Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik, amelyik átmegy a P ponton és párhuzamos a v vektorral. Ennek az egyenesnek a paraméteres vektoregyenlete r = OP + t v, t R, (1) ahol az r = (x, y, z) az egyenes futópontjának helyvektora, a t valós szám a paraméter, a v vektor az egyenes irányvektora. Ez azt jelenti, hogy ha megadjuk a t paraméter értékét, akkor a kapott r helyvektorú pont rajta van az egyenesen, és fordítva, az egyenes minden pontjának r helyvektora megkapható úgy, hogy a paraméter helyére alkalmas számot helyettesítünk. Az (1) vektoregyenletben az egyenlőség az jelenti, hogy a bal és a jobb oldalon álló vektorok megfelelő koordinátái egyenlők. Ha felírjuk ezeket a koordinátákra vonatkozó egyenleteket, akkor az egyenes paraméteres egyenletrendszerét kapjuk. x = p 1 + v 1 t y = p 2 + v 2 t z = p 3 + v 3 t, t R. (2) Szinte minden esetben a paraméteres egyenletrendszert fogjuk használni. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Feladat 1 Írjuk fel a P (1, 2, 3) és Q(2, 1, 1) pontokon átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Megoldás: A paraméteres egyenletrendszer felírásához kell egy pont, amin biztosan átmegy a szóban forgó egyenes, és kell egy vektor, amivel biztosan párhuzamos. A pontnak választhatjuk a P pontot, az irányvektornak pedig a v = P Q = (1, 1, 2) vektort. Ezekkel az egyenes paraméteres egyenletrendszere x = 1 + t y = 2 t z = 3 2t, t R. Például, ha t paraméter helyére 0-t helyettesítünk, akkor megkapjuk az egyenes P pontját, ha 1-et, akkor a Q pontot, ha 3-at, akkor az egyenes egy további R(4, 1, 3) pontját. Az A(0, 3, 5) pont rajta van az egyenesünkön, mert a t = 1 válsztással ezt a pontot kapjuk a paraméteres egyenletrendszerből, de a B( 1, 3, 7) pont nincs az egyenesen, mert az első koordinátája miatt csak a t = 2 paraméterhez tartozhatna, de akkor a második koordinátának 4-nek kéne lenni.

Ha a paraméteres egyenletrendszer felírásához a Q pontot és a w = 2v = ( 2, 2, 4) irányvektort használtuk volna, akkor azt kapjuk, hogy x = 2 2u y = 1 + 2u, u R. z = 1 + 4u Ez a két paraméteres egyenletrendszer nyilván ugyanahhoz az egyeneshez tartozik. Ha egy vektor jó irányvektornak, akkor minden számszorosa is jó. Két különböző paraméteres egyenletrendszerről a következő módon lehet eldönteni, hogy ugyanannak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerei. Először is a két irányvektornak, amelyek koordinátái rendre a paraméterek együtthatói, párhuzamosaknak, azaz egymás számszorosainak kell lenniük. Ezentúl bárhogy megválasztva ez egyik egyenletrendszer paraméterének értékét, a kapot pontot meg kell tudni kapni a másik egyenletrendszerből is egy alakalmas ottani paraméterértékkel.

Feladat 2 Határozzuk meg az alábbi egyenesek metszéspontját. e : x = 2 + t y = 1 t z = 1 2t, t R, f : x = 4 + u y = 1 + 3u z = u, u R. Megoldás: A M metszéspont rajta van mindkét egyenesen, azaz van olyan t és u paraméterérték, hogy 2 + t = 4 + u 1 t = 1 + 3u 1 2t = u Ezt a t -ot és u -ot úgy lehet megtalálni, hogy megoldjuk a 2 + t = 4 + u 1 t = 1 + 3u 1 2t = u kétismeretlenes, de három egyenletből álló lineáris egyenletrendszert.

