Előszó Sudoku, egyetlen szám A tábla feltérképezése Az egyszerű ű szabály

Előszó Sudoku, egyetlen szám A tábla feltérképezése Az egyszerű ű szabály Mielőtt ő belevágnánk Kilövés (cross-hatching, scanning) Kényszerítés (squeezing) Kizárás (full house, naked single, isolated value) A kimenetekről ő (candidates, outs) A körbelövés (naked single, isolated value) Sávfoglalás (cross-checking, block-column/row interaction, block line, locked candidates, pointing pair, -triplet, intersection removal) Inverz sávfoglalás (cross-checking, block-block interaction, double block line, locked candidates, intersection removal, box line reduction) A tiszta ugráló -, vagy fix párok, -hármasok, -négyesek (naked-, isolated-, locked pair/triplet/quad, unique subset, disjoint subset) A rejtett ugráló -, vagy fix együttesek (hidden subset) 1

Előszó Aki ezt a kiadványt a kezében tartja, az jó esetben már ismeri a sudoku nem épp túlkomplikált szabályait (később még persze szánunk erre is pár mondatot), és már meg is oldott egy jó ötven táblát. Majd eközben talált olyan feladványokat, melyeket a primőr technikákkal bizony nem tudott megoldani, és mint ilyen, mögöttes összefüggéseket sejtett meg a rá meredő számok szövetében, de nem mert biztosat állítani. A jelen írás éppen innen veszi fel a fonalat, azaz áttekinteni készüljük a kézi szűrési technikák meglepően széles armadáját, természetesen az alapoktól indulva a haladó technikákon át az igazán embert próbáló módszerekig. Az idők folyamán a sudoku technikák változatos ismertetéseivel volt szerencsém találkozni, melyek legtöbbje maradéktalanul leírta az egyes metodikák elméleti alapjait ugyan, de a legtöbb esetben a gyakorlattal való egyeztetés mondjuk úgy - nem volt akadálymentes. Éppen ezért a leírásokban próbáltam törekedni arra, hogy minél világosabban, minél használhatóbban járjak körül egy-egy módszert (még ha egy ismertető talán fölöslegesen hosszúnak is tűnik). A technikák tárgyalásának sorrendjét igyekeztem egy ahhoz hasonló rendben tálalni, amilyen sorrendben én is találkoztam velük, ahogy egyre mélyebbre ástam magam a sudoku rejtelmeibe. Mindezt előzze meg egy érintőleges történeti áttekintés, a teljesség igénye nélkül. Sudoku, egyetlen szám Bár legtöbben nem erre számítanánk, a sudoku nem japán, vagy kínai találmány. A mai formája Howard Garns (1905-1989), egy nyugdíjas amerikai építész találmánya 1979-ből. A játék a Dell névre hallgató rejtvénymagazin (http://dellmagazines.com) publikálásában látott először napvilágot Number Place néven. Japánban 1984-ben vált népszerűvé, mikor a Nikoli rejtvénymagazin (http://nikoli.co.jp) gondozásában, a Suuji wa dokushin ni kagiru névvel a világhírnév felé vette az irányt. Az elnevezés annyit tesz: a szám csak egyszer fordulhat elő. A név meglehetősen hosszúnak bizonyult, így a Nikoli-nál hamar megalkották a sudoku rövidítést, aholis a Su számot, a Doku egyetlent jelent. A kezdeti lelkesedés nem volt épp kielégítő, így az alkotók 1986 egy szép napján úgy döntöttek, hogy attól fogva csak szimmetrikus táblákat készítenek (állításuk szerint a feladványok kézzel készülnek, számítógép segítsége nélkül). A sudoku ezután lett igazán népszerű. Én a magam részéről, amikor első ízben találkoztam a sudoku-val, azt gondoltam, hogy egy olyasféle többezer éves ősi játékról van szó, mint amilyen például a Pachisi (Ki nevet a végén), a Backgammon, vagy a Go. Mint azóta az számomra is kiderült, a játék csupán száz éves múltra tekint vissza, bár az alapjául szolgáló összefüggés - a bűvös négyzet (Lo Shu), illetve később a latin négyzet (Leonhard Euler) - már az ókori Kínában ismert volt, máig többek között a Feng Sui alapösszefüggéseit is magában rejti. A játéknak rengeteg további variációja ismeretes ( 4x4, 6x6, 12x12, 16x16, 25x25, sudoku-x, windoku, jigsaw, killer sudoku, samurai, hanidoku, wordoku, stb.), de a jelen kiadvány csupán a klasszikus 9x9-es sudoku-val foglalkozik. A számok használata ne tévesszen meg