Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám István
A vektor és mátrix fogalma A vektor és mátrix tulajdonképpen a számfogalom általánosítása. A számokkal a tárgyak, jelenségek mennyiségi vonatkozásait jellemezzük. Sok esetben ez a jellemzés egy számmal nem valósítható meg. Például: Ha a szabó méreteket vesz egy ruha készítéséhez, akkor egész számsort ír fel. Vagy: Ha egy egyszerű termelési folyamatot tekintünk, amikor erőforrás felhasználásával négyféle terméket gyártanak, akkor a gyártást jellemezheti az, hogy egy egységnyi termékbe az erőforrásokból menynyi épül be. Ezt számtáblázat alakjában vehetjük fel. Például: A B C I II III IV Ha a sorok és oszlopok élén mindig erőforrások és termékek állnak, akkor hasonló esetben elegendő megadni a számtáblázatot (mátrixot): A =
Mátrix: m sorban és n oszlopban elrendezett számtáblázat. (m és n pozitív egész.) Jelölés: a mátrixokat általában az ábécé nagybetűivel jelöljük, amelyeket aláhúzunk és a számtáblázatot szögletes zárójelek közé tesszük. Általánosan: a mátrix elemeit a ij -vel jelöljük, ahol az i, az első index, mindig a sor számát jelenti a mátrixban, így az értékei -től m-ig lehetnek a pozitív egész számok, a j pedig az oszlop számát jelöli ( j n). Tehát: a a... an Az így megadott mátrixot m-szer n típusúnak a a... a n nevezzük. Az m és n a mátrix jelzőszámai....... A = A mátrix megadható rövidítve is:...... A=[a ij ], ahol i m és j n....... a m am... a Példa: a -es mátrixnak sora és oszlopa van. m,n A vektor olyan mátrix, amelynek egyik jelzőszáma, a másik -nél nagyobb. Jelölés: a vektorokat aláhúzott kisbetűkkel jelöljük. Például egy -es sorvektor: a*=[ -, ¾] A sorvektorhoz megkülönböztető jelként csillagot (*) írunk. Például egy -es oszlopvektor: b= Az oszlopvektort csillag (*) nélkül jelöljük. 7
A mátrix transzponáltja Gyakran előfordul, hogy egy számtáblázat oszlopait és sorait felcseréljük. Mátrixoknál ezt az eljárást transzponálásnak nevezzük. Jelölés: az A mátrix transzponáltja A*. Példa: Ha A =, akkor A*= Megjegyzés:.) A vektorok megadásánál az oszlopvektort tekintjük elsődlegesnek, a sorvektor annak transzponáltja, innen a csillag a jelölésnél. Így az oszlopvektort is írhatjuk vízszintesen, ha a jobboldal transzponáltját vesszük. vektor írható b=[ 7]* alakban is. 7 Példa: A b =.) Bármely mátrixot tekinthetünk oszlopvektorokból, illetve sorvektorokból állónak (particionálás). Például a fenti A mátrix felírható olyan oszlopvektorként, amely az a *=[ ] a *=[ ] a *=[ ] sorvektorokból áll.
Speciális mátrixok I. Említettük, hogy a vektor olyan mátrix, amelynek egyik jelzőszáma. Az oszlopvektor m típusú (m>), a sorvektor n típusú (n>). (m, n N + ) Ha mindkét jelzőszám, akkor a mátrixot egyetlen szám alkotja. Ilyenkor a mátrixot jelölő szögletes zárójel elhagyható és a (valós) számot skalárnak nevezzük. A skalárokat a görög ábécé kisbetűivel jelöljük: α,,λ,µ, Speciális vektorok:.) a nullvektor minden eleme : =[ ]* A speciális vektorok egyaránt lehetnek oszlopvagy sorvektorok..) az egységvektor egy eleme, a többi : e =[ ]*, e =[ ]*,.) az összegzővektor minden eleme : =[ ]* II. Négyzetes (kvadratikus) az a mátrix, amelynek jelzőszámai egyenlők. Példa: Az M mátrix -es, a mátrix rendje. M = 7, π 8 A mátrixban az elemek tetszőleges valós számok lehetnek.
