. Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása között azt olvashatjuk, hogy a labda lépcs n történ pattogása is kaotikus []. A szerz k elvileg nem gondolhattak a gumilabdára, melyben a pattogások között rugalmas hullámok is terjednek, hiszen az térben is lejátszódó, magas szabadsági fokú dinamika lenne. Alacsony dimenziójú leírást tekintve válasszuk a legegyszer bbet, a pontszer labdát feltételez (tehát a labda forgását elhanyagoló) modellt! Feltesszük, hogy a labda egy hosszú lépcs soron rugalmasan pattog, a mozgás során az ütközési együttható értéke k < állandó. A lépcs t sima vízszintes és függ leges felületekb l összetettnek tekintve, egy billiárd-problémát deniáltunk, mely szemben a szokásos billiárdokkal (pl. stadion billiard [2]) gravitációs er térben értelmezett. Ezért az ütközési energiaveszteség mellett energianövekedés is felléphet a magasság csökkenése következtében. Els ránézésre nehéz eldönteni, hogy lehet-e kaotikus a mozgás: a sima vízszintes felület a káosz ellen szól (hiszen síktükörként, vagyis nem szóróként viselkedne fénnyel való megvilágítás esetén), a lépcs élei, a fokok végén lév pontszer törések viszont esetleg mellette. Vizsgáljuk meg ezért a mozgást alaposabban, egyszer (középiskolai szint ) levezetéseket és szimulációkat használva. 2. A modell Legyen az egyes lépcs fokok hossza L, magasságuk M, és a lépcs lejtsen balról jobbra (. ábra). Mivel az ütközési együttható -nél kisebb, a labda beesési sebességének függ leges v komponense k < -szeresére változik minden ütközéskor. Az u > vízszintes komponens id ben végig állandó marad. A tájékozódás kedvéért megadjuk tömör golyók ütközési együtthatóját: azonos anyagú golyóval ütközve [3] szerint: üveg, elefántcsont, 9, acél, 7, ólom, 2, saját méréseink alapján pedig: tömör gumi k =, 8, fa golyó k =, 3, illetve néhány labda tipikus ütközési együtthatója k lapról visszapattanva: ping-pong labda k =, 8, focilabda k =, 7, teniszlabda k =, 7, felfújt gumilabda k =, 4. Célunk az, hogy kapcsolatot találjunk az n-edik és az n + -edik ütközés hely- és sebességadatai között. Az egyszer ség kedvéért helyezzük koordinátarendszerünket minden ütközéskor annak a lépcs foknak a bal szélére, melyen az ütközés történik. (Ez azt jelenti, hogy az ütközés x koordinátáját mindig visszatoljuk a (, L] intervallumba.) Legyen az n-edik ütközés koordinátája x n, s a visszapattanás utáni függ leges sebesség v n. A labdának a visszapattanás óta eltelt t id vel kifejezett magassága a lépcs felszínét l mérve y(t) = v n t g 2 t2, miközben az origótól mért vízszintes távolsága x(t) = x n + ut. A következ ütközésig eltelt t n id meghatározásához célszer feltenni, hogy ismert, hány lépcs fokkal lejjebb pattan legközelebb a labda. (Persze most még nem tudjuk ezt a számot,
N =2 v n x M u L N = x x 2. ábra. Az L hosszúságú és M magasságú fokokkal rendelkez lépcs n pattogó labda pályája, és jellemz adatai: az n-edik ütközés helye x n, a visszapattanás utáni függ leges sebesség v n, a vízszintes állandó sebesség u, és az n-edik ütközés után átugrott lépcs fokok száma N n. de kés bb látni fogjuk, hogyan határozható meg.) Legyen ez az N n egész szám, mely fontos változó lesz a továbbiakban. A repülési id kiszámításához felhasználjuk, hogy a következ, n + -edik ütközéskor a labda az y = MN n magasságban elhelyezked lépcs vel találkozik, azaz v n t n (g/2)( t n ) 2 = MN n, amib l v 2 t n = n + 2gMN n + v n. g A becsapódás a v n g t n = vn 2 + 2gMN n függ leges sebességgel történik. A visszapattanási sebesség e sebesség ellentettjének k-szorosa, így közvetlenül az n + -edik ütközés után a függ leges sebesség v n+ = k vn 2 + 2gMN n. () Vízszintes irányban ekkor a labda az origótól x n + u t n távolságra van, jobbra. N n nem más, mint az a szám, mely megadja, hogy ebben a távolságban hányszor van meg az L lépcs hossz. t n -t behelyettesítve, [ x n + (u/g)(v n + ] vn N n = 2 + 2gMN n ), (2) L ahol a szögletes zárójel az egész részt jelöli. Ha a (2) egyenletnek több megoldása is lenne, akkor közülük a legkisebb N n -re van szükségünk. A keresett N n kifejezhet tehát az n-edik ütközés adataival és a paraméterekkel. A lépcs fokra helyezett koordinátarendszerben az ütközés utáni x n+ koordináta a vízszintes elmozdulás és az LN n különbsége, azaz x n+ = x n + u (v n + ) vn g 2 + 2gMN n LN n. (3) Az ()-(3) rendszer egyfajta mozgásegyenletet, leképezést alkot, megadja a következ ütközés Vegyük észre, hogy a leképezés segítségével a ferde hajítás parabolaívének kiszámítása nélkül, közvetlenül kapjuk meg a becsapódási adatokat. 2