senkit, hiszen sokak szerint a dolognak a matematikához semmi köze nincs, csupán a deduktív logika egyszerű szabályaira - a józan paraszti eszünkre - lesz szükségünk a megoldások folyamán. Hiánytalanul játszható betűkkel, egyéb jelekkel, mégis a számok tűnnek a legcélravezetőbbnek. Ennyi legyen elég, aki nem hiszi, járjon utána, mi pedig kezdjük el közelebbről vizsgálni, mi is lesz a dolgunk egy-egy adott feladvánnyal. A tábla feltérképezése Gyakorlatilag egy 9x9-es négyzetráccsal (grid) állunk szemben, nevezzük ezt táblának (table), benne máris megismertük a 81 db cellát (cell, square). A cellák 3x3-as csoportokba szerveződnek, ezeket mától doboznak (box, block, region, minigrid, nonet) híjvuk. A teljes táblán 3x3, azaz 9 darab dobozt találunk. Fontos megjegyezni azt is, hogy a táblát átszövi 9 sor (row), ahogyan 9 oszlop (column) is. Ezeket gyűjtőnéven sávoknak (lines) is fogjuk hívni, hogy az olvasnivaló ennyivel is rövidebb legyen. Minden cella a táblán három készletbe (group, unit, set, house, constraint) tartozik. Egy sorba, egy oszlopba, és egy dobozba. Az adott cella három készletébe tartózkodó összes többi cellát a cella érintettjeinek (peers, buddies) nevezzük. Tehát minden cella további 20 darab cellát lát. Az egyes cellákba írható lehetséges számok összességét nevezzük az adott cella kimeneteinek (outs), az egyes beírható számokat pedig jelölteknek (candidates). A paletta kifejezés hallatán mindig a játék során felhasználható számokra gondoljunk (1-9-ig), melyekből az egyes cellákba válogathatunk beírnivalót. A játék végére a paletta mind a 9 számából 9 darab példányt (instance) kell látnunk a táblán, így oldódik meg mind a 81 cella. A későbbiekben fontos lesz elneveznünk az egyes sorokat, oszlopokat, dobozokat, ahogyan az egyes cellákat is. A sorokat, és az oszlopokat egyszerűen számozzuk a bal felső saroktól kiindulva. Minthogy minden cella egy sor, és egy oszlop metszetében foglal helyet, úgy a cellákat ezekkel a koordinátákkal jelölhetjük (ezek mentén a továbbiakban például a 4. sor, és a 7. oszlop metszetében található cellára többek között a 4,7 jellel hivatkozunk a szövegben). A dobozokat egyszerűen megszámozzuk a bal felső sarokból jobbra elindulva, majd lefelé (a bal felső doboz így az 1-es, a középső sor jobb oldali doboza például a 6-os). 2 3

Egy gyakori nemzetközi terminológiában egy cella-koordinátapáros négy karakterből áll, melyben a sor koordinátáját egy R (row) betű előzi meg, az oszlop esetében pedig egy C (column) betű kerül a szám elé (a középső cella ebben a terminológiában a R5C5 nevet viseli). Találkozni továbbá olyan megoldással is, amikor a sorok betűvel vannak jelölve, az oszlopok pedig számmal (a középső cella ebben az esetben az E5 névre hallgat). A leírásokban azonban igyekszem ritkán használni a koordinátákat. Úgy tapasztaltam, hogy sokkal egyértelműebb, ha színjeleket, vagy tónusokat - mindenestre vizuális jeleket - használunk a jelöléshez az egyes magyarázatoknál. Az egyszerű szabály Minden feladvány kezdetben tartalmaz előre beírt, fix számokat (givens, clues, fix digits). A feladatunk annyi, hogy az üres cellákba írjunk be számokat 1-től 9-ig úgy, hogy egyféle szám minden készletben (sorban, oszlopban, dobozban) csak egyszer szerepeljen. Magyarán - a fentiekben bevezetett terminológia értelmében - egyik szám sem láthatja saját további példányait. A megoldott feladványon magunk is meggyőződhetünk róla, hogyan érvényesül a fenti szabály. Egyféle szám csak egyszer szerepel minden készletben (sorban, oszlopban és dobozban). Csak az a feladvány nevezhető igazi sudokunak, melynek egyetlen lehetséges megoldása van (a megoldási technikák egy csoportja erre a tulajdonságra alapoz), továbbá a megadott számok eloszlása középpontosan szimmetrikus. Ezen feltételek mellett egy sudoku feladványnak legalább 18 előre megadott számot kell tartalmaznia. Mielőtt belevágnánk Megannyi technikát átnézünk, az egyszerűektől a meglehetősen komplikáltakig, de valamit látatlanba el lehet mondani. Mégpedig azt, hogy akkor leszünk igazán hatékonyak, ha minden helyzetben felismerjük, mely technikával jutunk a legegyszerűbben, leggyorsabban, leghatékonyabban eredményhez. Ne mulasszuk el egy-egy újonnan beírt számnak a következményeit átfésülni, hiszen egyre egyszerűbb a feladvány, ahogy egyre gyarapodnak a beírt számok (jó esetben). 4 5