Elnevezések: a négyzetes mátrix főátlóját a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig húzott átlóban lévő számok alkotják. Például az M főátlóját a számok jelentik. Mellékátló: a főátlóra merőleges átló. Például az M mellékátlóját a π, számok alkotják. Diagonális az a négyzetes mátrix, amelyben a főátlón kívüli elemek nullák. Példa: A D mátrix diagonális (a D diagonál mátrix): D = Jelölés: D=< >. A diagonál mátrix megadása a főátlóval történik. Speciálisan: egységmátrix az olyan diagonál mátrix, amelyben a főátlóban csupa egyes áll. Megjegyzés: az egységmátrix sorait is és oszlopait is egységvektorok alkotják. Példa: Az E (harmadrendű) egységmátrix: E = A nullmátrix csupa nullából áll. Megjegyzés: a nem négyzetes mátrix is lehet nullmátrix, ha minden eleme. Ilyenkor meg kell adni a jelzőszámokat.
A négyzetes mátrixok között még két esetet említünk:.) Trianguláris (háromszög) mátrix az, amelyiknél a főátló alatt, vagy a a főátló felett minden elem. Példa: A T f mátrix felső trianguláris, a T a pedig alsó trianguláris: T f =, π 8 T a = Az egységmátrixok vagy a négyzetes nullmátrixok egyszerre alsó és felső triangulárisak.) Szimmetrikus az a mátrix, amelyiknél az elemek a főátlóra tükrözöttek, azaz: a ij =a ji minden i-re és j-re. Példa: Az S mátrix szimmetrikus: S = 7 Ferdén szimmetrikus 7 az a mátrix, amelynél a ij = -a ji (minden i-re és j-re). További speciális mátrixokkal találkozhatunk a későbbi tanulmányaink során. S f = 7 7 7
Relációk és műveletek mátrixokkal Két, vagy több mátrix között aritmetikai relációt (kapcsolatot, viszonyt) csak akkor állapíthatunk meg, ha a mátrixok azonos típusúak. Ha a mátrixok nem azonos típusúak, akkor összehasonlíthatatlanok. Két azonos típusú mátrix között az =, a, a <, a >, vagy a reláció közül valamelyik akkor és csak akkor áll fenn, ha a mátrixok minden megfelelő eleme között fennáll a reláció. Példa: Állapítsunk meg relációkat a következő mátrixok között: A = B = 7 C = Megoldás: Mindhárom mátrix különböző típusú, tehát közöttük arimetikai reláció nem adható meg. Igaz viszont: B, valamint látható, hogy A és C egymás transzponáltjai, tehát: A=C*, illetve A*=C. Elmondhatjuk: az azonos jelzőszámú mátrixok között is viszonylag ritkán lehet relációt tapasztalni. 8
Műveletek mátrixok között Mátrixok közötti műveleten mátrixok elemeinek egymáshoz rendelését értjük. Összeadás Két azonos típusú mátrixot úgy adunk össze, hogy a megfelelő elemeiket összeadjuk. Példa: Ha az A és B mátrixok adottak, akkor az összegük: A = B = akkor A+B = A mátrixok között értelmezett összeadás a vektorokra is vonatkozik. Vigyázat! Oszlopvektort sorvektorral nem lehet összeadni, hiszen a jelzőszámaik mások! Skalárral való szorzás Tetszőleges mátrixot egy valós számmal (skalárral) mindig meg lehet szorozni. Ha adott az A=[a i j ] mátrix és a λ valós szám, akkor a mátrix λ-szorosán azt a mátrixot értjük, amelynek minden eleme az eredeti mátrix elemeinek λ-szorosa. Tehát: λ A=[λa i j ]. Példa: A fenti A mátrix λ= esetén: A = 7
A kivonást külön nem kell értelmezni, hiszen az visszavezethető λ= -gyel történő szorzásra és összeadásra: A B=A+( )B. Az összeadás és a skalárral váló szorzás tulajdonságai Kommutatív tulajdonság: A+B=B+A, illetve: λa=a λ λ. Asszociatívitás: A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C, illetve: (λµ λµ)a=λ(µa)= λµa. Disztributív tulajdonság: λ(a+b)=λa+λb, illetve: (λ+µ)a=λa+µa. A transzponálás művelettartó az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve: (A+B)*=A*+B*, illetve: (λa)*=λa*. Mátrixok szorzása A mátrixok egymással való szorzása eltér a valós számok körében végzett szorzástól. A mátrix szorzást vektorok szorzására vezetjük vissza. Két vektor skalárszorzata Adott egy n elemű a* sorvektor és egy ugyancsak n elemű b oszlopvektor. A két vektor skalárszorzata a megfelelő elemek szorzatának összege. Példa: Legyen a*=[ ] és b= [ 8 ]* (a b oszlopvektor!). A skaláris szorzatuk: a* b= +( ) ( )+ + 8=.
