Dr. Ábrahám István * A BOLOGNAI FOLYAMAT ÉS A TANKÖNYVEK A fels oktatásban legalapvet bb változás az elmúlt id szakban a hallgatói létszámok területén történt: az utóbbi néhány évben, évtizedben mintegy megháromszorozódott hazánkban a f állású diákok, a nappali tagozatos hallgatók száma. A sok vitát is kiváltó létszámnövekedést viszont megváltoztathatatlanként el kell fogadnunk: a fejl déssel világszerte bonyolultabbak lettek és differenciálódtak az egyes szakmák, ami szükségessé teszi a kiterjedtebb, hosszabb, a kötelez közoktatást követ képzést. A társadalom, a családok hozzáállása és gazdasági helyzete pedig általában lehet vé teszi a tanulói státusz fenntartását hosszabb id re. A fels oktatásban szükséges változtatásokat ehhez a tényhez kell igazítani. Azt is tudomásul kell venni, hogy a társadalomnak nincs szüksége egyszerre kétszer-négyszer annyi hagyományos módon kiképzett mérnökre, közgazdászra és egyéb szakértelmiségire, mint ahány hallgató betódult a fels oktatásba. A tankötelezettség sikeres letudása után is iskolába járó diákok jelent s része tanulmányai elején szakmai alapm veltséget akar szerezni, a szakosodást kés bbre és speciálisabb területekre halasztja. Ez is egyik oka volt annak, hogy a fels oktatást a világon sok helyen szétválasztották alap (BSc) és mester (MSc) képzésre, illetve a szakmai elitnek kiszélesítették a PhD-képzést. Ez a helyzet az alapképzésben más tananyagokat igényel, más oktatási metodikát, más hallgatói teljesítményértékelést és más tankönyveket. Külföldön a nem személyes tananyag-prezentálásra változatos formák alakultak ki: az alapképzésben a tanulmányi követelmények teljesítéséhez szükséges tananyagot tartalmazó könyvek nagyobb része didaktikai értelemben véve is tankönyvvé vált (természetesen a tankönyvi ismérveket az életkori sajátosságokra alkalmazva), más része megmaradt a nálunk jelenleg a fels oktatásban szinte általánosan használt szakkönyvnek. Nagyszámú és sokféle egyéb, f ként számítógépen megjeleníthet oktatási anyag csatlakozik a tananyaghoz, mindkét típusú könyvhöz: minta el adásvázlatok, el adáslapok, összefoglaló-ismétl anyagok, részletesen kidolgozott és értékelt feladatmegoldások, feladatlapok, példatárak szintezett feladatokkal stb. Szemléletesen kifejezi ezt a tényt az, hogy például német nyelvterületen az oktatáshoz általában nem tankönyveket (Lehrbuch) neveznek meg, hanem komplex tanulást támogató rendszert (Lehrwerk). A BGF PSZFK Matematika-Statisztika tanszékén a gazdasági matematika és az operációkutatás tananyagaihoz egy olyan rendszert alakítottam ki az alapképzésben részt vev k tanulásának támogatására, amely közl funkciójú speciális tankönyvb l, a primer tanulásra és összefoglalásra szolgáló szoftverekb l, számítógépr l nyomtatható el adás absztraktumokból, valamint a tananyaghoz illesztett feladatgy jteményekb l és feladatlapokból áll. A feladatgy jtemények részletes megoldásokat is tartalmaznak úgy, hogy az egyes információkvantumok súlyozására is sor kerül a megoldásokban a részpontok közlésével. El adásomban a matematikai analízis és ezen belül súlyozottan a differenciálszámítás tanulásához készített anyagaimat szeretném röviden bemutatni. * BGF Pénzügyi és Számviteli F iskolai Kar, Matematika-Statisztika tanszék, f iskolai tanár. 11
A matematikai analízisben egyik legjelent sebb témakör a differenciálszámítás. Tudvalév, hogy a differenciálszámítással lehet egzakt módon leírni minden mozgást, változást, valamint különböz területeken és folyamatoknál optimumokat határozhatunk meg vele, így jelent sége a mindennapi életünkben is felbecsülhetetlen. Véleményem szerint szükség lenne arra, hogy az általános m veltség része legyen a differenciálszámítás, mint az emberi szellem egyik legnagyobb kultúrkincse, hasonlóan ahhoz, ahogy az elemi számolókészség az évszázadok alatt része lett az emberi alapm veltségnek. Ez utóbbi sem ment máról holnapra: a tudománytörténet feljegyzései szerint a középkorban híresek voltak az észak itáliai egyetemek arról, hogy ezekben az intézményekben matematikából még az osztás m veletét is tanították. Az oktatásmetodika eredményeként ez a m velet taníthatóvá vált az elemi iskolákban. A differenciálszámítás