Előbb-utóbb jóval kisebb különbségeket látunk majd a technikák között, rájövünk, hogy mindegyik végeredményben ugyanarról szól, szinte észre sem vesszük majd, hogy épp mely módszert alkalmazzuk, kombinálva akár két-három másik technikával. Előfordulhat továbbá az is, hogy egyes technikákat soha sem alkalmazol majd, ami a saját elindulásodból következik. A módszerek egymásból következnek, ha valamit már egyszer kiszűrtél, azt másik technikával sok esetben megerősíteni tudod csak. Így kialakul egy rád jellemző metodikai sorrend, a saját megoldási stílusod. Mindent tisztáztunk, tehát akkor alább a kézi szűrési technikák, kezdve az elsődleges, egészen kézenfekvő módszerekkel. Kilövés (cross-hatching, scanning) A nulladik módszer. Egy dobozt vizsgálunk egy adott számmal. Megnézzük, hogy a doboz kétkét (vízszintes és függőleges) szomszédjában a szám megadott - vagy már általunk beírt - példányai mely sávokat (sorokat/oszlopokat) foglalják, így ha szerencsénk van, ezek a foglalt sávok egyetlen egy cellát zárnak közre a kérdéses dobozban. Ilyenkor teljes magabiztossággal beírhatjuk a vizsgált számot, hiszen minden dobozba kell egy példány minden számból, de a vizsgált szám a többi sávban már jelen van. A fenti példákban mindig a szürkével jelölt dobozba keressük a hármas egy következő példányát. A piros sávokat a hármasok már beírt példányai (pirossal keretezve) fenntartják maguknak, így a kérdéses doboz, és a foglalt sávok metszetébe már nem írhatjuk az újabb hármast. Ha ezek után a vizsgált dobozban csak egy cellánk marad, ahova a hármast írhatjuk, biztosak lehetünk benne, hogy megtaláltuk a jó megoldást (szürkével keretezett cella). Használhatjuk a kilövést más készletek, azaz a sávok (sorok/oszlopok) jelöltjeinek felkutatására is. Tételezzük fel, hogy egy sorba keresünk egy számot, de a sor üres celláinak oszlopai, vagy dobozai valahol már tartalmazzák a vizsgált számot, egy cella kivételével. Ilyenkor ide beírjuk a számot, minthogy minden sorba kell egy darab minden számból, ebbe a sorba viszont csak ide fér. Ne vonakodjunk a jegyzeteléstől. A nehezebb feladványok rengeteg apró jegyzetet kívánnak majd mind a cellákba, mind a tábla köré. Később, mikor bonyolult láncokat építünk, vagy mintázatokat keresünk a táblában, aligha tudunk majd mindent fejben tartani. Egy radír komoly segítőtársunk lehet, valamint egy filc, hogy a fix számok jól elkülönüljenek a majdani jegyzetektől. 6 7

Csakúgy, mint az előbbi példákban, itt is a szürkével jelölt készletekbe (sorokba) keressük a kettes (bal oldali tábla), illetve a hatos (jobb oldali tábla) újabb beírható példányát. A pirossal jelölt készletek már tartalmaznak példányt a vizsgált számból (a pirossal keretezett cellákban), így ezen készletek és a vizsgált sor metszetébe nem írhatjuk az újabb példányt. Minthogy egyetlen cellánk maradt a vizsgált sorokban, amit nem lőttünk ki, beírhatjuk az újabb példányt (szürkével keretezve). Kényszerítés (squeezing) Szinte alig különbözik ez az eset Squeezing az előzőekben példa vizszinteljes tapasztaltaktól. tábla. A különbség csupán annyi, hogy elég kevesebb kizáró készletet (sávot, vagy dobozt) keresnünk, mert a vizsgált készletben a már foglalt (megadott, vagy megoldott) cellák egyetlen fennmaradó cellába kényszerítik az új példányt. A példákban ahogy eddig is a szürke készletekbe keresünk újabb példányokat. A foglalt (piros) készletek cellái, és a szürke készlet már megadott/megoldott cellái egyetlen cellába kényszerítik az új példányt. Kizárás (full house, naked single, isolated value) A kizárás legegyszerűbb esete, amikor