Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár V. fejezet (kb. 24 tanóra) > o < 2015. október 18. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A megvásárlásra vonatkozó információkért kérem látogasson el honlapomra. www.bioszoft.hu Ez a logó Dittrich Katalin ötlete alapján született. 1
A fejezet fo bb re szei: vektorok, egybeva go sa gi transzforma cio k, ha romszo gek, ne gyszo gek, sokszo gek, ko r (re szletesen la sd a tartalomjegyze ket a fejezet ve ge n) Ez a fejezet a geometria val foglalkozik. Az ala bbi ke t ke p a wikipe dia ro l sza rmazik, az elso a Go mbo co t, a ma sodik pedig egy tekno sbe ka t a bra zol. Hogyan lett egy geometriai sejte sbo l kitarto, lelkes munka val ke zzel foghato valo sa g? Mit jelent az, hogy mono - monostatikus test? Megtudhatod, ha ra keresel a wikipe dia n a go mbo c szo ra vagy ide kattintasz. A geometria a matematika nak a sı k e s te r elemeivel foglalkozo a ga. Eredetileg fo ldme re st jelentett. Egyik modernkori felhaszna la sa a helyzetmeghata rozo rendszer (gps). Ennek a mu ko de se ro l is lesz szo a ko vetkezo fejezetekben. 2
Könyvajánló: Euklidesz: Elemek (pdf formátumban letölthető a mek.oszk.hu oldalról) Euklideszi és Bolyai geometria Euklidesz görög természettudós az Elemek (lásd wikipédia) című művében rendszerezte a kor matematikai ismereteit. Az euklideszi geometria alapfogalmakra (pl. pont, egyenes, sík; nincsen rájuk definícó), alapállításokra (axiómákra vagy más néven posztulátumokra, melyeket bizonyítás nélkül fogadunk el) épül. A leghíresebb axióma a párhuzamossági, mely azt mondja ki, hogy egy adott egyenessel (a egyenes az ábrán) egy rajta kívüli ponton (C pont) keresztül egyetlen párhuzamos egyenes húzható (b egyenes). Ezt az axiómát elhagyva Bolyai János (Kolozsvár, 3
1802. december 15. Marosvásárhely, 1860. január 27.) egy új geometriát teremtett. Emlékeztető Általános iskolában már kialakult egy elképzelés a térelemekről, a pontról, egyenesről, síkról. Tudjuk, hogy mit jelent az, hogy egy pont illeszkedik egy egyenesre (más szóval rajta van), el tudjuk képzelni, hogy egy egyenes illeszkedik egy síkra. Szó volt a háromszögekről, négyszögekről, sokszögekről, ezek alaptulajdonságairól. Ismerjük az alapszerkesztéseket (felező merőleges, szögfelező, 60, 30, 120, 90 fokos szög, háromszög három adatból, beírható, körülírható kör, speciális háromszögek, négyszögek). Ismeretes a szög fogalma, Pitagorasz tétele, a kör, gömb, hasábok, hengerek és gúlák és ezek alaptulajdonságaik. A következőkben felidézzük ezen ismereteket, próbáljuk elmélyíteni az ezekkel kapcsolatos tudást és ezen fogalmak segítségével fejlesztjük gondolkodásunkat. 4
1. Vektorok kb. 2 tanóra A vektor fogalma alapvető a matematikában és a fizikában. A matematikában sok-sok bizonyítás, számolás leegyszerűsödik a vektor alkalmazásával. A 11. osztályban a koordináta geometria a vektor fogalmára épül. Sok fizikai mennyiségnek iránya is van, így ezek is vektorok. 1.1. Vektorok - bevezetés 1.1.1. Vektorokkal kapcsolatos alapfogalmak Az irányított szakaszt vektornak nevezzük. Jelölése: AB vagy a vagy nyomtatásban a. Írásban szokás még az a jelölés is. A vektornak van kezdőpontja, végpontja, iránya, nagysága. A vektor nagyságán vagy más szóval abszolút értékén a hosszát értjük. Ennek a jelölése: AB 5
vagy a vagy nyomtatásban a vagy a, tehát a vektor jelét abszolútértékbe tesszük, vagy egyszerűen elhagyjuk a vektor jelet. A matematikában két vektor egyenlő, ha megegyezik a nagysága és az iránya. A fizikában két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha megegyezik a hatásvonaluk, a nagyságuk és az irányuk is. Ez a megkülönböztetés pl. az erő esetében a forgatónyomaték miatt van, mert nem mindegy például, hogy hová ülünk a libikókán. Az ábrán matematikai értelemben egyenlő vektorokat látunk. Az a ellentettjén a vele ellentétes irányú vektort értjük, ennek a jele a. 6
Nullvektornak azt a vektort nevezzük, amelynek megegyezik a kezdő és a végpontja. Jele: 0. Értelemszerűen 0 = 0, vagyis a nullvektor abszolút értéke nulla. 1.1.2. Feladat 2 perc Az alábbi ábrákon egy paralelogramma és egy szabályos hatszög látható. Keress rajtuk egyenlő és ellentétes vektorokat: a) 7
b) M: a) pl.: AB = DC; ellentett vektorok: AB és GH b) pl.: AB = OC; ellentett vektorok: AB és DE 1.1.3. Feladat 2 perc Az ábrán egy kocka látható. Keress egyenlő és ellentétes vektorokat! 8
M: pl.: AB = DC; ellentett vektorok: AB és GE 1.2. Műveletek vektorokkal 1.2.1. Összeadás Két vektor összege is egy vektor, szokás eredőnek is nevezni. A háromszög szabály alapján képezhetjük az összegvektort: Ha a két vektor nem párhuzamos, akkor a para- 9
lelogramma szabály alapján is képezhetjük két vektor eredőjét, a két módszer ugyanazt az eredményt adja: Megjegyzés: A vektorokra érdemes úgy gondolni, mint elmozdulás, két vektor összegére pedig úgy, hogy a két elmozdulás egymásutánját hogyan lehet egy elmozdulással megvalósítani. 1.2.2. Kivonás Két vektor különbségének a fogalmát az összeadásra építhetjük a valós számokhoz hasonlóan. 5 3 az a szám, amit a 3-hoz adva 5-öt kapunk, tehát a 2. Ez alapján a b az a vektor, amelyet b-hez adva a-t kapunk. Ha közös a kezdőpont, akkor a b olyan vektor, melynek a kezdőpontja megegyezik 10
a b végpontjával, a végpont pedig megegyezik az a végpontjával. A háromszög szabályra gondolva láthatjuk, hogy a b vektorhoz hozzáadva a b vektort valóban megkapjuk az a vektort. 1.2.3. Vektor szorzása valós számmal Ha a 0, akkor α a vektor az a vektor, amelynek a hossza α a, iránya pedig α > 0 esetén megegyezik a irányával, α < 0 esetén vele ellentétes. Ha α = 0, akkor az eredmény nullvektor lesz. 11
Megjegyzés: A fenti 3 vektorművelet eredménye mindegyik esetben vektor. Későbbiekben lesz szó olyan vektorműveletről, amelynek az eredménye egy valós szám, skalár mennyiség. Ezt a műveletet skaláris szorzásnak hívják és a 10. osztályban tanulunk róla. Ezen kívül ismeretes a vektoriális szorzat is, annak az eredménye vektor. 1.3. Feladatok 1.3.1. Feladat+ 5 perc Bizonyítsd be az alábbi ábra segítségével, hogy a háromszög b és c oldalának felezőpontját összekötő középvonal párhuzamos az a oldallal és fele akkora! 12
Tipp: Legyen AD = d és AE = e. Fejezd ki ezen vektorokkal ED és BC vektorokat. M: ED = d e és BC = 2d 2 e = 2( d e) és innen következik az állítás, mert egy vektort kettővel megszorozva a hossz kétszeres lesz és párhuzamos az eredeti vektorral. 1.3.2. Feladat 9 perc Az alábbi ábrán egy paralelogramma látható. A b és d vektorokkal, valamint vektorműveletek segítségével add meg az alábbi vektorokat: AC, BC, DC, BD, DB, BF, DF, AF M: AC = b + d, BC = d, DC = b, BD = d b, DB = b d, BF = 1 2 ( d b), DF = 1 2 ( b d), 13
AF = 1 2 ( b + d) 1.3.3. Feladat 9 perc Az alábbi ábrán egy szabályos hatszög látható. Az u és v vektorokkal, valamint vektorműveletek segítségével add meg az alábbi vektorokat: BO, F O, AO, BF, F B, BE, AC, DA M: BO = v, F O = u, AO = u + v, BF = v u, F B = u v, BE = 2 v, AC = 2 u + v, DA = 2 u 2 v 14
1.3.4. Feladat 10 perc Az alábbi ábrán egy kocka látható. A t, u és v vektorokkal, valamint vektorműveletek segítségével add meg az alábbi vektorokat: AE, F D, AC, BD, AH, BF, AG, CF M: AE = u+ t, F D = u t, AC = u+ v, BD = u v, AH = t + v, BF = t v, AG = t + u + v, CF = u v + t 1.3.5. Feladat 3 perc Az ábrán látható vektorokat fejezd ki i és j vektorok segítségével! 15
M: a = 5 i + 2 j, b = 2 i + 2 j, c = 2 i + 3 j Megjegyzés: Vegyük észre, hogy azon vektorok esetén, amelyeknek a kezdőpontja az origó ( a és c), az együtthatók éppen megegyeznek a vektor végpontjának a koordinátájával. 1.3.6. Feladat 3 perc Határozd meg az ábrán látható vektorok hosszát! 16
