ANAGYMŰVÉSZET 1545-ben jelent meg Girolamo Cardano műve, amely a fenti szavakkal kezdődött (latinul Ars magna). A könyv lényegében a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldásának problémájával foglalkozott, de matematikatörténeti jelentősége ennél sokkal nagyobb. Később, már a XX. században Felix Klein a következőket írja Cardano könyvéről: Ez a végtelenül nagyszerű mű, amely túllép az antik matematika határain, tartalmazza a modern algebra csíráit. Az európai matematika a XVI. században született újjá hosszú középkori téli álma után. Ezer évre elfelejtődtek, sőt részben örökre elvesztek a görög geométerek munkái. Az arab szövegekből az európaiak nemcsak a Kelet matematikai művészetéről értesültek, hanem az elfeledett antik eredményekről is. Jellemző, hogy a matematikai ismeretek Európában való elterjesztésében fontos szerepet játszottak a kereskedők, akik számára az utazásoknak fontos szerepe volt mind a tudás megszerzésében, mind annak továbbadásában. Különösen érdekes közülük a pisai Leonardo (1180 1240), akit inkább Fibonacci néven (Bonacci fia) ismerünk. Nevét egy figyelemre méltó számsor őrzi az utókor számára (a Fibonacci-számok). A tudomány nagyon gyorsan elvesztheti magas színvonalát, míg annak visszaszerzése akár évszázadokig is eltarthat. Három évszázadon keresztül az európai matematikusok csak tanulók maradtak, bár az előbb említett Fibonaccinak kétségkívül nagyon érdekes megfigyelései is voltak. De csak a XVI. században jelentek meg olyan jelentős eredmények, amelyek mind az antik, mind a keleti tudomány számára ismeretlenek voltak; nevezetesen a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldásai. 21
22 TÖRTÉNETEK FIZIKUSOKRÓL ÉS MATEMATIKUSOKRÓL Jellemző, hogy az új európai matematika eredményei mind az algebrához tartoznak, ahhoz az új területhez, amelyikkel Keleten kezdtek először foglalkozni, és amelyik ekkor lényegében csak első lépéseit tette meg. Még legalább száz évig az európai matematikusok nemcsak arra nem voltak képesek, hogy valami olyan újdonságot alkossanak a geometriában, ami összemérhető lehetne Eukleidész vagy Arkhimédész eredményeivel, de még csak arra sem, hogy ezeket az eredményeket a maguk teljességében megértsék. Egy legenda azt a kijelentést tulajdonítja Püthagorasznak, hogy: minden szám. De Püthagorasz után a görög matematikában fokozatosan mindent a geometriának rendeltek alá. Eukleidésznél az algebra elemei is geometriai formában jelentek meg. Például, egy négyzet felosztható két, az oldalakkal párhuzamos egyenessel két kisebb négyzetre és két egybevágó téglalapra. A területek összehasonlításából kapjuk, hogy (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab. De természetesen, mivel a régi görögök nem használtak szimbólumokat, területek segítségével adták meg ennek az állításnak a végső megfogalmazását. A formulák egyébként is nagyon nehézkesek voltak. A körzővel és vonalzóval megoldandó feladatok tulajdonképpen másodfokú egyenletek megoldásaihoz vezettek, és olyan kifejezések vizsgálatához, amelyek négyzetgyököket tartalmaznak (kvadratikusan irracionális számokhoz). 1 Például Eukleidész (más nyelven fogalmazva) részletesen foglalkozik a + b alakú kifejezésekkel. Bizonyos fokig a görög geométerek megértették a klasszikus, nem megoldható szerkesztési feladatok (a kocka térfogatának megkétszerezése, a szög harmadolása) kapcsolatát a harmadfokú egyenletekkel. Az arab matematikusok hatására az algebra fokozatosan elszakad a geometriától. Bár, mint azt alább látni fogjuk, a harmadfokú egyenletek megoldása először geometriai nyelven fogalmazódott meg (formulák algebrai levezetése még a másodfokú egyenletek esetében is csak 1572-ben jelenik meg Bombellinél). Algebrai állítások arab matematikusoknál először csak mint receptek jelentek meg bizonyos aritmetikai típusú, főképp mindennapi feladatok megoldásaira (amilyen például az örökség elosztása). A szabályokat konkrét példákon mutatják be, de oly módon, hogy segítségükkel hasonló feladatokat is meg lehessen oldani. Egészen a legutóbbi időkig így fogalmazták meg néha bizonyos aritmetikai feladatok megoldási szabályát 1 Így hívják azokat a számokat, amelyek racionális számokból (véges sok) összeadással, kivonással szorzással és négyzetgyökvonással előállíthatóak. Ez a fogalom egyébként a Gaussról szóló fejezetben fontos szerepet játszik (a szerkesztő megjegyzése).