x n+ hely- és v n+ sebességkoordináta értékét az el z x n, v n ismeretében, az N n mennyiség kiszámításának közbeiktatásával 2. 3. Dimenziótlan alak Érdemes felismerni, hogy a mozgásegyenletek írhatók egyszer bb alakban is, olyanokban, amelyek nem függnek már pl. külön-külön a lépcs hosszától és magasságától, csak a meredekség abszolútértékének m = M/L értékét l. Ezt akkor kapjuk, ha (3)-at átrendezzük olyan alakba, L-el osztva, mely a helyet a lépcs hosszhoz viszonyítva adja meg, s ezzel egyidej leg a sebességet is a konstans u > vízszintes sebességhez viszonyítva adjuk meg, vagyis mindenütt v n /u-t szerepeltetjük: x n+ L ( = x ) n L + u2 v (vn ) 2 n gl u + 2gL + u u 2 mn n N n. (4) Vegyük észre, hogy itt m-en kívül már csakis egy paraméter, a gl/u 2 kombináció jelenik meg, melyet nevezzünk ezentúl hosszparaméter-nek, s jelöljünk H -vel. Ha hasonlóan elemezzük a másik két egyenletet, azokban sem találkozunk újabb paraméterekkel. Hasznos ezért a v/u v, x/l x helyettesítéssel deniált dimenziótlan változókra, vagyis az u egységében mért v függ leges sebességre és a L egységében mért x helykoordinátára áttérve felírni az egyenleteket. Ebben a jelölésben v n+ = k vn 2 + 2mHN n, (5) [ N n = x n + H (v n + ] vn 2 + 2mHN n ), (6) x n+ = x n + H (v n + v 2 n + 2mHN n ) N n. (7) Jól látjuk, hogy a mozgás összesen három adattól, a k, m M L, H Lg u 2 kombinációktól függ, vagyis a k ütközési együtthatótól, az m meredekségt l és az H hosszparamétert l (míg az eredeti ()-(3) alakban még 5 paraméter, k, M, L, u és g szerepelt). Utóbbi különösen érdekes, azt mutatja meg, hogy az u vízszintes és u függ leges kezd sebesség (tehát 45 fokos) ferde hajítás u 2 /g féltávolsága hányszor fér rá a lépcs L hosszára. Szemléletesen: minél kisebb H, annál apróbb lépcs fokokat kell az u vízszintes sebességgel repül labda íve alá képzelni. A hosszparaméter megjelenése azt jelenti, hogy adott labdával, adott meredekség lejt n a 4L hosszúságú lépcs fokokon 2u vízszintes sebességgel mozgó labda éppúgy mozog, mint az L méret lépcs fokokon u sebességgel mozgó (és ugyanúgy mint a Holdon a 6L hosszúságú lépcs fokokon u sebességgel mozgó). A hosszparaméter tehát a lépcs hosszát nem geometriai, hanem dinamikai szempontból jellemzi, a mozgásra jellemz adatokkal veti össze 3. 2 Mivel x n+ deníció szerint és L közé esik, x n+ /L egész része nulla, s L-lel való osztás után (3) egész részét véve visszakapjuk (2)-t. Ez azt jelenti, hogy N n megkapható úgy is, hogy (3)-ban addig írunk egész számokat N n helyébe, amíg L-nél kisebb, de pozitív megoldást nem találunk x n+ -re. 3 Szellemében hasonló az áramlások Reynolds-számához, vagy méginkább Froude-féle számához. 3
Hosszú lépcs fokokról a továbbiakban akkor beszélünk, ha H a hosszparaméter elegend en nagy, pontosabban (lásd. feladat), ha H > 2m.. Feladat: Annak érdekében, hogy a hosszparaméter jelentését más oldalról is megvilágítsuk, mutassuk meg, hogy egy lépcs fok végpontjáról vízszintes u> sebességgel indított labda a lépcs fok hosszának 2m x i = -szeresénél ütközik el ször az alatta H lév vel4. Adott m meredekség lépcs n a lépcs fokok akkor tekinthet k hosszúnak, ha ez az arány kisebb egynél, azaz H > 2m. Az épületekben el forduló lépcs fokok kb. kétszer olyan hosszúak mint szélesek, ezért az m = /2 meredekséget fogjuk használni. Az ütközési együtthatót széles tartományban változtatjuk, s a jobb áttekinthet ség kedvéért, a sebességhez képest hosszú lépcs fokokat vizsgálunk a H (2, 8) tartományból 5. Alapesetnek a H = 4 választást vesszük, amikor H/2m = 4, vagyis vízszintesen indulva az els ütközés a lépcs hossz felénél történik. 