Tipp: Keress derékszögű háromszögeket! M: i = 1, j = 1, a = 29, b = 8, c = 13, 1.4. Egyéb feladatok 1.4.1. Feladat Az a és b vektorok 120 fokos szöget zárnak be egymással, mindkét vektor hossza 4 cm. Határozza meg az a + b vektor hosszát! 1 M: 4 cm 1.4.2. Feladat Az ABCD négyzet középpontja K, az AB oldal felezőpontja F. Legyen a = KA és b = KB. Fejezze ki az a és b vektorok segítségével a KF vektort! 2 1 Érettségi feladat (Közép; 2012 okt. 10; 2 pont) 2 Érettségi feladat (Közép; 2012 okt. 10; 2 pont) 17
M: KF = 1 2 (a + b) 2. Egybevágósági transzformációk kb. 4 tanóra A függvények kapcsán láttuk, hogy a transzformáció olyan függvény, amely ponthalmazokat rendel ponthalmazokhoz, általában itt a középiskolai tananyagban a sík pontjait rendeli a sík pontjaihoz valamilyen módon. A tengelyes és középpontos tükrözés, valamint a nyújtás már előkerült a függvények transzformációja során. Ezek közül az előbbi kettő úgynevezett egybevágósági transzformáció. Ez azt jelenti, hogy bármely szakasz és a képének a hossza megegyezik. A következő ábra a transzformációkat próbálja szemléltetni. 18
Az ábrán látható tulajdonságok a következők: a: távolságtartó, vagyis bármely szakasz és a képének a hossza megegyezik b: szögtartó, vagyis bármely szög és a képének a nagysága megegyezik c: körüljárási irányt megtartja pl. egy ABC háromszög és a képe A B C háromszög körüljárási iránya megegyezik d: a körüljárási irányt megfordítja e: aránytartó, vagyis bármely szakasz képének a hosszának és a szakasz hosszának az aránya min- 19
den esetben megegyezik A következőkben az egybevágósági transzformációkat vesszük sorra. 2.1. Tengelyes tükrözés 2.1.1. Definíció Legyen adott a síkon egy t egyenes, a tükrözés tengelye. A sík tetszőleges P pontjának a képe önmaga, ha P t, ha P / t, akkor P képe az a P pont, amelyre teljesül, hogy a PP szakasz felező merőlegese t egyenes. 20
2.1.2. A tengelyes tükrözés tulajdonságai távolságtartó, szögtartó, a körüljárási irányt megfordítja, fixpontok (amelyek képe önmaga) a t tengely pontjai, fix egyenes (amelynek minden pontja helyben marad) a t tengely, invariáns egyenesek (amelyek képe önmaga) a tengelyre merőleges egyenesek 2.1.3. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok Azt az alakzatot nevezzük tengelyesen szimmetrikusnak, amelyhez található olyan tengelyes tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi át. Az adott tükrözés tengelyét az alakzat szimmetria ten- 21
gelyének (szt.) nevezzük. Egy-egy alakzatnak több szimmetria tengelye is lehet. A háromszögek közül az egyenlő szárú (1 db szt.) és az egyenlő oldalú (3 db szt.) tengelyesen szimmetrikus. A négyszögek közül az egyenlő szárú trapéz (1 db szt.), a deltoid (1 db szt.), a rombusz (2 db szt.), a téglalap (2 db szt.) és a négyzet (4 db szt.) tengelyesen szimmetrikus. Az n oldalú szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus (n db szt.). A kör is tengelyesen szimmetrikus (végtelen sok szt.). Ide kattintva tengelyesen szimmetrikus alakzatokat találhatsz az interneten. 22
2.1.4. Feladat 3 perc Az ABC háromszög csúcsainak a koordinátái A(1; 1), B(4; 1), C(2; 4). Tükrözd a háromszöget az y tengelyre! M: 2.1.5. Feladat 3 perc Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak! a) Minden háromszög tengelyesen szimmetrikus. b) Nem minden háromszög tengelyesen szimmetrikus. 23
c) Van olyan háromszög, amelyik nem tengelyesen szimmetrikus. d) Van olyan trapéz, amelyik tengelyesen szimmetrikus. e) Nincs olyan trapéz, amelyik tengelyesen szimmetrikus. f) Bármely trapézt tekintünk, az nem tengelyesen szimmetrikus. g) Minden deltoidnak egy darab szimmetria tengelye van. h) Nem minden deltoidnak van egy darab szimmetria tengelye. i) Van olyan deltoid, amelyiknek egy darab szimmetria tengele van. j) Van olyan paralelogramma, amelyik tengelyesen szimmetrikus. k) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. l) Az n odalú szabályos sokszögnek n darab szimmetria tengelye van. M: a) H b) I c) I d) I e) H f) H g) H h) I i) I j) I k) 24
H l) I 2.1.6. Feladat 4 perc Ábrázold az f : [0; [ Rx x 2 függvény grafikonját, majd tükrözd azt az y = x egyenletű egyenesre. Melyik függvény grafikonját kaptad így meg? M: A kapott grafikon a g : [0; [ R x x függvényhez tartozik. (A két függvény egymás 25
inverzei. Általában is igaz, hogy egy függvénynek és az inverzének a grafikonja egymás tükörképei az y = x egyenesre vonatkoztatva.) 2.1.7. Feladat 10 perc Szerkessz egy háromszöget, melynek adatai: a = 5 cm, b = 3 cm, c = 6 cm. Szerkeszd meg a C csúcsból induló belső szögfelezőjét, majd tükrözd erre a háromszöget. Mit tapasztalsz? M: Tapasztalat: Az A pont képe az a, B pont képe pedig b egyenesre esik. 26
2.1.8. Feladat 10 perc Adott a síkon egy háromszög A és B csúcsa, valamint a C csúcson áthaladó szögfelező egyenes. Szerkeszd meg a C csúcsot! M: 2.1.9. Feladat 10 perc Az ábrán egy biliárd asztal látható és rajta 3 golyó. Rajzolj egy ABCD téglalapot és vedd fel az ábrához hasonlóan az F, G és H pontokat. Szerkeszd meg az asztal AB oldalán azt a P pontot, amit meg kell céloznunk az F golyóval, 27
hogy onnan visszapattanva eltalálja H golyót. Feltételezzük, hogy az oldalfalról visszapattanva a beesési szög megegyezik a visszaverődési szöggel. M: 28
Megjegyzés: A technikát kipróbáltam élesben is. Működött! 2.1.10. Feladat 12 perc Szerkessz ABCD deltoidot, ha adott a síkon két egyenes, g és h, adott a deltoid szimmetria tengelyének egyenese f, az oldalai 3 cm és 5 cm, továbbá tudjuk, hogy A g, A / f, C h, C / f. M: Az ábrán a geogebra szoftverrel végzett szerkesztés látható. 29
2.1.11. Feladat 20 perc Adottak az A(2;1) és a B(6;3) koordinátájú pontok. Hol van az x tengelyen az a P pont, amelyre teljesül, hogy az AP + BP távolság a lehető legrövidebb? Mennyi ez a távolság? Tipp: Változtasd a feladat feltételeit! 30
M: P(3;0), a távolság 4 2 5, 66 2.1.12. Feladat+ 30 perc Egy derékszögű háromszög két szöge 30 és 60, rövidebbik befogója 3 cm. A beírható kör középpontját tükrözzük a háromszög oldalaira. Az így kapott pontokat kössük össze a háromszög csúcsaival. Hány oldalú sokszöget kapunk? Mekkorák a szögei? Mekkorák az oldalai? Tipp: Készíts pontos ábrát, szerkeszd meg a sokszöget! (Ez nem elegedő, de adhat ötletet a megoldáshoz.) M: Ötszöget kapunk. A szögei 120, 60, 135, 120, 105. Az oldalai 4,24 cm; 4,24 cm; 2,2 cm; 2,2 cm; 3,11 cm 31
2.2. Középpontos tükrözés 2.2.1. Definíció Adott a síkon egy O pont, a tükrözés középpontja. Ennek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjának a képe az a P pont, amelyre teljesül, hogy a PP szakasz felezőpontja O. 2.2.2. A középpontos tükrözés tulajdonságai távolságtartó, szögtartó, a körüljárási irányt megtartja, fixpont O, invariáns egyenesek azok, amelyek átmennek O-n, minden olyan egyenes, amely nem megy át O-n párhuzamos a képével 2.2.3. Középpontosan szimmetrikus alakzatok Azt az alakzatot nevezzük középpontosan szimmetrikusnak, amely esetén létezik olyan pont, amelyre tükrözve az alakzat önmagába megy át. Nincs olyan háromszög, amely középpontosan szimmetrikus. 32
Négyszögek közül a paralelogrammák (így a rombusz, téglalap és a négyzet is) középpontosan szimmetrikusak, a szimmetria középpont az átlók metszéspontja. Szabályos sokszögek közül a páros oldalszámúak szimmetrikusak középpontosan. A kör középpontosan szimmetrikus. Ide kattintva a google által adott találatok láthatók a középpontosan szimmetrikus alakzatok címszóra. 2.2.4. Feladat 3 perc Az alábbi ábrákon függvények grafikonjai láthatók. Döntsd el, hogy melyik tengelyesen és melyik középpontosan szimmetrikus! a) b) 33
c) d) e) f) g) h) i) j) M: Tengelyesen szimmetrikusak: b, d, i Középpontosan szimmetrikusak: a, c, e, f, h, j 34