ANAGYMŰVÉSZET 23 (például a hármas szabályt 2 s í.t.). A szabályok általános formában való megfogalmazása szinte kikerülhetetlenül megköveteli a fejlett szimbolikát, amire még sokáig kellett várni. Az arab matematikusok nem jutottak tovább a másodfokú és bizonyos speciális harmadfokú egyenletek megoldásainál. A harmadfokú egyenletek megoldásának poblémája mind az arab matematikusokat, mind európai tanítványaikat nyugtalanította. Az egyik figyelemre méltó eredményt a pisai Leonardo (Fibonacci) érte el. Megmutatta, hogy az x 3 + 2x 2 + 10x = 20 egyenlet megoldásai nem fejezhetők ki euklideszi irracionálisokként, azaz a + b formában. 3 Ez a XIII. század elején teljesen váratlan jellegű problémafelvetés, amely előrevetíti annak vizsgálatát, hogy meg lehet-e adni egyenletek megoldását gyökvonások segítségével. Az ilyen problémafelvetés jelentőségét csak jóval később értettek meg. Általános harmadfokú egyenletek megoldására az akkori matematikusok még nem láttak semmilyen módszert. A XV XVI. század fordulóján ismert matematikai eredményeket Luca Pacioli (1445 1514) foglalta össze könyvében, a Summa arithmetica (Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita) című műben, amely az egyik első nyomtatott, matematikai témájú könyv, ráadásul nem latin, hanem olasz nyelven. A könyv végén olvashatjuk azt, hogy a harmadfokú egyenletek megoldásához még nem létezik az algebra művészetében módszer, mint ahogy nem létezik a kör négyszögesítésének módszere sem. Ez az összehasonlítás nagyon meggyőző, ráadásul Pacioli tekintélye oly nagy volt a kor matematikusai között, hogy többségük (és mint látni fogjuk, kezdetben történetünk hősei is ide tartoztak) azon a véleményen volt, hogy harmadfokú egyenleteket az általános esetben nem is lehet megoldani. Scipione del Ferro De volt egy ember, akit Pacioli véleménye nem tántorított el. Ez Scipione del Ferro (1465 1526) volt, a Bolognai Egyetem matematika professzora, aki az x 3 + ax = b (1) 2 Annak a feladatnak (mechanikus) megoldási szabályáról van szó, amelyben három szám ismeretében olyan negyedik számot keresünk, amelynek aránya az egyikhez képest megegyezik a másik két szám arányával (a szerkesztő megjegyzése). 3 A könyv Gaussról szóló fejezetének függeléke tartalmaz egy, a fent említett állításnál jóval tartalmasabb eredményt bizonyítással együtt (a szerkesztő megjegyzése).
