelölt terület? 3. Egy háromszög két szöge 36 és 72. a) Hány olyan egyenes létezik, amely két egyenlőszárú háromszöggé vágja ezt a háromszöget? Hány fokosak az új háromszögek szögei? b) Van-e olyan pont a háromszög belsejében, amelyet összekötve a háromszög csúcsaival három egyenlőszárú háromszöget kapunk? Hány fokosak az új háromszögek szögei? 4. Két egész szám közül a nagyobbikat úgy kapjuk meg, hogy a kisebbik végére írunk egy 0-át. Ha a nagyobbik szám hatszorosához hozzáadjuk a kisebbik számot, akkor 2013-at kapunk. Mivel egyenlő a két szám? 5. Csaba néhány kockával dobva azt tapasztalta, hogy minden kockán ugyanazokat a számokat dobta. Ezeket összeadva azt vette észre, hogy az megegyezik a dobott szám kétszeresénél 6-tal nagyobb számmal. Hány dobókockával dobhatott? 6. Diophantoszról, a nagy ókori matematikusról jegyezték fel a következőket: életének hatod részében gyermek volt, ezután heted résszel később megházasodott, aztán a szakálla még nőtt életének tizenketted részében és még 5 évig, majd fia született. A fia csak fele annyi ideig élt, mint az apja, aki fiának halála után még 4 évig élt. Hány évig élt Diophantosz?
7. osztály 1. Egy háromszög egyik belső szöge 130, a másik két belső szögének különbsége 22. Hány fokos a másik két szög? 2. Mivel egyenlő az a pozitív egész szám értéke, ha tudjuk, hogy a és 60 legkisebb közös többszöröse 120, valamint a és 210 legnagyobb közös osztója 6? 3. A 2013 olyan szám, amiben a számjegyek egymást követő számok és azok valamilyen sorrendben vannak leírva. Hány ilyen tulajdonságú négyjegyű szám van? 4. Diophantoszról, a nagy ókori matematikusról jegyezték fel a következőket: életének részében gyermek volt, ezután résszel később megházasodott, aztán a szakálla még nőtt életének részében és még 5 évig, majd fia született. A fia csak fele annyi ideig élt, mint az apja, aki fiának halála után még 4 évig élt. Hány évig élt Diophantosz? 5. Az egységnyi területű ABC háromszög AB oldalának felezőpontja legyen F. A BC oldalának B-n túli meghosszabbításán vegyük fel azt a D pontot, amire CD=3BD teljesül. Határozd meg az FBD háromszög területét! 6. a) Lehet-e néhány egymást követő pozitív páratlan egész szám összege prímszám? b) Lehet-e néhány egymást követő páratlan egész szám összege prímszám?
8. osztály és 0. évfolyam (nyelvi előkészítő és AJTP) 1. Egy téglalap egyik oldala 12 cm, a másik oldala 15,6 cm. Ha az egyik oldalát 20%-kal csökkentjük, akkor hány százalékkal változtassuk meg a másik oldalát, hogy a téglalap területe ne változzon? Milyen hosszúságúak az új téglalap oldalai? 2. Hány olyan legalább kételemű halmaz van, amelyben az elemek egymást követő pozitív egész számok és azok összege 45? 3. Ha 1-től valamelyik n egész számig, az összes egész számot össze akarjuk szorozni, akkor azt a következőképpen jelöljük: n!=1 2 3 (n 1) n. Ezzel kapcsolatos a következő két feladatrész: a) Hány 0-ra végződik 2013!=1 2 3 2013? b) Melyik az a legkisebb n pozitív egész szám, amelyre n!=1 2 3 (n 1) n utolsó 2013 db számjegye 0? 4. Az ABC szabályos háromszög két oldalára felvettünk egy-egy négyzetet az ábrának megfelelően. Számítsd ki az EF szakasz hosszát, ha tudjuk, hogy egy négyzet területe 48 cm 2! 5. Bizonyítsd be, hogy bármilyen pozitív egész a és b számok esetén az ab(a+b)(a b) értéke mindig osztható lesz 6-tal! 6. András és Béla a következő játékot játsszák: az asztalon fekvő 7 gyufaszálból felváltva vesznek el 1-et, 2-őt vagy 3-at addig, amíg a gyufaszálak el nem fogynak. Az nyer, akinek a végén páros számú gyufa lesz a birtokában. Kinek van nyerő stratégiája? Hogyan kell játszani, hogy nyerjen?