Általánosan: Az n elemű a* sorvektor és b oszlopvektor skaláris szorzata: b b n a* b=[ a a a n ]. =a b +a b + +a n b n = a b i i i=.. Fontos a sorrend! Az mindig sorvektor szorozva b n oszlopvektorral! Az első tényező mindig a sorvektor! A skaláris szorzás eljárását ( szorozd össze a megfelelő elemeket és a szorzatokat add össze ) komponálásnak is nevezzük. A skaláris szorzat kommutatív: a* b = n i= n a b i i = i= b i a i =b* a. Speciálisan: Ha a skalárszorzatban az egyik vektor minden eleme, akkor a komponálás eredménye a másik vektor elemeinek összege. Példa: Legyen a*=[ ] és b=[ ]*, akkor: a* b= +( ) + + =7. Ha egy vektor minden eleme egy, akkor a skalárszorzás miatt nevezzük a vektort összegző vektornak.
Mátrixszorzás vektorokra bontással (partícionálással) Összeszorozhatunk két mátrixot a skaláris szorzat definíciója alapján, ha az első tényezőt sorvektorokra, a másodikat pedig oszlopvektorokra bontjuk. Szükséges, hogy a két típusú vektorok elemszámai azonosak legyenek. Példa: Adott az A és B mátrix, vegyük fel A-t sorvektorokra, B-t oszlopvektorokra particionálva: [ ] A = [ ] = és B = = Az A B szorzatmátrix első sorának első elemét megkapjuk, ha az A első sorvektorát komponáljuk a B első oszlopvektorával: [ ] [ ]*=++=7. Az A B szorzatmátrix első sorának második elemét megkapjuk, ha az A első sorvektorát komponáljuk a B második oszlopvektorával: [ ] [ ]*= 8. Hasonló komponálással a szorzatmátrix második sorának első eleme:, a második sor második eleme pedig. Tehát: 7 8 Tehát sorokat oszlopokkal A B = = komponálunk.
A mátrixszorzás általánosan Ha az A mátrix m p típusú és a B mátrix p n típusú, akkor a szorzatukon azt az m n típusú C mátrixot értjük, amelynek bármely c ij eleme az A mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának skaláris szorzata. Jelöléssel: * a * a... * am A B = [ b b... b ] n * a b * a b =... * am b Fontos: A szorozhatóság feltétele, hogy az első tényező oszlopainak száma megegyezzen a második tényező sorainak számával. Ha ez teljesül, akkor a két mátrixot konformábilisnek nevezzük. Konkrétan: Az A és B akkor szorozható, ha a középső jelzőszámok megegyeznek és ilyenkor az eredmény jelzőszámait a két szélső jelzőszám adja. Példa: Ha az A mátrix -es, akkor ez mátrix jobbról csak n típusúval, balról pedig n típusúval szorozható. (n N + ) Ha például az első tényező -es, akkor azt egy -sel szorozva egy -es mátrixot kapunk: 7 a * b..................... = a a a * * * m b b... 8 n n b n
A szorzást sorvektor komponálva oszlopvektorral módon végeztük. Áttekinthetőbbé tehetjük a szorzást, ha az ú.n. Falk sémát alkalmazzuk, amely a szorzás következő elrendezését jelenti: Húztunk két egymásra merőleges szakaszt, a bal alsó negyedbe kerül az A mátrix, a jobb felsőbe a B, és az eredmény, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix sorait komponáljuk a B megfelelő oszlopaival, a jobb alsó negyedbe kerül. A szögletes zárójelek kiírása ekkor nem szükséges. Példa: Legyen a B -as, a B A szorzást végezzük el Falk módszerrel: A 7 B 8 A 7 A sorok és oszlopok komponálásával kapjuk a szorzatmátrix elemeit. B i 8 8
A mátrixszorzás tulajdonságai.) A mátrixszorzás nem kommutatív! Tehát általában: A B B A. Példa: Adott az A = és a B = Képezzük az A B és a B A szorzatokat! Egyszerűen belátható (például a Falk sémát alkalmazva), hogy A B=. A B A szorzat eredménye egészen más: B A = 7 7 7 Végezzük el gyakorlásul ezeket a szorzásokat!.) A mátrixszorzás asszociatív, ha a szorzásnál a konformábilitás fennáll: A (B C)=(A B) C=A B C. Az asszociatívitás skalárszorzóra is fennáll: λ(a B)=(λA)B..) A mátrixszorzás disztributív, ha a konformábilitás fennáll: A (B+C)=A B+A C, illetve: (A+B) C= A C+B C. A szorzat transzponáltjára vonatkozó szabály: (A B)*=B* A*.