4. Egyszer periodikus pattogás A nem túl kis ütközési együtthatójú esetekben, azaz ha a labda nem kezd el csúszni valamelyik lépcs fokon (részleteket a csúszásról lásd majd a 8. fejezetben), akkor mindig azt tapasztaljuk, hogy el bb-utóbb egy állandósult mozgást felvéve pattog lefelé. Ezen mozgás alatt teljesül az, hogy az ütközések miatt elvesztett energiát a gravitációs tér éppen kompenzálja, a mozgás függ leges átlagsebessége állandó. Az ütközési veszteség egyfajta disszipáció, aminek következtében a rendszer elfelejti kezd állapotát. A kezd feltételek széles osztályából tehát ugyanaz az állandósult mozgás alakul ki végül, vagyis egy bizonyos mozgásállapot felé vonzódnak a labdák, amit így nevezhetünk attraktornak is. A 2. ábrán bemutatott mozgás körülbelül az ötödik pattanástól kezdve ismétl dik. Itt a legegyszer bb attraktort, a periodikus ugrálás attraktorát ismerhetjük fel. A b) betétábra mutatja, hogy az x n, v n, N n sorozatok maguk is konstans értékhez, xpontokhoz tartanak. Annak érdekében, hogy az érdekl d olvasók interaktív módon is megismerkedhessenek a jelenséggel, a crnl.hu/lepcso honlapon elérhet vé, kipróbálhatóvá és letölthet vé tettünk néhány programot, melyek különböz paraméterekkel és kezd feltételekkel rajzolják ki a labda mozgását a lépcs n 6. A paraméterek megadása után a Lépcs nev program ábrázolja az m meredekség lépcs t, és a rajta elindított pattogó labda pályájának a rajzterületbe es részét. A következ programok az egyes pályákra jellemz x n, v n és N n értékeket mutatják n függvényében, a Fázistér programok pedig az x n, v n és N n koordináták által kifeszített térben (az un. fázistérben) ábrázolják a mozgást (kiválasztható, hogy melyik két koordináta jelenjen meg a síkban). A grakonokon ábrázolt értékek a Táblázat-ban numerikusan is megtekinthet k. A mozgásegyenletb l következik, hogy a sebesség és a lépésszám xpontértékei v = 2m k k, (8) 4 A feladatok részletes megoldásai a crnl.hu/lepcso honlapon megtalálhatók. 5 Az említett H tartomány meghatározásának nem matematikai okai vannak, hanem megítélésünk szerint kb. ezen paraméterek jellemz k a valós lépcs kön lepattogó nem nagy vízszintes sebesség valós labdákra. A szóban forgó paramétertartományon belül kvalitatíve azonos mozgásformákat találtunk. 6 Mindegyik program JavaScriptben íródott (a forráskód is elérhet ), tetsz leges böngész vel futtatható (az adatbevitelnél php részt tartalmaz). 4
a) b),5 2 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2. ábra. Pattogás k =, 6 ütközési együtthatóval (m =, 5, H = 4). a) Az x =, 5, v = 3 kezd feltétellel indított pálya (a folytonos görbe, az alsó lépcs soron a fels r l lelép mozgások folytatódnak) és b) a pattogások adatainak x n, v n, N n sorozata. Mindkett ábrán a szaggatott görbe az attraktor pályája, és a szaggatott vízszintes vonalak az attraktorhoz tartozó xpontértékeket mutatják, melyeket rövid tranziensek után elér a rendszer. Az ezzel az ütközési együtthatóval zajló pattogások kivétel nélkül mind a periodikus egylépcs nyi ugrálás attraktorához tartanak, melyre (8), (9) szerint v =, 5 és N =. Az x függ a kezd feltételt l, esetünkben x =, 964. n x* N * v* N = 2m H + k k. (9) 2. Feladat Mutassuk meg, hogy ezek az eredmények következnek a (5)-(7) egyenletekb l! Természetesen a pontos ismétl dést feltételezzük, vagyis: x n = x n+ = x, v n = v n+ = v, N n = N n+ = N. Külön megfontolást igényel, hogy N deníció szerint csak egész szám lehet. Érdemes ezért úgy eljárni, hogy felvesszük N értékét, mint az N egész számot, és keressük a megfelel ütközési együttható-értékeket. A (9) egyenletb l az következik, hogy csak az alábbi diszkrét k értékek jöhetnek szóba: NH 2m k N = NH 2m +, N =, 2,.... () Ezt az ütközési együtthatók spektrumának nevezhetjük, hiszen periodikus pattogás csak kivételes k értékeknél történhet, hasonlóan ahhoz, hogy a hidrogénatom energiaszintjei is csak diszkrét értékek lehetnek [4, 5]. A H = 4 választással például az egy lépcs t átugró periodikus megoldáshoz k = 3/5 =, 6, a két lépcs t átugróhoz k 2 = 7/9 =, 77 tartozik 7. Érdekes következmény: ahhoz, hogy N = megvalósulhasson, mint xpont, teljesülni kell annak, hogy k >, azaz H > 2m. A legegyszer bb egylépcs nyi periodikus pattogás tehát csak elegend en hosszú lépcs fokok esetén fordulhat el. Rövidebb lépcs hossz esetén ugyanis az egy id után beálló pattogás során az attraktoron a labda mindig átugrik néhány lépcs fokot. 7 Az ütközési paraméterek lehetséges értékei kizárólag az NH/2m aránytól függnek, s a () kifejezésb l látszik, hogy minél hosszabb a lépcs fok, minél nagyobb NH/2m, annál nagyobb k N esetén tud csak megvalósulni az N lépcs nyi periodikus pattogás (lásd még az 5. feladatot). 5