9. osztály 1. A 2013 olyan szám, amiben a számjegyek egymást követő számok és azok valamilyen sorrendben vannak leírva. a) Hány ilyen tulajdonságú 3-mal osztható szám van? b) Hány ilyen tulajdonságú 5-tel osztható szám van? 2. Egy moziban két délutáni vetítés is teltházas volt (mindkettő ugyanabban a teremben). A 14 órai vetítésen résztvevők 55%-a volt fiú, a 16 órai vetítésen 40% volt a fiúk aránya. 18 fiú és 42 lány mindkét filmet megnézte. Az összes nézők közül akik legalább az egyik filmet megnézték a fele fiú volt. Hány férőhelyes a terem? 3. Az A halmaz elemeinek száma több mint a B halmaz elemeinek száma, de kevesebb mint a B halmaz elemei számának 1,5-szerese. B halmaz részhalmazainak száma 8-cal több, mint a C halmaz részhalmazainak a száma. Hány részhalmaza lehet A-nak? 4. Az f x x 2 x 2 és a g x c függvények grafikonjai egy 42 egység területű síkidomot fognak közre. Mivel egyenlő a c valós paraméter értéke? 5. Egy kör mentén sorban felírtunk 2013 db olyan számot, amelyre teljesül, hogy bármely hat szomszédos szám összege 100. Pozitív körüljárási sorrendben a 38. tag 27-tel, a 169. tag pedig 12-vel egyenlő. Mivel egyenlő a 2013. tag? 6. Az ABC egyenlőszárú háromszög AB alapján fekvő szögek 40 -osak. Az A-ból induló szögfelező D-ben metszi a BC oldalt. Bizonyítsd be, hogy AB=AD+DC!
10. osztály 1. A bal zsebemben a, a jobb zsebemben b darab érme van, összesen 20 darab érme. Ha a bal zsebembe még beleraknék a 2 darabot, a jobb zsebembe pedig b 2 darabot, akkor összesen 238 darab lenne a két zsebemben. Hány érme lehet a bal zsebemben? 2. Andreának van egy nem szabályos dobókockája. Ezzel dobva annak a valószínűsége, hogy 6-ost dob, a többi öt szám dobásának valószínűsége dobókockát mi lesz a két szám összegének legvalószínűbb értéke?. Kétszer feldobva ezt a 3. Az ábrán lévő öt négyszögből összeállítottunk egy nagy négyszöget. Bizonyítsd be, hogy ha az öt négyszög húrnégyszög, akkor a nagy négyszög is az! 4. Legyenek adottak az a és d pozitív egész számok. Bizonyítsd be, hogy az a, a+d, a+2d, a+3d, számok között vagy nincs négyzetszám, vagy végtelen sok van! Mutass példát mindkét esetre! 5. Ha egy téglalap alakú papírlapot félbehajtunk az egyik átlója mentén, akkor a négy csúcs egy olyan húrtrapézt határoz meg, amelynek három oldala egyenlő, a negyedik oldal hossza pedig 40 egység. Határozzuk meg a téglalap oldalainak hosszát! 6. Egy kör kerülete mentén fel van írva 11 db olyan pozitív egész szám, amelyek összege 120. Igaz-e, hogy biztosan létezik olyan öt szomszédos szám ezek között, amelyek összege legalább 55?
11. osztály 1. Két kocka élének különbsége 5 cm, a térfogatuk különbsége 2765 cm 3. Hány cm az egyes kockák éle? 2. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! 4log 2 x 2xcos 4sin 0 3 2 3. Legyenek a, b és c olyan nullától különböző valós számok, amelyekre teljesül, hogy ab 5, bc 6, ca abc 8. Számítsd ki értékét! a b b c c a ab bc ca 4. Egy társasjátékot játszva a bábunk 5 mezőre van a céltól. Ha legalább 5-öt dobunk, akkor egy lépéssel elérjük a célt. Ha 4-et dobunk, akkor a második dobás után már biztosan beérkezünk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy több mint két dobás kell a célba érkezéshez? 5. Az ABC háromszögben az A csúcsnál levő szög derékszög. Az A csúcsból induló magasság az átfogót a D csúcsban metszi. Az ADB szög felezője az AB oldalt az E pontban, az ADC szög felezője az AC oldalt az F pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy AE=AF! 6. Az ábrán látható körök közül a három kisebbik érinti egymást és belülről érintik a legnagyobb kört. Az egyes körök sugarainak hossza az ábrából leolvasható. Mivel egyenlő az x?
12. osztály 1. Legyen a és b két olyan valós szám, amelyekre teljesül, hogy 1 1 3 a 15b. Mivel egyenlő a+b-nek és ab-nek a hányadosa? 1 1 2013 és 15a b 2. Egy kör érinti az y tengelyt és az 5x 12y=0 egyenletű egyenest. A kör középpontja rajta van az y 2 4x 244 egyenletű parabolán. Határozd meg a kör egyenletét! 3. Hány olyan pozitív egész számokból álló megoldása van az a b c d 15 egyenletnek, amelyre teljesül, hogy a b 5 és c d 5? 4. Legyen n olyan egész szám, amelyre valamilyen α szög esetén n tg ctg teljesül. 2 2 2 2 Bizonyítsd be, hogy tg ctg is egész szám! Lehet-e tg ctg négyzetszám is? 5. Legyen n f az a sorozat, amelynek tagjaira teljesül, hogy f1 f2 1 és fn fn 1 fn 2 (ahol n 3 és egész szám. Ez a Fibonacci sorozat). Bizonyítsd be, hogy minden n 3 2 egész szám esetén igaz az f f f összefüggés! 1 1 1 n n n n 6. Hány olyan háromszög van, amelynek oldalai centiméterben mérve egész számok és a területe 24 cm 2?