Ezt úgy érdemes csinálni, hogy kiválasztjuk bármelyik két egyenletet, azokat megoldjuk, majd leellenőrizzük, hogy a kapott megoldás a harmadik egyenletet is kielégíti-e. Ha igen, akkor megvan a megoldás, ha nem, akkor nincs megoldás, és így nincs metszéspont sem. Ha az első két egyenletet összeadjuk, kapjuk, hogy 1 = 5 + 4u, amiből u = 1. Ezt az első egyenletbe beírva 2 + t = 3, amiből t = 1. Ezek az értékek a harmadik egyenleteket is kielégítik. Tehát a metszéspont az első paraméteres egyenletrendszerből a t = 1 helyettesítéssel M(3, 2, 1). Természetesen ugyanezt kapjuk, ha a második paraméteres egyenletrendszerbe helyettesítünk u = 1-et.

2. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy n = (n 1, n 2, n 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy sík létezik, amelyik átmegy a P ponton és merőleges az n vektorra. Ennek a síknak a normálegyenlete r OP, n = 0, (3) ahol az r = (x, y, z) a sík futópontjának helyvektora. Ha ezt a skalárzorzatot felírjuk a benne szereplő vektorok koordinátáival, akkor a sík egyenletét kapjuk Ez rendezés után n 1 (x p 1 ) + n 2 (y p 2 ) + n 3 (z p 3 ) = 0. (4) n 1 x + n 2 y + n 3 z + D = 0 (5) alakú. Minden pontnak a koordinátái, amelyik illeszkedik a síkra, kielégítik ezt az egyenletet, és minden pont, amelynek a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet a szóbanforgó sík egy pontja. Ha egy sík egyenletét megszorozzuk egy tetszőleges, nullától különböző számmal, attól az még ugyanannak a síknak az egyenlete marad, a sík egyenlete csak egy konstans szorzó erejéig egyértelmű. Egy sík két egyenlete nem is különbözhet másban, csak abban, hogy egyik a másiknak számszorosa. Ha egy vektor jó normálvektornak, akkor minden számszorosa is jó. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Feladat 3 Írjuk fel a P (1, 2, 3) és Q(2, 1, 1), R( 1, 1, 2) pontokon átmenő sík egyenletét. Megoldás: Egy sík egyenletének felírásához kell egy pont, ami biztosan a síkon van. Ez lehet most pl. a P pont. Ezenkívül szükségünk van egy olyan n normálvektorra, ami merőleges a síkra. Ilyen vektort a legtöbbször nekünk kell készíteni. Ha egy vektor merőleges a síkra, akkor merőleges minden, a síkban benne fekvő vektorra is. Ezért, ha találunk két nem párhuzamos vektort, amelyek biztosan a síkban fekszenek, akkor ezek vektoriális szorzata jó lesz normálvektornak. Most a P Q = (1, 1, 2) és a P R = ( 2, 1, 5) vektorok biztosan a síkban vannak és nem párhuzamosak, tehát a normálvektor lehet n = P Q P R = Ezekkel a sík egyenlete i j k 1 1 2 2 1 5 = (3, 9, 3). 3(x 1) + 9(y 2) 3(z 3) = 0, 3x + 9y 3z 12 = 0.

Feladat 4 Tekintsük az alábbi e egyenest és S síkot. x = 2 t e : y = 1 + t, t R, S : x + y 2z 5 = 0. z = 1 2t Igazoljuk, hogy az egyenes döfi a síkot és számoljuk ki a döféspont koordinátáit. Megoldás: Az egyenes akkor nem döfi a síkot, ha párhuzamos vele. Ez akkor következik be, ha az egyenes irányvektora párhuzamos a síkkal, azaz merőleges a sík normálvektorára. Az egyenes paraméteres egyenletrendszeréből és a sík egyenletéből leolvasható a v irányvektor és az n normálvektor. Most v = ( 1, 1, 2), n = (1, 1, 2). Ez a két vektor akkor merőleges, ha a skaláris szorzatuk nulla. Mivel v, n = 4 = 0, az egyenes nem párhuzamos a síkkal, tehát van döféspont.