Ugyanakkor nagy H esetén már az egyszeres pattogás is csak nagy ütközési együtthatókkal valósulhat meg. A 3. ábra alapesetünk ütközésiegyüttható-spektrumát mutatja grakusan. N k,9,8,7,6,5 9 _ 2 _ 5 7 _ 3 7_ 9 3_ 5 3. ábra. A periodikus ugrásokhoz tartozó k N spektrum grakus ábrázolása () alapján m =, 5, H = 4 esetén. N növelésével a k N értékek egymást egyre s r bben követve szigorúan monoton növekednek. 3. Feladat A () összefüggés alapján adjuk meg, mekkora H paraméter mellett gyelhetünk meg legalább N lépcs nyi ugrásokat mutató periodikus pattogást. 4. Feladat Mekkora a függ leges sebesség xpontértéke a spektrum N-edik szintjén? 5. Feladat A 3. ábráról látszik, hogy a spektrum nagy N értékekre (a H spektrumához hasonlóan) bes r södik, miközben a k értékek közelítenek -hez. Mutassuk meg, hogy ebben a tartományban jó közelítéssel k N = 4m, N >>. () H N A 2. ábránál a k =, 6 eset kapcsán már említett azon tulajdonság, hogy x nem egyértelm (tehát függ a kezd feltételt l), minden k N értékre igaz. Ennek oka rögtön világossá válik, ha ismét a 2. ábra a) képére tekintünk, s észrevesszük: az attraktor valójában nem más, mint a hosszú id utáni pattogások parabolaívei. Egy adott parabolaívhez pedig meghatározott N és v érték (N és v ) tartozik, ellenben x már különböz lehet 8. 8 A pattogó labda abból ugyanis semmit sem "vesz észre", ha az "attraktoríve" alatt a lépcs t jobbra-balra tologatjuk, hiszen továbbra is ugyanakkora egymás utáni magasságkülönbségekkel rendelkez vízszintes felületeken fog pattogni. A lépcs vel más "kapcsolata" pedig nincs. Persze csak addig tologathatjuk, ameddig az ív és a lépcs geometriája azt megengedi. Könnyen belátható, hogy periodikus attraktoroknál a lépcs fokok bal oldalának egy része geometriai okokból "holt terület" lesz, viszont a fennmaradó rész összes x értéke már lehet x. 6
5. Kettes ciklusok Állandósult mozgásként el fordulhat az is, hogy a pattogás csak minden második ütközés után ismétl dik. Ez azt jelenti hogy az els és a második ütközés között N lépcs t, a következ ütközésig K lépcs t repül át a labda, és azután ez ismétl dik szigorúan (N, K egész számok). A 4. ábra mutat egy ilyen kettes ciklus attraktort, s azt is, hogy az adott kezd feltételb l hogyan jutunk el ehhez. 4. ábra. Pattogás k = k,2 =, 75 ütközési együttható esetén. A kezd feltételek és az egyéb paraméterek ugyanazok, mint a 2. ábrán. Az ezzel az ütközési együtthatóval indított pattogások rövid tranziensek után kivétel nélkül egy olyan periodikus ugrálás attraktorához (szaggatott görbe) tartanak, ahol egy lépcs után kett, majd ismét egy átugrása történik, azaz N = és K = 2. Érdekes, hogy az ilyen kettes ciklusok is csak kivételes, az N és K számok által meghatározott értékeknél következhetnek be. Az ezekhez a számokhoz tartozó k N,K ütközési együttható egyértelm en meghatározható. Közülük a legkisebb a k,2 érték [alapesetünkben (l. 4. ábra): k,2 =, 75], amely a két legegyszer bb periodikus pattogás k és k 2 ütközési együtthatója közé esik. 6. Feladat Vezessük le a k N,K ütközésiegyüttható-spektrumot meghatározó "sajátértékegyenletet". 6. Mozgás tetsz leges k értékekkel Tetsz leges ütközési együttható esetén, vagyis amikor k nem az egyes vagy a kettes ciklusnak megfelel nagyságú, hanem valamilyen köztes érték, akkor hosszútávon mindig kváziperiodikus mozgás jön létre (5. ábra). Az elnevezés abból adódik, hogy a pattogás nem pontosan periodikus, csak ahhoz hasonló. A lényeg megértéséhez induljunk ki a k ütközési együtthatójú mozgásból. Ilyenkor hosszútávon létrejön egy egyszer periodikus mozgás: a labda minden lépcs fokon pattan egyet, méghozzá ugyanazon a helyen, ugyanazon sebességgel. Ha k értékét kissé megnöveljük, akkor a 7