egy készletben csupán egy üres cellát találunk, így oda az 1-9-ig terjedő számpaletta hiányzó darabját már írjuk is be. Ebből a sorból már csak a hetes hiányzott, így minden kétséget kizáróan ő lesz az üres cella megoldása. Mivel gyakorta fölöslegesnek bizonyul az egész tábla ábrázolása, a könnyebb érthetőség, és a helytakarékosság jegyében az elkövetkezendőkben nagyrészt a fenti ábrához hasonló, részleges ábrákat használunk. Kép, ahol ottvannak az érintettek, és be van karikázva a nyolc kizáró szám, teljes tábla. Természetesen ezt a módszert a tábla további irányaiba is kiterjeszthetjük. Ilyenkor megnézzük, hogy egy adott cella sora, oszlopa, és doboza milyen számokat tartalmaz, magyarán átfésüljük az érintettjeit. Ezeket a számokat nem írhatod be a vizsgált cellába, hiszen akkor egy szám kétszer szerepelne valamelyik készletben (sorban, oszlopban, vagy dobozban), ami ellentmond a sudoku szabályainak. Előfordulhat, hogy egyetlen egy szám marad a kezünkben, amit bátran beírhatunk ilyenkor. 8 9

El kell kezdenünk jegyzeteket készíteni a tábla celláiba (ugyan egyszerűbb szűrésekhez elégnek bizonyul néha csupán fejben jegyzetelni). Be kell határolnunk az egyes cellák kimeneteit, majd ezek összefüggéseiből gyakorlatilag mindent megtudhatunk a továbbiakban. A behatárolás egyszerű. Maradunk az kizárás módszerénél, és az egyes cellák érintettjei között még nem szereplő számokat (a cella kimeneteit, a jelölteket) feljegyezzük a cellákba. Ettől kezdve az egyes jelöltek kihúzkodásával tud az ember araszolni előre, mígnem az egyik cellában már csak egy jelölt marad, amit be is írunk azon nyomban. Amint valamilyen technikával egy újabb végleges számot beírunk, annak rögtön érdemes első lépésben átfésülni az érintettjei között található üres cellákat, és azok kimeneteiből eltávolítani az újonnan megtalált szám jelöltpéldányait, hiszen a szabály értelmében - a megtalált szám nem láthat további saját példányokat. Körültekintőnek kell lennünk a jegyzetelések közben. Eleinte gyakran előfordult velem, hogy a kimenetekkel való munka során téves következtetésekre jutottam, mivel ugyan már láthatóan sok jelölt szerepelt egy adott cellában, valójában nem volt még az összes lehetőség lejegyezve. Minthogy igyekeztem mindig a leghatékonyabbnak tűnő módszerekkel dolgozni, a kimenetek jegyzetelése nem csupán celláról cellára történt, sem készletenként, ahogy nem is csak számról számra lépkedve a palettán. Ilyenkor fordult elő, hogy már túl korán elkezdtem a kimenetekkel való munkát, annak dacára, hogy valójában néhány jelölt még hiányzott a cellák némelyikéből (természetesen erről sejtésem sem volt), ami persze előbb-utóbb rossz megoldáshoz vezetett, pontosabban semmilyenhez. Ezzel nem azt akarom mondani, hogy mindenképpen valamilyen sorrendet kell követni a jegyzetelések menetében hiszen így gyakran fölöslegesen hosszadalmasra nyúlhat a játék -, csupán annyit, hogy valamilyen módon célszerű könyvelni, hogy milyen elemzéseket készítettünk, illetve hogy melyek váratnak még magukra. A szürkével keretezett cellát vizsgálva (a 4. sor 9. oszlopában) megállapítható, hogy a számpaletta minden darabjából (1-9-ig) a cella lát legalább egy példányt (pirossal keretezett cellák), egy szám, a kettes kivételével. Ezek után biztosak lehetünk benne, hogy a cella megoldása csakis a kettes szám lehet, mivel minden más megoldás ellentmondáshoz vezetne. Ezzel a néhány módszerrel a legegyszerűbb feladványok már megoldhatók. Ha most ismerkedsz a sudoku-val, itt érdemes megállni, és az elsődleges technikákat a gyakorlatban is kipróbálni, elsajátítani, közelíteni egymáshoz. A kimenetekről (candidates, outs) Gyakori, hogy bár minden kilövést, kényszerítést elvégeztél, minden kizárást átfésültél mégsem tudsz továbblépni. Ezen a ponton kezd bonyolódni a helyzet, vagyis nem bonyolódik - ezt a szót az ember hajlamos a nehéz szinonímájaként értelmezni -, csupán összetettebbé válik. Ahogyan a fenti ábrán is látható, a jegyzeteket a cellákon belül célszerű egy elképzelt 3x3-as rácsozat négyzeteibe írni, hiszen egyrészt így biztosan marad hely bármelyik jelöltnek, ráadásul akár az elrendeződésből is kiszúrhatjuk az egyes összefüggéseket, mintázatokat. Továbbá amikor a későbbiek folyamán majd csak egy adott típusú szám eloszlásának mintázatait vizsgáljuk az egész táblán, akkor egészében látnunk kell, hogy az adott szám egyes jelöltjei mely cellákra oszlanak, de ennyire tán ne is szaladjunk előre. 10 11