2.2.5. Feladat 4 perc Az ABC háromszög csúcsainak a koordinátái A(1;1), B(4;2), C(2;4). Tükrözd a háromszöget az origóra! M: 2.2.6. Feladat 2 perc Az alábbi állításokról döntsd el, hogy melyik igaz és melyik hamis. a) Van olyan háromszög, amelyik középpontosan szimmetrikus. b) Nincsen olyan háromszög, amelyik középpontosan szimmetrikus. c) Van olyan deltoid, amelyik középpontosan szimmetrikus. d) Van olyan paralelogramma, amelyik nem középpontosan 35
szimmetrikus. e) Minden szabályos sokszög középpontosan szimmetrikus. M: a) H b) I c) I d) H e) H 2.2.7. Feladat 4 perc Rajzold bele az alábbi halmazábrába a következő alakzatokat: trapéz, egyenlőszárú trapéz, deltoid, rombusz, paralelogramma, téglalap, négyzet 36
37
2.2.8. Feladat 3 perc Ketten játszanak egy játékot, a szabály a következő. Egy téglalap alakú táblára, melynek az oldalainak hossza 10 cm és 20 cm 1 cm átmérőjű, kör alakú, kis korongokat kell felváltva letenni úgy, hogy nem fedhetik egymást és nem lóghatnak le a tábláról. Az nyer, aki az utolsó korongot le tudja tenni. Kinek van nyerő stratégiája, aki 38
kezd, vagy aki nem? Mi ez a stratégia? M: A kezdő játékos nyerhet, ha az asztal szimmetria középpontjára teszi a korongját, majd mindig a másik játékos által tett korong középpontos tükörképére teszi a sajátját. 2.2.9. Feladat 5 perc Szerkessz egy szabályos háromszöget, majd tükrözd egyik csúcsára! M: 2.2.10. Feladat 9 perc Szerkessz egy háromszöget, majd tükrözd egyik oldalának a felezőpontjára. Milyen alakzatot határoz 39
meg az eredeti háromszög és a tükörképének az egyesítése? M: Paralelogrammát határoz meg a két háromszög egyesítése. Indoklás: A középpontos tükrözés távolságtartó, így AB=A B és AC=A C és ez elegendő feltétel ahhoz, hogy a kapott négyszög paralelogramma legyen. 2.2.11. Feladat++ 9 perc Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel c = 6 cm, b = 3 cm és s a = 2, 5 cm (az a oldalhoz tartozó súlyvonal hossza). Szerkeszd meg a háromszöget! Tipp1: Lásd az előző feladatot! 40
Tipp2: A paralelogramma szerkeszthető két oldalából és átlójából. M: 2.3. Pont körüli forgatás 2.3.1. Definíció Adott a síkon egy O pont, a forgatás középpontja, ennek a képe önmaga, valamint egy α forgásszög. A sík tetszőleges P pontjának a képe az a P pont, amelyre teljesül, hogy OP=OP, továbbá P OP = α. Megjegyzés: A 180 fokos forgatás megegyezik a középpontos tükrözéssel. 2.3.2. A pont körüli forgatás tulajdonságai távolságtartó, szögtartó, a körüljárási irányt megtartja, fixpont O 41
2.3.3. Forgásszimmetrikus alakzatok Egy alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan 0 fok és 360 fok közti forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Háromszögek közül egyedül a szabályos háromszög forgásszimmetrikus. Négyszögek közül a paralelogrammák (és így a rombusz, téglalap, négyzet) forgásszimmetrikusak. Minden szabályos sokszög forgásszimmetrikus. A kör forgásszimmetrikus. Ide kattintva forgásszimmetrikus alakzatok találhatók. 2.3.4. Feladat 6 perc Szerkessz egy szabályos háromszöget és forgasd el 90 fokkal egyik csúcsa körül! M: 42
2.4. Párhuzamos eltolás 2.4.1. Definíció Tegyük fel, hogy adott a síkon egy v vektor amely nem nullvektor. A sík tetszőleges P pontjának a képe az a P pont, amelyre teljesül, hogy P P = v. 2.4.2. A párhuzamos eltolás tulajdonságai szögtartó, távolságtartó, a körüljárási irányt megtartja, nincsen fixpont és fixalakzat, invariáns egyenesek azok, amelyek párhuzamosak v vektorral. 43
2.4.3. Feladat 5 perc Szerkessz egy ABC háromszöget, majd told el AB vektorral! M: 2.4.4. Feladat++ 9 perc Az ábrán A és B pontok egy-egy várost, a és b párhuzamos egyenesek egy folyó két partját jelképeznek. Egy utat és egy hidat kell tervezni A és B pontok között úgy, hogy minimális legyen az A és B pontok közti út hossza és a híd merőleges legyen a folyóra. Végezd el a szerkesztést! 44
Tipp1: Változtasd a feltételeket! Tipp2: Mi lenne a megoldás, ha nem lenne folyó? M: 2.5. Egybevágóság 2.5.1. Definíció Egybevágósági transzformációnak nevezzük a négy alaptranszformáció (tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, eltolás), véges sokszori, egymás utáni alkalmazását. Két alakzatot egybevágónak nevezünk, ha létezik 45
olyan egybevágósági transzformáció, amely egymásba viszi őket. Az egybevágóság jele: = Az alábbi ábrán egybevágósági transzformáció látható, amely áll egy eltolásból, egy tengelyes tükrözésből A B oldalra, mint tengelyre, végül pedig egy 120 fokos, A körüli forgatásból. Ez alapján teljesül, hogy ABC = A B C Megjegyzés: Törekedjünk arra, hogy a két háromszögben a megfelelő csúcsok ugyanazon sorrendben sze- 46
repeljenek, tehát elöl A és A, középen B és B, végül C és C. Ez később a hasonlóságnál is nagyban megkönnyíti a bizonyításokat. 2.5.2. A háromszögek egybevágóságának alapesetei Az egybevágósággal nagyon sok geometriai tétel bizonyítható, viszont eléggé bonyolult lenne minden esetben transzformációkat keresgélni, amelyek átviszik az egyik alakzatot a másikba. Ezt könnyítik meg az alábbi tételek: Bebizonyíthatóak a következő tételek: 1) Ha két háromszög egybevágó, akkor az oldalaik és a szögeik páronként megegyeznek. (szükséges feltétel az egybevágóságra) 2) Ha két háromszög oldalai páronként megegyeznek, akkor a két háromszög egybevágó. (1. elegendő feltétel két háromszög egybevágóságára) 3) Ha két háromszög egy-egy oldala és a rajta fekvő szögek megegyeznek, akkor a két háromszög egybevágó. (2. elegendő feltétel két háromszög 47
egybevágóságára) 4) Ha két háromszög két-két oldala és a közbezárt szögük megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó. (3. elegendő feltétel két háromszög egybevágóságára) 5) Ha két háromszög két-két oldala és a nagyobbikkal szemközti szögük megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó. (4. elegendő feltétel két háromszög egybevágóságára) 2.5.3. Sokszögek egybevágósága Az alábbi ábrán az látható, hogyan lehet két, egyenlő oldalú négyzetet egymásba átvinni egy eltolással (a vektor a két középpont által meghatározott) és egy +30 fokos forgatással. Ez alapján kimondhatjuk, hogy a két négyzet egybevágó. 48
A háromszöghöz hasonlóan sokszögekre is bizonyítható az egybevágóságra vonatkozó tétel: Két sokszög akkor és csak akkor egybevágó, ha oldalaik és szögeik páronként megegyeznek. Más megfogalmazásban: Két sokszög egybevágóságának a szükséges és elegendő feltétele, hogy oldalaik és szögeik páronként megegyezzenek. 49
2.5.4. Feladat+ 1 perc Ellenpélda keresésével cáfold az alábbi állításokat: a) Ha két sokszög oldalai páronként megegyeznek, akkor a két sokszög egybevágó. b) Ha két sokszög szögei páronként megegyeznek, akkor a két sokszög egybevágó. M: a) Egy négyzet és egy ugyanakkora oldalú rombusz. b) Egy négyzet és egy téglalap, amelynek különböznek az oldalai. 2.5.5. Feladat++ 9 perc Bizonyítsd be az alábbi állításokat: a) Körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlők. b) A paralelogrammát az átlói két-két egybevágó háromszögre bontják. c) Ha egy háromszögben két oldal megegyezik, akkor a velük szemközti szögek is megegyeznek. d) Bármely két szabályos háromszög egybevágó, 50
ha megegyezik az oldaluk. e) Bármely két, egyenlő sugarú kör egybevágó. M: a) 4. elegendő feltétel miatt b) 3. elegendő feltétel miatt (csúcsszögek egyenlőek, az átlók felezik egymást) c) Húzzuk be a magasságot, ekkor ADB = ADC, mert két-két oldal (AD közös, AB=AC a feltétel miatt) és a nagyobbikkal szemközti szög (derékszög) egyenlő. Ha két háromszög egybevágó, abból következik, hogy a szögeik páronként egyenlőek, vagyis B és C csúcsnál megegyeznek a szögek. d) 1. elegendő feltételből következik. 51