5. ábra. k =, 75 ütközési együtthatóval zajló mozgás pályája a tranziensek lecsengése után (egyéb paraméterek megegyeznek a 2. ábrán bemutatottal). (Az els 5 pattanás kivárását követ en 5 pattanás ideéig rajzoltuk ki az pályaíveket.) A pályaívek a 3. lépcs elhagyása után a nulladik fölött ugyanabban a magasságban lépnek be a képbe újra és újra. Bármely kezd feltételb l is indítjuk a mozgást, az ábrán látható kváziperiodikus mozgás, attraktor, jön létre hosszú távon. Az ütközési együttható esetünkben k,2 < k < k 2, tehát az N =, K = 2 kettes ciklus és az N = 2 egyes ciklus közé esik. Ennek megfelel en a hosszú távú kváziperiodikus mozgásban egy, illetve két lépcs fokot ugrik át egyszerre, méghozzá úgy, hogy átlagosan az utóbbi ugrásból van több. A numerikus vizsgálat szerint az átugrott lépcs k számának hosszú id re vett átlaga N =, 747. Az attraktorra jellemz v n sebesség-id sor a következ ábra betétjében látható. kisebb energiaveszteség miatt a labda nagyobbakat fog ugrani, s az N = pattogások közé vegyülni fog némi N = 2 is. Ha tovább növeljük k értékét, akkor az N = 2 ugrások száma N = -hez képest egészen addig fog monoton módon n ni, míg végül csak N = 2 marad. Ezzel éppen k 2 -höz érkezünk el. Van egy köztes állapot (de nem k és k 2 számtani közepe!), ahol N = és N = 2 darabszáma megegyezik, ráadásul felváltva követik egymást. Az ehhez tartozó ütközési együttható éppen k,2 -nek felel meg. A fentebb említettek, illetve numerikus vizsgálatok alapján az alábbi megállapítások tehet k. A kettes ciklusos attraktorok közül csak a K = N + típusúak valósulnak meg, azaz nem lehet a kettes ciklus hosszabb íve kett vagy több egységgel hosszabb, mint a rövidebb. Hármas vagy hosszabb ciklusokat a nagy ütközési együtthatók k k tartományában egyáltalán nem találunk. Minden k N < k < k N+ ütközési együttható esetén (ahol N ) olyan kváziperiodikus mozgás jön létre, amelynek alapperiódusai N és N + ugrásokból állnak. k növelésével n az N + hosszúságú ugrások száma N-éhez képest. Az egész folyamat jól jellemezhet az attraktoron tapasztalható N számmal, mely megadja, hogy két ütközés között átlagosan hány lépcs t ugrott át a labda. Ezt röviden átlagos ugrásszámnak nevezzük, s numerikusan határozzuk meg. A 6. ábra N(k) sima, monoton növekedését mutatja a k ütközési paraméter függvényében. Vegyük észre, hogy az N hosszúságú egyes ciklusok ütközési együtthatóinál N egyben az átlagos ugrásszám, N(kN ) = N. N, azaz -hez közeli k N ütközési együtthatók esetén az értékek bes r södnek, s () megfordítása szerint N = 4m/H /( k), tehát igen nagy ütközési együtthatók esetén az átlagos ugrásszám ( k) -el arányosan n. 8
_ N 2 5 3,2 v n 3 2,8 5 5 2 n 5,6,65,7,75,8,85,9,95 k 6. ábra. Az attraktorra jellemz átlagos N ugrásszám k függvényében, numerikus szimulálás alapján a nagy ütközési együttható (k k ) tartományban (m =, 5, H = 4). Jól látható, hogy k növekedésével N monoton n. Az N hosszúságú egyes ciklusokhoz tartozó k N, N értékpárokat diszkrét pontokkal jelöltük. A szaggatott vonal a nagy k-kra érvényes N = (2( k)) közelít összefüggést illusztrálja (mely meglep en jó közelítésnek bizonyul az egész tartományban). Az N, N + kettes ciklusokban természetesen N(k N,N+) = (N + (N + ))/2 = N + /2, s ezek is a görbére es pontokat adnak, de a jobb áttekinthet ség kedvéért ezeket nem ábrázoltuk. A betét az 5. ábra, k =, 75, attraktorához tartozó v n sebesség-id sort mutatja. Jól látszik, hogy a mozgás négy lépésenként majdnem ismétl dik, de a pontos ismétl dést az id nként bekövetkez "kitüremkedések" megakadályozzák. 7. Többszörös pattogások egyetlen lépcs n A kis ütközési együtthatók tartományában, k < k -re új mozgásformák jelenhetnek meg. A kettes ciklusok keresése során nem engedtük meg, hogy N n zérus lehessen. Kis ütközési együtthatóknál ennek viszont már lehet értelme, s azt jelenti, hogy egyetlen lépcs fokon kétszer is pattan a labda. Az az eset, amikor a kettes ciklus úgy valósul meg, hogy a labda átugrik a következ lépcs fokra, azon pattan még egyet, s a mozgás innét ismétl dik (7. ábra), annál az ütközési együtthatónál tapasztalható, melyet az N =, K = vagy N =, K = indexek jellemeznek. Ez a k, = k, ütközési együttható alapesetünkben k, =, 45-nek bizonyul, jóval k alatti érték. Mivel itt két lépés után kerül a labda egy lécs fokkal odébb, az átlagos ugrásszám /2: N(k, ) =, 5. 7. Feladat. Vezessük le a k,-t meghatározó egyenletet tetsz leges paraméterek esetén. Ennél kisebb ütközési együtthatókra az is megtörténhet, hogy egyetlen lépcs n háromszor vagy többször pattan a labda, majd utána ugrik le a szomszédos lépcs re, ahol mindez ismétl dik. Ha j pattanás történik egy lépcs n (ahol j tetsz leges természetes szám), s a labda utána lép át a szomszédosra, akkor a mozgás j + ütközés után ismétl d j +-es ciklus. Az átlagos lépésszám itt /(j + ). Az ehhez tartozó (növekv j-vel egyre csökken érték ) ütközési együtthatók a fentiekhez hasonlóan meghatározhatók (l.. Feladat). 9