viszonylag nem régi találmány és egy kissé bonyolultabb eljutni a lényegének megértéséhez, alkalmazásához, mint ahogy ez az osztással történt. Meggy z désem szerint viszont els sorban az értelmiségnek, de különösen az ún. szakmai értelmiségnek (közgazdászok, mérnökök és más, természet- és társadalomtudományokkal foglalkozók) készség szinten ismernie kell a differenciálszámítást. Jelenleg köztudottan nem ez a helyzet. A differenciálszámítás oktatása kisszámú kivételt l eltekintve a fels oktatásban történik, még alkalmazott matematikai szinten is matematikusi precizitásra törekedve, legtöbbször a matematikus képzés módszereivel. Az eredmények lesújtóak: igen magas a sikertelen vizsgát tev diákok aránya, még akkor is, amikor a vizsgakövetelményeket gyakran elvtelen kompromisszumokkal állapítják meg. Még a vizsgákon túljutók többsége számára is ez a diszciplína a kés bbiekben csak egy rossz emlék marad, minimális tárgyi tudással. A Pénzügyi és Számviteli F iskolán az oktatást 1971-ben kezdtem meg, a fent vázolt tapasztalataimat az utóbbi évek csak meger sítették. Kezdetekt l fogva a f iskolán célnak tekintettem a hatékonyabb oktatást. Világos volt el ttem, hogy a matematikai analízis és ezen belül a differenciálszámítás eredményesebb oktatásához, megtanításához több feltételnek kell teljesülnie. Feltétlenül szükséges a szaktudomány, a matematika alapos ismerete, az ismeretátadással foglalkozó pedagógia neveléstudomány téziseinek és gyakorlatának felhasználása és nélkülözhetetlen a sokéves, különböz közegben és szituációban végzett oktatási gyakorlat. A differenciálszámításra lesz kítve: természetszer en a témakörnek tudományos el zményei vannak, és szerteágazó következményével lehet számolni, tehát igen jól meg kell ismerni ezeket. Így els ként az egyetemi matematika tanulmányaimat igyekeztem elmélyíteni, több éves szakirodalmi kutatás után egyetemi doktori vizsgát tettem az Eötvös Loránd Tudományegyetemen klasszikus matematikai analízisb l 1975-ben. A szakmai vizsgálódást azért is szükségesnek éreztem, hogy meg tudjam határozni, meddig egyszer síthet k az analízis, a differenciálszámítás megtanulásához szükséges fogalmak, összefüggések, eljárások. Mivel teljesít képes tudást alapvet en egyéni tanulással lehet szerezni, erre a célra a hetvenes évek közepét l különböz didaktikai felépítés tankönyveket, tanulásirányítókat írtam és módom volt arra, hogy kísérleti jelleggel a hatásukat mérjem. A több mint egy évtizedig tartó neveléstudományi kutatás eredményeit kandidátusi értekezésben foglaltam össze, amelyet a Magyar Tudományos Akadémián 1987-ben megvédtem. Az el zmények után szakmai konzultációkra és az oktatási gyakorlat tapasztalataira építve formáltam azt az oktatócsomagot, amelynek 3 kötetb l álló tankönyve 2005 novemberében jelent meg, a digitális kiegészít k pedig 2006 elejét l letölthet k számítógépr l, a könyveket forgalmazó kiadó honlapjáról. A TANANYAG BEHATÁROLÁSA A differenciálszámítás oktatásának, megtanulásának szükségszer el zménye a függvényhatárérték nem egyszer fogalmának ismerete a diákok részér l. Ehhez a számsorozatok konvergenciájának megértése vezethet el legegyszer bben, tapasztalataim szerint a torlódási pont fogalmából kiindulva. Az analízis tanulmányok elején célszer áttekinteni, rendszerezni, összefoglalni a BOOLE-algebra, ezen belül a halmazelmélet és a matematikai logika elemeit. Ennek bizonyos képzési céloknál kiemelt didaktikai jelent sége is van, hiszen az egyszer, rövid, logikus összefüggések (amelyek tulajdonképpen egy szabályzórendszert modelleznek) keretei között könnyen begyakorolható algoritmusokkal tudunk problémákat megoldani. 12