A döféspont rajta van az egyenesen és a síkon is. Ezt a pontot úgy lehet meghatározni, hogy megkeressük azt a paraméterértéket, amelyhez tartozó pont az egyenesről kielégíti a sík egyenletét is. Ezt a paraméterértéket persze úgy lehet megtalálni, hogy az egyenes futópontjának a paraméterrel kifejezett x, y, z koordinátáját beírjuk a sík egyenletébe és megoldjuk a paraméterre kapott egyenletet. Azaz most megoldjuk a (2 t) + (1 + t) 2(1 2t) 5 = 0 egyismeretlenes lineáris egyenletet. Az adódik, hogy t = 1. Az M döféspont koordinátái tehát M(1, 2, 1). 3. Tudjuk, hogy a P (p 1, p 2, p 3 ) és a Q(q 1, q 2, q 3 ) pontok távolsága d P Q = (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 + (p 3 q 3 ) 2. A P pont és egy rá nem illeszkedő e egyenes d P e távolságát úgy kapjuk, hogy a P pontot merőlegesen levetítjük az e egyenesre, majd kiszámoljuk a P pont és a Q vetületpont távolságát. Ha R az egyenes egy tetszőleges pontja, v az irányvektora, akkor d P e = RP v. (6) v First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4. A P pont és egy rá nem illeszkedő S sík d P S távolságát úgy kapjuk, hogy a P pontot merőlegesen levetítjük az S síkra, majd kiszámoljuk a P pont és a Q vetületpont távolságát. Ha R a sík egy tetszőleges pontja, n a normálvektora, akkor d P S = RP, n. (7) n 5. Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának és a másik egyenesnek a távolsága. Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy tetszőleges pontjának és a másik síknak a távolsága. Egy egyenes és egy vele párhuzamos sík távolsága az egyenes egy tetszőleges pontjának és a síknak a távolsága. Két kitérő egyenes távolsága az egyeneseket tartalmazó párhuzamos síkok távolsága.

6. Tudjuk, hogy a v és a w vektorok α szöge a cos α = v, w v w formulából határozható meg. Két egymást metsző egyenes szöge az irányvektoraik szöge, ha az hegyes szög, ha az tompaszög, akkor 180 -ból kivonva őt kapjuk az egyenesek szögét. 7. Két sík szöge a normálvektoraik szöge, ha az hegyes szög, ha az tompaszög, akkor 180 -ból kivonva őt kapjuk a síkok szögét. 8. Egy egyenes és egy sík szögét úgy kapjuk, hogy 90 -ból kivonjuk az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának a szögét, ha az hegyes szög. Ha az tompaszög, akkor belőle kivonva 90 -ot kapjuk az egyenes és a sík szögét.

Feladat 5 Az x 2y + z 10 = 0 síktól milyen messze van az origó és hány fokos szögben metszi őt az x tengely? Megoldás: A sík normálvektora n = (1, 2, 1). Választunk egy pontot a síkról. Például az R(10, 0, 0) pont koordinátái kielégítik a sík egyenletét, ez a pont tehát a síkon van. Most az origó fogja játszani a (7) képletben a P szerepét. Ekkor RO = ( 10, 0, 0), tehát d OS = RO, n n = 10 6 = 10 6. Az x tengelynek, mint egyenesnek az irányvektora persze lehet v = (1, 0, 0). Jelöljük α-val a v és az n vektorok szögét. Ekkor cos α = v, n v n = 1 1 6 α = 65.9. Mivel α hegyesszög, az x tengely és a sík hajlásszöge 90 α = 24.1.