24 TÖRTÉNETEK FIZIKUSOKRÓL ÉS MATEMATIKUSOKRÓL alakú egyenletekre talált megoldást. Negatív számokat akkor még nem használtak, ezért például az x 3 = ax + b (2) egyenlet már teljesen más típusúnak számított! Erről a megoldásról csak közvetett információink vannak. Del Ferro azt csak vejének, egyben katedrája örökösének, Hannibal della Navénak és tanítványának, Antonio Mario Fiorénak árulta el. Utóbbi tanára halála után úgy döntött, hogy a rábízott titkot arra használja fel, hogy legyőzhetetlenné váljon olyan párviadalokon, ahol matematikai példákat oldottak meg. Ezek akkoriban nagyon elterjedtek voltak. 1535. február 12-én egy ilyen párviadalnak kis híján Niccolò Tartaglia történetünk egyik főszereplője lett az áldozata. Niccolò Tartaglia Tartaglia 1500 környékén született Bresciában, egy szegény lovas küldönc, Fontane családjában. Gyermekkorában, amikor a franciák elfoglalták szülővárosát, gégéje megsérült, és ezután már csak nagy nehézségek árán tudott beszélni. Ezért kapta a Tartaglia gúnynevet is, ami annyit jelent, hogy dadogós. Korán árvaságra jutott, édesanyja mégis iskolába íratta, ám elfogyott a pénzük, amikor a k betűhöz értek. Tartaglianak úgy kellett elhagynia az iskolát, hogy még a nevét sem tudta leírni. Ezután önállóan folytatta Tartaglia egyetlen ismert képe tanulmányait, és az abakusz magisztere lett (ez kereskedelmi iskolai számtantanárt jelent). Sokat utazott Itália-szerte, míg 1534-ben Velencébe nem került. Itt tudományos tevékenységét tovább ösztönözték a híres velencei fegyvergyár helybéli mérnökeivel és lövészeivel felvett kapcsolatok. Megkérdezték például tőle, hogy milyen szögben kell az ágyút felfelé irányítani, hogy a lövedék a lehető legmesszebb jusson. Azt válaszolta és ezzel teljesen meglepte kérdezőit, hogy 45 -ban. Nem hitték el neki, hogy a csövet ilyen magasra kell emelni, de néhány egyedi kísérlet bebizonyította igazát. Habár Tartaglia azt állította, hogy matematikai következtetések vezették a válaszra, ez inkább empirikus megfigyelés eredménye lehetett (a bizonyítást először Galilei adta meg).
ANAGYMŰVÉSZET 25 Tartaglia két könyvet jelentetett meg, amelyek egymás folytatásai voltak: Az új tudományt (La Nova Scientia, 1537) és a Problémák és különféle találmányok (Quesiti et Inventioni diverse de Niccolo Tartalea, 1546) címűt, amelyben többek között azt ígéri az olvasónak, hogy megismerteti őt... olyan új találmányokkal, amelyeket nem loptak sem Platóntól, sem Plótinosztól 4 sem más görögöktől vagy latinoktól, hanem kizárólag művészet, mérés és ész segítségével találtak. A könyveket olaszul írta, dialógus formájában. Ezt a formát később Galilei is átvette, akinek Tartaglia egy sor kérdésben előfutára volt. Habár első könyvében még megismételte Arisztotelész állítását, amely szerint egy ferde szögben elhajított test először a hajítás irányában egyenesen repül, majd köríven, és végül függőleges irányban lefelé esik; de második könyvében azt írja, hogy a röppálya ívének egyetlen olyan része sincs, amelyik teljesen egyenes lenne. Tartaglia érdeklődött még a lejtőn álló testek egyensúlyi helyzete, továbbá a szabadesés iránt is (tanítványa, Benedetti meggyőzően mutatta meg, hogy a testek esésének jellege nem függhet súlyuktól). Fontos szerepet játszottak még a tudományban Tartaglia Arisztotelész és Eukleidész fordításai olasz nyelvre (amit ő népinek nevez, szemben a latinnal), és a hozzájuk írt részletes kommentárjai. Emberi tulajdonságait tekintve Tartaglia egyáltalán nem volt makulátlan, és kapcsolatai tele voltak bonyodalmakkal. Bombelli (aki ugyan nem volt elfogulatlan, de róla majd később) azt írta róla: ez az ember természeténél fogva annyira csak rosszat tudott mondani másokról, hogy még akkor is, amikor valakit káromolt, azt képzelte, hogy kedvesen nyilatkozott róla. Más tanúk szerint (Pedro Nuñes) időnként annyira izgalomba jött, hogy teljesen őrültnek látszott. De térjünk vissza a párviadalhoz. Tartaglia tapasztalt volt az ilyen párbajokban, és úgy gondolta, hogy könnyű győzelmet fog aratni Fiore felett. Még akkor sem ijedt meg, amikor látta, hogy az ellenfél mind a 30 feladata az (1) képletnek felel meg, különböző a és b értékekkel. Tartaglia úgy gondolta, hogy Fiore maga sem tudja megoldani feladatait, és az volt a szándéka, hogy leleplezi: Úgy gondoltam, hogy egyik feladat sem oldható meg, mert Luca testvér (Pacioli Sz. G.) azt írta könyvében, hogy az ilyen feladatokat nem lehet egységes képlettel megoldani. Amikor már a végéhez közeledett az 50 napos határidő, ami után a feleknek le kellett adniuk megoldásaikat a jegyzőnek, Tartagliának tudomására jutott, hogy Fiore titkos módszerrel rendelkezik az (1) típusú feladatok megoldására. Az a lehetőség, hogy Fiorét és annyi barátját, ahány feladatot ellenfele megoldott, pompás ebéddel vendégeljen 4 Plótinosz (204 270), görög filozófus, az újplatonikus iskola alapítója.