Magát a differenciálszámítást sokrét, érdekl dést kelt motivációval kell bevezetni, utalásokkal azokra a lehet ségekre és el nyökre, amelyek a differenciálszámítás segítségével végzett függvényvizsgálatokkal tulajdonképpen a természeti és társadalmi törvények kiismerését valósíthatják meg. A fogalmak, összefüggések bevezetését a lehet legegyszer bben célszer megtenni, de a feladatmegoldásokhoz szükséges legfontosabb, összesen mintegy tíz szabályt masszívan be kell gyakoroltatni. A feladatmegoldásban elért gyakorlottságnak fontos transzfer hatása van az elméleti háttér megértésében. A differenciálszámítás alapjaihoz új fogalmak, általánosítások, következmények csatolhatók (elaszticitás, magasabb rend deriváltak, többváltozós függvények differenciálása stb.). Lényeges megemlíteni ezeket, az ismeret jártasság szintjén. Az oktatási gyakorlatomból is arra következtettem, hogy dönt fontosságúak a differenciálszámítás alkalmazásai. Célszer egyértelm algoritmust adni a függvényvizsgálatra és nagyszámú feladaton gyakoroltatni azt, ideértve a szöveges feladatokat is. A további alkalmazások közül a függvények sorfejtése a gyakorlati feladatokban is el fordul, a L HOSPITAL-szabály pedig egyszer síti a határérték számítást. A differenciálszámítás tárgyalása úgy válik kompakttá, ha inverzét, az integrálást is megismerik a diákok. Így az integrálást közvetlenül a differenciálszámítás után, röviden, egyszer en, alapvet - en az alkalmazásokra, azaz a határozott integrálokra koncentrálva hatásos tárgyalni. Célszer röviden szólni a differenciálegyenletekr l is. A TANANYAG MEGJELENÉSI MÓDJA Az oktatócsomagban els rend en fontos tankönyvben a tananyag prezentálása sokéves információgy jtés és többszöri kipróbálás, hatásfelmérés után alakult ki. A könyv írásakor messzemen en igyekeztem betartani a didaktika legfontosabb alapelveit, rangsor szerint is els sorban a következ - ket: tudományosság, aktivizálás, az elmélet és gyakorlat egysége, szemléletesség, rendszeresség, tartósság, életkori sajátosságok és egyéni különbségek figyelembe vétele és így tovább. A könyv felépítése az utóbbi évtizedekben hazánkban is megjelent magtankönyv szatellitek szerkesztési mód egy változata. A könyv lapjai széles margóval két részre osztottak, kb. 70-30%-os arányban. A bevezet ben az újszer szerkezet miatt a szokásos ráhangoló célzatú szöveg mellett használati útmutató szerepel. A könyvben a tananyag alapinformációi a nagyobb területen találhatók, míg a margón motiváló, a tanulást segít, magyarázó, esetenként ismétl szövegek találhatók, azaz célom szerint ezzel itt a könyvben a lehet legteljesebb mértékben a segít tanár van jelen. Példaként bemutatom a második kötet, az Analízis 2 könyv egy oldalának részletét: 13
A tárgyalásmód, a könyv nyelvezete minden esetben a hétköznapi használatban megszokottat igyekszik közelíteni, gyakran a szükséges matematikai precizitás határain. Tehát rendesnek lehet nevezni egy ismert típusú egyváltozós függvényt, az els dleges informálódáskor a nem mindig általánosítható szemléletességre történik hivatkozás ( x 0 felett a függvény növekv ), aztán valaminél egy picivel nagyobb számot veszünk fel és így tovább. Természetesen kés bb pontosítások történnek, megtalálhatók a könyvben a megfelel definíciók, tételek. Ezek mellett viszont a margón többnyire szerepelnek a magyarázatok, hivatkozások, emlékeztet k és szükség esetén az ismétlések is. Szakmai berkekben a könyvvel kapcsolatban legtöbb vita a tudományosság elvéhez kapcsolódott: többen bírálták a könyv szerintük pongyola, nem matematikus megfogalmazásait, a nem minden esetben általánosítható egyes módszereket. Az alapelvem ezzel kapcsolatban egyértelm : a könyvvel nem egy sokadik matematika szakkönyvet akartam írni, hanem az analízis, a differenciálszámítás lényegének megértéséhez egy áttekinthet, kis terjedelm tankönyvet szándékoztam létrehozni, olyant, amelynek segítségével azért egyúttal megfelel gyakorlottságot is szerezhetnek a tananyaggal ismerked k a leggyakrabban el forduló, a megismert módszerekkel kezelhet problémák megoldásában. Így az elméleti könyvben is sok mintapélda található, megoldásokkal. Emellett szükségesnek éreztem egy adatbank jelleg összefoglaló feladatgy jtemény (Analízis 3) csatolását a tankönyvhöz. Ebben a könyvben kizárólag viszonylag nehezebb feladatok szerepelnek, viszont mindegyiknek megtalálható a részletes megoldása. Az elméleti kötetekben több helyen történik utalás arra, hogy a közölt információ pontosítható, általánosabban is megfogalmazható. A számítógépes kiegészít k ezek lel helyeit is megadják. A tankönyvnek, mint didaktikai nóvumnak a szakmai fogadtatása eddig a várakozásomnál jobb volt, például a könyv nagy oktatási gyakorlattal