Feladat 6 Tekintsük az alábbi e egyenest és S síkot. x = 2 e : y = 1 5t, t R, S : x y z 2 = 0. z = 1 t Határozzuk meg e S-re vett vetületének paraméteres egyenletrendszerét. Megoldás: Az e egyenes irányvektora v = (0, 5, 1), a sík normálvektora n = (1, 1, 1). Mivel v, n = 6 = 0, az egyenes döfi a síkot. (Ha párhuzamos lenne vele, akkor nem úgy kellene számolni, mint ahogy a következőkben tesszük. Minden feladatban érdemes először tisztázni a térelemek viszonyát. Speciális esetekben - párhuzamosság, merőlegesség megléte - nem mindig lehet úgy számolni, mint az általános esetben.) Egy egyenes a kérdés, a paraméteres egyenletrendszerének felírásához egy pontját biztosan meg kell határozni. Az M döféspont nyilván rajta van az eredeti egyenes vetületén is, célszerűnek tűnik őt kiszámolni. 2 (1 5t) ( 1 t) 2 = 0 t = 0 M(2, 1, 1). A vetület irányvektorát kell még kiszámolnuk.

Ha az egyenes egy, a döfésponttól különböző P pontját levetítjük a síkra, akkor a kapott Q vetületi pont és az M pont által meghatározott M Q jó lesz irányvektornak. Például az egyenes egy pontja a t = 1 paraméterérték mellett P (2, 4, 2). Ennek Q vetületét az S síkon úgy kapjuk, hogy meghatározzuk a P -n átmenő, S-re merőleges g egyenest és vesszük ennek és S-nek a döféspontját. A g egyenes irányvektora lehet a w = n vektor. Tehát g : x = 2 + u y = 4 u z = 2 u, u R. (2+u) ( 4 u) ( 2 u) 2 = 0 u = 2, Q(0, 2, 0). A keresett egyenes irányvektora tehát lehet az MQ = ( 2, 3, 1) vektor. Így a vetület paraméteres egyenletrendszere x = 2 2t y = 1 3t z = 1 + t, t R.

Feladat 7 Számítsuk ki az alábbi egyenesek távolságát. e : x = 3 + 2t y = 2t z = 2 t, t R, f : x = 2 3u y = 2 + u z = 4 + u, u R Megoldás: Két egyenes távolságát két esetben értelmeztük: ha párhuzamosak, (ekkor egy síkban is vannak), vagy ha kitérők. Az e egyenes irányvektora v = (2, 2, 1), az f egyenes irányvektora w = ( 3, 1, 1). Ezek a vektorok nem párhuzamosak. Azt, hogy kitérők úgy tudjuk leellenőrizni, hogy megmutatjuk, hogy nem is metszik egymást. A 3 + 2t = 2 3u 2t = 2 + u 2 t = 4 + u egyenletrendszer harmadik egyenletéből kivonva a másodikat 2+t = 2, azaz t = 4, a második egyenletből u = 10. Ezek az értékek azonban nem elégítik ki az első egyenletet, tehát az egyenesek kitérők.

Van tehát két párhuzamos S 1 és S 2 sík, amelyek közül S 1 -ben fekszik az e egyenes, és S 2 -ben az f. Ennek a két síknak közös lehet az n normálvektora. Erre az n vektorra egyedül annak kell teljesülni, hogy merőleges legyen v-re és w-re is. Tehát az n = v w választás jó lesz. i j k n = v w = 2 2 1 = ( 1, 1, 4). 3 1 1 Tudjuk, hogy ennek a két síknak a távolsága az egyenesek távolsága, ami az S 1 sík egy pontjának és az S 2 síknak a távolsága. Ahhoz, hogy alkalmazni tudjuk a (7) képletet legyen az S 1 sík egy P pontja az e egyenesről a t = 0 választással kapott P (3, 0, 2), az S 2 sík egy R pontja az f egyenesről az u = 0 választással kapott R( 2, 2, 4) pont. Ekkor RP = (5, 2, 6) és a keresett távolság d P S2 = RP, n n = 17 18.