e) Eltolással (középpontok által meghatározott vektorral) egymásba vihetők, így egybevágóak. 2.6. Egyéb feladatok 2.6.1. Feladat Adja meg, hogy az alábbi geometriai transzformációk közül melyek viszik át önmagába az ábrán látható, háromszög alakú (sugárveszélyt jelző) táblát! A) 60 fokos elforgatás a tábla középpontja körül. B) 120 fokos elforgatás a tábla középpontja körül. C) Középpontos tükrözés a tábla középpontjára. D) Tengelyes tükrözés a tábla középpontján és a tábla egyik csúcsán átmenő tengelyre. 3 3 Érettségi feladat (Közép; 2013 okt. 7; 2 pont) 52
M: B és D 2.6.2. Feladat Adja meg az alábbi állítások logikai értékét! 4 A állítás: Minden rombusznak pontosan két szimmetriatengelye van. B állítás: Minden rombusznak van két szimmetriatengelye. C állítás: Van olyan rombusz, amelynek pontosan két szimmetriatengelye van. D állítás: Nincs olyan rombusz, amelynek négy szimmetriatengelye van. M: A: H; B: I; C: I; D: H 4 Érettségi feladat (Közép; 2008 okt. 7; 4 pont) 53
3. Háromszögek, négyszögek, sokszögek, kör kb. 18 tanóra 3.1. Térelemek, szögek, távolságok 3.1.1. Feladat 2 perc Válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Hány pont határoz meg egy egyenest? b) Hány pont határoz meg egy síkot? c) Két egyenes milyen helyzetű lehet egymáshoz képest? d) Egy síkhoz képest egy egyenes milyen helyzetű lehet? e) Mi a szög? f) Mit értünk hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög, teljesszög alatt? M: a) 2 b) 3 c) metsző (egy közös pont), párhuzamos (egy síkban vannak, a közös pontok száma 0), kitérő (nincsenek közös síkban) d) illeszkedik rá, metszi vagy párhuzamos vele e) Két, közös kezdőpontú félegyenes által meghatározott síkrész. f) sor- 54
rendben: 0 és 90 fok közti szög, 90 fokos szög, 90 és 180 fok közti szög, 180 fokos szög, 360 fokos szög 3.1.2. Egyállású, váltó és csúcsszögek Két szög akkor egyállású, ha száraik párhuzamosak és egyirányúak. Az alábbi ábrán ABC és EAD szögek egyállásúak. Tétel: Egyállású szögek egyenlők. Két szög akkor alkot váltószögpárt, ha száraik párhuzamosak és ellentétes irányúak. Az alábbi ábrán CAB és DCA szögek váltószögek (d c). 55
Tétel: A váltószögek egyenlőek. Ha két szög csúcsa közös és száraik páronként egymás meghosszabbításai, akkor csúcsszögeknek nevezzük őket. Az alábbi ábrán egy paralelogrammát láthatunk, itt AED és CEB csúcsszögek. Tétel: A csúcsszögek egyenlők. 56
3.1.3. Feladat 3 perc Az alábbi ábrán lévő egyenesek páronként párhuzamosak. Keress váltószögeket, egyállású szögeket, csúcsszögeket! M: váltószögek például: FBG és KCJ egyállású szögek például: FBG és ACD csúcsszögek például: FBG és ABD 3.1.4. Merőleges szárú szögek Merőleges szárú szögekről akkor beszélhetünk, ha száraik páronként merőlegesek egymásra. Ha 57
a szögtartományok nem tartalmazzák a másik szög csúcsát, akkor a merőleges szárú szögek egyenlők. Az alábbi ábrán BCA és ABD szögek merőleges szárú szögpárt alkotnak (B-nél derékszög van, továbbá b szakasz és d egyenes merőlegesek egymásra). 3.1.5. Mellék, kiegészítő és pótszögek Mellékszögeknek nevezünk két olyan szöget, amelyeknek közös az egyik szára, a másik két szár pedig együtt egyenest alkot (lásd ábra). 58
Kiegészítő szögeknek nevezünk két szöget, ha összegük 180 fok. Pótszögeknek nevezünk két szöget, ha összegük 90 fok. A derékszögű háromszög hegyesszögei például pótszögpárt alkotnak. 3.1.6. Példa Váltsuk át fokba a 23 34 -et. M: Ez az átalakítás azért fontos, mert a számológépekbe legegyszerűbben a módosított alakban vihetjük be az értéket. Mivel egy fok az 60 perc, ezért a 34-et el kell osztanunk 60-nal, ami 0,6 kerekítve, így 23 34 23, 6. 3.1.7. Feladat 12 perc a) Melyik az a szög, amelyik 100 fokkal kisebb, mint a mellékszöge? b) Melyik az a szög, amelyiknek az ötszöröse 60 fokkal kisebb a kiegészítő szögénél? 59
c) Egy szög és a pótszögének az aránya 7:11. Mekkorák ezek a szögek? M: a) 40 fok b) 20 fok c) 35 fok és 55 fok 3.1.8. Definíció - távolság Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hosszát értjük (Az ábrán a PQ szakasz hossza). Két párhuzamos egyenes távolságán az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől való távolságát értjük. 60
3.1.9. Feladat 8 perc a) Az ABC derékszögű háromszög derékszögű csúcsa C. Milyen távol van ez a csúcs az átfogótól, ha az egyik befogó 3 cm, az átfogó pedig 5 cm? b) Az ABC derékszögű háromszög derékszögű csúcsa C. Milyen távol van ez a csúcs az átfogótól, ha az egyik befogó 5 cm, az átfogó pedig 13 cm? Tipp1: Készíts ábrát! Tipp2: Számold ki a területet! M: a) 2,4 cm b) 4,62 cm 61
3.1.10. Feladat 12 perc a) Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel: a = 17cm, b = 17cm, c = 30cm. (i) Milyen távol van C csúcs a c oldaltól? (ii) Milyen távol van A csúcs az a oldaltól? b) Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel: a = 25cm, b = 25cm, c = 14cm. (i) Milyen távol van C csúcs a c oldaltól? (ii) Milyen távol van A csúcs az a oldaltól? M: a) (i) 8 cm (ii) 14,1 cm b) (i) 24 cm (ii) 13,4 cm 3.1.11. Feladat 6 perc a) Egy kör sugara 41 cm. Milyen távol van a középpontjától a 80 cm hosszúságú húrja? b) Egy kör sugara 61 cm. Milyen távol van a középpontjától a 22 cm hosszúságú húrja? M: 62
a) 9 cm b) 60 cm 3.1.12. Feladat 6 perc a) Egy trapéz alapjainak a hossza 44 cm és 20 cm, szárai 37 cm-esek. Milyen távol vannak egymástól az alapjai? b) Egy trapéz alapjainak a hossza 51 cm és 25 cm, szárai 85 cm-esek. Milyen távol vannak egymástól az alapjai? M: a) 35 cm b) 84 cm 3.1.13. Feladat 3 perc Az ábrán egy 10 m hosszúságú gerenda látható (CD=10 m), amelyre a vízszintessel 30 fokos szöget bezáró erő hat a C pontban. Mennyi ennek az erőnek a D pontra vonatkozó erőkarja? (Az erőkar 63
az erő hatásvonalának a forgástengelytől mért távolsága.) M: 5 m 3.1.14. Feladat+ 15 perc Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 5 cm. Milyen távol van C csúcs a c oldaltól? M: 7,92 cm 3.2. Nevezetes ponthalmazok 3.2.1. Definíció - kör és részei Azon pontok mértani helye a síkban, melyek a sík egy adott O pontjától egyenlő r távolságra vannak egy O középpontú, r sugarú körvonal, röviden kör. A kör részeit az alábbi ábrákon szemléltetjük: 64
Megjegyzés: A kör térbeli megfelelője a gömb. 3.2.2. Tétel Azon pontok mértani helye a síkon, melyek egy adott egyenestől adott távolságra vannak, az egyenessel párhuzamos, adott távolságban lévő két egyenes. Megjegyzés: Ennek a mértani helynek a térbeli megfelelője a hengerpalást. 65
3.2.3. Tétel - felező merőleges A síkon két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a pontok által meghatározott szakasz felező merőlegese. Megjegyzés: A térbeli megfelelő a felező sík. 3.2.4. Feladat 2 perc Bizonyítsd be, hogy egy kör tetszőleges húrjának a felező merőlegese a kör középpontján megy keresztül! M: A kör középpontja a húr két végpontjától egyenlő (r) távolságra van, ezért illeszkedik a húr felező merőlegesére. 66
3.2.5. Tétel - szögfelező A síkon egy szög száraitól egyenlő távolságra lévő, a szögtartományban lévő pontok halmaza a szög felezője. 3.2.6. Tétel - Thalesz tétele és megfordítása A kör átmérője a körvonal pontjaiból (az átmérő végpontjainak kivételével) derékszög alatt látszik. Azt kell bizonyítani, hogy a C-nél lévő szög derékszög. Ehhez összekötjük a kör középpontját C-vel, így két egyenlő szárú háromszög keletkezik. Mivel 67
2α + 2β = 180 α + β = 90 és ezzel igazoltuk az állítást. A tételt úgy is megfogalmazhattuk volna, hogy: Ha egy pont rajta van egy szakasz, mint átmérő fölé rajzolt körvonalon (és a szakaszon nincsen), akkor a szakasz ebből a pontből derékszög alatt látszik. A tétel megfordítása: Ha egy pontból egy szakasz derékszög alatt látszik, akkor rajta van a szakasz, mint átmérő fölé rajzolt körön. A bizonyításnál felhasználjuk, hogy A B B A, vagyis A-ból következik B egyenértékű azzal az állítással, hogy nem B-ből következik nem A. Tekintsünk egy körvonalon belüli (E) és egy kívüli (D) pontot, ezekből 90 foknál nagyobb (ε = 90 +φ) ill. kisebb (δ, amely egy derékszögű háromszög hegyes szöge) szög alatt látszik az AB szakasz. Az, hogy C-nél 90 fokos szög van, Thalesz tételéből következik. 68