A körbelövés (naked single, isolated value) Megeshet velünk hogy miután egy készletbe az összes kimenetet lejegyeztük, marad egy cellánk, ahová egyetlen szám kényszerül, pontosabban az összes többi szám csak a maradék cellákba fogyhat el. Nem maradtak bennünk kétségek, már írjuk is be a számot. Miután biztosak vagyunk benne, hogy egy készletbe lejegyeztük a számpaletta számainak összes lehetséges jelöltjét, előfordulhat, hogy az egyik cellába csupán egy jelölt kerül. A fenti példán a jobb oldali cella megoldása ennél fogva bizotsan a kettes lesz (sőt, ezzel a következtetéssel az egész készlet megoldható). Természetesen ha olyan módszerrel dolgozunk, hogy cellánként ellenőrizzük a lehetséges kimeneteket, akkor ezzel a helyzettel sohasem találjuk szembe magunkat. Hiszen olyankor a kizárás módszerével szűrjük a kimeneteket, és ha csak egy szám marad a kezünkben, akkor azzal meg is találtuk az adott cella megoldását már írjuk is be az újabb fix számot. A körbelövés esete akkor jelentkezhet, ha nem cellánként haladunk a kimenetek jegyzetelésével, hanem számonként haladunk előre. Ilyenkor eshet meg az, hogy egy adott készletbe miután már az összes fajta szám kimeneteit lejegyeztük (1-9-ig), marad egy cellánk, ahova csak egyetlen egy jelölt került. Biztosak lehetünk abban, hogy az adott cellának megtaláltuk a megoldását. Ezen a részleges táblán a középső dobozban a 2-es számot a végső megoldásokat tekintve két helyre írhatjuk, a 4., vagy a 6. oszlopba (a pirossal bekarikázott jelöltek). Mindkét lehetséges megoldásban közös, hogy mindegyik esetben a középső dobozban a 2-es szám a középső sorba fog kerülni, azaz a bal oldali dobozban a 2-es ebbe a sorba már nem kerülhet. A bal oldali dobozban tehát a középső sorban található 2- es jelöltet (teli pirossal jelölve) eltávolíthatjuk, minek hála a dobozban már csak egy darab 2-es jelölt marad (a feketével bekarikázott jelölt), azaz gazdagodtunk egy megoldott cellával. Érdemes itt megjegyezni, hogy a további technikák következtetései is az imént taglalt módon fognak készülni, amikoris gyakorlatilag megvizsgáljuk egy adott szituáció összes lehetséges megoldását, és a megoldásokban közös jellemzőket további szűrésekhez használjuk. Inverz sávfoglalás (cross-checking, block-block interaction, double block line, locked candidates, intersection removal, box line reduction) Az is információ számunkra, ha három egymás melletti (vagy egymás alatti) doboz közül két doboz kimeneteiben egyféle jelölt csak két sávot foglal el. Ekkor biztosak lehetünk abban, hogy a harmadik dobozban a szám csak a maradék egy sávba kerülhet majd, így itt a foglalt sávokban lévő jelöltektől megszabadulhatunk. Sávfoglalás (cross-checking, block-column/row interaction, block line, locked candidates, pointing pair, -triplet, intersection removal) Szerencsés helyzet, ha egy doboz kimenetei közül egyféle szám csak egyetlen sávban fordul elő (sorban vagy oszlopban), így az információ sávszűrésre kitűnően alkalmas, azaz teljes értékű kiindulópontja lehet az egyszerű kilövésnek, persze másik dobozok kimeneteinek szűrésére. A szürkével jelölt középső, és a jobb oldali dobozban található ötös jelöltek (pirossal bekarikázva) szerencsés módon csak a felső két soron osztoznak. Vizsgáljuk meg a lehetséges megoldásokat. Ha a jobb oldali dobozban az ötös a felső sor valamelyik cellájába kerül, akkor a középső dobozban az ötös a középső sorba kényszerül, ha pedig a jobb oldali dobozban az ötös a középső sor cellájába