26 TÖRTÉNETEK FIZIKUSOKRÓL ÉS MATEMATIKUSOKRÓL meg (ezek voltak ugyanis a szabályok!) nem vonzotta Tartagliát. Hatalmas erőfeszítéssel munkához látott, és nyolc nappal a határidő lejárta előtt (1535. február 12-én) rámosolyogott a szerencse: megtalálta a megfelelő módszert! Két óra leforgása alatt Tartaglia az összes feladatot megoldotta. Ellenfele viszont Tartaglia egyik feladatát sem tudta megoldani; furcsa módon még egy olyan feladatot sem, amelyik pedig del Ferro képletével megoldható lett volna. (Tartaglia ezt néhány, a megoldásban felhasználható mesterséges trükkre gondolva adta fel.) Bár később látni fogjuk, hogy a megoldóképlet használata igencsak bonyolult. Egy nappal később Tartaglia a (2) egyenlet általános megoldását is megtalálta. Tartaglia és Fiore párviadaláról sokan tudtak. Ilyen helyzetben a titkos fegyver nem segítette, hanem éppen ellenkezőleg, akadályozta Tartagliát későbbi párviadalokban. Ki lett volna hajlandó kiállni ellene, ha a viadal kimenetele eleve biztos? Mégis Tartaglia jónéhányszor visszautasítja azt a kérést, hogy árulja el a harmadfokú egyenletek megoldásának titkát. Volt azonban egy faggatózó, aki elérte amit akart. Ez Girolamo Cardano volt, történetünk másik hőse. Girolamo Cardano Girolamo Cardano 1501. szeptember 24-én született Paviában. Apjáról, Fazio Cardanóról, aki széles érdeklődésű ember és képzett jogász volt, Leonardo da Vinci is említést tesz. Ő volt fia első tanítója. Miután Girolamo befejezte tanulmányait a páduai egyetemen, úgy döntött, hogy az orvoslásnak szenteli életét. Törvénytelen gyermek volt, és ez megakadályozta abban, hogy a milánói orvoskollégiumba bekerülhessen. Sokáig praktizált szerte az országban, míg 1539 augusztusában végül felvételt nyert a kollégiumba, amely külön e célból változtatta meg szabályait. Cardano kora egyik leghíresebb orvosa volt, valószínűleg a második, barátja, Andreas Vesalius után. Idős korában Cardano megírta önéletrajzát Életem könyve (De vita propria liber) címen. Ebben mindössze egy-két utalást találunk csak matematikai munkásságáról, ellenben részletesen ecseteli orvostudományi kutatásait. Azt állította, hogy leírt ötezer nehezen gyógyítható betegséget és azok kezelését, hogy az általa megoldott problémák és kérdések száma eléri a negyvenezret, és apróbb útmutatásainak száma kétszázezerre rúg. Természetesen ezeket a számokat erős szkepszissel kell fogadnunk. Mégis, az orvos Cardano tekintélye megkérdőjelezhetetlen. Könyvében több esetet is leír praxisából, kiemelve azokat, amikor híres embereket gyógyított (Hamilton skót érseket, Morone kardinálist s í.t), és azt állítja, hogy életében csak háromszor