Megjegyzés: Egy másik bizonyítás alapötlete, hogy tükrözzük a derékszögű háromszöget az átfogó felezőpontjára. Ennek kivitelezését az olvasóra bízzuk. A tétel és a megfordítása egyben megfogalmazva: Azon pontok mértani helye a síkon, amelyekből egy adott szakasz derékszög alatt látszik egy, a szakasz, mint átmérő fölé rajzolt kör, a szakasz végpontjainak kivételével. 3.2.7. Feladat - két mértani hely 15 perc Az alábbiakban a mértani helyekre vonatkozó szerkesztési feladatok következnek. Javasolt a 69
diszkusszió elvégzése, vagyis annak a vizsgálata, hogy attól függően, hogy milyen az adatok elhelyezkedése, mennyi megoldása lehet a feladatnak. a) Adott egy e egyenes és rajta kívül egy P pont. Szerkeszd meg azon pontokat a síkon, melyek az egyenestől 1 cm-re, P ponttól pedig 1,5 cmre vannak! b) Adott egy e egyenes, valamint két pont P és Q. Szerkeszd meg a sík azon pontjait, melyek az egyenestől 2 cm-re, P-től és Q-tól pedig egyenlő távolságra vannak! c) Adott a síkon egy 60 fokos szög és a szögtartományon belül egy P pont. Szerkeszd meg a szögtartományon belül azon pontokat, amelyek a szög száraitól egyenlő távolságra vannak, a P ponttól pedig 2 cm-re! d) Adott a síkon egy e egyenes és két pont P és Q. Szerkeszd meg a sík azon pontjait, melyek 70
az e egyenestől 2 cm-re vannak és amelyekből a PQ szakasz derékszög alatt látszik! e) Adott a síkon egy 30 fokos szög és a szögtartományban két pont P és Q. Szerkeszd meg a szögtartomány azon M pontjait, melyek egyenlő távol vannak a két szögszártól, továbbá teljesül, hogy PM=QM (PM távolság megegyezik QM távolsággal)! f) Adott a sík három különböző pontja A, B, és C. Szerkeszd meg a sík azon pontjait, amelyekből az AB szakasz derékszög alatt látszik, továbbá C ponttól 1,5 cm-re vannak! g) Adott egy 45 fokos szög és a szögtartományban A és B pontok. Szerkeszd meg a szögtartományban azokat a pontokat, amelyek egyenlő távol vannak a szög két szárától és amelyekből az AB szakasz derékszög alatt látszik! h) Adott a síkon két pont A és B. Szerkeszd meg a síkon azokat a pontokat, amelyek egyenlő 71
távolságra vannak A és B pontoktól, továbbá az AB szakasz derékszög alatt látszik belőlük! i) Adott a síkon egy 120 fokos szög és egy a szög szárait metsző e egyenes. Szerkeszd meg a szögtartomány azon pontjait, amelyek a szögszáraktól egyenlő távolságra vannak, tovább e egyenestől 1,5 cm-re vannak! j) Adott a síkon 3 pont A, B és C. Szerkeszd meg a sík azon pontjait, amelyek egyenlő távolságra vannak A és B pontoktól, C ponttól pedig 2 cmre vannak! M: a) 72
b) c) d) 73
e) f) g) 74
h) i) j) 75
3.2.8. Feladat 6 perc Adott egy C középpontú, 2 cm sugarú k kör, valamint C-től 5 cm-re P pont. Szerkeszd meg a P pontból a körhöz húzható érintőket! M: A PC szakaszhoz, mint átmérőhöz tartozó Thalesz kör és a k kör metszéspontjai lesznek az érintési pontok. 3.2.9. Feladat+ 5 perc Rajzolj egy koordináta rendszert, majd szerkeszd meg azt a P pontot, amelyre teljesül az alábbi 3 feltétel: -az origótól 5 egység távolságra van -a B( 1; 9) pontból kibocsátott, 2 egység/s sebességű jel 6,5 s alatt ér P-be -a C( 4; 3) pontból kibocsátott, 2 egység/s sebességű jel 5 s alatt ér P-be M: Három körvonalat kell rajzolni: origó középpontú, 76
5 egység sugarú kört, B középpontú, 13 egység sugarú kört, C középpontú, 10 egység sugarú kört. Ezek közös pontja adja a megoldást. Megjegyzés: Ez a feladat a GPS (Global Positioning System - Globális helymeghatározó rendszer) működését szemlélteti két dimenzióban. Az origó középpontú kör a Föld felületének, B középpontú kör az egyik műhold, mint középpont körüli gömbnek, C középpontú kör pedig egy másik gömbnek felel meg. A jel sebessége a valóságban fénysebesség, 77
az pedig, hogy mennyi idő alatt ér oda a következők alapján tudható meg: -minden műhold rövid időközönként kisugározza az aktuális pozícióját és a pontos időt -a vevőegység tartalmaz egy pontos órát és amikor beérkezik a jel, összehasonlítja a saját óráját az éppen kapott jel idejével, ebből tudja, hogy mennyi idő alatt ért oda a jel A valóságban legalább négy műhold jelére van szükség a helyzetmeghatározáshoz, mert 3 gömbnek két metszéspontja van, a 4. jel az idő folyamatos pontosításához szükséges. A vonatkozó wikipédia cikk ide kattintva olvasható el. 3.3. Háromszög 3.3.1. Tétel A háromszög belső szögeinek az összege 180 fok. Biz.: Húzzunk párhuzamost C csúcson keresztül a c oldallal (a párhuzamossági axióma miatt egy ilyen van). Ekkor váltószögpárok keletkeznek (lásd ábra). 78
α, β és γ együtt egyenesszöget alkot, amely éppen 180 fok. 3.3.2. Tétel A háromszög egy külső szöge egyenlő a vele nem szomszédos két belső szög összegével. 3.3.3. Tétel-háromszög egyenlőtlenség A háromszög bármely két oldalának az összege nagyobb, mint a harmadik oldal. 3.3.4. Tétel Ha egy háromszögben két oldal megegyezik, akkor ezen oldalakkal szemközti szögek is megegyeznek. Ennek egy másik megfogalmazása: Egy háromszögben két oldal egyenlőségének a 79
szükséges feltétele a velük szemközti szögek egyenlősége. Szokásos jelöléssel: a = b α = β Igaz a megfordítás is: Ha egy háromszögben két szög megegyezik, akkor a velük szemközti oldalak is megegyeznek. Más megfogalmazásban: Egy háromszögben két oldal egyenlőségének elegendő feltétele az, hogy a velük szemközti szögek megegyezzenek. Szokásos jelöléssel: α = β a = b Az előző két tételt össze is vonhatjuk: Egy háromszög két oldala akkor és csak akkor egyezik meg, ha a velük szemközti szögek megegyeznek. Másképpen is megfogalmazhatjuk: Egy háromszögben két oldal egyenlőségének szükséges és elegendő feltétele, hogy a velük szemközti szögek megegyezzenek. Jelekkel: a = b α = β 80
3.3.5. Tétel A háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van és megfordítva, vagyis nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal (a < b α < β) 3.3.6. Tétel - Pitagorasz A derékszögű háromszög két befogójának a négyzetösszege megegyezik az átfogó négyzetével. Bizonyítható a tétel megfordítása is: Ha egy háromszögben két oldal négyzetének az összege megegyezik a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. A tétel és a megfordítása egyben: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két oldalának a négyzetösszege megegyezik a harmadik oldal négyzetével. Más megfogalmazásban: Annak, hogy egy háromszög derékszögű legyen szükséges és elégséges feltétele, hogy két oldalának a négyzetösszege egyenlő legyen a harmadik oldal négyzetével. 81
Megjegyzés: A B B A, vagyis A- ból következik B egyenértékű azzal az állítással, hogy nem B-ből következik nem A. Ezért, ha egy háromszögben, ahol a < b < c és a 2 + b 2 c 2, akkor a háromszög nem derékszögű és ez Pitagorasz tételéből következik és nem a megfordításából. 3.3.7. A háromszög nevezetes vonalai A fenti ábrán a háromszög C csúcsából kiinduló három nevezetes vonalát ábrázoltuk, valamint a 82
c oldal felező merőlegesét. Tekintsük át az ezekre vonatkozó legfontosabb ismereteket: A háromszög magasságvonala (az ábrán m) egy csúcsból a szemközti oldalra állított merőleges egyenes vagy szakasz. A háromszögnek három magasságvonala van, ezek egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög magasságpontja, jele M. A háromszög belső szögfelezője (az ábrán f), mint a nevében is benne van felezi az adott belső szöget. A háromszögnek három belső szögfelezője van, ezek egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög beírt körének a középpontja. : Figyeljük meg az ábrán, hogy a szögfelező a szemközti oldalt nem a felezőpontban metszi!!! (10. osztályban majd kiderül, hogy a szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre.) Fontos tételek: T = r K 2, ahol r a beírható kör sugara, T és K a háromszög területe és kerülete. 83