kerül, úgy az a középső dobozban az ötöst a felső sor cellájába kényszeríti. Mindkét fajta megoldásban közös, hogy a két jobb oldali doboz együttese fenntartja magának a felső két sávot az ötös két leendő példányának. Ennélfogva a bal oldali doboz felső két sorából az ötös jelöltjeit eltávolíthatjuk (teli pirossal jelölve). A sávfoglalásoknak rengeteg variációja fordul elő, akár még fejben is egymás után fűzhető több sávfoglalás, inverz sávfoglalás, mígnem valahol megtalálunk egy beírható számot. Ezekkel a metodikákkal kiegészítve a primer technikákat nagyon hatékonyan, sokszor akár még kimenet jegyzetelések nélkül letisztíthatjuk a táblát, és elkezdhetünk koncentrálni a bonyolultabb összefüggésekre, jóval több fix számmal a birtokunkban. 12 13

Az alábbi módszerek mind a jelöltek egy adott készleten belüli eloszlását, annak mintázatait vizsgálják. Minden készletbe annyiféle számot írhatunk be, ahány üres cellája van. Egy három üres cellával bíró készletbe csupán háromféle számot választhatunk a számpalettáról, de ez sokszor nem jelenti feltétlenül azt, hogy mindhárom üres cellában három jelöltet látunk. Előfordulhat, hogy az egyes jelöltek további zárt részhalmazokra (locked subsets), együttesekre tagolódnak. A tiszta ugráló -, avagy fix párok, -hármasok, -négyesek (naked-, isolated-, locked pair/triplet/quad, unique subset, disjoint subset) Az olyan cellák, ahova csak két számot írhatunk be (kétkimenetes cellák), a későbbi technikákhoz is nagy segítséget nyújtanak majd, ahogy ennek az egyik alapvető technikának is ilyen kétkimenetes cellák képezik az alapját. Ha egy készleten belül találunk két darab egyforma kétkimenetes cellát, akkor egy ugrálópárra bukkantunk (számomra gyakorta célravezető módszernek bizonyul a lehetséges beírható számok pozíciójának váltogatása a fejben, innen a találó ugráló kifejezés). Lássuk, mi is ez. Talál az ember egy készletben (sorban, oszlopban vagy dobozban) két olyan cellát, ahová csupán ugyanaz a két típusú jelölt kerülhet. Belátható könnyedén, hogy a vizsgált készleten belül a kilences számpaletta ezen két szereplője mindenképpen ebbe a két cellába kell hogy elfogyjon. Megvizsgálva a két cellára vonatkoztatott lehetséges megoldásokat, az egyik eset az, amikor az egyik típusú számot a pár egyik cellájába írjuk, ilyenkor a másik szám a pár másik cellájába kényszerül. A másik lehetséges megoldás ennek a fordítottja. Tehát a pár végleg lefoglalja magának a két tárgyalt cellát, akár az egyik, akár a másik megoldás lesz a végleges. Ebből következően a maradék (páron kívüli) üres cellákba csak a maradék számok kerülhetnek, tehát a készleten belüli további üres cellák kimeneteiből kihúzhatjuk az ugrálópárost alkotó két számot. Külön szerencse, ha egy sáv ugrálópárjai épp egy dobozba is esnek, hiszen akkor a dobozban is fenntartják maguknak a két cellát, így a doboz még megoldatlan celláinak kimeneteiből is eltávolíthatjuk a páros alkotó két számot. A készlet kimenetei egy ugrálópárt (4 8) rejtenek magukban (pirossal keretezve). Két olyan cella, melyekbe csak négyest, vagy nyolcast írhatunk, mint végső megoldás. Ha a bal oldali cellába a nyolcas kerül, akkor az jobb oldali cellába a négyest kényszeríti. A többi cella kimeneteiből ahogyan a másik megoldás esetén is eltávolíthatjuk a párt alkotó számokat (teli pirossal jelölve). Összefoglalva tehát, függetlenül a pár celláinak végső megoldásától, a pár végleges helyzetének ismerete nélkül is eltávolíthatjuk a páron kívüli cellákból a párt alkotó számokat (teli pirossal jelölve). Ebben a példában a pár (pirossal keretezve) segítségével két készletben is (szürkével jelölve) végezhetünk szűréseket (teli pirossal jelölve). Az ugrálópárok rengeteg példájával találkozhatunk a feladványok megoldása közben a csupán két üres cellával bíró készleteket vizsgálva. Ezek a még megoldatlan cellapárok ugyanis mind fix párokat alkotnak, annyi különbséggel csupán a fentebb tárgyaltakhoz képest, hogy általuk már további