7. ábra. Kétszeres pattogás egyetlen lejt n. A k, =, 45 ütközési együtthatóval történ mozgás pályája a tranziensek lecsengése után (egyéb paraméterek megegyeznek a 2. ábrán bemutatottal). Tetsz leges kezd feltétellel indított pattogások egy olyan periodikus attraktorhoz, kettes ciklushoz tartanak, ahol átugrás el tt minden lépcs fokon kett t pattan a labda. 8. A csúszásba történ átmenet Elegend en kis ütközési együttható, azaz nagy pattogási energiaveszteség esetén el fordulhat, hogy a labdát egyetlen lépcs fokon belüli végtelen sok pattanás után is még ugyanazon a lépcs fokon találjuk. Végtelen sok ütközés után a labda már nem emelkedik a lépcs síkja fölé, s mivel a vízszintes irányú sebessége állandó, ezért az ilyen mozgást a valós id ben csúszás-ként értelmezzük. Ennek kapcsán észre kell vennünk, hogy a pattogásokra alapuló (5)-(7) mozgásegyenletek kiegészítésre szorulnak a valódi id ben történ csúszással 9. A részletek függnek attól, hogy mit tudunk a felület érdességér l. Ezt azonban nem szükséges konkretizálnunk, hiszen akár van súrlódás, akár nincs, a csúszás újfajta mozgás, egy sajátos attraktor, amelyb l lépcs ket átível ugrások már sohasem alakulhatnak ki. Ha egyetlen lépcs n végtelen sok ugrás történhet, akkor az iterálás szimulálásával leállhatunk, mondván, hogy a labda a csúszási attraktorra érkezett. Ha egy adott lépcs fokra érkezés utáni elpattanás függ leges sebessége v i, akkor a teljes elmozdulás a lépcs n történ végtelen sok pattogás után x = 2v i H k. (2) 8. Feladat Vezessük le a (2) összefüggést. Útmutatás: használjuk a mértani sor összegképletét, érdemes dimenziósan számolni, és az utolsó lépésben áttérni dimenziótlan mennyiségekre. Amennyiben a labda az x i helyen érkezik meg az el z lépcs fokról az általunk meggyelt lépcs fokra, akkor annak a feltétele, hogy csúszás alakuljon ki, az, hogy végtelen sok pattanás után is még a lépcs fok egységnyi koordinátájú végpontja el tt legyen, vagyis x i + x <. A (2) összefüggést behelyettesítve és átrendezve v i < H 2 ( k)( x i). (3) 9 Ha a (5)-(7) leképezési egyenletekkel haladunk el re, akkor a labda végtelen sok pattanás után megállni látszik. A valós és az n-ben mért iterációs id ilyenkor teljesen szétválik, az el bbi az utóbbiban gyakorlatilag megáll.
Az, hogy ez az egyenl tlenség teljesül-e egy adott k értékre, azon múlik, hogy hova esik be a labda az adott lépcs fokon, azaz mekkora az x i indulási koordináta, és mekkora ott az elpattanás v i indulási sebessége. Szimulálásunkban akkor mondjuk azt, hogy egy mozgás elérte a csúszási attraktort, ha valamelyik lépcs fokra érkezve az ottani x i és v i között fennáll a (3) egyenl tlenség. 8. ábra. A kritikus k c értékhez tartozó attraktor: a lépcs legvégér l v = -val elpattanó labda végtelen pattogás után éppenhogy kijut a következ lépcs fok végére, ahonnan ismét v = -val pattan tovább. Itt k c = /3 (H = 4, m =, 5). (Mivel minden kis egymást követ pályaív k-szor rövidebb és k 2 -szer alacsonyabb, azaz egyre laposabb, mint a megel z, ezért a lépcs fok végén már csak egy vízszintes vonalat látunk.) Az a kritikus k c ütközési paraméterérték, amelynél már bármely kezd feltételb l induló mozgás, némi tranziens után, átmegy csúszásba, a numerikus tapasztalat szerint a következ kb l határozható meg. Mivel a vízszintes sebességkomponens minden ütközésben megmarad, az el z lépcs fok végén egységnyi (dimenziótlan) vízszintes sebességgel haladó labda ferde hajítási íve olyan x i helyen érjen a következ lépcs re, hogy azzal és a hozzá tartozó v i ütközés utáni függ leges sebességgel végtelen sok pattogás után éppen a lépcs szélére kerüljön (8. ábra), vagyis (3) egyenl ségként teljesüljön. Így azt kapjuk, hogy 2m + k c =. (4) H k c 9. Feladat Vezessük le a (4) összefüggést. Útmutatás: Most is érdemes dimenziósan számolni, és az utolsó lépésben áttérni a dimenziótlan mennyiségekre. A (4) egyenletet átrendezve, az explicit eredmény H 2m k c =. (5) H 2m + Ha az adott lépcs fokra érkez labda pattanásakor a csúszási feltétel (3) egyenl tlensége teljesül, akkor szintén teljesül a léps fokon végbemen további (végtelen számú) pattanások mindegyikén is.