A derékszögű háromszög c átfogója, a és b befogója, továbbá r beírható körének a sugara közt fennáll a c + 2r = a + b összefüggés. A háromszög súlyvonala egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes vagy szakasz. Három súlyvonala van a háromszögnek, ezek egy pontban metszik egymást, ez a pont a súlypont, jele S. Bebizonyítható, hogy a súlypont a súlyvonalat 2:1 arányú részekre osztja úgy, hogy a nagyobbik rész a csúcshoz van közelebb. Az ábrán látható e egyenes a c oldal felező merőlegese. A három felező merőleges egy pontban metszi egymást, ez a pont a háromszög köré írható körének a középpontja. Ez a pont hegyesszögű háromszög esetén a háromszögön belül, tompaszögű háromszög esetén kívül, derékszögű háromszög esetén pedig az átfogó felezőpontjában van. Ebből következik, hogy a derékszögű háromszög köré írható kör sugara éppen fele az átfogónak, továbbá, hogy az átfogóhoz tartozó súlyvonal szintén az átfogó fele. 84
Van egy ötödik nevezetes vonala is a háromszögnek, ez a középvonal, amely két oldal felezőpontját összekötő szakasz (lásd ábra). Az ábrán lévő DE középvonal párhuzamos AB szakasszal és fele akkora. A bizonyítás pl. vektorral történhet. 3.3.8. Feladat 9 perc a) Egy háromszög két belső szöge 27 fok és 73 fok. Határozd meg a 3. belső szögét és a külső szögeket is! b) Egy egyenlő szárú háromszög egyik belső szöge 38 fok. Mekkora a másik két belső szög? 85
c) Egy háromszög belső szögeinek az aránya 1:2:6. Mekkorák ezek a szögek? M: a) 80, a külső szögek 153, 107, 100 b) 1. megoldás: 38, 104 ; 2. megoldás: 71, 71 c) 20, 40, 120 3.3.9. Feladat 6 perc Létezik-e olyan háromszög, amelyben az oldalak hossza: a) 2, 4, 5 egység b) 2, 3, 5 egység c) 5, 7, 13 egység d) 5, 6, 10 egység M: a) igen b) nem c) nem d) igen 3.3.10. Feladat 2 perc Állapítsd meg, hogy az alábbi számhármasok közül melyik lehet derékszögű háromszög három oldala? 86
a) 7, 24, 25 b) 8, 15, 17 c) 9, 40, 42 M: a) lehet b) lehet c) nem lehet 3.3.11. Feladat 2 perc Adott egy háromszög két oldala 2 és 6 egység. Mekkora lehet a 3. oldala, ha azt tudjuk, hogy egész szám? Tipp: Próbálgass! M: 5, 6, 7 egység 3.3.12. Feladat 2 perc Adottak egy háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel. Rendezd nagyság szerint sorba a szögeit: a) a = 5, b = 3, c = 8 egység b) a = 4, b = 4, c = 3 egység M: a) β < α < γ b) γ < α = β 87
3.3.13. Feladat 60 perc Az alábbi táblázatban a és b egy derékszögű háromszög befogóit, c pedig az átfogóját jelöli. R a körülírt, r pedig a beírt kör sugarát jelenti. További jelölések: m c a c oldalhoz tartozó magasság, T terület, K kerület, s a, s b, s c az egyes súlyvonalak. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b c T K m c R r s a s b s c 45 53 3,9 8,9 7,2 9,7 M: a b c T K m c R r s a s b s c 28 45 53 630 126 23,8 26,5 10 47,1 35,9 26,5 3,9 8 8,9 15,6 20,8 3,51 4,45 1,5 8,23 5,59 4,45 6,5 7,2 9,7 23,4 23,4 4,82 4,85 2 7,9 7,43 4,85 3.3.14. Feladat 35 perc Az alábbi táblázatban b és c egy egyenlőszárú háromszög szárait, a pedig az alapját jelöli. R a körülírt, r pedig a beírt kör sugarát jelenti. További jelölések: m c a c oldalhoz tartozó ma- 88
gasság, T terület, K kerület. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b c T K m c R r 16 10 10 60 16 120 M: a b c T K m c R r 16 10 10 48 36 9,6 8,33 2,67 10 13 13 60 36 9,23 7,04 3,33 16 17 17 120 50 14,1 9,63 4,8 3.3.15. Feladat 25 perc a) Mekkora a kerülete és a területe egy 10 cm oldalú szabályos háromszögnek? b) Egy szabályos háromszög kerülete 12 cm. Mennyi a területe? c) Igazold, hogy a szabályos háromszög magassága 3 2 0, 866-szorosa az oldalának! d) Egy szabáyos háromszög területe 20 cm 2. Mennyi a kerülete? 89
e) Mennyi annak a szabályos háromszögnek a kerülete és a területe, amelynek az oldala 5 egységgel nagyobb, mint a magassága? f) Mennyi a 6 cm sugarú körbe írható szabályos hatszög kerülete és területe? M: a) K=30 cm, T 43, 3 cm 2 b) T 6, 93 cm 2 c) a 2 = m 2 + a2 4 3a2 4 = m 2 m = 3 2 a d) K 20,4 cm e) K 112 cm, T 602 cm 2 f) K=36 cm, T 93, 5 cm 2 3.3.16. Feladat 45 perc a) Egy emelkedő hossza 200 m, a vízszintessel 30 fokos szöget zár be. Milyen magasra visz? Mennyi a síkra eső merőleges vetületének a hossza? b) Egy létrát nekitámasztunk a falnak, ekkor az alja a fal aljától 1 m-re van és a létra a vízszintessel 60 fokos szöget zár be. Milyen hosszú a létra? Milyen magasan van a teteje? c) Egy négyzet oldala 2,12 egység. Milyen távol van az átlójának az egyik harmadoló pontja a négyzet oldalaitól és csúcsaitól? 90
d) Egy gyárkémény magasságát úgy határozzuk meg, hogy az aljától megmérjük, hogy milyen távolságban látszik a teteje 30 fokos szögben. Milyen magas a gyárkémény, ha ez a távolság 52 m? e) Egy gyárkémény magasságát úgy határozzuk meg, hogy az aljától megmérjük, hogy milyen távolságban látszik a teteje 45 fokos szögben. Milyen magas a gyárkémény, ha ez a távolság 40 m? f) Egy gyárkémény magasságát úgy határozzuk meg, hogy az aljától megmérjük, hogy milyen távolságban látszik a teteje 60 fokos szögben. Milyen magas a gyárkémény, ha ez a távolság 20 m? g) Egy ház mellett közvetlenül van egy folyó. Az 5 m magas ablakból letekintve a folyó másik szélét 30 fokos depressziós szögben látjuk. Milyen széles a folyó? h) Egy ház mellett közvetlenül van egy folyó. Az 8 m magas ablakból letekintve a folyó másik szélét 45 fokos depressziós szögben látjuk. Milyen széles a folyó? 91
i) Egy ház mellett közvetlenül van egy folyó. Az 10 m magas ablakból letekintve a folyó másik szélét 60 fokos depressziós szögben látjuk. Milyen széles a folyó? M: a) 100 m magasra visz a lejtő, a vetülete 173 m. b) A létra 2 m-es, a teteje 1,73 m magasan van. c) A négyzet oldalaitól 0,707 ill. 1,41 egység távolságra, a csúcsoktól 1; 2; 1,58; 1,58 egység távol van. d) 30 m e) 40 m f) 34,6 m g) 8,66 m h) 8 m i) 5,77 m 3.3.17. Feladat 10 perc a) Milyen távol van az origótól a P (3;4) pont? b) Milyen távol van az origótól a P ( 3; 4) pont? c) Milyen távol van az origótól a P (6; 8) pont? d) Mennyi a P (6;8) és a Q (3;4) pontok távolsága? e) Mennyi a P (2;1) és a Q (-4;3) pontok távolsága? M: a) 5 b) 5 c) 10 d) 5 e) 40 92
3.3.18. Feladat 45 perc a) Egy háromszög oldalai 3 cm, 3,5 cm és 4 cm. Szerkeszd meg ezt a háromszöget, majd szerkeszd meg a köré írható kört! b) Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel c = 4 cm, α = 30, β = 45. Szerkeszd meg a háromszöget! Szerkeszd meg a beírható kört! c) Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel b = 3, 2 cm, c = 4 cm, β = 60. Szerkeszd meg a háromszöget! d) Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel b = 3, 8 cm, c = 3 cm, β = 120. Szerkeszd meg a háromszöget! e) Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel b = 2, 5 cm, c = 4, 2 cm, β = 30. Szerkeszd meg a háromszöget! f) Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel m c = 3 cm, c = 4 cm, α = 45. Szerkeszd meg a 93
háromszöget! g) Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel a = 3 cm, c = 4, 4 cm, m c = 2, 8 cm. Szerkeszd meg a háromszöget! h) Szerkeszd meg azt a derékszögű háromszöget, melynek az átfogója 5 cm, az átfogóhoz tartozó magassága pedig 1,7 cm! i) Szerkessz 3,5 cm oldalú szabályos háromszöget! j) Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja 4 cm, az alaphoz tartozó magassága pedig 3,5 cm! Tipp: Készíts vázlatot! 3.3.19. Feladat+++ Egy háromszög egyik oldala 2 egység hosszúságú, a rajta fekvő szögek 60 fok és 75 fokosak. Iga- 94