Speciális mátrixműveletek Sokszor szükségünk van arra, hogy egy táblázatból kiemeljünk egy sort, vagy oszlopot, összeadjuk az elemeket, vagy valamilyen más adatbányászást hajtsunk végre. Ilyenkor mátrixaritmetikai műveleteket, módszereket alkalmazhatunk.. Egy oszlop kiemelése a mátrixból Az A mátrix j-edik oszlopát kapjuk, ha a mátrixot jobbról szorozzuk a j-edik egységvektorral: a j =A e j. (Az egységvektor ekkor csak oszlopvektor lehet!) Példa: Legyen adott egy -as A mátrix: A = Emeljük ki a. oszlopot! (Az A-t szorozzuk jobbról az e -mal:) =. Egy sor kiemelése a mátrixból Az A mátrix i-edik sorát kapjuk, ha a mátrixot balról szorozzuk az i-edik egységvektorral: b i *=e i * A. Ekkor az egységvektor sorvektor (konformábilitás!). Példa: Az A mátrixból emeljük ki a második sort: [ ] = [ ]
. A mátrix j-edik oszlopában lévő elemek összege A j-edik oszlopot kiemeljük, és a kapott vektor elemeit az összegzővektorral összeadjuk. * (A e j ) Írhatjuk zárójel nélkül is (asszociatívitás):* A e j.. A mátrix i-edik sorában lévő elemek összege Az előzőhöz hasonlóan : sorkiemelés, majd az összegzővektorral összeadatunk : e i * A. Példa: Az A. oszlopa elemeinek összege [ ] = [ ] =. Példa: Az A. sora elemeinek összege: [ ] =.. A mátrix oszlopaiban lévő elemek összege oszloponként Az összegző sorvektorral balról szorozzuk a mátrixot: * A.. A mátrix soraiban lévő elemek összege soronként Az összegző oszlopvektorral jobbról szorozzuk a mátrixot: A. Végezzük el gyakorlásul ezeket a szorzásokat! 7
7. A mátrix összes elemeinek összege Vagy az oszlopelemek összegét összegezzük,vagy a sorelemek összegét összegezzük: (* A) =* (A )=* A. (A zárójeleket ki sem kell írni. Ügyeljünk a konformábilitásra!) Példa: [ ] = [ ] 8. A mátrix minden elemének szorzása egy számmal Ez alapművelet: λ λ A=[λ λ a i j ]. =. A mátrix egy oszlopában lévő elemek szorzása egy számmal Az A mátrixot jobbról szorozzuk a megfelelően módosított egységmátrix-szal. Például ha a. oszlopot akarjuk szorozni λ-val: A < λ >. Példa: Az A. oszlopát szorozzuk meg -mal:. A mátrix egy sorában lévő elemek szorzása egy számmal (Az egységmátrix diagonál mátrix, a főátlóban csupa áll.) Az A -t balról szorozzuk a módosított egységmátrix-szal: < λ > A. = 8
A diadikus szorzat. Mátrixok hatványozása A diadikus szorzat két vektor szorzata, oszlopvektor sorvektor sorrendben. A mátrixszorzás szabálya szerint két vektor akkor is összeszorozható, ha az első tényező m típusú (azaz oszlopvektor), a második pedig n típusú, hiszen a középső jelzőszámok megegyeznek. Az eredmény m n-es mátrix. Példa: Adott az a=[ - ]* oszlopvektor és a b*=[ ] sorvektor. Képezzük az a b*=a diadikus szorzatot! Használjuk a Falk sémát: a b Megjegyzés: Hasonlóan egyszerűen szorozható össze két diagonális mátrix: Az eredmény egy -as mátrix. < a a a n > < b b b n >=< a b a b a n b n > Az (azonos típusú) diagonál mátrixok szorzata is diagonál mátrix. A szorzatmátrix elemeit megkapjuk, ha a tényezők megfelelő elemeit összeszorozzuk.