A H = 4 választással k c = /3 =, 33. Ennél kisebb ütközési együtthatókra ugyancsak igaz, hogy bármilyen kezd feltétel esetén csúszó mozgás alakul ki, a hosszú távú pattogó megoldások teljesen elt nnek. 9. Mozgás kis k értékekkel Az egyes periódusú attraktorhoz tartozó k érték alatt lefelé haladva továbbra is igaz, hogy egyetlen attraktor létezik, vagyis akármilyen kezdeti feltétellel indulunk, egy id után minden mozgás egyforma jelleg vé válik. Az attraktor rendszerint kváziperiodikus, s a numerikusan meghatározott átlagos N ugrásszám csökken a k csökkentésével (l. 9. ábra). Létezik egy k érték, amely alatt ez a tulajdonság megsz nik abban az értelemben, hogy a hosszantartó pattogás mellett megjelenik a csúszás lehet sége: a pattogás kváziperiodikus attaktora és a csúszás együtt létezik. Ez az érték alapesetünkben numerikusan k =, 382. Abban az esetben, ha nem létezik folyamatosan lépcs fokról-lépcs fokra pattanó mozgás (mert mindegyik kezd feltételnél hosszú távon el bb-utóbb csúszás történik), akkor N függvényértéket nullának vesszük, hiszen ez a függvény azt adja meg, hogy hány lépcs nyi az elmozdulás két ütközés között, de ebben az esetben az elmozdulás még végtelen sok ütközés után sincs egy lépcs nyi sem. Együttlétez attraktorok, tehát k < k esetén felmerül, hogy milyen a vonzási tartományuk. Ez úgy határozható meg, hogy a kezd feltételek x, v síkján más színnel jelöljük azokat a pontokat, melyek az egyik vagy másik attraktorhoz tartanak. A 9. ábra "csíkos" betétábrája a pattogó mozgás és a csúszás vonzási tartományát mutatja alapesetünk k =, 35 értékénél fehér illetve fekete színnel ábrázolva. A szürke háromszög a (3) egyenl tlenségnek megfelel tartomány, az ilyen kezd feltétellel induló mozgások rögtön csúszási mozgások.. Feladat Becsüljük meg k értékét azon az alapon, hogy k alatt nemcsak a kezd feltételek, hanem a pattogási attraktor tipikus értékei mellett is fennállhat a (3) egyenl tlenség, vagyis a mozgás beléphet a szürke háromszögbe. Útmutatás: használjuk ki, hogy a tapasztalat szerint a (8) kifejezés minden pattogó mozgásra jó közelítést ad az attraktor átlagos v sebességére, tehát vehet v i-nek, és hogy az x i helykoordináta tipikus értéke /2-nek tekinthet. A k -nál kisebb ütközési paraméterek esetén a nullától különböz N értékeket a pattogó mozgások attraktorára határoztuk meg. Az átlagos ugrásszáma változó, de összességében elmondható, hogy tendenciájában csökken k csökkenésével. Meglep módon azonban még jóval k c elérése el tt, rövid intervallumokban teljesen elt nnek a hosszú távon pattogó mozgások lehet ségei, vagyis a pattogó mozgás attraktora ilyenkor nem létezik. Egy ilyen intervallumon belül azonban, ha tovább csökkentjük k-t, akkor az intervallum végéhez érve, hirtelen újra megjelenik a pattogó mozgás, méghozzá N egy lokális csúcsával. Ezek az N értékek egész számok reciprokai, s az állandósult mozgás ezekben a kivételes pontokban periodikus: egy N = -es lépés után j alkalommal pattan a labda ugyanazon a lépcs n, vagyis N = valósul meg j-szer egymás után. Az ennek megfelel ütközési paramétert k j-vel jelöljük. Ilyenkor az átlagos ugrásszám természetesen N(k j ) = /(j + ). A legnagyobb ilyen intervallum k 2 =, 3527 és k =, 3555 Fontos megjegyezni, hogy a 6. ábrán numerikusan mért N ugrásszámnál, mivel egy k értékhez egy attraktor (egyfajta hosszútávú mozgás) tartozott, tetsz leges kezd feltétel mellett mérhettünk. Esetünkben azonban már meg kell válogatni a kezd feltételt, méghozzá úgy, hogy továbbra is pattogó mozgáson mérjünk átlagot (azon belül persze már mindegy melyiken, mert csak egyféle van egy adott k mellett most is). 2