zold, hogy a háromszög területe 3+ 3 2! 5 M: Készítsünk ábrát! Rajzoljuk be a 75 fokos szöghöz tartozó B csúcsból induló magasságot, és legyen a talppontja a szemközti oldalon T! Ez a magasság a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja. Az ABT derékszögű háromszög egy fél szabályos háromszög, ezért AT = AB 2 = 1 és BT = 3 2 AB = 3. A BTC derékszögű háromszögben a B csúcsnál lévő szög nagysága 45 fok, így ez egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, azaz T C = BT = 3. Így a háromszög 5 Arany Dániel matematika verseny feladata (2015 Kezdők I II. kategória, I. forduló 4. fa.) 95
területe: t = b m b 2 = (1+ 3) 3 2 = 3+ 3 2. 3.3.20. Feladat+++ Arany Dániel matematika verseny (2014, Kezdők I II. kategória, I. forduló, 4. feladat a 2. oldalon) 3.4. Négyszögek 3.4.1. Speciális négyszögek Deltoid: Azt a négyszöget, amelynek két-két szomszédos oldala megegyezik deltoidnak nevezzük. T = e f 2, K = 2a + 2b Főbb tulajdonságai: átlói merőlegesek egymásra, tengelyesen szimmetrikus, egy-egy szemközti szöge 96
egyenlő Trapéz: Azt a négyszöget, amelynek van egy párhuzamos oldalpárja trapéznak nevezzük. (a és c az alapjai, b és d a szárai) T = a+c 2 m, K = a + b + c + d Tulajdonságok: A száron lévő szögek összege 180 fok, vagyis α + δ = β + γ = 180 A trapéz középvonala a szárak felezőpontját összekötő szakasz. Bebizonyítható, hogy a hossza a trapéz alapjainak az összegének a fele, vagyis k = a+c 2, továbbá párhuzamos a trapéz alapjaival. Speciális trapéz: egyenlőszárú vagy húr vagy szimmetrikus trapéz: 97
Paralelogramma: Azt a négyszöget, amelynek a szemközti oldalai párhuzamosak paralelogrammának nevezzük. T = am a = bm b, K = 2(a + b) Tulajdonságok: Szemközti szögei és oldalai egyenlők. Bármely két szomszédos szögének összege 180 fok. Az átlói felezik egymást, ez a pont a paralelogramma szimmetria középpontja. e 2 + f 2 = 2a 2 + 2b 2 : Nem minden paralelogramma tengelyesen szim- 98
metrikus. (Csak a speciális paralalegrammák, mint a rombusz, téglalap, négyzet.) A paralelogramma középvonala két szemközti oldal felezőpontjait összekötő szakasz. Bebizonyítható, hogy a hossza megegyezik a paralelogramma másik két oldalával és azokkal párhuzamos. A paralelogrammának két középvonala van. Elegendő feltételek ahhoz, hogy egy négyszög paralelogramma legyen: Ha egy négyszögre teljesül a következő feltételek valamelyike, akkor paralelogramma: -szemközti szögei egyenlők -szemközti oldalai egyenlők -átlói felezik egymást -van egy olyan oldalpárja, amelyik párhuzamos és egyenlő Rombusz: Azt a négyszöget, amelyiknek minden oldala egyenlő rombusznak nevezzük. 99
T = e f 2 = a m, K = 4a Tulajdonságok: az átlói merőlegesek és felezik egymást a szemközti szögei egyenlők az átlók felezik a szögeit tengelyesen szimmetrikus, két szimmetria tenge- 100
lye van, az átlói középpontosan is szimmetrikus Téglalap: Azt a négyszöget, amelynek minden szöge egyenlő (90 fok), téglalapnak nevezzük. T = ab, K = 2(a + b) Tulajdonságok: az átlói egyenlő hosszúak tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus (két szimmetria tengelye van) Négyzet: Azt a négyszöget, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő négyzetnek hívjuk. 101
T = a 2 = e2 2, K = 4a, e = 2 a Tulajdonságok: az átlói merőlegesek egymásra és egyenlő hosszúak tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus (4 szimmetria tengelye van) Megjegyzés1: Minden négyszög belső szögeinek az összege 360 fok. Megjegyzés2: Az olyan négyszögeket, amelynek oldalai egy kör érintői, érintőnégyszögeknek nevezzük. Bebizonyítható a következő tétel: Egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha a szemközti oldalainak az összege megegyezik. 102
3.4.2. Feladat 12 perc a) Egy deltoid két szöge 42 és 60. Mennyi lehet a harmadik szög? b) Egy trapéz egyik alapján fekvő szögek 32 és 73. Mennyi a másik két szög? c) Egy rombusz egyik szöge 44. Mennyi a többi szöge? d) Egy paralelogramma egyik szöge 110. Mennyi a többi szöge? e) Egy téglalap átlói 26 os szöget zárnak be egymással. Mekkora szöget zárnak be az átlók az oldalakkal? f) Mekkora szöget zárnak be a négyzet átlói az oldalaival? Tipp: Készíts ábrát! M: a) 1. eset: 129 és 129 ; 2. eset: 60 és 198 (konkáv); 3. eset: 42 és 216 (konkáv) b) 148 és 107 c) 44, 136, 136 d) 110, 70, 70 e) 77, 13 f) 45 103
3.4.3. Feladat 120 perc a) Egy deltoid két oldala 28 cm és 45 cm, két szöge pedig 90. Mennyi a területe és mekkorák az átlói? b) Egy deltoid szimmetria átlóját 1:5 arányban osztja két részre másik, 30 cm hosszú átlója. Mennyi a deltoid kerülete, ha a területe 720 cm 2? c) Egy deltoid területe 1323 cm 2, a szimmetria és a másik átló aránya 3:2 ebben a sorrendben, egyik oldala 29 cm. Mennyi a másik oldal hossza? d) Egy rombusz kerülete 260 cm, egyik átlója 66 cm. Mennyi a területe? e) Egy rombusz egyik szöge 120, kerülete 40 cm. Mekkorák az átlói és a területe? Milyen távol vannak a csúcsai azoktól az oldalaktól, amelyekre nem illeszkednek? f) Egy egyenlő szárú trapéz alapjai 17 m és 5 m, szárai 10 m-esek. Mennyi a területe? g) Egy egyenlő szárú trapéz magassága 21 m, szárai 29 m-esek, egyik alapja 10 m. Mennyi a területe? h) Egy egyenlő szárú trapéz területe 3960 m 2, magassága 55 m, párhuzamos oldalainak az aránya 104
1:5. Mennyi a kerülete? i) Egy derékszögű trapéz rövidebbik szára 5 m, egyik alapja 3 m, egyik szöge pedig 45. Mennyi a kerülete és a területe? j) Egy paralelogramma egyik oldala 10 m, kerülete 30 m, egyik szöge 30. Mennyi a területe? k) Egy paralelogramma egyik szöge 45 fok, hosszabbik oldala 25 m, területe 250 m 2. Mennyi a kerülete? l) Egy téglalap (TV képernyő) oldalainak aránya 9:16, képátlója 42 (col). Hány cm-esek az oldalai, ha 1 =2,54 cm? Mekkora a képernyő területe? Mekkora a képernyő területe annak a monitornak, amelyiknek a képátlója 21, vagyis fele a TV-nek? m) Egy téglalap oldalainak az aránya 4:5, területe 180 cm 2. Mekkorák az oldalai? n) Egy négyzet átlója 12 cm. Mennyi a területe? o) Egy négyzet területe 169 cm 2. Mennyi a kerülete? p+) Egy trapéz alapjai 14 m és 3 m, szárai 5 m és 8,94 m. Mennyi a területe? M: a) T = 1260 cm 2, e = 47, 5 cm, f = 53 cm 105
b) 84 cm c) 47,9 cm d) 3696 cm 2 e) e = 10 cm; f = 10 3 17, 3 cm; T 86, 6 cm; a távolság 8,66 cm f) 88 m 2 g) 630 m 2 h) 290 m i) K=23,1 m; T=27,5 m 2 j) 25 m 2 k) 78,2 m l) az oldalak hossza 52,5 cm és 93,3 cm; a képernyő területe kb. 4900 cm 2 ; a monitor területe kb. 1225 cm 2 m) 12 cm és 15 cm n) 72 cm 2 o) 52 cm p) 34 m 2 3.4.4. Feladat 45 perc a) Szerkeszd meg azt a deltoidot, amelynek a szimmetria átlója 6 cm hosszú, oldalai pedig 3 cm és 5 cm hosszúak! b) Szerkeszd meg azt a deltoidot, amelynek 5 cmes szimmetria átlóját a 4 cm-es átlója 1:3 arányban osztja két részre! c) Szerkeszd meg azt a deltoidot, amelynek a szimmetria átlója 5,5 cm hosszú és ezen átló két végpontjánál lévő szögek nagysága 90 és 60! e) Szerkeszd meg azt a rombuszt, amelynek az átlói 6 cm és 3 cm hosszúak! f) Szerkeszd meg azt a rombuszt, amelynek az oldala 4 cm, a magassága pedig 2,5 cm hosszú! g) Szerkeszd meg azt a trapézt, amelynek egyik 106
alapja 8 cm-es, a rajta fekvő szögek nagysága 60 és 45, a magassága pedig 4,5 cm! h) Egy derékszögű trapéz alapjainak a hossza 6 cm és 2,5 cm, hosszabbik szára 5 cm-es. Szerkeszd meg a trapézt! i) Egy egyenlő szárú trapéz alapjainak a hossza 5 cm és 2 cm, szárai 4 cm-esek. Szerkeszd meg ezt a trapézt! j) Szerkeszd meg azt a paralelogrammát, amelynek az átlói 30 -os szöget zárnak be egymással és a hosszuk 8,2 cm és 4,3 cm! k) Szerkeszd meg azt a paralelogrammát, amely két oldalának a hossza 3 cm és 2,5 cm, valamint egyik átlója 4 cm-es! l) Szerkeszd meg azt a téglalapot, amelynek az oldalainak a hossza 5 cm és 3 cm! m) Szerkeszd meg azt a négyzetet, amelynek az átlója 6 cm hosszú! Tipp: Készíts vázlatot! 107