szűréseket nem végezhetünk (legalábbis nem ezekkel a technikákkal). Egy készlet üres celláin belül - az ugrálópárokhoz hasonlóan - gyakran kettőnél több cella is (általában kettőnél több jelölttel) alkothat ilyen zárt együtteseket. Nehezebb őket észrevenni, mert míg egy pár esetében a párt alkotó jelöltek mindkét cellában előfordulnak, addig a nagyobb együttesek celláinak nagy része legtöbb esetben nem tartalmazza az együttest alkotó mindegyik jelöltet. A párok után a zárt együttesek sorában az ugrálóhármasok állnak. Egy készleten belül ha találunk három cellát, melyekbe csak három féle számot tudunk beírni, akkor ezen fix hármas segítségével a készlet alakzaton kívül eső celláiból eltávolíthatjuk a trióban foglalt jelölteket. Ha a pár bal oldali cellájába négyest írunk, a jobb oldali cellába a nyolcas kényszerül, ennél fogva a többi cella kimenetei között ezek a számok nem szerepelhetnek már (teli pirossal jelölve). 14 15

A fenti készlet pirossal keretezett cellái egy zárt ötös együttest alkotnak (1 4 6 7 9). Ebbe az öt darab cellába csupán az együttes öt száma (1, 4, 6, 7, 9) kerülhet a palettáról, így az alakzaton kívüli cellák kimeneteiből az együttes számait eltávolíthatjuk (teli pirossal jelölve). A fenti példában a bal oldali doboz - egyúttal az alsó sor három cellája egy fix hármast (4 5 9) rejt magában (pirossal keretezett cellák). A szabály értelmében a közös készleteken belüli, ugyanakkor az alakzaton kívül eső cellákból az együttest alkotó jelölteket eltávolíthatjuk (teli pirossal jelölve). Hogy máshonnan is megközelítsem, tételezzük fel, hogy az alsó sor 6. oszlopába kilencest írunk, az alakzaton kívülre helyezve ezáltal az együttes egyik számát. Ebben az esetben a pirossal keretezett három cellába csak kétféle lehetséges jelöltünk lenne (4 és 5), így előbb utóbb az egyik cellába semmilyen számot nem írhatnánk. A kettőnél több szereplős együttesek esetében is általánosságban elmondható, hogy ha nem is tudunk további szűréseket végezni, akkor is érdemes megvizsgálnunk egy-egy készlet fennmaradó üres celláinak kimeneteit, hiszen ilyenkor megannyi példájával ismerkedhetünk meg a fix párok, -hármasok, -négyesek, -ötösök végtelen variációival, csupán további szűréseket nem tudunk végezni velük (egyenlőre). A fő kérdés itt mindig az, hogy hányféle számot írhatunk be hány darab cellába. Ha - egy készleten belül - N-cella csak N-féle számot tartalmaz, az azt jelenti, hogy ez az N-féle szám az alakzaton belül fog elfogyni, bizonyos szempontból beírt számoknak tekinthetjük őket. Tehát az együttesen kívüli cellákból eltávolíthatjuk az együttest alkotó jelölteket. A rejtett ugráló -, avagy fix együttesek (hidden subset) Megvizsgálva a trió celláinak három lehetséges kimenetelét láthatjuk, hogy a három szám (4, 5, 9) mindenképpen ebbe a három cellába kell, hogy elfogyjon, ebben a három cellában ugrál. Ebben az esetben ugyanúgy zárt együtteseket keresünk, mint az előbbiekben, csak éppen nehezebb kiszúrni őket ilyenkor, mert az egyes cellák lejegyzett kimenetei között esetleg más félrevezető - számok is szerepelhetnek. Ha egy készlet üres celláinak kimenetei között ugyan sehol sem látsz tiszta párokat, attól még változatlanul találhatsz két olyan jelöltet, melyek csupán két cellában tűnnek fel. Ekkor ezen cellák jelöltjeiből lehúzhatod a pároson kívüli kimeneteket, kitisztítva ezáltal a rejtett párt. Ugyanez természetesen hármas-, négyes-, ötös együttesekkel ugyanígy működik. Lássuk a példákat. A párokhoz, hármasokhoz hasonló zárt együttest alkothat háromnál több cella is, bár ezek használatára jóval ritkábban kényszerülünk. Ebben a példában a pirossal keretezett négy cella egy zárt négyest alkot (2 6 8 9). A négy cellába csupán négy fajta számot írhatunk, így biztos, hogy a végső példányok az alakzaton belül kapnak majd helyet. Az együttes számait az alakzaton kívüli cellák kimeneteiből eltávolíthatjuk (teli pirossal jelölve). A rejtett együttesek legegyszerűbben kiszúrható típusa a rejtett egyedülálló jelölt. A fenti sor üres celláinak kimenetei között a hármas csupán egyetlen egy cellában (pirossal keretezve) fordul elő. Mivel minden sorba kell egy példánya a hármasnak, viszont ebben a sorban csak egy helyen lehet, a cella további jelöltjeit (teli pirossal jelölve) eltávolíthatjuk, kitisztítva a rejtett jelöltet, ami ebben az esetben a cella megoldását is jelenti. 16 17