között létezik, s a többi hasonló egyre kisebb hosszal ismétl dik k c -felé haladva. A 9. ábrán ez a halmozódás is meggyelhet. _ N,8,8 v n,6,4,2 v n,6 5 5 2,8 v n,6 n x n k c k' 2 k-,4.2,,4,2 5 5 2 n,,2,3,4,5,6 9. ábra. Az attraktorra jellemz átlagos N ugrásszám k függvényében, numerikus szimulálás alapján a kis ütközési együttható (k k ) tartományban (m = /2, H = 4). A vízszintes szaggatott vonalak az N = /2, /3,... / értékeknek felelnek meg, a fekete pontok pedig a k j ütközési együtthatóhoz tartozó j + periódusú attraktor adatait jelölik. Függ leges szaggatott vonallal a k helyét is bejelöltük. A pontozott görbe az N(k) függvény k c környékén érvényes alakját adja meg. A két egymás alatt lév betét a kváziperiodikus attraktor v n id sorát mutatja a k =, 35 (mely kissé balra esik a k 2 =, 353 ponttól) és a k =, 337 ütközési együtthatóknál. El bbi mellett a hozzá tartozó pattogási és a csúszási attraktorok vonzási tartományai láthatóak. A betétekhez tartozó N =, 298 és N =, 94 értékeket nyíllal jelöltük.. Feladat Határozzuk meg a k j ütközési együttható értékeket azt felhasználva, hogy a periodikus mozgás N n id sora ilyenkor választható úgy, hogy N = N = = N j =, N j+ =, majd ez ismétl dik. Útmutatás: használjuk az (5)-(7) rekurziókat, melyek N n = -ra különösen egyszer ek. 2. Feladat Határozzuk meg a N(k) függvény k c környékén érvényes alakját a k j értékek k c körüli, azaz nagy j-kre történ halmozódása alapján. A k < k c tartományban csakis a csúszási attraktor létezik. Alulról k c -hez érve azonban "hirtelen" jelennek meg a lepattanó mozgások, méghozzá úgy, hogy az N(k) görbe, illetve a közelít görbe, nagyon meredeken indul. A pattogó mozgás el bukkanása k c -nél tehát a fázisátalakulásokra emlékeztet átbillenéssel jelenik meg, amit a dinamika rendszerek nyelvén bifurkációnak nevezünk. k 3
. Összefoglalás Vizsgálatunk célja, hogy megtudjuk, a lépcs n pattogó labda pattogása, ill. annak legegyszer bb modellje szerinti mozgása kaotikus-e. Összetett viselkedésre érdekes módon a kis k, vagyis a nagy disszipációs veszteség tartományában bukkantunk. A (5)-(7) dinamika nyilván nemlineáris, erre utal a k c -nél meggyelt bifurkáció is, meg az együtt létez attraktorok megjelenése. A vonzási határok azonban szemmel láthatóan simák (l. 9. ábra betétje), a káoszra fraktálszerkezet lenne jellemz. Maga az N(k) függvény k < k -re néhol nem sima, és ugrásokat is mutat. Megvizsgáltuk azonban azt is, hogy a közeli kezd feltételekb l induló és hosszan pattogó mozgást végz mozgáspárok valamelyik koordináta-különbsége hogyan változik id ben. A káoszra jellemz gyors széttartás helyett mindenütt közeledést találtunk. Így levonhatjuk azt a következtetést, hogy ebben a modellben a mozgás nem kaotikus. Ugyanakkor a jelenség összetettségére utal, hogy számos mennyiségre nem találtunk (elemi módszerekkel) képlettel leírható összefüggéseket, így például az N átlagos ugrásszám függvényre, melyet csak numerikusan lehetett meghatározni. Ez az összetettség tulajdonképpen el revetíti, hogy a mozgás már kis módosítás esetén is kaotikussá válhat. Ha a lépcs k éles sarka helyett lekerekített átmeneteket vennénk, a körívek jelenléte a problémát szóró billiárddá tenné, s abban eléggé nagy görbületi sugarak esetén már kiterjedt, robosztus káoszt várhatunk. Köszönjük Károlyi Györgynek a kézirattal kapcsolatos hasznos érszrevételeit, Páll Csabának pedig a honlapon található programok megírásában nyújtott segítségét. A munka az NK296 OTKA pályázat támogatásával készült. Hivatkozások [] A. Jaros, A. Nussbaumer, H. Kunze, Basiswissen Physik-compact, Öbvhpt, Wien, 999. [2] Tél T., Gruiz M., Kaotikus Dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 22 [3] Budó Á., Kísérleti zika I, Tankönyvkiadó, Budapest, 989 [4] Nagy K., Kvantummechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 978 [5] Néda Z., Libál A., Kovács K., Elemi Kvantummechanika, Kolozsvári Egyetemi Nyomda, 26 4