3.4.5. Feladat+++ Az ABCD szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja AB = 3 cm hosszú. A BC átmérőjű kör átmegy az átlók metszéspontján és az AB alap B-hez legközelebbi negyedelőpontján. Mekkora a trapéz területe? 6 M: Legyen az átlók metszéspontja M, az AB oldal B-hez közelebbi negyedelőpontja H! Mivel a BC szakasz Thalész köre átmegy az M és a H pontokon, ezért CMB = CHB = 90. Így CH a szimmetrikus trapéz magassága. Ebből következően HB = a c 2, azaz a 4 = a c 2, így c = 6 Arany Dániel matematika verseny feladata (2015 Kezdők I II. kategória, II. forduló 2. fa.) 108
1, 5 cm. Mivel a trapéz egyenlő szárú, ezért a CDM és az ABM háromszög egyenlő szárú és az előzőek alapján derékszögű is. Emiatt F M = c 2 = 3 4 cm és GM = a 2 = 1, 5 cm, ahol F a CD oldal, G az AB oldal felezőpontja. Így CH=FG=FM+MG=2,25 cm. Tehát a trapéz területe: T = 81 16 cm2. 3.5. Sokszögek 3.5.1. Érdekesség Részlet a wikipédiából: A szabályos 65537-szög szerkesztését Johann Gustav Hermesnek tulajdoníthatjuk (1894). A szerkesztés nagyon összetett, Hermes 10 évet töltött a 200 oldalas kézirat elkészítésével. Ide kattintva megtudhatod, hogy lehet-e szerkeszteni szabályos 9 szöget. 3.5.2. Tételek Tétel: n oldalú konvex sokszög egy csúcsból húzható átlóinak a száma n 3. 109
Tétel: n oldalú konvex sokszög összes átlóinak a száma n(n 3) 2. Tétel: n oldalú sokszög belső szögeinek az összege (n 2) 180. Tétel: n oldalú sokszög külső szögeinek az összege 360 az oldalszámtól függetlenül. Tétel: n oldalú szabályos sokszög egy-egy belső szöge (n 2) 180 n, egy-egy külső szöge pedig 360 n. Szimmetriák: Az n oldalú szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus és n darab szimmetria tengelye van. A páros oldalszámú szabályos sokszögek középpontosan is szimmetrikusak, a páratlan oldalszámúak nem. 3.5.3. Feladat 25 perc Az alábbi táblázat egy konvex sokszögre vonatkozik. Töltsd ki az üres részeket! rövidítések: n: oldalak száma; ecshász: egy csúcsból 110
húzható átlók száma; öász: összes átlók száma; bszö: belső szögek összege; kszö: külső szögek összege n ecshász öász bszö kszö 10 15 20 13 15 3780 M: 20 54 2700 111
n ecshász öász bszö kszö 10 7 35 1440 360 15 12 90 2340 360 20 17 170 3240 360 16 13 104 2520 360 18 15 135 2880 360 23 20 230 3780 360 17 14 119 2700 360 8 5 20 1080 360 12 9 54 1800 360 3.5.4. Feladat 12 perc Az alábbi táblázat egy szabályos konvex sokszögre vonatkozik. Töltsd ki az üres részeket! rövidítések: n: oldalak száma; ecshász: egy csúcsból húzható átlók száma; öász: összes átlók száma; bsz: belső szögek értéke; ksz: külső szögek értéke 112
n ecshász öász bsz ksz 140 165 20 M: 30 n ecshász öász bsz ksz 9 6 27 140 40 24 21 252 165 15 18 15 135 160 20 12 9 54 150 30 3.5.5. Feladat 6 perc Az alábbi ábrán egy szabályos ötszöget láthatunk. Határozd meg, hogy mekkora szögeket határoz meg az A-ból induló két átló és az oldalak! 113
M: Mindhárom szög 36 fokos. 3.6. Kör és részei 3.6.1. Tételek Kör: K = 2rπ; T = r 2 π Az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. A körhöz adott külső pontból két érintő húzható és ezek egyenlőek, vagyis PE1=PE2, továbbá 114
d 2 = x 2 +r 2 ( : Itt gyakran rossz ábrát készítenek a diákok és emiatt rosszul írják fel ezt az egyenletet. Törekedjünk a pontos ábrára!) Körcikk: i = 2rπ 360 α = r ᾰ; K = i + 2r; T = r2 π 360 α = i r 2 Megjegyzés: Az ívhosszra vonatkozó képletet úgy jegyezhetjük meg, hogy kiindulunk a kör kerületéből, ha ezt osztjuk 360 fokkal, akkor az 1 fokhoz tartozó ív hosszát kapjuk, majd ezt kell még szo- 115
rozni az adott középponti szöggel, amely itt fokban kell, hogy legyen. Itt azt használtuk fel, hogy a középponti szög és az ívhossz között egyenes arányosság áll fenn. Az ᾰ jelölés arra utal, hogy a szöget radiánban kell a képletbe helyettesíteni. A körcikk terülére vonatkozó képletet hasonlóan jegyezhetjük meg, mint az ívhosszra vonatkozót, csak itt a kör területéből indulunk ki. Itt azt használjuk fel, hogy a középponti szög és a körcikk területe között egyenes arányosság áll fenn. Körszelet: A körszeleten az ábrán látható FG húr és az i ívhossz által határolt tartományt értjük. Ennek a területét megkapjuk, ha a körcikk területéből 116
kivonjuk a háromszög területét. Tehát: T ksz = T kc T hsz 3.6.2. Ívmérték fogalma Ahogyan a távolságot is többféle mértékegységgel mérjük, úgy a szöget is. A fok után a tudományos életben bevezették a radiánt, vagyis az ívmértéket. Ennek a definíciója a következő: Egy adott szög ívmértékét úgy kapjuk meg, hogy körívezünk egységnyi sugárral és az így kapott ív hossza (amely a szögtartományba esik) adja a szög ívmértékét. lásd ábra: A jobb oldali ábrán a teljes szöget (360 fok) láthatjuk. Az ehhez tartozó egység sugarú ívhossz 117
2 1 π = 2π, vagyis az átváltás fokból radiánba a 360 = 2π vagy 180 = π szabály alapján egyenes arányosság alkalmazásával történhet. A rad egységet nem szoktuk kiíni. Számológépeken (Sharp EL-520) is át lehet váltani a fokot radiánba, ezt ismertetjük: Tegyük fel, hogy a 180 fokot szeretnénk átváltani radiánba. Először bizonyosodjunk meg, hogy fokban van a gépünk, felül a DEG feliratot láthatjuk. Ha RAD (radián) vagy GRAD (gon, újfok, a teljes szög 400 fok, mi itt Magyarországon soha sem használjuk) a felirat, akkor nyomjuk meg a setup gombot, a 0-t (DRG), majd megint a 0-t. Ezután írjuk be, hogy 180, majd a DRG funkciót használjuk (2ndF majd tizedes pont). 3,14-et kaptunk, ezt is vártuk. Ezek után az átváltás radiánból fokba: A SE- TUP gombbal állítsuk be a RAD feliratot (ezt megtehetjük a DRG gombbal is), írjuk be pl., hogy 6,28, majd kétszer alkalmazzuk a DRG funkciót (2ndF majd tizedes pont). Ha kerekítünk, akkor a 360 fokot kapjuk. 118
3.6.3. Feladat - fok átváltása radiánba 6 perc Fejezd ki π-vel az alábbi, fokban megadott szögeket! a) 30 =? rad; 150 =? rad; 210 =? rad; 330 =? rad b) 60 =? rad; 120 =? rad; 240 =? rad; 300 =? rad c) 45 =? rad; 135 =? rad; 225 =? rad; 315 =? rad d) 23 =? rad; 157 =? rad; 243 =? rad; 327 =? rad M: a) π 6 ; 5π 6 ; 7π 6 ; 11π 6 ; b) π 3 ; 2π 3 ; 4π 3 ; 5π 3 ; c) π 4 ; 3π 4 ; 5π 4 ; 7π 4 ; d) 23π 5, 7; 180 0, 401; 157π 180 2, 74; 243π 180 3.6.4. Feladat - átváltás radiánból fokba 9 perc 4, 24; 327π 180 a) 2,3 (rad)=? ; b) 3, 8 =? ; c) 5, 7 =? ; d) 3, 14 =? ; e) 6, 28 =? ; f) π 3 =? ; g) π 2 =? ; h) π 6 =? ; i) π 4 =? ; j) π 5 =? ; k) 5π 3 =? ; l) 3π 2 =? ; 119
m) 7π 4 =? ; n) 2014π 5 =? ; o) 2019π 2 =? ; M: a) 132 ; b) 218 ; c) 327 ; d) 180 ; e) 360 ; f) 60 ; g) 90 ; h) 30 ; i) 45 ; j) 36 ; k) 300 ; l) 270 ; m) 315 ; n) 72504 72500 ; o) 181710 182000 ; 3.6.5. Feladat - körcikk kerülete és területe 15 perc Az ábra egy AOB körcikket mutat, a kör középpontja O, sugara r. AOB szög α radián. (i) Határozd meg a körcikk kerületét. (ii) Határozd meg a körcikk területét. a) r = 3 cm, α =5,13; b) r = 12 cm, α =3,5; c) r = 20 cm, α =6,1; d) r = 57 cm, α =4,3; 120
e) r = 8 cm, α =5,7; M: a) (i) 21,4 cm (=6+15,4) (ii) 23,1 cm 2 b) (i) 66 cm (ii) 252 cm 2 c) (i) 162 cm (ii) 1220 cm 2 d) (i) 359 cm (ii) 6983 cm 2 e) (i) 61,6 cm (ii) 182 cm 2 3.6.6. Feladat - körcikk kerülete és területe 18 perc Az ábra egy AOB körcikket mutat, a kör középpontja O, sugara r. AOB hegyesszög α fok. (i) Határozd meg a körcikk kerületét. (ii) Határozd meg a körcikk területét. 121
a) r = 5 cm, α = 72 ; b) r = 18 cm, α = 34 ; c) r = 25 cm, α = 83, 7 ; M: a) (i) 16,3 cm (ii) 15,7 cm 2 b) (i) 46,7 cm (ii) 96,1 cm 2 c) (i) 86,5 cm (ii) 456 cm 2 3.6.7. Feladat - körcikk kerülete és területe 12 perc a) Az ábra egy körcikket mutat, a kör sugara r, AOB szög α radián. Határozd meg r értékét, ha α = 1, 23 és a körcikk területe 84,2 cm 2. b) Az ábra egy körcikket mutat, a kör sugara r, 122