Hatványozni (önmagával megszorozni) csak akkor lehet egy mátrixot, ha az négyzetes. Tehát: A =A A, A =A A, és így tovább: A n =A n- A. Megegyezés szerint:a =E. Elnevezés: Az A mátrix nilpotens, ha A, de A n =. A legkisebb olyan kitevő, amelynél a mátrix hatvány lesz, a nilpotencia foka. Példa: Adott az A mátrix: A = ekkor: A = Tehát az A mátrix nilpotens és a nilpotencia foka. Elnevezés: Az A mátrix projektor mátrix, A =A. Példa: Adott az A mátrix: A=, és A = =, ekkor A = =A, tehát az A projektor mátrix. A mátrixok hatványozásához további összefüggések tartoznak, ezekkel nem foglakozunk.
Gyakorlati alkalmazások A társadalmi, gazdasági, természeti folyamatokhoz kapcsolódó adathalmazok (vektorok, mátrixok) áttekintését, értelmezését, a velük való számolást jelentősen egyszerűsíti a mátrixos írásmód, a mátrixaritmetika. Példa: A következő feladatban a kérdésekre mátrixaritmetikai jelölésekkel válaszoljunk! Egy üzem erőforrás (például élőmunka, anyag, energia, gépek) felhasználásával háromféle terméket készít. Az első termék egy egységébe az erőforrásokból rendre,,,, a másodikba,,,, a harmadikba,,, egységnyi épül be. Az erőforrásokból maximálisan felhasználható kapacitások:,, és. Az egyes termékekből, 7, darabot kívánnak gyártani. Az erőforrások egységárai:,,, pénzegység, az egyes termékek eladási árai,, pénzegység. A felhasznált erőforrások költségén kívül a termékekhez egyéb költségek (csomagolás, raktározás, stb.) járulnak, ezek darabonként:,, pénzegység..) Az adott feltételekkel megvalósítható-e a termelés?.) Mennyi maradvány van az egyes erőforrásokból?.) Mennyi a termelés összköltsége?.) Egy darab terméknek mennyi az előállítási költsége?.) Mennyi a fajlagos önköltség darabonként?.) Mekkora az összes ráfordítás? 7.) Mennyi a teljes árbevétel?
Megoldás: az adatainkat elrendezzük. Az erőforrás beépülés táblázatának felvételéhez jelöljük az egyes erőforrásokat A, B, C, D-vel, a termékeket I, II, III-mal: I II III A Ismert tehát a B termelést meghatározó ú.n. A = C technológiai D mátrix: A kapacitás adatokat vektorként vesszük fel: b=[ ]*. A kapacitások egységárai pedig: a=[ ]*. A tervezett gyártási program vektor alakja: p*=[ 7 ]. Az eladási ár vektor: c*=[ ]. A további költségek vektora: t*=[ ]. Az.) kérdésre a válasz mátrixaritmetikai alakja: A p= 8 8 7 = b = A kapacitásvektor komponensei nem kisebbek a számolt értékeknél, így a tervezett termelés lehetséges.
A.) kérdésre a válasz mátrixaritmetikai alakja: b A p=[ 7 ]*. A.) kérdésre: a* (A p)= (az asszociativitás miatt) =a* A p=. U.i.:az egységárakkal rendre szorozzuk a szükséges kapacitás mennyiségeket és a szorzatokat összeadjuk. A.) kérdésre a válasz: skalárisan szorozzuk az a* sorvektorral az A oszlopvektorait, tehát magát az A-t: a* A = [ ] Az.) kérdésre: a* A+t*=[ 7 ]. = [ ]. U.i.:a fajlagos önköltséget akkor kapjuk, ha a további költségeket rendre hozzáadjuk az előállítási költségekhez. A.) kérdésre a válasz: az összes ráfordítás úgy adódik, hogy a fajlagos önköltségeket rendre szorozzuk a darabszámokkal és a szorzatokat összeadjuk: (a* A+t*) p=. Ez a skalárszorzat írható p* (a* A+t*)* alakban is.
A 7.) kérdésre a válasz: a teljes (lehetséges) árbevételt megkapjuk, ha a darabszámokat rendre szorozzuk az eladási egységárakkal és a szorzatokat összeadjuk: c* p=p* c=8. További kérdéseink lehetnek: 8.) Mekkora a fedezeti összeg? A válasz: a fedezeti összeg=árbevétel üzemi ráfordítás, tehát: c* p (a* A+t*) p=7..) Mekkora a termelési program összes erőforrás szükséglete termékenként? A válasz mátrixaritmetikai alakja kicsit bonyolultabb: A < p > A technológiai mátrixot jobbról szorozzuk a p elemeiből álló diagonális mátrix-szal. A < p >= 7 = 8 7 A mátrixaritmetikának további széleskörű alkalmazási lehetőségei vannak. A fejezet tárgyalását befejeztük.