Ebben a sorban egy rejtett párt (1 5) találhatunk (pirossal keretezett cellák). A sornak csupán ebbe a két cellájába kerülhet ez a kétféle szám, így a rejtett páron kívüli jelölteket (teli pirossal jelölve) eltávolíthatjuk a pár celláiból. Ennek a készletnek a pirossal keretezett cellái egy rejtett hármast (5 7 8) foglalnak magukban. Az együttes celláiból az alakzaton kívüli jelölteket (teli pirossal jelölve) ugyancsak eltávolítjuk. Ahogyan a figyelmesebb olvasóknak talán már fel is tűnt, az egy készleten belüli rejtett együttesek szorosan összefüggenek a készlet tiszta együtteseivel. Gyakorlatilag egymás kiegészítő, komplementer párjai. Tömören fogalmazva nincs rejtett együttes tiszta nélkül. A fenti rejtett együttesek példáit újra megvizsgálva rátalálhatunk azok inverz tiszta együtteseire. Az első példában a szürkével keretezett cellákban található tiszta zárt hármas (1 5 7) is kilövi a teli pirossal jelzett 5-ös jelöltet. Emlékezzünk vissza a megállapításunkra, miszerint minden készlet üres celláiban csupán annyiféle jelölt szerepelhet a kimenetek között, ahány fennmaradó üres cellája van még a készletnek. A zárt és a rejtett együttesek előzőekben ismertetett komplementer viszonyát jól szemléltethetjük, ha az iménti megállapítást kibővítjük valamelyest. Ha egy készleten belül összeadjuk, hogy hányféle jelölt található zárt együttesekben, hányféle jelölt található rejtett együttesekben, valamint a megoldott cellák számát, minden esetben kilencet kapunk eredményül. Ez, és az ehhez hasonló további törvényszerűségek sokat segíthetnek abban, hogy az esetleges figyelmetlenségből adódó hibáinkat könnyedén észrevegyük, rengeteg időt spórolva ezáltal. Ezzel az eszköztárral a legtöbb útunkba kerülő sudoku már megoldható, mindennapos használatra ez bőségesen megteszi. Akit netán túlságosan lefárasztottak volna az eddig taglaltak, az itt pihenjen meg, rágja át magát további húsz táblán, majd ha az előzőekben megismert technikák bevetésének dacára mégis elakadt valahol, itt lapozza fel újra ezt az útmutatót. Az eddigiekben tehát megismerhettük az elsődleges (jegyzetelést nem igénylő) módszereket, valamint az egy készleten belüli szűrések technikáit, összefüggéseit. A tapasztalat azt mutatja, hogy egy nehezebb tábla megoldásában ezzel az eszköztárral csupán egy szűrési holtpontig lehet eljutni. Ilyenkor kell alkalmaznunk egyikét a haladó technikáknak, eljutva egy újabb beírható példányig, majd jó esetben a szűrést folytathatjuk tovább egyszerűbb technikákkal. Első lépésben ismerkedjünk meg azokkal a módszerekkel, melyek az egyes számok jelöltjeinek táblán való eloszlását, mintázatát vizsgálják. Találhatunk ugyanis - a készleteken belüli zárt együttesekhez hasonlóan a táblán való eloszlás mintázatában is további zárt egységeket.... A következő példában a szürkével jelölt tiszta négyessel (2 8 6 9) is elvégezhetjük ugyanazt a szűrést, amit a pirossal keretezett rejtett párral (1 5) tennénk. A harmadik esetben két szürkével keretezett cellában eloszló egyszerű tiszta pár (6 9) is elvégzi a - pirossal keretezett - rejtett együttes (5 7 8) munkáját. Csak tőlünk függ, hogy melyiket szúrjuk ki előbb, melyiket használjuk. Velem sokszor előfordult, hogy egy rejtett egyedülálló jelöltet csupán úgy vettem észre, hogy az őt övező tiszta négyessel elvégeztem a szűréseket, mígnem csak egy jelölt maradt az alakzaton kívüli, egyben egyetlen fennmaradó cellába. 18 19

20 Diabolical 1. Extrém fokozat 25 megadott szám, 280 kimenet (eloszlási arány 20%). Mintázatelemző minitáblák. 21

22 Mintázatelemző minitáblák.