rendelkez lektora a kiadónak küldött bírálatát ezzel kezdi: Végre!...Végre megszületett az a tankönyvtípus, amely nem zseniknek íródott és amely széles körben tanulhatóvá teszi ezt az anyagot. A könyvet a kiadó országosan forgalmazza, a kiadástól eltelt kevesebb, mint egy év alatt sok pozitív értékelés jutott el hozzám, közte még nemzetközi érdekl dés is, a könyv angolra fordításának igénye. A tankönyvhöz és feladatgy jteményhez szorosan hozzátartoznak a számítógépes oktatási anyagok. A könyv minden fejezetéhez Power point-os bemutató készült, sok animációval. A bemutatóknak több funkciót szántam. A javasolt tanulási stratégia szerint ezek az anyagok egyrészt els dleges információkat nyújtanak, így aztán rövidítve, általában tovább egyszer sítve jelennek meg az ismeretek a képerny n, a felhasználó ütemezése szerint. Mindig születésükben, a közlési folyamatnak megfelel en egymást követ en, az el adás menetéhez köt d en gyakran szavanként, bet nként ugranak el az információk. Az ábrák, képletek, táblázatok is többnyire a felépítésük logikai sorrendjében jelennek meg. Így ezek az anyagok nemcsak az egyéni tanuláshoz alkalmazhatók, hanem a szóbeli oktatói el adáson is min ségileg magasabb szinten helyettesíthetik a tábla és kréta használatát. Természetesen az el adónak módja van kiegészítéseket tenni a bemutatók használatakor. Másrészt ezeknek az anyagoknak összefoglaló, ismétl funkciójuk is van: animációk nélkül lepergetve az egyes oldalakat rendszerezheti, tartósabbá teheti ismereteit a tanuló. A gyakorlati alkalmazásokkor derült ki, hogy a diákok egy része a bemutató lapjait kinyomtatta és azt minta el adásvázlatként használta. Példaként a következ oldalon bemutatom az egyik fejezet egy oldalát. A szöveg a vetítési üzemmódban a képerny n szavanként, illetve bet nként jelenik meg, az ábrák beúsznak a képbe és az alsó ábrán jelent séggel bíró szakaszok a szöveggel szinkronban ugranak a helyükre. A színeknek, bet típusoknak tervezett szerepük van az egyes lapokon. Természetesen szoros a kapcsolat a képerny n megjelen és könyvben lév anyag között. A számítógépen hozzáférhet a feladatgy jtemény és a megoldások is. A megoldásoknál a számítógép több el nyét kihasználhatjuk: például az ott közölt ábrák legtöbbször egyszer matematikai rajzolóprogramokkal szerkesztettek, azokat a tanuló nagyíthatja, részleteiben vizsgálhatja, akár módosíthatja is. A számítógépen megjelen anyagoknál lehet ségük van a felhasználóknak arra, hogy áttérjenek más ismeretközl k szabad hozzáférés tananyagaira, valamint letöltsenek tanulmányaikhoz szoftvereket. 14
A differenciahányados fogalma A függvény (amely bizonyos, a gyakorlati életben el forduló összefüggéseket írhat le) növekedése, illetve csökkenése fontos jellemz, mindennapi életünk is függhet t le. Vegyünk fel egy egyváltozós, az [a,b] intervallumon folytonos f(x) függvényt: P o (x o,y o) f(x) Vizsgáljuk meg, hogy az értelmezési tartományának egy x 0 abszcisszájú bels pontjához tartozó P 0 ponton a függvény növekv en vagy csökken en halad-e át. a f(x o) xo b Analitikus (logikai, nem vízuális) módszerrel kell válaszolnunk, hiszen ha az értelmezési tartomány végtelen, akkor a pontos rajz elkészítéséhez végtelen sok számpár ismeretére lenne szükség, amelyeknek kiszámolása lehetetlen. Vegyünk fel az x 0 értékénél x-szel ("egy picivel") nagyobb számot (azaz legyen x>0) úgy, hogy még az értelmezési tartományon belül maradjunk. y P o (x,y ) o o f(x) f(x o) f(x o+ x) x o x x y x + x o x A x az x tengelyen felvett két pont távolsága, az x 0 + x és x 0 értékek különbsége, (elnevezés) a differencia. Képezhet a függvényértékek különbsége is, amit y-nal jelölünk: f(x 0 + x) f(x 0 ) = y. A y tehát adott x 0 és x értékeknél egy szám, értékéb l (nagyságából, el jeléb l) már lehetnek sejtéseink a 2függ- vény x 0 -beli növekedésér l, vagy csökkenésér l. A fentiekkel egy példát szerettem volna bemutatni arra, hogy a hazánkban változásban lév fels oktatási alapképzéshez milyen írásos támogatást képzelnék el egy fontos anyagrész tanulásához. Az oktatási gyakorlattal ennek egyes elemei változhatnak, b vülhetnek, amelyek remény szerint tovább segíthetik az oktatásunk hatékonyságának javítását. 15